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《组合数学》教案 1章(排列组合基础)


《组合数学》

第一章 组合数学基础

第 1 章 组合数学基础
1. 排列组合的基本计数问题 2. 多项式系数的计算及其组合意义 3. 排列组合算法

1.1 绪 论
(一) 背景
起源:数学游戏 幻方问题:给定自然数 1, 2, …, n2,将其排列成 n 阶方阵,要求每 行、每列和每条

对角线上 n 个数字之和都相等。这样的 n 阶 方阵称为 n 阶幻方。每一行(或列、或对角线)之和称为幻 方的和(简称幻和) 。 例:3 阶幻方,幻和=(1+2+3+?+9)/3=15。 关心的问题 (1)存在性问题:即 n 阶幻方是否存在? (2)计数问题:如果存在,对某个确定的 n,这样的幻方有 多少种? (3)构造问题:即枚举问题,亦即如何构造 n 阶幻方。

8 1 6 3 5 7 4 9 2 奇数阶幻方的生成方法:

2 7 6 9 5 1 4 3 8

一坐上行正中央,依次斜填切莫忘, 上边出格往下填,右边出格往左填, 右上有数往下填,右上出格往下填。
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第一章 组合数学基础

例:将 2,4,6,8,10,12,14,16,18 填入下列幻方:

【例 1.1.1】 (拉丁方)36 名军官问题:有 1,2,3,4,5,6 共 六个团队,从每个团队中分别选出具有 A、B、C、D、E、F 六种 军衔的军官各一名,共 36 名军官。问能否把这些军官排成 6×6 的方阵,使每行及每列的 6 名军官均来自不同的团队且具有不同 军衔? 本问题的答案是否定的。 A1 B2 C3 D4 E5 F6 B2 C3 D4 E5 F6 A1 C3 D4 E5 F6 A1 B2 D4 E5 F6 A1 B2 C3 E5 F6 A1 B2 C3 D4 F6 A1 B2 C3 D4 E5 A1 B3 C5 D2 E4 F6 B2 C4 D6 E3 F5 C3 D5 E1 F4 A6 D4 E6 F2 A5 B1 E5 F1 A3 B6 C2 F6 A2 B4 C1 D3

【例 1.1.2】 (计数——图形染色)用 3 种颜色红(r) 、黄(y) 、 蓝(b)涂染平面正方形的四个顶点,若某种染色方案在正方形旋 转某个角度后,与另一个方案重合,则认为这两个方案是相同的。 求本质上不同的染色方案。 举例: r y y b

b b (a)

r b (b)

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第一章 组合数学基础

形式总数: 34 =81 种。 实际总数(见第 6 章) :L=

1 4 3 ? 3 2 ? 2 ? 3 =24 4

?

?

【例 1.1.3】 (存在性)不同身高的 26 个人随意排成一行,那 么,总能从中挑出 6 个人,让其出列后,他们的身高必然是由低 到高或由高到低排列的(见第 5 章) 。 注意:不改变原来的相对顺序。

(二)
算法分类:

研究内容

? 第一类: 数值算法。 主要解决数值计算问题, 如方程求根、 解方程组、求积分等,其数学基础是《高等数学》与《线 性代数》 (解决建模问题, 《数值分析》或称《计算方法》 解决离散化问题,即在计算机上的求解方法问题) 。 ? 第二类:组合算法。解决搜索、排序、组合优化等问题, 其数学基础为《组合数学》 。 按所研究问题的类型,研究内容: ? 组合计数理论 ? 组合设计 ? 组合矩阵论 ? 组合优化 本课程重点:以组合计数理论为主,部分涉及其它内容。

(三)
分类:

研究方法

第一类: 从组合学基本概念、 基本原理出发解题的所谓常规 方法(利用容斥原理、二项式定理、Pólya 定理解计数问题;解 递推关系的特征根方法、 母函数方法; 解存在性问题的抽屉原理 等) 。 第二类: 通常与问题所涉及的组合学概念无关, 而对多种问
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第一章 组合数学基础

题均可使用。例如: (1) 数学归纳法:前提是已知问题的结果。 (2) 迭代法 【例】已知数列 ?hn ?满足关系 ? 表达式。 (解)直接迭代即得:

?hn ? 2hn?1 ? 1 , ,求 hn 的解析 h ? 1 ? 1

hn ? 2hn?1 ? 1
= 2?2hn ? 2 ? 1?+1= 2 2 hn ? 2 ? 2 ? 1 = 2 2 ?2hn ? 3 ? 1? ? 2 ? 1 = 2 3 hn ? 3 ? 2 2 ? 2 ? 1

?
= 2 n ? 1 h1 ? 2 n ? 2 ? 2 n ? 3 ? ? ? 2 2 ? 2 ? 1 = 2n ? 1 (3) 一一对应技术 原理: 建立两类事物之间的一一对应关系, 把一个较复杂的 组合计数问题 A 转化成另一个容易计数的问题 B, 从而利用对 B 的计数运算达到对 A 的各种不同方案的计数。 思路:将未解决问题的模式转化为一种已经解决的问题模 式。 (4) 殊途同归方法 原理:从不同角度讨论计数问题,以建立组合等式。 应用:组合恒等式的证明(也称组合意义法) 。 (5) 数论方法 特别是利用整数的奇偶性、 整除性等数论性质进行分析推理
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第一章 组合数学基础

的方法。 组合数学用的较多的是方法(3)与(4) 。 【例 1.1.4】有 100 名选手参加羽毛球比赛,如果采用单循环 淘汰制,问要产生冠军共需要进行多少场比赛? (解)常规思路:50+25+12+6+3+2+1=99 场 10000 名选手:5000+2500+1250+625+312+?+1 采用一一对应方法: 每场比赛产生一个失败者, 且每个失败 者只能失败一次。反之,要淘汰一个选手,必须恰好经过一场比 赛。 结论:失败者 ? 比赛场次。 应该比赛 99 场。 一般情况:单循环淘汰制,n 个选手,比赛 n-1 场。 【例 1.1.5】设某地的街道将城市分割成矩形方格,某人在其 住处 A(0,0)的向东 7 个街道、向北 5 个街道的大厦 B(7,5)处 工作(见图 1.1.3) ,按照最短路径(即只能向东或向北走) ,他 每次上班必须经过某 12 个街段,问共有多少种不同的上班路 线? (解) (1)将街道抽象为等长的。 B(7, 5)

A(0, 0) 图1.1.1 最短路径 (2)对应为(元素可重复的)排列问题:
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第一章 组合数学基础

路径(蓝色)→ 排列xyyxxyyxxxxy 排列yxxyyyyxxxxx → 路径(红色) 结论:最短路径 ? 7 个 x 和 5 个 y 的排列 (3)求解:再对应为(元素不重复的)排列问题 N=

12! 5 5 = C7 ? 5 = C12 =792 5!?7!

(4)一般情形:从(0,0)点到达(m,n)点的不同的最 短路径数为 N= Cm ? n = Cm? n
m n

1.2 两个基 本法则
1. 2. 1 加 法 法 则

(一)

加法法则

? 常规描述: 如果完成一件事情有两个方案, 而第一个方案 有 m 种方法,第二个方案有 n 种方法可以实现。只要选 择任何方案中的某一种方法, 就可以完成这件事情, 并且 这些方法两两互不相同。 则完成这件事情共有 m+n 种方 法。 ? 集合描述:设有限集合 A 有 m 个元素,B 有 n 个元素, 且 A 与 B 不相交,则 A 与 B 的并共有 m+n 个元素。 ? 概率角度描述:设事件 A 有 m 种产生方式,事件 B 有 n 种产生方式,则事件“A 或 B”有 m+n 种产生方式。当 然 A 与 B 各自所含的基本事件是互相不同的。

(二)

应用

【例 1.2.1】某班又男生 18 人,女生 12 人,从中选出一名代 表参加会议,问共有多少种选法? (解) (1)两个选择方案:选男生(18 种选法)或女生(12
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第一章 组合数学基础

种选法) 。由加法法则,全班共有 18+12=30 选法。 (2)设集合:A——男生,B——女生。该班中的学生要么 属于 A,要么属于 B,且 AB= ? ,故 A ? B =18+12=30。 (3) 事件 A——选男生 (18 种可能) , 事件 B——选女生 (12 种可能) 。事件“A 或 B” ——选男生或女生,由加法法则,有 18+12=30 种可能。 【例 1.2.2】用一个小写英文字母或一个阿拉伯数字给一批机 器编号,问总共可能编出多少种号码? (解)26+10=36 个。 其中英文字母共有 26 个,数字 0~9 共 10 个。

1. 2. 2 乘 法 法 则

(一)

乘法法则

? 常规描述: 如果完成一件事情需要两个步骤, 而第一步有 m 种方法、第二步有 n 种方法去实现。则完成该件事情 共有 m· n 种方法。 ? 集合描述:设有限集合 A 有 m 个元素,B 有 n 个元素, 且 A 与 B 不相交, a ? A, b ? B ,记 ?a , b ? 为一有序对。 所有有序对构成的集合称为 A 和 B 的积集(或笛卡儿乘 积) ,记作 A ? B 。那么, A ? B 共有 m ? n 个元素。
A? B =

??a , b ? a ? A,

b ? B?

? 概率角度描述: 设离散型随机变量 X 有 m 个取值, Y有n 个取值,则离散型随机向量(X,Y)有 m ? n 种可能的取 值。

(二)

应用

【例 1.2.3】仍设某班有男生 18 人,女生 12 人,现要求从中 分别选出男女生各一名代表全班参加比赛, 问共有多少种选法? (解) (1)分两步挑选,先选女生(12 种选法) ,再选男生
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(18 种选法) 。由乘法法则,全班共有 12×18=216 种选法。 (2)设集合:A——男生,B——女生。由乘法法则,A×B =18×12=216。 (3)变量 X——男生(18 种取值) ,变量 Y——女生(12 种 取值) 。由乘法法则,随机向量(X,Y) ,有 18×12=216 种可 能的值。

【例 1.2.4】给程序模块命名,需要用 3 个字符,其中首字符 要求用字母 A~G 或 U~Z,后两个要求用数字 1~9,问最多可 以给多少种程序命名? (解)首字符选法:7+6=13 种(加法法则) 。 总数: 13×9×9=1053 种(数字可重复使用) (乘法法则) 。

【例 1.2.5】从 A 地到 B 地有 n1 条不同的道路,从 A 地到 C 地有 n2 条不同的道路,从 B 地到 D 地有 m1 条不同的道路,从 C 地到 D 地有 m2 条不同的道路,那么,从 A 地经 B 或 C 到达 目的地 D 共有多少种不同的走法? (解)路线 A ? B ? D: n1 × m1 种走法(乘法法则) 路线 A ? C ? D: n2 × m2 种走法(乘法法则) 总数: n1 m1 + n2 m2 种走法(加法法则)

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第一章 组合数学基础

2×3+3×4=18

1.3 排列与 组合
1. 3. 1 相 异 元 素 不 允 许 重 复 的 排 列 数 和 组 合 数

(一)

计算公式
r Pn ? P?n, r ? ? n?n ? 1???n ? r ? 1? ?

