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高三圆锥曲线解答题训练(含详细解答)


《圆锥曲线》练习(一)
1. (2011 广州 1) (本小题满分 14 分)已知直线 y ? ?2 上有一个动点 Q ,过点 Q 作直线 l1 垂 直于 x 轴,动点 P 在 l1 上,且满足 OP ? OQ ( O 为坐标原点),记点 P 的轨迹为 C .(1)求曲 线 C 的方程;(2)若直线 l2 是曲线 C 的一条切线, 当点 ? 0, 2 ? 到直线 l2

的距离最短时,求直 线 l2 的方程.

2. (2013 广州 1) (本小题满分 14 分)已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为

F1 (?2,0), F2 (2,0) ,点 A(2,3)在椭圆 C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x 2 ? 4 y 交
于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C 处的切线分别为 l1 , l2 ,且 l1 与 l 2 交于点 P. (1)求椭圆 C1 的方程;(2)是否存在满足 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? | AF 2 | 的点 P?若存在,指出这 样的点 P 有几个(不必求出点 P 的坐标) ;若不存在,说明理由.

1

3. ( 2013 佛山 1) (本题满分 14 分)设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右顶点分别为 a 2 b2

3 . 过该椭圆上任一点 P 作 PQ ? x 轴, 垂足为 Q , 点C 在 2 (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; QP 的延长线上,且 | QP |?| PC | .
A(?2, 0),B (2, 0),离心率 e ?
(3)设直线 AC ( C 点不同于 A, B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 RB 的中点,试判 断直线 CD 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

4. ( 2012 广州 2 )(本小题满分 14 分)已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线

C2 : x2 ? 4 y 有一个相同的焦点 F1 ,直线 l : y ? 2 x ? m 与抛物线 C2 只有一个公共点.
(1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P ,当椭圆 C1 的的离心率取得最大 值时,求椭圆 C1 的方程及点 P 的坐标.

2

5. (2012 佛山 1) (本题满分 12 分)已知圆 C1 : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1,圆 C2 : x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 , 动点 P 到圆 C1 , C2 上点的距离的最小值相等.(1)求点 P 的轨迹方程; ( 2 )点 P 的轨迹上是否存在点 Q ,使得点 Q 到点 A(?2 2, 0)的距离减去点 Q 到点

B(2 2, 0)的距离的差为 4 ,如果存在求出 Q 点坐标,如果不存在说明理由.

6. (2012 佛山 2) (本题满分 14 分)已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个交点为 a 2 b2

1? ? F1 ? 3, 0 ,而且过点 H ? 3, ? .(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E 的上下顶点分 2? ? P 是椭圆上异于 A1, A2 的任一点,直线 PA1 , PA2 分别交 x 轴于点 N , M ,若直线 别为 A 1, A 2,
OT 与过点 M , N 的圆 G 相切,切点为 T .证明:线段 OT 的长为定值,并求出该定值.

?

?

3

7. (2011广州2) . (本小题满分14分)已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 和圆 O : a 2 b2

,过双曲线 C 上一点 P ? x0 , y0 ? 引圆 O 的两条切线,切 x2 ? y 2 ? b2 (其中原点 O 为圆心) 点分别为 A 、 B . (1)若双曲线 C 上存在点 P ,使得 ?APB ? 90 ,求双曲线离心率 e 的
?

取值范围; (2)求直线 AB 的方程; (3)求三角形 OAB 面积的最大值.

4

《圆锥曲线》练习(二)
8. (2013广州2) (本小题满分14分)经过点 F ? 0,1? 且与直线 y ? ?1 相切的动圆的圆心轨迹 为 M .点 A 、 D 在轨迹 M 上,且关于 y 轴对称,过线段 AD (两端点除外)上的任意一点 作直线 l ,使直线 l 与轨迹 M 在点 D 处的切线平行,设直线 l 与轨迹 M 交于点 B 、 C . (1)求轨迹 M 的方程; (2)证明: ?BAD ? ?CAD ; (3)若点 D 到直线 AB 的距离等于

