tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关文档
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014年秋《全优课堂》高中数学(配人教A版,选修2-1)同步课件:空间向量与立体几何3.1.2


1.掌握空间向量的数乘运算. 2.理解共线向量定理及推论. 3.理解共面向量定理及推论.

自学导引 1.空间向量的数乘运算 λa (1)定义:实数 λ 与空间向量 a 的乘积 ________ 仍然是一个 向量 ,称为向量的数乘运算. ________

(2)向量 a 与 λa 的关系. λ 的范围 方向关系 λ>0 λ=0

λ<0

模的关系 λa 的模是 a 的模 |λ| 倍 的____

相同 方向________ 0 ,其方向是任意的 λa=____ 相反 方向________

(3)空间向量的数乘运算律 设 λ、μ 是实数,则有 ①分配律:λ(a+b)=λa+λb; ②结合律:λ(μa)=(λμ)a.

2.共线向量 共线(平行)向量 共面向量 表示空间向量的有向线段 定 所在的直线___________ ___________的向量叫 平行或重合, 平行于同一个平面 义 则这些向量叫做________ 做共面向量 共线向量 或平行向量 充 若两个向量 a,b 不共线,则 对于空间任意两个向量 a, 要 向量 p 与 a,b 共面的充要条 b(b≠0),a∥b 的充要条件 条 件是存在唯一的有序实数对 是存在实数 λ 使 a=λb 件 (x,y),使 p=xa+yb

如果 l 为经过点 A 且平行于 已知非零向量 a 的直线,那 么对于空间任一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存 → → 在实数 t, 使OP=OA+ta①, 如图,空间一点 P 位于平面 推 其 中 a 叫 做 直 线 l 的 MAB 内的充要条件是存在有 方向向量 论 ________,如图所示. → 序实数对(x,y),使MP= → → xMA+yMB ,或对空间任 _____________ → → 意一点 O 来说, 有OP=OM+ → → → xMA + yMB 若在 l 上取AB=a,则①式 → → → 可化为OP=OA+tAB

自主探究 空间的两非零向量 a,b 共面,能否推出 a=λb(λ∈R)?

【答案】不能推出 a=λb,因空间中任意两共面向量 a,b 共 面未必有 a∥b,故不一定有 a=λb.

预习测评 ( → → → 1. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, 向量AB1, AD1, BD是 ) A.有相同起点的向量 B.等长的向量 C.共面向量 D.不共面向量

【答案】C → → → → → → → 【解析】AD1-AB1=B1D1=BD,∴AD1,AB1,BD共面.

2.下列命题中正确的是( ) A.若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 B.向量 a,b,c 共面即它们所在的直线共面 C.零向量没有确定的方向 D.若 a∥b,则存在唯一的实数 λ,使 a=λb

【答案】C

3.满足下列条件,能说明空间不重合的 A,B,C 三点共线的 是( ) → → → → → → A.AB+BC=AC B.AB-BC=AC → → → → C.AB=BC D.|AB|=|BC|

【答案】C

→ → → 4.在四面体 O-ABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D 为 BC → 的中点,E 为 AD 的中点,则OE=________(用 a,b,c 表示).

1 1 1 【答案】 a+ b+ c 2 4 4 → 1 → → → 1 → → 【解析】OE= (OA+OD),又∵OD= (OB+OC). 2 2 1 1 → 1 ∴OE= a+ b+ c. 2 4 4

要点阐释 1.共线向量 与平面向量一样, 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互 相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,记作 a∥b.

2.共线向量定理 对于空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是存在 实数 λ 使 a=λ· b. 共线向量定理的推论: 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非 零向量 a 的直线,那么对于空间任一点 O,点 P 在直线 l 上的充要 → → 条件是存在实数 t,满足等式OP=OA+ta.① 其中向量 a 叫直线 l 的方向向量,如图所示. → 若在 l 上取AB=a,则①式可以化为 → → → → → OP=OA+tAB=(1-t)· OA+t· OB.② 注意: ②式是 P、A、B 三点共线的充要条件;

3.共面向量定理 如果两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面的充要 条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 p=xa+yb,如图所示. 共面向量定理的推论 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x, → → → → → → y),使AP=xAB+yAC;或对空间任意一点 O,有OP=OA+xAB+ → yAC. → → → → → 扩展: 上式还可写成OP=(1-x-y)OA+xOB+yOC(注意: OA, → → OB,OC的系数之和为 1).