从 n 个相异元素中不重复地取 r 个元素的排列数和组合数: (1)排列:

n! ?n ? r ?!

推导:反复利用加法法则与乘法法则 (2)组合:

? n ? Pnr n! C ? C ?n, r ? ? ? ?r? ? ? r! ? ?n ? r ?! r! ? ?
r n

推导:利用组合与排列的异同 (3)例:n=5,r=3,即元素为 1,2,3,4,5 排列:134,143,314,341,413,431;254,425,?? 组合:134,245,?? (4)特点:排列考虑顺序,组合不然。

(二)

数学模型
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第一章 组合数学基础

(1)排列问题:将 r 个有区别的球放入 n 个不同的盒子,每 盒不超过一个,则总的放法数为 P(n,r)。 (2)组合问题:将 r 个无区别的球放入 n 个不同的盒子,每 盒不超过一个,则总的放法数为 C(n,r)。 对应关系 元素和位置编号 排列 1 排列 2 排列 3 排列 4 排列 5 组合 1 组合 2 1 A C A 元素 ? 盒子 2 3 4 B C B A C B A C B A ● ● ● ● 5 位置 ? 球 AB C 134 431 143 254 425 134 245

B C ●



1. 3. 2 相 异 元 素 允 许 重 复 的 排 列

(一)

问题

从 n 个不同元素中允许重复地选 r 个元素的排列, 简称 r 元 重复排列,排列数记为 RP(∞,r)。

(二)

模型

将 r 个不相同的球放入 n 个有区别的盒子, 每个盒子中的球 数不加限制而且同盒的球不分次序。 对应关系 元素和位置编号 排列 1 排列 2 排列 3 排列 4 排列 5 元素 ? 盒子 1 2 3 4 AB C CB A AC B AB C B A 5 位置 ? 球 AB C 114 433 343 222 425

C

(三)

计算公式
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第一章 组合数学基础

RP(∞,r)= n r

(四)

集合描述方式 设无穷集合 S ? ? ? ? e1 , ? ? e2 ,?, ? ? en ?,从 S 中取 r 个元

素的排列数即为 RP(∞,r)。 不 重 复 排 列 : S = ? e1 , e2 , ?, en ?。

? 1 ? e1 ,

1 ? e2 , ?, 1 ? en

?



1. 3. 3 不 尽 相 异 元 素 的 全 排 列

(一)

问题

有 限 重 复 排 列 ( 或 部 分 排 列 ): 设 ,从 S S ? ? n1 ? e1 , n2 ? e2 , ?, nt ? et ?( n1 ? n2 ? ? ? nt ? n ) 中任取 r 个元素,求其排列数 RP(n,r)。

(二)

模型

将 r 个有区别的球放入 t 个不同的盒子,每个盒子的容量有 限的,其中第 i 个盒子最多只能放入 ni 个球,求分配方案数。 例: S={2·1,4·2,1·3,3·4,2·5} ={1,1,2,2,2,2,3,4,4,4,5,5} 对应关系 元素和位置编号 排列 1 排列 2 排列 3 排列 4 排列 5 AB C B A C 1 AB BC AC 元素 ? 盒子 2 3 4 C A B 5 位置 ? 球 AB C 114 433 343 222 425

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第一章 组合数学基础

说明: (1)极端情形:相异元素不重复的排列强调的是不重复,即 盒子的容量为 1; (2) 极端情形: 相异元素允许重复的排列强调的是无限重复, 即盒子的容量无限; (3)一般情形:不尽相异元素的排列强调的是有限重复,即 盒子的容量有限,介于两者之间。

(三)
(1) (2)

特例

r =1:RP(n, 1)=t r =n(全排列)
RP ?n, n ? ? n! n1 ! n2 !?nt !

即 n 个不同元素的全排列(n!种) ,但每个排列实际重复统计了 n1 !n2 !?nt ! 次。 例

a1a2 a3b1b2 c1c2 与 a1a2 a3b2b1c1c2 a1b1a2b2c1a3 c2 与 a2 b1a1b2c1a3c2

(3) (4) (5)

t=2, RP ?n, n? ?

?n? n! ? ?? ? n n1 ! n2 ! ? ? 1?

ni =1,即不重复的排列

ni ? ? ,即重复排列

1. 3. 4 相 异 元 素 不 允 许 重 复 的 圆 排 列

(一)

圆排列

【例 1.3.1】把 n 个有标号的珠子排成一个圆圈,共有多少种
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第一章 组合数学基础

不同的排法? (解)称为圆排列(相对于线排列) 。 条件:元素同时按同一方向旋转,绝对位置变化,相对位置 未变,即元素间的相邻关系未变,视为同一圆排列。 结论:1 个圆排列对应 n 个线排列。 CP(n,n)=

P ?n , n ? =(n-1)! n

32541 25413 54132 41325 13254 【例 1.3.2】从 n 个相异元素中不重复地取 r 个围成圆排列, 求不同的排列总数 CP(n,r)。 (解)

n! Pnr CP(n,r)= = r ?n ? r ? ! r

(二)

项链排列

【例 1.3.3】将 5 个标有不同序号的珠子穿成一环,共有多少 种不同的穿法? (解)称为项链排列。 条件:可以翻转的圆排列。即同一项链不用剪断重穿,翻过 来仍是原项链。 结论:两个圆排列对应一个项链排列,故有 24/2=12 种。

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第一章 组合数学基础

(a) 图 1.3.1 项链排列

(b)

一般情形,从 n 个相异珠子中取 r 个的项链排列数:

Pnr n! = 2r 2r ?n ? r ?!
允许重复的圆排列:情况复杂,参见反演公式(第四章) 。

1. 3. 5 相 异 元 素 允 许 重 复 的 组 合

(一)

问题

设 S ? ? ? ? e1 , ? ? e2 , ?, ? ? en ?,从 S 中允许重复地取 r 个 元素构成组合,称为 r 可重组合,其组合数记为 RC(∞,r)。

(二)

抽象

记 S 为 S ? ? ? ? 1, ? ? 2, ?, ? ? n ?。 例:n=5,r=4: 1111,1122,1345,5555

(三)
令 则 反之

计算公式
bi ? ai ? ?i ? 1?, i=1,2,?,r
1≤b1<b 2<?<br≤n+(r-1)

设所选 r 个元素为:1≤a1≤a2≤?≤ar≤n

ai ? bi ? ?i ? 1?
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第一章 组合数学基础

结论: 与从 n+r-1 个相异元素中不重复地取 r 个元素的组 合方案一一对应。 ∴ 例:

RC?? , r ? ? C?n ? r ? 1, r ? ?

?n ? r ? 1?! r ! ?n ? 1?!

n=5,r=4 分类 元素 重复组合 1,2,3,4,5 1111 1122 2245 5555 不重复组合 1,2,3, ,5,6,7,8 1234 1245 2368 5678

(四)

模型

将 r 个无区别的球放入 n 个不同的盒子, 每个盒子的球数不 受限制。

(五)

应用

【例 1.3.4】不同的 5 个字母通过通信线路被传送,每两个相 邻字母之间至少插入 3 个空格,但要求空格的总数必须等于 15, 问共有多少种不同的传送方式? (解)三步求解: (1)先排列 5 个字母,排列数 P(5,5)=5!。 (2) 两个字母间各插入 3 个空格, 将 12 个空格均匀地放入 4 个间隔内,有 1 种方案。

c △△△ b △△△ d △△△ e △△△ a
(3)将余下的 3 个空格插入 4 个间隔: 分析:将 3 个相同的球放入 4 个不同的盒子,盒子的容量不限。
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第一章 组合数学基础

方案 1: c △△△▲▲ b △△△ d △△△▲ e △△△ a 方案 2: c △△△b △△△ d △△△e △△△▲▲▲ a 归纳:从 4 个相异元素中 可重复地取 3 个元素的组合数 RC ??,3? ? C ?4 ? 3 ? 1,3? ? 20 。 (4)总方案数: L=5! ·1·20=2400 1. 3. 6 不 尽 相 异 元 素 任 取 r 个 的 组 合 问 题 合 S ? ? n1 ? e1 , n2 ? e2 , ?, nt ? et ? ( n1 ? n2 ? ? ? nt ? n ) ,从 S 中任取 r 个,求其组合数 RC(n, r)。 设 集

(一)

问题

(二)
t ni

组合数
=? 1 ? x ? x ? ? ? x
2 i ?1 t

中间工具:组合问题的母函数:

?? x
i ?1 j ? 0

j

?

ni

?= ? a x
n r ?0 r

r

答案:RC(n,r)= ar

(三)

应用

【例 1.3.5】整数 360 有几个正约数? (解) (1)标准素因数分解:360=23×32×5 (2)正约数及其条件 1=20×30×50,2=2×30×50,3=20×3×50, 5=20×30×5,22=22×30×50,6=2×3×50=3×2, ? 90=2×32×5,180=22×32×5,360=23×32×5 结论: 正整数 d 是 360 的正约数 ? d= 2a 3b 5c 且 0≤a≤3, 0≤b≤2,0≤c≤1。
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第一章 组合数学基础

(3)问题转化:求集合 S ? ? 3 ? 2,2 ? 3,1 ?5?的所有组 合数之和。 (4)求解:构造多项式 P6 (x)=(1+x+x2+x3)(1+x+x2)(1+x) =1+3x+5x2+6x3+5x4+3x5+x6 系数求和: L= ? RC ?6, i ? =1+3+5+6+5+3+1=24
i ?0 6

故 14 不是约数,16= 24 也不是约数。

方法化简:求 P6(1)=

? RC ?6, i ? =4×3×2=24
i ?0

6

(5)一般规律:设正整数 n 分解为 n= p1 1 p2 2 ? pk k ,则 L= ?? 1?1???? 2?1??? k ?1? 习题:18,21

?

?

?

1.4 组合等 式及其组合 意义
组合等式的证明方法: (一) 归纳法 (二) 组合意义法:借助于阐明等号两端的不同表达式实质 上是同一个组合问题的方案数(殊途同归法) ,或者虽 是两个不同组合问题的方案数,但二者的组合方案之 间存在着一一对应关系,因此等式两端必须相等,从 而达到证明等式成立的目的。对于恒等式的实质揭露 得更为深刻。 (三) 母函数法:利用无穷级数(包括有限时的多项式)证 明有关组合等式。是产生和证明组合恒等式的普遍方 法。 【等式 1】对称关系式
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第一章 组合数学基础
n? r Cr n ? Cn

组合意义 从 n 个元素 ?a1 , a2 ,?, an ?中取走 r 个, 必然余下 n -r 个,故从 n 取 r 的组合与从 n 取 n-r 的组合一一对应。 【等式 2】加法公式
r r ?1 Cr n ? C n?1 ? C n?1

(一) 组合意义: 从 n 个元素 a1 , a2 ,?, an 中取 r 个组合, 以某个元素 a1 为准,全体组合分类: (1) 取出的元素中含有 a1:视为从剩下的 n-1 个元素中 任取 r-1 个元素,然后再加上 a1 而构成的组合,其组合数为 ?1 Cr n ?1 。 (2) 不含元素 a1,视为从其余 n-1 个元素中任取 r 个元 素的组合,其数目为 C r n ?1 。
r ?1 总数: C r n ?1 ? C n ?1

?