2 AD ,且△ ABC 的面积为 20,求直线 BC 的方程. 2

5

9. (2012 江门 2) (本小题满分 12 分)设双曲线 C1 的渐近线为 y ? ? 3x ,焦点在 x 轴上且 实轴长为 1.若曲线 C 2 上的点到双曲线 C1 的两个焦点的距离之和等于 2 2 ,并且曲线

C3 : x 2 ? 2 py ( p ? 0 是常数)的焦点 F 在曲线 C 2 上。
⑴求满足条件的曲线 C 2 和曲线 C3 的方程;⑵过点 F 的直线 l 交曲线 C3 于点 A 、 B ( A 在

1 y 轴左侧) ,若 AF ? FB ,求直线 l 的倾斜角。 3

10. (本小题满分 12 分) 已知直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 经过椭圆 C :

x2 y2 ? ?1 (a ? b ? 0) a2 b2

的一个顶点 B 和一个焦点 F .⑴求椭圆的离心率; ⑵设 P 是椭圆 C 上动点,求 || PF | ? | PB || 的取值范围,并求 || PF | ? | PB || 取最小值时点

P 的坐标.

6

11.(本小题满分 14 分)已知圆锥曲线 C 上任意一点到两定点 F1 (?1 , 0) 、 F2 (1 , 0) 的距离 之和为常数,曲线 C 的离心率 e ?

1 .⑴求圆锥曲线 C 的方程;⑵设经过点 F2 的任意一条 2

直线与圆锥曲线 C 相交于 A 、 B ,试证明在 x 轴上存在一个定点 P ,使 PA ? PB 的值是 常数.

12.(本小题满分 14 分)已知椭圆 ? :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的上顶点为 P(0 , 1) ,过 a2 b2

? 的焦点且垂直长轴的弦长为 1 .若有一菱形 ABCD 的顶点 A 、 C 在椭圆 ? 上,该菱形对
角线 BD 所在直线的斜率为 ? 1 .⑴求椭圆 ? 的方程;⑵当直线 BD 过点 (1 , 0) 时,求直线

AC 的方程;⑶当 ?ABC ?

?
3

时,求菱形 ABCD 面积的最大值.

7

13.(本小题满分 14 分)已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 有一个 相同的焦点 F 1 ,直线 l : y ? 2 x ? m 与抛物线 C2 只有一个公共点.(1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P ,当椭圆 C1 的的离心率取得最大值时,求椭圆 C1 的方 程及点 P 的坐标.

8

《圆锥曲线》练习(一) (二)答案
1.解:设点 P 的坐标为 ? x, y ? ,则点 Q 的坐标为 ? x, ?2? . ∵ OP ? OQ , ∴ kOP ? kOQ ? ?1 . 当 x ? 0 时 ,得

y ?2 ? ? ?1 ,化简得 x2 ? 2 y .当 x ? 0 时, P 、 x x

O 、 Q 三点共线,不符合题意,故 x ? 0 .∴曲线 C 的方程为 x2 ? 2 y ? x ? 0 ? .
(2) 解 ∵ 直线 l2 与 曲 线 C 相切 , ∴直 线 l2 的 斜率 存在 . 设 直 线 l2 的 方程 为 y ? kx ? b , 由

? y ? kx ? b, 2 得 x ? 2kx ? 2b ? 0 . ∵ 直线 l2 与曲线 C 相切, ? 2 x ? 2 y , ?
∴ ? ? 4k ? 8b ? 0 , 即 b ? ?
2

?2 ? b 1 k2 ? 4 k2 ? ? . 点 ? 0, 2 ? 到 直 线 l2 的 距 离 d ? 2 k2 ?1 2 k2 ?1

1? 3 ? ? ? ? k2 ?1 ? 2 2? k ?1 ? ? ?
当且仅当

?

1 ?2 2

k 2 ? 1?

3 k ?1
2

? 3.

k2 ?1 ?

3 k ?1
2

, 即 k ? ? 2 时 , 等 号 成 立 . 此 时 b ? ?1 .

∴ 直 线 l2 的 方 程 为

2x ? y ? 1? 0或 2x ? y ? 1 ? 0 .
2. 解:设椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? ,根据椭圆的定义得 2a ? AF1 ? AF2 ? 8 , a 2 b2
∴ 椭圆 C1 的方程为

即a ? 4, ∵c ? 2, 点 B ( x1 ,

2 2 2 ∴ b ? a ? c ? 12 .