典例剖析 题型一 共线问题 → → → 【例 1】 设空间四点 O,A,B,P 满足OP=mOA+nOB,其 中 m+n=1,则( ) A.点 P 一定在直线 AB 上 B.点 P 一定不在直线 AB 上 C.点 P 可能在直线 AB 上,也可能不在直线 AB 上 → → D.AB与AP的方向一定相同 → → 思路点拨:利用共线向量定理说明AP与AB的关系作判断.

【答案】A 【解析】 已知 m+n=1,则 m=1-n, → → → → → → → → OP=(1-n)OA+nOB=OA-nOA+nOB?OP-OA → → → → → =n(OB-OA)?AP=nAB.因为AB≠0. → → 所以AP和AB共线,即点 A,P,B 共线,故选 A.

→ → → 1. 已知 A, B, P 三点共线, O 为空间任意一点.OP=αOA+βOB, 求 α+β 的值.

【解析】∵A、B、P 三点共线,由共线向量知,存在实数 t, → → 使AP=tAB. → → → → → → 由AP=OP-OA,AB=OB-OA代入得: → → → OP=(1-t)OA+tOB, → → → 又由已知OP=αOA+βOB, ∴α=1-t,β=t,∴α+β=1.

题型二 共面问题 【例 2】 已知 A,B,M 三点不共线,对于平面 ABM 外的任 一点 O,确定在下列各条件下,点 P 是否与 A,B,M 一定共面? → → → → (1)OB+OM=3OP-OA; → → → → (2)OP=4OA-OB-OM. 思路点拨: 要证四点共面只需连接四个点的三个向量能够使其 中一个用另外两个唯一线性表示即可.

解:解法一: → → → → → → → → (1)原式可变形为OP=OM+(OA-OP)+(OB-OP)=OM+ PA → +PB.由共面向量定理的推论知 P 与 A,B,M 共面. (2)原式可变形为 → → → → → → → → → OP=2OA+OA-OB+OA-OM=2 OA+BA+MA. 由共面向量定理的推论可得 P 位于平面 ABM 内的充要条件存 → → → → → → → 在实数 x,y 使OP=OA+xBA+yMA.而此题推得OP=2OA+BA+ → MA,∴P 与 A,B,M 不共面.

解法二: → → → → (1)原式可变形为OB=3OP-OA-OM. ∵3+(-1)+(-1)=1, ∴B 与 P,A,M 共面,即 P 与 A,B,M 共面. → → → → (2)OP=4OA-OB-OM, ∵4+(-1)+(-1)=2≠1, ∴P 与 A,B,M 不共面.

方法点评: → 判断点 P 是否位于平面 MAB 内,关键是看向量MP能否用向 → → → → → → 量 MA , MB 表示 ( 或看向量 OP 是否能写成 OM + xMA + yMB 的形 → → → → 式).当MP能用MA、MB表示时,P 位于平面 MAB 内;当MP不能 → → → → → → 用MA, MB表示时, P 不在平面 MAB 内, 当OP=xOM+yOA+zOB 时,P 与 M、A、B 共面的充要条件是 x+y+z=1.此例利用这个结 论判断 P 与 M,A,B 是否共面更简便.

2.已知平行四边形 ABCD(如图),从平面 AC 外一点 O 引向量 → → → → → → → OE=kOA,OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD,求证: (1)四点 E,F,G,H 共面; (2)平面 EG∥平面 AC.

【证明】 (1)因为四边形 ABCD 是平行四边形, → → → 所以AC=AB+AD, → → → → → → → → EG=OG-OE=kOC-kOA=kAC=k(AB+AD) → → → → → → → → =k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE → → =EF+EH. 所以 E、F、G、H 共面; → → → → → → (2)EF=OF-OE=k(OB-OA)=kAB,且由第(1)小题的证明中 → → 知EG=kAC,于是 EF∥AB,EG∥AC. 所以平面 EG∥平面 AC.

误区解密 【例 3】 对空间任意两个向量 a,b,a∥b 是 a=λb(λ∈R)的 ________条件. 错解:充要 错因分析:忽视了 b≠0 这一条件.若 a∥b,且 b=0,a≠0, 则推不出 a=λb,若 a=λb,则 a∥b,所以 a∥b 是 a=λb 的必要 不充分条件. 正解:必要不充分

课堂总结 1.应用向量的加减法则和数乘运算表示向量是向量在几何中 应用的前提,应熟练掌握. 2.利用向量法证明向量共面问题,关键是熟练的进行向量的 表示,恰当应用向量共面的充要条件.


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com