?

注意:①无第三种情形;②两类情况互不重复;③用加法法 则。 (二)例:从{1,2,3,4,5}中取 3 个的组合情况为: 第一类(包含元素“1” ) : 123,124,125,134,135,145

第二类(不包含元素“1” ) : 234,235,245,345 (三)路径问题:等价形式
m m ?1 Cm m ? n ? C m ? n?1 ? C m ? n?1

组合意义:从(0,0)点到(m,n)点的路径数等于从(0,0) 点分别到(m,n-1)点和(m-1,n)点的路径数之和。 B(m, n)

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A(0, 0)

【等式 3】乘法公式
r r k ?r Ck n C k ? C n C n? r

等式变形: 组合意义

?k k ?r r r n? k k ? r Cn n C k C r ? C n C n? r C k ? r

(1) 左端: “将 n 个元素分为 3 堆:第一堆 n-k 个,第二 堆 k-r 个,则第三堆为 r 个” ,求组合方案数。 (2) 右端: “将 n 个元素分为 3 堆:第三堆 r 个,第二堆 n -k 个,第一堆 k-r 个” ,求组合方案数。 (3) 两个组合问题等价,故其方案数亦相等。
7 7 8 举例:n=20=5+7+8=7+8+5, C5 20C15 ? C20C13

推广:n 个元素分为 t 堆,且可以若干堆个数相等 n=20=4+2+5+9=2+9+4+5 【等式 4】C(n+r+1,r)= ? C ?n ? i , i ?
i ?0 r

= C(n+r,r)+C(n+r-1,r-1)+C(n+r-2,r-2) +C(n+r-3,r-3)+?+C(n,0) (1.4.6) 或 C(n+r+1,r)=

? C ?n ? i , n?
i ?0

r

= C(n+r,n)+C(n+r-1,n)+C(n+r-2,n) +?+C(n,n) (一)组合意义:
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第一章 组合数学基础

(二)说明:等式 4 是等式 2 的推广。
r r ?1 Cr n? r ?1 = C n ? r ? C n ? r r r ?1 r ?2 = C n ? r ? C n ? r ?1 ? C n ? r ? 1

?

r r ?1 r ?2 r ?3 = C n ? r ? C n ? r ?1 ? C n ? r ? 2 ? C n ? r ? 2

?

? ?

?
?

=??
r r ?1 r ?2 1 0 = C n ? r ? C n ? r ?1 ? C n ? r ? 2 ? ? ? C n ? 1 ? C n ? 1

r r ?1 r ?2 1 0 = C n ? r ? C n ? r ?1 ? C n ? r ? 2 ? ? ? C n ? 1 ? C n

(三)相应的路径问题: (r, n+1) ? ? ? ? ? (0, 0)

【等式 5】Vandermonde(范德蒙)恒等式
r ? m ? n? ? n ?? m ? ? ? = ? r ? ?? ?i? ?? ?r ? i? ? ? ? i ? 0 ? ?? ? ? n ?? m ? ? n ?? m ? ? n ?? m ? ? ? ? ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? 0 ?? r ? ? 1 ?? r ? 1? ?r? ?? ?0? ? , r≤min(m,n) ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?

组合意义 n 个相异的红球, m 个相异的蓝球, 选 r 个的组合。
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《组合数学》

第一章 组合数学基础

?i 分类统计: i 个红球, r-i 个蓝球的选法为 CinCr m (i=0, 1, ?, r) 。

特例:m=r

? n ?? r ? ? n ? r ? ? n ?? r ? ? n ?? r ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ?r? ?? ? 0? ? , r≤n ? r ? ? 0 ?? r ? ? 1 ?? r ? 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? n ?? r ? ? n ?? r ? ? n ?? r ? ? ? ? ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? 0 ?? 0 ? ? 1 ?? 1 ? ?r? ?? ?r? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? r ? n ?? r ? =?? ?i? ?? ?i? ? i ? 0 ? ?? ?
【等式 6】和式公式: 组合意义 n 个相异元素选 i 个的组合 ? 两类元素可重复地选 n 个的排列 组合 φ
e 1 e3 e6 e 1 e2 e3 e4 e5 e6 e1

? C ?n, i ? ? 2 n
i ?0

n

e2

e3

e4

e5

e6

不 取 取

不 不 取

不 取 取

不 不 取

不 不 取

不 取 取

排列 000000 101001 111111

【等式 7】 ? ? 0? ??? ? 1? ??? ? 2? ? ? ? ? ?? 1? ? ? n? ??0

? n? ? n? ? n? ? ? ? ? ? ?

n ? n?

? ?

组合意义:等式变形
0 2 1 3 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ??

奇组合数=偶组合数。 构造一一对应关系:选某一元素 a,设 r 为奇数(r≥1) ,在 r 组合中去掉 a 或加上 a, 可得其 r-1 或 r+1 (均为偶数) 组合。 反之亦然。
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第一章 组合数学基础

例:n=4 r 为奇数的 组合 r 为偶数的 组合 a φ abc bc abd bd acd cd b ab c ac d ad bcd abcd

【 等 式 (1.4.12)

8 】

?C ?

1 2 n

2 ? 2 Cn

? ?

2

n ? ? ? n Cn

? ?

2

n?1 ? nC 2 n?1

组合意义:从 n 名先生、n 名太太中选出 n 人,这 n 人中有 一人担任主席,并且必须为太太,求选法数。 选法 1:先选一名太太任主席,再选 n-1 人,选法总数为 1 n?1 n?1 Cn C2n?1 ? nC2 n?1 。 选法 2: 先从 n 名太太中选 k 人, 并从 k 人中选一人任主席, 再从 n 名先生中选 n-k 人(1≤k≤n) ,方法数
1 n? k Ck ? k ?Ck n Ck Cn n? 2

选法总数=

? k C nk
k ?1

n

? ?

2

【等式 9】设 r,M 都是自然数,M≥r 则有
r M ?r r M ? r M ? r ?1 r ? ? ? ? ? M M M ?1 M M ?1 M ? 2 M ? r M ? r ?1 1 r ? ?? ? ? ? ?1 M M ?1 r ?1 r

组合意义(概率问题) :设袋中有 M 个大小相同的球,其中 白球 r 个,其余为黑球。每次摸出一个球,不放回,直至摸到白 球为止。 是必然事件(迟早会摸到白球) ,概率为 1。 另法:第一次摸到白球概率

r 。第二次摸到白球 M

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《组合数学》

第一章 组合数学基础

M ?r r ? ,??,第 k 次才摸到白球(k=2, 3, ?, M-r+1) M M ?1 M ? r M ? r ? 1 M ? r ? ?k ? 2? r ? ? ? M M ?1 M ? ?k ? 2? M ? ?k ? 1?
【等式 10】当 n≥m 时,
n? m k ?0 m n? m m ? Cn ? C nm?k C m ?k ? 2

组合意义:从 n 人中选出 m 名正式代表及若干名列席代表 的选法(列席代表人数不限) 。 统计方法一:先选正式代表,再从 n ? m 人中选列席代表,
m n?m 总的选法为 Cn 2 。

统计方法二:先选 m+k 人(k=0, 1, ?, n-m) ,再从中 ?k m C m ? k 种选 选出 m 名正式代表,其余的 k 人为列席代表,有 C m n 法。
n? m

总数=

k ?0

m ? C nm ? k C m ?k

1.5 多项式 系数
(一)
(1)

Newton 二 项 式
二项展开式

n 是正整数,Newton 二项式定理

?a ? b?

n

? n ? r n? r ? ?? ? ? ?a b r ?0 ? r ?
n

(1.5.1)

右端称为二项式(a+b)n 的展开式,组合数 ? ? ? ? =C(n,r)叫做二 项式系数。
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? n? ?r?

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第一章 组合数学基础

(2)

组合意义

分配问题: 将 n 个相异的球放入两个盒子, a 盒放入 n1 ? r 个, b 盒放入 n2 ? n ? r 个,同盒的球不分次序,方案数为

n! n! = n1 !?n2 ! r !??n ? r ?!
即 a r b n?r 项的系数为组合数 ? ? ? ?。 例
? n? ?r?

?a ? b ?2 =(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb= a 2 ? 2ab ? b 2

?a ? b ?3 =(a+b)(a+b)(a+b)=(aa+ab+ba+bb)(a+b)
=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb = a 3 ? 3a 2 b ? 3ab2 ? b 3 产生系数的根源:同一单项式中有顺序,即排列问题(球不同的 分配问题) 。 排列问题:从两种元素中选 n 个的排列(a 选 r 个,b 选 n -r 个)

(二)

一般分配问题

问题:将 n 个相异的球放入 t 个盒子,要求第 1 个盒子放入 n1 个,第 2 个盒子放入 n2 个,??,第 t 个盒子放入 nt 个,且 盒中的球无次序,求不同的分配方案数。 问题转化:第 i 个盒中的 ni 个球是无序的,视为 ni 个相同的 元素。 问题: 求重集 S ? ?n1 ? e1 , n2 ? e2 ,?, nt ? et ? (n1+n2+?+nt=n) 的全排列数 RP(n,n):

RP ?n, n ? ?

n! n1 ! n2 !? nt !

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第一章 组合数学基础

仿照二项式系数 ? ? ? ? ,记为 ? ?

? n? ?r?

?

n ? ? ?。 n n ? n ? 1 2 t ?

(三)

多项式系数 n ? ? 一般多项式系数与 ? ? n n ?n ? ? 的关系: ? 1 2 t ?
(x+y+z)3=x3+y3+z3+3x2y+3xy2+3x2z+?+6xyz



3! 3! 3! 3! x3+ y3+ z3+ x2y 0!?3!?0! 0!?0!?3! 2!?1!?0! 3!?0!?0! 3! 3! 3! xy2+ x2z+?+ xyz 1!?2!?0! 2!?0!?1! 1!?1!?1!

+ =? ?

3 ? 3 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? x + y + ? ? ? 0 0 3? ? z ? ? 0 3 0? ? ? ? 3 0 0? ? ?
?

3 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ? x y + xy + ? ?1 2 0? ? 2 0 1? ?x z 2 1 0 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? +?+ ? ? 1 1 1? ? xyz ? ?
+? ? 【定理 1.5.1】设 n 与 t 均为正整数,则有

?

? x1 ? x 2 ? ? ? x t ?n = ?
?
i ?1 t i

n ? ? n1 n2 nt ? ? n n ?n ? ? x1 x 2 ? x t t ? ? 1 2 n ?n

? ni ? 0 ?

其中求和是在使 ? ni ?n 的所有非负整数数列(n1, n2, ?, nt)
i ?1

t

上进行。 (证) ? x1 ? x2 ? ? ? xt ?
n

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第一章 组合数学基础

= ? x1 ? x 2 ? ? ? x t ?? x1 ? x 2 ? ? ? x t ??? x1 ? x 2 ? ? ? x t ?