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

(2)解法 1:设

1 2 1 2 1 2 1 2 2 x1 ) , C ( x 2 , x 2 ), 则 BC ? ( x 2 ? x1 , ( x 2 ? x1 )) ,BA ? (2 ? x1 ,3 ? x1 ) , ∵ A, B, C 4 4 4 4


三 点 共 线 ,

??? ? ??? ? BC // BA . ∴

?x

2

? 1 ? 1 2 ? x1 ? ? 3 ? x12 ? ? x2 ? x12 4 4 ? ?

?

? ?2 ? x ?
1

,

化简得: 2 (x1 ? x2 ) ? x1x2 ? 12 .



由 x2 ? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y? ? x . ∴抛物线 C2 在 4 2

点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

x 1 2 x1 1 2 x1 ? ( x ? x1 ) , 即 y ? 1 x ? x1 . ②同理, 抛物线 C2 在点 C 处 4 2 2 4
③ 设点 P( x, y) , 由②③得:

的切线 l2 的方程为 y ?

x2 1 2 x ? x2 . 2 4

x1 x 1 1 2 x ? x12 ? 2 x ? x2 , 2 4 2 4

9

而 x1 ? x 2 , 则 x?

1 1 ( x1 ? x 2 ) .代入②得 y ? x1 x 2 , 则 2 x ? x1 ? x2 , 4 y ? x1 x2 代入 ① 2 4

得 4 x ? 4 y ? 12 , 即点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 .若 PF 则点 P 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 , 在椭圆 C1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上,∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ∴满足条件 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的

点 P 有两个. 解法 2: 设点 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) ,P( x0 , y0 ) , 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

1 2 x , 4

得 y? ?

x 1 x . ∴ 抛 物 线 C2 在 点 B 处 的 切 线 l1 的 方 程 为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) , 即 2 2

y?

x1 x 1 1 x ? y1 ? x12 . ∵ y1 ? x12 , ∴ y ? 1 x ? y1 . ∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上, ∴ 4 2 2 2 x1 x0 ? y1 . 2
① 同理,

y0 ?

y0 ?

x2 x0 ? y 2 . 2



综合①、②得,点

B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ?
是唯一的,∴直线 L 的方程为 y 0 ?

x x0 ? y . ∵经过 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的直线 2

x x0 ? y , ∵点 A(2,3) 在直线 L 上, ∴ y0 ? x0 ? 3 . 2

P 在椭圆 C1 上,又在 ∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 .若 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 ,则点
直线 y ? x ? 3 上,∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) ,∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交

P 有两个. 于两点. ∴满足条件 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点
解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k x ? 2 ? 3 ,

?

?

由?

? ? y ? k ? x ? 2 ? ? 3, ? ? x ? 4 y,
2

消去 y ,得 x ? 4kx ? 8k ? 12 ? 0 .
2

设 B x1 , y1 ,C x2 , y2

?

?

?

?

, 则 x1 ? x2 ? 4k, x1x2 ? 8k ? 12 . 由 x2 ? 4 y , 即

y ?

1 1 2 x x ,得 y? ? x . ∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) ,即 4 2 2
x 1 2 1 2 x1 1 x ? y1 ? x12 .∵ y1 ? x1 , ∴ y ? 1 x ? x1 . 4 2 2 2 4

y?

10

同 理 , 得 抛 物 线 C2 在 点 C 处 的 切 线 l2 的 方 程 为 y ?

x2 1 2 x ? x2 . 2 4



? x y ? 1 x? ? ? 2 ? ? y ? x2 x ? ? ? 2


? x ? x2 1 2 x1 , x ? 1 ? 2k , ? ? 2 4 解得 ? ∴ P ? 2k , 2k ? 3 ? . x1 x2 1 2 ? y ? ? 2k ? 3. x , ? ? 4 4 2
x2 y2 ? ? 1 上 . ∴ , ∴ 点 P 在 椭 圆 C1 : 16 12

PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2
2

? 2k ?
16

?

? 2k

? 3? 12

2

? 1 .化简得 7k 2 ? 12k ? 3 ? 0 .(*)

2 由 Δ ? 12 ? 4 ? 7 ? ?3 ? 228 ? 0 ,

? ?

