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北师大版必修4高中数学第二章平面向量基本定理课件1


平面向量基本定理 一、思考引入: 问题(1): 给定平面内任意两个向量: e1 和 e2 请你作出向量: 3e1 ? 2e2 ,e1 ? 2e2 问题(2): 平面内任一向量 a 都能用形如 ?1 e1 + ?2 e2 的向量表 示吗? 二、新课讲授: (一)、针对问题的分析讨论: 问题(1): 首先我们把向量 e1 、 e2 分成两种情 况来讨论: ①:若 e

与 e2 共线(如图a),如下图 A' B' = e1 ? 2e2 可作得 AB = 3e1 ? 2e2 , 1 e1 A B’ e2 3e1 2e2 B .A’ a 二、新课讲授: (一)、针对问题的分析讨论: ② :若e 与 e2 不共线(如图a),如下 图可作得AB = 3e1 ? 2e2 , A' B' = e1 ? 2e2 1 e1 A. e2 .B A’ 3e1 . 2e2 e1 B’ b 问题(2) 由上述可知:当向量 e1 和 e2 共线时,平面上的 任意向量 a就无法用 ?1 e1 ? ?2 e2 来表示。 当向量 e1 与 e2 不共线时(如图),已知任意向量 a。 e1 OB = e2 , OC = a , , 在平面上任取一点O,作OA = 过点C作平行与直线OB的直线,与直线OA交 于一点M; 过点C作平行于直线OA的直线,与直线OB交 于一点N。 e M C 1 a e2 O . A N B ?2,使得: 由向量的线性运算可知,存在实数 ?1、 OM = ?1 e1 , ON = ?2 e2 , OM 由于OC = + ON ,所以OC =?1 e1 + ?2 e2 即:任一向量 a都可以表示成 ?1 e1 ? ?2 e2 的形式。 由上述过程,你能得出什么结论吗? (二)、由上述过程,可以发现:平面内任一向量都可以 由两个不共线的向量 e1 、e2 表示出来。当 e1 、 e2 确定后, 任意向量都可以由这两个向量量化表示。 由此,我们得到平面向量的基本定理: 平面向量基本定理:如果 e1 、e2 是同一平面内的两 个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a, ?2 ,使 有且只有一对实数 ?1 、 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 我们把不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底。 (三)、向量的夹角: 不共线的向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定: 已知两个非零向量 a 和 b(如图),作 OA = a , = OB b ,则 ?AOB =θ(0°《θ《180 °)叫做向量 θ a 与 b 的夹角。 o. b B A a 显然,当θ= 0°时, a 与 b 同向;当θ= 180 ° 时, a 与 b 反向。 如果 a 与 b 的夹角是90 °,我们说 a 与 b 垂直, 记作 a ⊥ b 。 三、例题:已知向量 e1、 e2 (如图),求作向量? : 2.5e1 ? 3e2 C B e2 e1 A ? 2.5e1 .o ? 作法:1、如图在平面内任取一点O,作 OA ? ?2.5e1 作OB ? 3e2 ; 2、作平行四边形OACB; OC 就是求作的向量。 思考:例题还有其他作法吗? 三角形法! 四、练习: 3? ? 2? 1、若 a ? ? e , b ? ? e , ,则 b = 4 3 a。 2、已知两向量 e1、e2 (如图),设 a = 2e1 b = ? 2e2 ;求作:2a

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