??????????? ? ???????????? ?
共n个 因 子 连 乘

(1)所有项都具形式

x x ? x ,且 ? ni ? n
n1 1 n2 2 nt t

n

i ?1

(2)一般项的系数:在 n 个因式中先选出 n1 个因式且这 n1 个因 式中都取 x1 ,然后再在其余的 n- n1 个因式中选出 n2 个因式且 这 n2 个 因 式 中 都 取 x2 , ? , 最 后 在 剩 下 的
n n x2 ? x tn 项, n ? n1 ? n2 ? ?? nt ?1 ? nt 个因式中都取 xt 。得 x1 其系数为
1 2 t

C ?n, n1 ? ? C ?n ? n1 , n2 ??C ?nt , nt ?
= = 称? ?

?n ? n1 ?! nt ! n! ? ? n1 !??n ? n1 ?! n2 !??n ? n1 ? n2 ?! nt !?0!
n ? ? n! ? =? ? n1 ! n2 !? nt ! ? n n ? n t? ? 1 2

?

? ? ? 为多项式系数。 n n ? n ? 1 2 t? n
(四) 多项式展开的项数
n

【定理 1.5.2】 ? x1 ? x 2 ? ? ? x t ? 展开式的项数等于 C tn? n ? 1 , 而这些项的系数之和为 t n .
n n n ( 证 ) 展 开 式 的 项 x1 1 x 2 2 ? x t t x1 , x2 , ?, xt 中取 n 个的 n 可重组合。

? 从 t 个元素

在定理 1.5.1 中令 x1 ? x2 ? ? ? xt =1 得

? ni ? 0 ?
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?
i ?1

t

?
i

n ? ? ? ? n n ?n ? ? =(1+1+?+1)n= t n t ? ? 1 2 n ?n

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第一章 组合数学基础

(五)



【例 1.5.1】求(a+b+c+d)3 的展开式。 (解)n=3,t=4,有 RC(∞,3)=C(4+3-1,3) =20(项) (a+b+c+d)3 =? ?

3 3 ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? + + a b ? ? 0 3 0 0? ? 0 0 3 0? ?c 3 0 0 0 ? ? ? ? ? ? 3 3 ? ? 3 ? ? 2 ? ? +? + d ? 0 0 3 0? ? 2 1 0 0? ?a b +? ? ? ? ? 3 3 3 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? +? + + cd abc ? 0 0 1 2? ?1 1 1 0? ? 1 1 0 1? ?abd ? ? ? ? ? ? 3
+? ?

?

?

? 3 ? ? ? acd ? + ? ? 0 1 1 1? ?bcd ? ? ? 1 0 1 1? 3

= a 3 + b 3 + c 3 + d 3 +3 a 2 b +3 a 2 c +3 a 2 d +?+3 cd 2 +6abc+ 6abd+6acd+6bcd
2 3 【例 1.5.2】?a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 的展开式中, 项 a1 a 3 a4 a5 的 系数
7

7 ? ? 7! ? ? 2 0 1 3 1? ? ? 2!?0!?1!?3!?1! =420 ? ?
3 2 【例 1.5.3】在 ?2 x1 ? 3 x2 ? 5 x3 ? 的展开式中,项 x1 的系 x2 x3 数是什么?
6

(解)令 a1 ? 2 x1 , a2 ? ?3 x2 , a3 ? 5 x3 。 展开 ?a1 ? a2 ? a3 ? :
6

6 ? ? 6 3 2 a1 a2a3 的系数= ? ? 3 1 2? ? = ?2 x1 ? 3 x2 ? 5 x3 ? 中 ? ?
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第一章 组合数学基础

?2 x1 ?3 ?? 3 x2 ??5 x3 ?2 的系数
3 2 的系数: x1 x2 x3

? ? ?3 ?

6 1

? 3 6! ? 2 ?? 3?5 2 = ? 8 ? ?? 3? ? 25 =-36000 ? 2? 3!?1!?2!

【例 1.5.4】求证

k ?0

? ?? 1?k C ?n, k ?x k ?1 ? x ?n ? k ? 1 , n≥1

n

(证) (证明组合等式)在二项式定理中取 a=-x,b=1+ x 1= 1n = ??? x ? ? ?1 ? x ??
n
n



k ?0

? C ?n, k ??? x ?k ?1 ? x ?n ? k
100

【例 1.5.5】今天是星期日,再过 10 (解) (求余数,同余运算)

天是星期几?

10100 = 10050 = ?14 ? 7 ? 2?
=2
50 50

50

? 50 ? r 50? r ? ?? ? r ? ??14 ? 7 ? 2 ? r ?1 ?
16

等价问题: 10100 除以 7 的余数= 250 除以 7 的余数

2 50 = 22? 3?16 = 4 ? 816 = 4?7 ? 1?

16 ? ? 16 ? r ? = 4 ?1 ? ? ? ? r ? ?7 ? ≡4(mod 7) ? ? r ?1 ? ?

答:再过 10100 天是星期四。

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第一章 组合数学基础
100

100 ? r 100 ? r 另法: 10100 = ?7 ? 3 ?100 = 3100 ? ? ? ? ? ? ?7 ? 3

33 3?? 1? =-3≡4(mod 7)

3100 = 3 ? 2733 = 3?28 ? ?? 1?? 33 ? 33 ? r 33 33 ? r ? = 3? ? ? ? 28 ? ? 1 ??? 1? ? ? ? ? ? ? r ?1 ? r ? ? ?
33

r ?1

? r ?

(六)

问题
8

c ? ? 请给出多项式 ? a ? 2b ? ? 3d ? 的展开式中 a 2 b 2 c 2 d 2 和 2 ? ? bc5d 2 两项的系数。
答:22680,-189/2

1.6 排列的 生成算法
1. 6. 1 序 数 法

(一)

数的位权表示
r ?1

(1)十进制数:小于 10 r 的正整数 n 的位权形式: n=

k ?0

? ak 10k ,

0≤ a k ≤9<10

例 315= 3 ? 102 ? 1? 101 ? 5 ? 100 (r=3) (2)推广(p 进制数) n=

k ?0

? ak p k ,

r ?1

0≤ a k <p

(3)特点:① 固定进制;② 逢 p 进一;③十进制 r 位数最 小为 0,最大为 999?9= 10r -1< 10r ;④将十进制换算为 p 进 制数方法:除 p 取余法。
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《组合数学》

第一章 组合数学基础

(二)

变进制表示
n! =(n-1)(n-1)!+(n-1)!

(1)依据:

递归:n!=(n-1)(n-1)!+ (n-2)(n-2)!+ (n-2)! = (n- 1)(n- 1)!+ (n - 2)(n- 2)!+ (n - 3)(n- 3)!+ (n- 3)! ?? =(n-1)(n-1)!+ (n-2)(n-2)!+ ?+2· 2! +1· 1! +1! n!=
n?1

? k ? k! +1
k ?1

n!-1=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+?+2·2!+1·1! 类似
n -1=9· 10n ?1 +9· 10n ? 2 +?+9·10 1+9· 100 10

结论:从 0 到 n!-1 的任何整数 m 都可唯一地表示为 m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+?+a22!+a11!= 其中 0≤ai≤ i ( i =1,2,?,n-1) 结论: m ? ?an?1 , an?2 , ?, a1 ?

? a k ?k !
k ?1

n?1

将十进制转换为变进制: 20=3*3!+1*2!+0*1!=(310)! 30=1*4!+1*3!+0*2!+0*1!=(1100) 100=4*4!+0*3!+2*2!+0*1!=(4020) 200=(13110) ,8005=(143201) (2)ai 的计算 m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+?+a22!+a11! 记 n1=m
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第一章 组合数学基础

n1 ? n2 = ? ? ? =an-1 ?2?

?n ? 1? !
2

+an-2

?n ? 2 ? !
2

+?+a3

3! +a2 2

m÷2!= n1 ? 2 ? n2 ????a1 同理,n3 = ?

?n ? 1?! + a ?n ? 2?! +?+a 4 ! + ? n2 ? = an?1 4 n? 2 ? 3! 3! 3! ?3?
a3

(m- a1 )÷3!= n2 ? 3 ? n3 ????a2 算法:

? n1 ? m ? ? ni ? ? ? ni ?1 ? ? ? , i ? 1,2,? , n ? 1 i ? 1 ? ? ? ? ?a i ? ni ? ?i ? 1?ni ?1 , i ? 1,2,? , n ? 1
其中 ? x ? 表示不大于 x 的最大整数。 (3)特点:① 变进制;② 从右向左,第 i 位逢 i +1 进一; ③n-1 位数最小为 0, 最大为: (n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+? +2·2!+1·1!=n!-1<n!;④ 将十进制换算为变进制数方法。

(三)
(1)规则

序数法

设 n 个元素为 1,2,?,n。 特点:n 元排列 ? n-1 位变进制数。 对应规则: 序列 ?an?1 , an?2 , ?, a1 ? ? 排列(p)= ? p1 p2 ? pn ?,其中 ai 为排 列 (p) 中数 i+1 所在位置后面比 i+1 小的数的个数, 即排列 (p) 中从数 i+1 开始向右统计不大于 i 的数的个数 (2)实例
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《组合数学》

第一章 组合数学基础

1)排列 ? 数:n=4 (p)=(3124) ? ?a3 a2 a1 ?=(020) 2)数 ? 排列

?a3 a2 a1 ?=(111) ? (p)=(2341)
3)数 7 3 5 2 3 3 2 2 0

?

排列 3 5 A 8 6 4 9 7 1 2

数 987654321 ? 排列 A 9 8 7 6 5 4 3 2 1 4)排列 3, 5, 7, 9, A, 8, 6, 4, 2, 1 (3)4 元排列的生成 m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 a3 a2 a1 000 001 010 011 020 021 100 101 110 111 120 121 p1 p2 p3 p4 1234 2134 1324 2314 3124 3214 1243 2143 1342 2341 3142 3241 m 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 a3 a2 a1 200 201 210 211 220 221 300 301 310 311 320 321 p1 p2 p3 p4 1423 2413 1432 2431 3412 3421 4123 4213 4132 4231 4312 4321
? 数 554433221

1. 6. 2 字 典 序 法

(一)

算法

将所有 n 元排列按照“字典顺序”排成队。 初始排列:12?n 利用当前排列(p)= ? p1 p2 ? pn ?求下一个排列: (1) 求满足关系式 pk ?1 ? pk 的 k 的最大值,设为 i,即
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第一章 组合数学基础

i ? max ?k pk ?1 ? pk ?
(2) 求满足关系式 pi ?1 ? pk 的 k 的最大值,设为 j,即

j ? max ?k pi ?1 ? pk ?
(3) pi ?1 与 p j 互换位置得 (q)= ?q1q2 ?qn ? (4) ( q)= ?q1q2 ?qi ?1qi qi ?1 ?qn ? 中 qi qi ?1 ?qn 部分的顺 序逆转,得新排列

q1q2 ?qi ?1qn ?qi ?1qi

(二)

例 (1)设 p1 p2 p3 p4 =3421:i=2,j=2,p1 与 p2 交换得 q1 q2 q3
n=4 的全部排列:

q4 =4321,321 逆转得下一排列 4123 。 1234 → 1243 → 1324 → 1342 → 1423 → 1432 → 2134 → 2143 →2314 → 2341 → 2413 → 2431 → 3124 → 3142 → 3214 → 3241 →3412 → 3421 → 4123 → 4132 → 4213 → 4231 → 4312 → 4321 说明:第(4)步的必要性 (2)85376421 ? i=4,j=6 ? q1 q2 q3?q8 =85476321 ? 85412367 85412367 ? i=8,j=8 ? q1 q2 q3?q8 =85412376 85412376 ? i=7,j=8 ? q1 q2 q3?q8 =85412673 ? 85412637 85413726 ? i=8,j=8 ? q1 q2 q3?q8 =85413762 85413762 ? i=6,j=7 ? q1 q2 q3?q8 =85416732 ? 85416723

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姜建国

《组合数学》

第一章 组合数学基础

1. 6. 3 邻 位 互 换 生 成 算 法 ??? 初始排列: 1 2 3 ? n (当一个数上方箭头所指的一侧相邻的 数比该数小时,称该数处于活动状态) 设当前排列(p)= ? p1 p2 ? pn ? (1)若排列(p)=(p1p2?pn)中无一数处于活动状态,则 停止,否则转(2) ; (2)求所有处于活动状态的数中的最大者,设为 k,k 和它 的箭头所指的一侧的相邻数互换位置,转(3) ; (3)令比 k 大的所有数的箭头改变方向,转(1) 。 举例(n=4) :

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第一章 组合数学基础

1

2

? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?3 ? ? ? ? ? ? ?3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ?

2

3

?1 ? ?1 ? ?1 ?4 ? ?4 ? ?1 ? ?1 ?1 ? ?3 ? ?3 ? ?3 ?4 ? ?4 ? ?3 ? ?3 ?3 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?4 ? ?4 ? ?2 ? ?2 ?2 ?
姜建国

2 2 4 1 1 4 3 3 1 1 4 3 3 4 2 2 3 3 4 2 2 4 1 1

3 4 2 2 3 3 4 2 2 4 1 1 2 2 4 1 1 4 3 3 1 1 4 3

4 3 3 3 2 2 2 4 4 2 2 2 1 1 1 4 4 1 1 1 3 3 3 4

3

2

1

2

2

1

2

1

3

1

1

3

35/61

《组合数学》

第一章 组合数学基础

规律:4 从一端移到另一端,共进行了 3 次换位,然后暂停 一次,3 开始活动。3 和 4 不能动时换 2,依次类推。

1.7 组合的 生成算法
【例】从 6 个元素 1, 2, 3, 4, 5, 6 中取 3 个的组合: 123 → 124 → 125 → 126 → 134 → 135 → 136 → 145 → 146 → 156 → 234 → 235 → 236 → 245 → 246 → 256 → 345 → 346 → 356 → 456 规律:低位累加,逐位前移。 (1)设组合 c1c2?cr 满足 则 即 c1< c2<?< cr

cr≤n,cr-1≤n-1,?,c1≤n-r+1 ci≤n-r+i,i=1, 2, ?, r (2)当 cj<n-r+j 时,令 i=max j c j ? n ? r ? j ,并令

?

?

?d k ? c k , 1 ? k ? i ? ?d i ? c i ? 1 , ?d ? d ? 1 , i ? k ? r ? k k ?1
得新组合 d1d2?dr 。若每个 cj =n-r+j,则已经达到最后一个 组合,生成完毕。 算法: 初始组合: ?12?r ? 当前组合:c1c2?cr (1)若 i=max j c j ? n ? r ? j 存在,转(2) ,否则,停 止; (2)ci←ci+1; (3)cj←cj-1+1,j=i+1,i+2,?,r . 输出 ? c1c2 ?cr ? ,
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?

?

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第一章 组合数学基础

转(1) 。 例:n=10,r=5 14678 → 14679 → 1467A → 14689 → 1468A → 1469A → 14789

1.8 应用举 例
【例 1.8.1】试确定由 1,2,3,4,5 这五个数字能组成多少 个大于 43500 的五位数? (解) (有限制条件的 RP(∞,5)的问题) 。分类统计: (1) 万位上数字是 5:有 1×5 4 个符合要求的数; (2) 万位上数字为 4,千位上数字为 4,5:有 1×2×53 个; (3) 万、位、百位分别为 4、3、5:有 1×1×1×52 个。 总数: 54+2×53+52=900 (个)

【例 1.8.2】从-2,-1,0,1,2,3 共 6 个数中不重复地选 3 个 数 作 为 二 次函 数 y ? ax 2 ? bx ? c 的 系 数 , 使得 抛 物 线

y ? ax 2 ? bx ? c 的开口方向向下,共可作出多少个二次函数?
(解) (不重复排列)抛物线的开口方向向下,必有 a<0。 第一步:a 从-2、-1 中选一个,有 P21 种方法; 第二步:在余下的五个数中选 b 和 c,有 P52 种方法。 函数个数
1 2 P2 P5 =40(个)

【例 1.8.3】满足 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 100 的正整数解有多少 组? (解) (组合问题)方法Ⅰ 思路:长度为 100 的线段被分为 4 段,每段的长度均为正整 数,记为 x1 , x2 , x3 , x4 。
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第一章 组合数学基础

例: x1 =10, x2 =35, x3 =40, x4 =15,10+35+40+15 =100。 — — ? — + — — ? — +— ?— — —+ — ? — 问题转化:在 99 个空位置上放 3 个“+”号,未放“+”号 的线段合成一条线段,求放法总数。首尾和两“+”之间至少一 段。 模型: 将 3 个相同的球放入 99 个相异的盒子, 每盒最多放一 个球。 排列组合问题:从 99 个相异元素中不重复地选 3 个。
3 C 99 =

99 ? 98 ? 97 =156849(组) 3? 2?1

方法Ⅱ: 模型:将 100 个相同的“1”放入 4 个不同的盒子,每个盒子 至少放一个。求不同的放法数。 排列组合问题:从 4 种相异元素中可重复地选 100 个,每种 元素至少选一个。 第一步:每个盒子先放一个,共有一种放法。
96 3 第二步:将余下的 96 个 1 放入,有 C 96 4? 96?1 ? C 99 ? C 99

变异一:求非负整数解(即 xi ? 0 ) 。 用方法Ⅰ求解: — — ? — — ? — + — — ? — — + — — ? —+ — — ? — — ? — ++ — — ? — — + — — ? —
3 3 答: C 101 ? 3?1 ? C 103=176851

用方法Ⅱ求解:将 100 个相同的球放入 4 个不同的盒子,每 个盒子的容量无限。求不同的放法数。
100 100 3 答: C 4 ?100?1 ? C 103 ? C 103 =176851

变异二:求解。 x1 ? ?3 , x2 ? 5 , x3 ? 0 , x4 ? 0 。
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第一章 组合数学基础

思想:将问题转化为变异一。 原方程 变换 转化 答:解数为

? x1 ? 3? ? ? x2 ? 5? ? x3 ? x4 ? 98
y1 ? x1 ? 3 , y2 ? x2 ? 5 , y3 ? x3 , y4 ? x4
y1 ? y2 ? y3 ? y4 ? 98
( yi ? 0 )
98 98 3 C4 ? 98?1 ? C 101 ? C 1 0 = 1 166650

问题:将原题用变异二的思路求解。

y1 ? y2 ? y3 ? y4 ? 96

【例 1.8.4】把 r 个相异物体放入 n 不同的盒子里,每个盒子允 许放任意个物体,而且要考虑放入同一盒中的物体的次序,求这种 分配方案有多少? (解) 特点:既不是相异元素的不重复排列,也不是简单的重复排 列。 思路:放一个物体增加一个隔板(盒子) 。 方案数 n(n+1)(n+2)…(n+r-1)=

?n ? r ? 1? ! r = Pn? r ?1 ?n ? 1? !

1 2 3 4 5 ? n-1 n 说明: 不考虑盒中相异物体的次序, 方案数为 n ?? n? ?? ? n = nr ? ? ?
r个

应用:A、B、C、D、E 共 5 位同学由两个门排队进入教室, 每个门每次只能同时进一人,问有多少种进法? 答:2×3×4×5×6=720 种 前门人 数 0 1 后门人 数 5 4 方法 1×5!=120
1 C5 ×1×4!=120

备注
0 C5 ×0!×5!
1 C5 ×1!×4!

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第一章 组合数学基础

2 3 4 5

3 2 1 0

2 C5 ×2!×3!=120
3 C5 ×3!×2!=120

4 C5 ×4!×1!=120 5 C5 ×5!×0!=120

若不考虑次序,总数为 2 5 =32。 问题 1:设前门宽大,可以同时进 2 人,那么又有多少种不 同的进法? 答:有 3×4×5×6×7=2520 种。 问题 2:火车站外有 100 名乘客,欲从 4 个门排队进入候车 室,问有多少种进门的排队方式? 问题 3:大楼共有 19 层,今有 12 人从一楼进入电梯上楼, 每层都可能有人出电梯,且电梯的门同时只能容许一个人出入, 问有多少种方式出电梯? 【例 1.8.5】把 n 元集 S 划分成 n ? 3 个无序非空子集(n≥4) , 共有多少种分法? (解) (球不同盒子相同)模型:分配问题:将 n 个不同的球 放入 n-3 个相同的盒子,每个盒子最少一个球 求解:分三类情况: (1) 一个子集为 4 元集,其余子集为一元集,等于 n 元集的
4 不重复的 4 组合数 C n ;

(2) 一个子集 3 元,一个子集 2 元,其余子集 1 元:n 元集 S
5 的 5 组合数为 C n ,把 5 元集划分成一个 3 元子集和一个
3 2 元子集的方法有 C 5 =10 种,由乘法法则,此类划分方

5 法有 10 C n 种; 6 (3) 3 个子集 2 元,其余子集 1 元:n 元集的 6 组合数为 C n , 把 6 元子集划分成 3 个 2 元子集的方法有

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第一章 组合数学基础

6 ? 1 6! 1? ? ? ? ? 3! 2!2!2! ? 15 3! ? 2 2 2 ? ? ? n? 属于此类的划分方法有 15 ? ? ? 6? ? 种。 ? ?
总数 L= ? ? ? ? ? 10? ? ? ? ? 15? ? ? ?

? n? ? 4?

? n? ? 5?

? n? ? 6?

【例 1.8.6】设 f r ?n, k ?是能够从集合 ? 1,2,?, n?中选出两两之 差均大于 r 的 k 元子集的方案数,试求 f r ?n, k ?。 (解) (更一般的组合问题)集合 A= ? 1,2,?, n?中取 k 个两 两之差超过 r 的数构成组合 a1 , a2 ,?, ak ,设 a1 ? a2 ? ? ? ak

a j ? a i ≥r+1, 1≤i<j≤k
令 则 且

bi ? ai ? ?i ? 1?r ,

i ? 1,2,?k

b j ? bi ≥1, 1≤i<j≤k
1≤ b1 ? b2 ? ? ? bk ≤n-(k-1)r

结论:从 A 中选 k 个元素的方案 ? 从集合 B 不重复地选取 k 个元素的方案(B= ? 1,2,?, n ? ?k ? 1?r?) ∴ f r ?n, k ? ? ? ? 说明:r=0,不重复组合

? n ? rk ? r ? ? ? k ? ?

r =-1,重复组合 r =1,间隔 1 个选

r =k,间隔 k 个选
例: 【例 1.8.7】有 7 位科学家从事一项机密工作,他们的工作室 装有电子锁,每位科学家都有打开电子锁的“钥匙” 。为了安全 起见, 必须同时有 4 人在场时才能打开大门。 试问该电子锁至少
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第一章 组合数学基础

应具备多少个特征?每位科学家的“钥匙”至少应有多少种特 征? (解) (秘密共享)分析:任意 3 个人在一起,至少缺一种特 征,不能打开电子锁。 结论 1:电子锁最少特征数 C(7,3)= 7 ? 6 ? 5 =35
3? 2

原因: 每一组合所形成的 3 人小组缺少的特征必须不一样的。 1 2 3 4 5 6 7 ABC ABD ABE ABF ABG ACD ACE 8 9 10 11 12 13 14 ACF ACG ADE ADF ADG AEF AEG 15 16 17 18 19 20 21 AFG BCD BCE BCF BCG BDE BDF 22 23 24 25 26 27 28 BDG BEF BEG BFG CDE CDF CDG 29 30 31 32 33 34 35 CEF CEG CFG DEF DEG DFG EFG

结论 2:某位科学家 A 的“钥匙”的特征个数至少为 C(6,3)=

6? 5? 4 =20 3? 2

原因:A 须有其余 6 人缺的钥匙。 例:A={16~35};B={6~15,26~35}; C={2~5,10~15, 20~25,32~35}; 【例 1.8.8】从(0,0)点到达(m,n)点(m<n) ,要求中间 所经过的每一个格子点(a,b)恒满足 b>a,问有多少条最短路 径? (解)分析:第一步必须从(0,0)到(0,1) 。等价于求满 足条件的从(0,1)点到(m,n)点的路径数。 从(1,0)到(m,n)的路径 ? 从(0,1)到(m,n)点 但经过 y=x 线上的格子点的路径间 (m,n)
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第一章 组合数学基础

(0,0) 对应规则:最后一次离开对角线之前对称,之后重合。 结论: 所求路径数= (0,1)点到(m,n)点路径数-(1,0)点到(m,n)点路径数 N= ? ?

? m ? n ? 1? ? m ? 1 ? n ? ? ??? ? m ?1 ? ? m ? ? ? ? ? ? 1 1 ? ? ? m!( n ? 1)! ( m ? 1)! n!?

=(m+n-1)! ? =(m+n-1)! ? =

m ? ? n ? ? m! n! m! n!? ?

( m ? n ? 1)! n ? m ?n ? m? ? ? (n—m)= ? m! n! n? m? m ? ?
k?r r Cn ? Cn ?k

【例 1.8.9】n, h, r 都是非负整数,并且 n ? k ? r 。证明 (1.8.1) 等号何时成立?
k?r (解)在 a1 , a2 ,?, an 中取 k+r 个元,有 C n 种取法。

一种特殊取法:先取前 k 个元素 a1 , a2 ,?, ak ;再从其余的
n ? k 个元素 ak ?1 , ak ? 2 ,?, an 中取 r 个,有 C n? k 种。
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r

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第一章 组合数学基础

结论:后一种取法是前者的部分情况。 等号成立的条件:n=k+r(否则总有不全含 a1 , a2 ,?, ak 的 k+r 元子集) 。反过来,当 n=k+r 时,确实有
k ?r r Cn ? 1 ? Cn ?k

【例 1.8.10】 (一) 二进制串的汉明距离 n 位二进制码

a ? a1a2 ?an ,

b ? b1b2 ?bn

ai ? bi 的个数为 k,记为 d ?a, b? ? d ?b, a ? ? k ,称为 a、b 码的
Hamming 距离。 例 (0000, 0000)=0,(0000, 1001)=2,(0101, 1010)=4 (二) 性质 三角不等式

d ?a, b? ? d ?b, c? ? d ?a, c?

(证)设 c ? c1c2 ?cn ,d(a,c)=k。若 ai ? ci ,分别讨论: ? ai ? bi , bi ? ci ; ? ai ? bi , bi ? ci 。 应有 k1 位满足条件 (1) ,k2 位满足条件 (2) , 且 k ? k1 ? k2 。 由 Hamming 距离的定义

d ?a, b? ? k1 ,

d ?b, c ? ? k2

例:a=0100,b=1001,c=1010 (三) 检错码与纠错码 检错码:奇偶校验码、汉明码、BCH 码等。 纠错码:汉明码、BCH 码、郭帕码等。
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第一章 组合数学基础

(四) 汉明码 (1) 思想:如若 a? 与码 a 的距离≤r,则认为 a? 是 a 的错 误码而予以纠正。 (2) 编码的距离要求:任意两个码字 a、b,满足

d ?a, b? ≥2r+1
否则可构造 c,使之满足 d ?a, c ?= d ?c, b? =r 而无法纠错。 反之,设任何 d ?a, b? ≥2r+1。若 d ?a, a?? ≤r,则由三角不 等式知对其它码字 b,有

d ?a?, b?≥ d ?a, b? ? d ?a, a??≥(2r+1)-r=r+1>r
(3) 例:r=1,n=8 字母 码字 a 00000000 b 11100000 c 00011100 可编码字符数: n=8,r=1,M≤ ?
? 28 ? ? 256? =28 ?? 0 1? ? 9 C ? C ? ? 8 ? ? 8

相近码 10000000,01000000,?,00000001 01100000,10100000,?,11100001 10011100,01011100,?,00011101

n=8,r=2,M≤ ?

?

? ? 256? 28 =6 ?? 0 1 2? ? 37 C ? C ? C ? ? 8 8 ? ? 8

? ? ? 1024? 210 n=10,r=2,M≤ ? 0 =18 ?? 1 2 ? ? ? C10 ? C10 ? C10 ? ? 56 ?

n=12,r=2,M≤ ? (五) 编码量

?

? ? 4096? 212 =51 ?? 0 1 2 ? ? 79 C ? C ? C ? ? ? 12 12 12 ?

编码集: ?a1 , a2 , ?, aM ?(n 位二进制码) 条件: d ?a i , a j ?≥ 2 r ? 1

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第一章 组合数学基础

? n? ? n? ? n? ? ? ? ? 与 ai 的距离小于等于 r 的数有 ? ? ? ? ? ? 0? ? 1? ?r? ?个 ? ? ? ? ? ?
令 Ui={a|d(a,ai)≤r},每个数最多只能属于 U1,U2,?UM 中的一个
?? n ? ? n ? ? n ?? n ≤ 2 ? ? ? ? ? M ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?r? ? ?? ?? 0 ? ? 1 ?

编码量:

M≤

2n ? n? ? n? ? n? ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? 0? ? 1? ?r? ? ? ? ? ? ? ?

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第一章 组合数学基础

1.9 习 题 1
(1)基本题:1~9,14,16,19,22~23,29,31 (2)加强题:11~12,17,18,21,28 (3)提高题:13,15,20,24~26,30,32 (4)关联题:10,27

1-1. 在 1 到 9999 之间,有多少个每位上数字全不相同而且由奇 数构成的整数? (解)问题相当于求在相异元素{1, 3, 5, 7, 9}中不重复地取 1 个、2 个、?、4 个元素的所有排列数,答案为

P51 ? P52 ? P53 ? P54 =5+20+60+120=205

1-2. 比 5400 小并具有下列性质的正整数有多少个? (1) 每位的数字全不同; (2) 每位数字不同且不出现数字 2 与 7。 (解) (1)分类统计:①一位正整数有 P91 ? 9 个;②两位正整 数有 P91 ? P91 =81 个;③三位正整数有 P91 ? P92 =9×9×8=648 个; ④千位数小于 5 的四位数有 P41 ? P93 =4×9×8×7=2016 个;⑤千 位数等于 5,百位数小于 4 的数有1? P41 ? P82 =4×8×7=224 个。 由乘法法则,满足条件的数的总个数为 9+81+648+2016+224=2978 (2)仿(1) ,总个数为

P71 + P71 ? P71 + P71 ? P72 + P31 ? P73 + 1 ? P31 ? P62
=7+49+294+630+150=1130

1-3. 一教室有两排,每排 8 个坐位,今有 14 名学生,问按下列 不同的方式入座,各有多少种坐法?
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第一章 组合数学基础

(1) 规定某 5 人总坐在前排,某 4 人总在后排,但每人具体坐 位不指定; (2) 要求前排至少坐 5 人,后排至少坐 4 人。 (解) (1)5 人在前排就座,其坐法数为 P ?8,5? ,4 人在后排就座, 其坐法数为 P ?8,4? , 还空 7 个坐位, 让剩下的 14 ? 5 ? 4 ? 5 个人 入坐,就座方式为 P ?7,5? 种,由乘法法则,就座方式总数为 P ?8,5? P ?8,4? P ?7,5?=28 449 792 000 (2)因前排至少需坐 6 人,最多坐 8 人,后排也如此。可分 成三种情况分别讨论:①.前排恰好坐 6 人,入坐方式有

? 14 ? ? ?6? ? P ?8,6?P ?8,8? 种 ; ② . 前 排 恰 好 坐 7 人 , 入 坐 方 式 有 ? ? ? 14 ? ? ?7? ? P ?8,7 ?P ?8,7 ? 种 ; ③ 前 排 恰 好 坐 8 人 , 入 坐 方 式 有 ? ?

? 14 ? ? ?8? ? P ?8,8?P ?8,6? 种。各类入坐方式互相不同,由加法法则,总 ? ?
的入坐方式总数为

? 14 ? ? 14 ? ? 14 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + P 8 , 6 P 8 , 8 P 8 , 7 P 8 , 7 ?6? ?7? ?8? ? P ?8,8?P ?8,6? ? ? ? ? ? ?
误:先选 6 人坐前排,再选 4 人坐后排,剩下的 4 人坐入余下 的 6 个座位。故总的入坐方式共有

? 14 ? ? 8? ? ? ? ? ? P 8 , 6 ?6? ? 4? ? P ?8,4?P ?6,4? ? ? ? ?
种。但这样计算无疑是有重复的,例如恰好选 6 人坐前排,其余 8 人全坐后排,那么上式中的 ? ? ? ? P ?8,4? 就有重复。

? 8? ? 4?

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第一章 组合数学基础

1-4. 一位学者要在一周内安排 50 个小时的工作时间,而且每天 至少工作 5 小时,问共有多少种安排方案? (解)是重复组合问题。 (1)每周按 7 天计算,先要拿出 5×7 =35 小时平均分配到每一天, 再将其余的 15 小时安排到 7 天之中, 每天的小时数不受限制,则安排方案数为

? 7 ? 15 ? 1 ? ? 21? ? ? 15 ? ??? ? 15 ? ? ? 54264 ? ? ? ?
(2)若每周的工作日按 6 天计,则问题变成在平均分配完 5 ×6=30 小时后,再将余下的 20 小时分配到这 6 天中,但此时每 天最多只能分配 19 小时。或者更一般,每天在 5 小时外再最多工 作 ni 小时 ?0 ? ni ? 19? ,那么,答案是多项式

? ?1 ? x ? x
6 i ?1
20

2

? ?? x

ni

?= ? a x
n r ?0 r

r

中 x 的系数 a20 ,其中 n ? n1 ? n2 ? ? ? n6 。 (3) 另外, 设每周工作 t 天 ?3 ? t ? 7?, 每天最少工作 5 小时, 最多工作 ni 小时 ?5 ? ni ? 24? ,可以不按照上边的两步分配方法 求解,而是直接计算多项式

? ?x
t i ?1

5

? x ? x ??? x
6 7

ni

?= ? a x
n r ?0 r

r

t ? ? ? n ? n ,? ? i ? ? i ?1 ? ?

中 x 50 的系数 a50 ,即得答案。 1-5. 若某两人拒绝相邻而坐,问 12 个人围圆桌就坐有多少种方 式? 答 11!-2×10!=9×10! 1-6. 有 15 名选手,其中 5 名只能打后卫,8 名只能打前锋,2 名能打前锋或后卫,今欲选出 11 人组成一支球队,而且需要 7 人打前锋,4 人打后卫,试问有多少种选法? 答
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第一章 组合数学基础

? 8 ?? 5 ? ? 2 ? ?? 8 ?? 5 ? ? 8 ?? 5 ?? ?? 8 ?? 5 ? ? 8 ?? 5 ? ? 8 ?? 5 ?? ? ? 7? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? 2? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? 4 ? ? 1 ? ?? 6 ?? 4 ? ? 7 ?? 3 ?? ?? 5 ?? 4 ? ? 7 ?? 2 ? ? 6 ?? 3 ??

=40+2×(140+80)+(280+80+2×280)=1 400 1-7. 求 ? x ? y ? 2z ? w ? 展开式中 x 2 y 2 z 2 w 2 项前的系数。
8

答 10080

8 ? ? 2 8! 2 2 ? ? ?4= ? ? ? ? = ? 1 ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 2 2 2? 2 ! ? 2 ! ? 2 ! ? 2 ! ? ?

1-8. 求 ? x ? y ? z ? 的展开式。
4

(解)由多项式的展开式公式

? ? ?n ?x ? y ? z? = 3 ? ? 1 ? ni ? 4
4

n n2

? n1 n2 n3 ?x y z n3 ? ?

? ni ? 0 ?

i ?1

=? ?

4 ? 4 4 ? 4 ? ? 4 ? 3 ? 4 ? ? ? ? x +? y +? z +? ? ? ? 3 1 0? ?x y + ? ? ? ? 0 0 4? ? ? ? 4 0 0? ? 0 4 0? ? 4

? ? 4 ? 3 ? ? ? + x z ? 3 0 1? ?1 ? ? ?
+ ? ?
? 4 ? 3 ? ? yz ? 0 1 3?

4 ? 3 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 ? ? ? ? + + xy y z ?1 0 3? ? xz ? 0 3 1? 3 0? ? ? ? ? ?
+ ? ?
? 4 ? 2 2 ? ?x y ? 2 2 0?

+ ? ?

?

? 2 2 ? ?x z ? 2 0 2? 4



4 ? 2 2 ? 4 ? 2 ? 4 ? ? ? 4 ? 2 2 ? ? 2 1 1? ? x yz + ? ?1 1 2 ? ? xyz ? 0 2 2? ? y z +? ?1 2 1? ? xy z + ? ? ? ? ? ? ? ? ?



4! 4! 4! 4! 4! x4 + y4 + z4 + x3 y + x3z + 4!?0!?0! 0!?4!?0! 0!?0!?4! 3!?1!?0! 3!?0!?1!

4! 4! 4! 4! 4! x2 y2 xy 3 + y3z + xz 3 + yz 3 + 2!?2!?0! 1!?3!?0! 0!?3!?1! 1!?0!?3! 0!?1!?3!

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第一章 组合数学基础



4! 4! 4! 4! x2z2 + y2z2 + x 2 yz + xy 2 z + 2!?0!?2! 0!?2!?2! 2!?1!?1! 1!?2!?1!

4! xyz2 1!?1!?2!

= x 4 + y 4 + z 4 + 4 x 3 y + 4 x 3 z + 4 xy3 + 4 y 3 z + 4 xz 3 + 4 yz 3 +
6 x 2 y 2 + 6 x 2 z 2 + 6 y 2 z 2 +12x 2 yz +12xy2 z + 12xyz2

可以验证,系数之和 1×3+4×6+6×3+12×3=81= 34
3 6 x3 x4 1-9. 求 ? x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ? 展开式中 x 2 的系数。
10

答.

10 ? ? 10! ? ? 0 3 1 6 0? ? = 0!?3!?1!?6!?0! =840 ? ?

1-10. 试证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式: n= ? a i i! ,0≤ai≤i, i ? 1,2,?
i ?1

1-11. 证明 nC(n-1,r)=(r+1)C(n,r+1)。并给出组合意 义。 意义: 将 n 个人分为 3 组: 一组 1 人, 一组 r 人, 另一组 n ? ?r ? 1? 人。一种分法是先从 n 个人中选出 r+1 人,剩下 n ? ?r ? 1? 人为一 组,再将所选的 r+1 人分为两组,一组 1 人,一组 r 人。另一种 分法是先选一人为一组,再从其余的 n ? 1 人中选 r 人为一组,剩下 的 n ? ?r ? 1? 人为一组。 1-12. 证明

? kC?n, k ? ? n2
k ?1

n

n?1



(证)用殊途同归法。将 n 个不同的球放入标号为 A、B、C 的 3 个盒子,其中要求 A 盒只放 1 个球,其余两盒的球数不限。 那么,有两种思路: (1) 先从此 n 个不同的球中选出 1 个,放入 A 盒,再将其
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《组合数学》

第一章 组合数学基础

1 ? 2 n?1 ? n2 n?1 种放法; 余 n ? 1 个球放入另外两盒,有 C n

(2) 先由 n 个球中选出 k 个 ?1 ? k ? n? , 再从所选的 k 个球 中选出 1 个放入 A 盒,将其余的 k-1 个球放入 B 盒,所剩的 n
k 1 n? k k ? Ck ? Cn - k 个 球 放 入 C 盒 , 有 Cn ? k ? kC n 种 放 法 。 当 k ? 1,2,?, n ,各种情况互不重复,且包含了所有放法,故对 k 求 和,即得等式左端。

1-13. 有 n 个不同的整数,从中取出两组来,要求第一组数里的 最小数大于第二组的最大数,问有多少种方案? (解) 设取的第一组数有 a 个,第二组有 b 个,而要求第一 组数中最小数大于第二组中最大的, 即只要从 n 个数中取出 m=a +b 个数, 从大到小排序后取前 a 个作为第一组, 剩余的为第二组, 就满足题目的要求。 此时从 n 个数中取 m 个的方案数为 C(n, m)。 从 m 个数中取第一组数共有 m-1 种取法。故总的方案数为

? ?m ? 1?C nm = (n ? 2)2 n?1 ? 1
i ?2

n

1-14. 六个引擎分列两排,要求引擎的点火次序两排交错开来, 试求从某一特定引擎开始点火有多少种方案? (解)设两排引擎分别为 a,b,c 和 x,y,z。 (1)设特定的引擎是 a,则点火的方案数为 3×2×2×1×1= 12。 (2)如果只指定从 a,b,c 这一排先开始点火,不指定某一个, 则方案数为 3×3×2×2×1×1=36 (3)如果第一个引擎任意选,只要求点火过程是交错的,则 方案数为
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《组合数学》

第一章 组合数学基础

6×3×2×2×1×1=72 1-15. 试求从 1 到 1000000 的整数中,0 出现了多少次? (解) 先不考虑 1 000 000 本身, 那么任一个 000 000~999 999 之间的数都可以表示成如下形式

d1d 2d 3d 4d 5d 6
其中每个 d i 是 0 到 9 的数字。因为每位数字可以有 10 种选择,根 据乘法法则,共有 106 个“6 位数” ,又每个“6 位数”由 6 个数字 组成(包括无效 0) ,那么共有 6 ? 106 个数字,又每个数字出现的 概率相等, 所以 0 出现的次数应是 6 ? 106 ÷10= 6 ? 105 但习惯上在计算 0 的个数时,不包括无效 0(即高位的 0) ,因而 要从中去掉无效 0,其中 1 位数有 9 个(不包括 0) ,其无效 0 共有 5 ? 9 个; 2 位数有 90 个,其无效 0 共 4 ? 90 个。 余类推,这样,无效 0 的总数为

5 ? 9 ? 4 ? 90 ? 3 ? 900 ? 2 ? 9000 ? 1 ? 90000
注意到 d1d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 全 0 时的 6 个 0 和 1 000 000 本身的 6 个 0 相互抵消,所以 1 到 1 000 000 之间的自然数中 0 出现的次数为

6 ? 105 ? ?5 ? 9 ? 4 ? 90 ? 3 ? 900 ? 2 ? 9000 ? 90000? =488
895 注 1 出现的次数为 6 ? 105 ? 1(要考虑 1 000 000 这个数的首 位 1) ,2,3,?,9 各自出现的次数为 6 ? 105 。

1-16. n 个男 n 个女排成一男女相间的队伍,试问有多少种不同 的方案?若围成一圆桌坐下,又有多少种不同的方案?
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《组合数学》
2

第一章 组合数学基础

答 (1)2 ?n!? ; (2)n!(n-1)! 1-17. n 个完全一样的球,放到 r 个有标志的盒子,n≥r,要求无 一空盒,试证其方案数为 ? ?

? n ? 1? ? ? 。 r ? 1 ? ?

(证) 因为盒子不能空,所以每个盒子可先放一个球。然后 把剩下的 n ? r 个球任意地放到 r 个盒子中, 因为此时每盒的球数不 限,这相当于求

S ? ?? ? e1 , ? ? e2 ,?, ? ? er ?
的 n ? r 组合,其组合数为
? r ? ?n ? r ? ? 1? ? n ? 1 ? ? n ? 1? ? ? ? ??? ?n? r? ??? ? r ? 1? ? n ? r ? ? ? ? ? ?
α α 1-18. 设 n= p1α p2 , p1 、 p2 、…、 pk 是 k 个不同的素数, ? pk 试求能整除尽数 n 的正整数数目。 答 ?? i ? 1??? 2 ? 1???? k ? 1?
1 2 k

1-19. 试求 n 个完全一样的骰子能掷出多少种不同的方案? ( 解 ) 问 题 等 价 于 计 算 从 6 类 相 异 元 素 集
S ? ?? ? 1, ? ? 2,?, ? ? 6?中可重复地选取 n 个元素的 n-重组合

数,故方案数为

? 6 ? n ? 1? ? n ? 5 ? ?n ? 1??n ? 2???n ? 5? ? ??? ? ? ? ?? n ? 5! ? ? ? n ?
1-20. 凸十边形的任意三个对角线不共点,试求这凸十边形的对 角线交于多少个点?又把所有的对角线分割成多少段? (解) (1)先求交点数:因为一个交点需要两条对角线相交, 而两条对角线又需要多边形的四个点构成一四边形。反之,从 n
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《组合数学》

第一章 组合数学基础

个顶点中任取四个顶点,连诚意四边形,而四边形的两条对角线 必须确定唯一的一个交点,故凸十边形的对角线共交于 C(n,4)个 点(前提:任三对角线不共点,否则,一个交点不能对应 n 边形 的唯一四个顶点)

(2)2 交点总数+对角线条数= 2? ? 4? ??? ? 2? ??? ? 1? ? ? ? ? ? ? ?

? n? ? n? ? n?

1-21. 试证一整数 n 是另一个整数的平方的充要条件是除尽 n 的 正整数的数目为奇数。
? ? ? (证)设 n 的标准分解式为 n= p1 ,其中诸 pi 是互相 p2 ? pk
1 2 k

不同的素数, ? i 为正整数。那么 n 是一个完全平方数 ? ? i 都是偶数 ? ? i +1 都是奇数

?

?? i ? 1??? 2 ? 1???? k ? 1? =奇数,即 n 的正因子数,亦即除

尽 n 的正整数有奇数个。 1-22. 统计力学需要计算 r 个质点放到 n 个盒子里去,并分别服 从下列假定之一,问有多少种不同的图象。假设盒子始终是 不同的,
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第一章 组合数学基础

(1)Maxwell-Boltzmann 假定:r 个质点是不同的,任何盒子可 以放任意个。 (2)Bose-Einstein 假定:r 个质点完全相同,每一个盒子可以放 任意个。 (3)Fermi—Dirac 假定:r 个质点都完全相同,每盒不得超过一 个。 (解) (1)是重复排列问题,共有 n r 种不同图象; (2)是重复组合问题,共有 C ?n ? r ? 1,r ? 种不同图象; (3)是不重复组合问题,共有 C ?n,r ? 种不同图象。 1-23. 从 26 个英文字母中取出 6 个字母组成一字,若其中有 2 或 3 个母音,问分别可构成多少个字(不允许重复)?

1-24. 给出 ? n ?? r ? ? n ? 1 ?? r ? 1? ? n ? 2 ?? r ? 2 ? ? ? m? ?? ? 0? ??? ? m ? 1? ?? ? 1 ? ??? ? m ? 2? ?? ? 2 ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?

? n ? m ?? r ? m ? ? n ? r ? 1? ?? ? 0 ? ?? ? m ? ??? ? m ? ? ? ?? ? ? ?
的组合意义。 1-25. 给出

? r ? ? r ? 1? ? r ? 2 ? ? n ? ? n ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?r? ? r ? ? r ? ?r? ??? ? r ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
的组合意义。

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第一章 组合数学基础

1-26. 证明:
? m ?? m ? ? m ?? m ? 1? ? m ?? m ? n ? n?m? ? 0 ?? n ? ? ? 1 ?? n ? 1 ? ? ? ? ? n ?? 0 ? ? 2 ? n ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?

1-27. 对于给定的正整数 n,证明在所有 C(n,r)(r=1,2, …,n) 中,当

?n ? 1 n ? 1 , , n为奇数 ? ? 2 2 k= ? ? n, n为偶数 ? ?2
时,C(n,k)是最大值。 1-28. (a)用组合方法证明

( 2 n )! ( 3 n )! 和 都是整数。 2n ? 3n 2n

(b)证明

( n 2 )! ( n! ) n?1

是整数。

(证) (a)方法一:把 2n 个不同的球放入 n 个相异的盒子中, 每个盒子中恰有 2 个球,其分配方案数即为 方法二:因为 2n ? 2 ? 2?? ? 2 ,所以 ? ?? ? ?? ?
n个

( 2n)! ( 2 n )! = n 。 2!2!? 2! 2

2n ? ? ( 2n)! ( 2n)! ? ? ? ? 2 2 ? 2? ? n 2 ! 2 ! ? 2 ! 2 ? ?
2 2 2 x2 ? xn 是多项式 ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 中 x1 项的系数。

2n

方法三: 集合 S ? ?2 ? e1 , 2 ? e2 , ?, 2 ? en ? 中 2n 个元素的 全排列的总数即为
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第一章 组合数学基础

( 2n)! ( 2n)! ? n 2!2!? 2! 2
其次,对

( 3n)! ( 3 n )! ( 3 n )! ,方法类似,关键是看出 = 。 n n n n 3 ! 3 ! ? 3 ! 2 ?3 2 ?3 ( kn)! ( kn)! = ,但若 k ! k !? k ! ( k! ) n

(b)仿(a) ,把 kn 个不同的球放入 n 个相异的盒子中,每个 盒子中恰有 k 个球,其分配方案数即为 盒子相同,则分配方案数即为

( kn)! ,再令 k=n,即得结果。 ( k ! ) n n!

1-29. (a)在 2n 个球中,有 n 个相同。求从这 2n 个球中选取 n 个的方 案数。 (b)在 3n+1 个球中,有 n 个相同。求从这 3n+1 个球中选取 n 个的方案数。 (解) (a)视为从集合 S ? ?n ? e0 , e1 , e2 ,?, en ?中选取 n 个元 素,分类统计,共有 n+1 类取法:设第 k 类取法是指所取的 n 个 元素中含有 k 个 e0 , n ? k 个其它的 e i ?1 ? i ? n? (每个 e i 最多取一
n? k 次) ,则此类取法共有 1 ? C n 种 ?k ? 0,1,?, n? 。所以,总的方案

数为

?C
k ?0

n

n? k n

k ? ? Cn ? 2n k ?0 n n? k 2 n?1 k =? C2 n?1 k ?0 n

n

(b)与(a)类似,方案数= ? C
k ?0

1-30. 证明在由字母表{0,1,2}生成的长度为 n 的字符串中。
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第一章 组合数学基础
n

(a) 0 出现偶数次的字符串有 3

?1 个; 2

? n ? n ? n ? n? 2 ? n ? n? q 3 n ? 1 ?n? ? ? ? ? ? (b) ? 其中 q = 2 . 2 ? 2 ? ? ? 2 ? , ? 0? ? 2? ?q? ? 2 ?2? ? ? ? ? ? ? ?
(证) (a)为了叙述方便,称满足条件的串为偶串,否则为奇 串。并设满足条件的串为 ?a1a2 ?an ? 。考虑诸 ai 中至少有一个为 0 或 1 的串,那么,从串的左边开始向右扫描,总是会碰到 0 或 1, 对扫描到的第一个 0(或 1) ,将其改为 1(或 0) ,从而将偶串变 成了唯一的一个奇串,或将奇串变成了唯一的一个偶串。因此, 在三进制串中,除了每一位都是 2 的偶串(22?2)之外,所有偶
3n ? 1 串与奇串一一对应,故各有 个,再加上全 2 的串,偶串的总 2

数应为

3n ? 1 3n ? 1 ? 1= 2 2
(b)设偶串中有 2k 个 0,则 0 ? k ? ? ? 。可由两步来构造这 ?2? 样的 n 位串:
2k (1) 先在 n 个不同的位置放入 2k 个相同的 0, 有 Cn 种放法;

?n?

(2) 再在其余的 n ? 2k 个位置放入 1 或 2, 其放法对应 n ? 2k 位 二进制串的个数,有 2 n? k 个。
2 k n? k 所以,由乘法法则知有 2k 个 0 的偶串共有 C n 2 个。又知

对于不同的 k,相应的串之间没有重复。故由加法法则,全部偶串 共有
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《组合数学》

第一章 组合数学基础

? n ? n ? n ? n? 2 ? n ? n? q ? ?n? ? ? ? q ? 2? 2 ? ? ? ? 0? ?2 ? ? ? 2? ?2 ? ? ? ? ?q? ?2 , ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?

个。再结合(a) ,即得欲证的结论。 1-31. 5 台教学仪器供 m 个学生使用,要求使用第 1 台和第 2 台 的人数相等,有多少种分配方案? (解)由题目要求知 5 台仪器被视为是不同的。将分配过程分 为三步:
2k (1)从 m 个学生中选出 2k 人,有 Cm 种选法;

(2)将选出的 2k 个学生分给 1、2 号仪器,且每台仪器 k 个 人,有

( 2k )! k ? C2 k 种分法; k! k!

(3)将其余的 m ? 2k 名学生分给 3、4、5 号仪器,每台仪器 所分人数不限,有 3 m ? 2 k 种分法。 由加法法则,总的分配方案数为

? m ?? 0 ? m ? m ?? 2 ? m ? 2 ? m ?? 4 ? m ? 4 ? m ?? 2t ? m ? 2 t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? 0 ?? 0 ? ? 2 ?? 1 ? ? 4 ?? 2 ? ? 2t ? ?? ?t ? ?3 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?m? 其中 t= ? ? 。 ?2?
1-32. 由 n 个 0 及 n 个 1 组成的字符串,其任意前 k 个字符中,0 的个数不少于 1 的个数的字符串有多少? (解)解法一:由 n 个 1 和 n 个 0 组成的 2n 位二进制数共有

( 2n)!

( n! ) 2

个(2n 个不尽相异元素的全排列) ,设所求的二进制

数共有 bn 个, 不符合要求的数有 rn 个。 而不合要求的数的特征是从
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第一章 组合数学基础

左向右扫描时,必然在某一位首次出现 0 的个数大于 1 的个数, 即从左向右累计到第 2k+1 位时出现 k+1 个 0 和 k 个 1。此时, 后 2(n-k)-1 位上有 n-k 个 1,n-k-1 个 0。将后部分的 0 改 写为 1,1 改写为 0。结果整个数变成由 n-1 个 1 和 n+1 个 0 组 成的 2n 位数 z。即一个不合要求的数唯一对应于这样的一个数 z。 10000111 ? 11111000, 00011110 ? 00011111 01010110 ? 01010111, 00111001 ? 00111110 反之, 给定一个由 n-1 个 1 和 n+1 个 0 组成的 2n 位数 z. 由 于 0 比 1 多 2 个,故一定在某一位首次出现 0 的累计数超过 1 的 累计数。依同法将此位后的 0 与 1 互换,使 z 变成由 n 个 1 和 n 个 0 组成的 2n 位数。所以,这两种二进制数一一对应。即

rn ?


?2n?! ?n ? 1?! ?n ? 1?!

?2n?! ?r ?n!?2 n ?2n?! ?2n?! 1 ?2n?! 1 ? ? ? C ?2n, n? = ?n!?2 ?n ? 1?! ?n ? 1?! n ? 1 ?n!?2 n ? 1
bn ?
解法二:见教材第 3 章。

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