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. 3. (本题满分 14 分)解析: (1)由题意可得 a ? 2 , e ?

c 3 ,∴ c ? 3 , ? a 2
(2)设 C (x, y) , P( x0 , y0 ) ,由

∴ b ? a ? c ? 1 ,所以椭圆的方程为
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1. 4

? x ? x0 题意得 ? ,即 ? y ? 2 y0

? x0 ? x ? ? 1 , y0 ? x ? ? 2

2 x0 x2 1 2 2 ? y0 ?1 , 代 入 得 ? ( y ) ? 1, 即 又 4 4 2

x2 ? y 2 ? 4 .即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 . (3)设 C (m, n) ,点 R 的坐标
为 (2, t ) , ∵ A, C , R 三 点 共 线 , ∴ AC // AR , 而 AC ? ( m? 2, n), AR ? (4, t ) , 则

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

4n ? t ( m? 2 ),∴ t ?

4n 4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ), , ∴点 R 的坐标为 (2, m?2 m?2 m?2

∴ 直 线 CD 的 斜 率 为 k ?

n?

2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , 而 m2 ? n2 ? 4 , ∴ m?2 m2 ? 4 m2 ? 4

m2 ? 4 ? ?n2 ,∴ k ?

mn m ?? , 2 ?n n
m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ?

4 m2 ? n 2

?

4 ? 2 ? r ,所以直线 CD 与圆 O 相切. 4

11

4.(1)解法 1:由 ?
2

? y ? 2 x ? m, 2 消去 y ,得 x ? 8x ? 4m ? 0 . ∵直线 l 与抛物线 C2 只有一 2 x ? 4 y ?

个公共 ∴ ? ? 8 ? 4 ? 4m ? 0 ,解得 m ? ?4 .∴直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 . 解法 2:设直线 l 与抛物线 C2 的公共点坐标为 ? x0 , y0 ? , 由 y ? ∴直线 l 的斜率 k ? y '

1 2 1 x ,得 y ' ? x , 4 2
把 x0 ? 4 代入抛物

x ? x0

?

1 1 x0 . 依题意得 x0 ? 2 ,解得 x0 ? 4 . 2 2

线 C2 的方程,得 y0 ? 4 . 直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 .

∵点 ? x0 , y0 ? 在直线 l 上,∴ 4 ? 2 ? 4 ? m ,解得 m ? ?4 . ∴ (2)解法 1:∵抛物线 C2 的焦点为 F 1 ? 0,1? ,

依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 ? 0,1? , F2 ? 0, ?1? .

l 设点 F 1 ? 0,1? 关于直线 的
y

? y0 ? 1 ? 2 ? ?1, ? ? x ? 4, ' x0 ? 对称点为 F …… 7 分解得 ? 0 1 ? x0 , y0 ? ,则 ? ? y0 ? ?1. ? y0 ? 1 ? 2 ? x0 ? 4. ? ? 2 2 ' ' 3 ? ∴点 F ? . ∴直线 l 与直线 F1 F2 : y ? ?1 的交点为 P0 ? 1 ? 4, ?1 ? , ?1? . ?2 ?

F1 O F2 P0

P x

由椭圆的

F1

'

' ' 定义及平面几何知识得:椭圆 C1 的长轴长 2a ? PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? 4 ,

a ? 2. ∴e ? 其中当点 P 与点 P 0 重合时,上面不等式取等号. ∴
2 2

1 1 ? . a 2

故当 a ? 2 时, emax ? 1 … 12 分此时椭圆 C1 的方程为 y ? x ? 1 ,点 P 的坐标为 ? 3 , ?1? . ? ? 2 4 3 ?2 ? 解法 2: ∵抛物线 C2 的焦点为 F1 ? 0,1? , 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 ? 0,1? , F2 ? 0, ?1? 5 分 设 椭 圆 C1 的 方 程 为
? y ? 2 x ? 4, y2 x2 ? 2 ? ? 1 a ? 1 , 由 消去 y ,得 ? ? ?y x2 a2 a2 ? 1 ? ? 1 ? 2 2 ?a a ?1

? 5a

2

? 4? x 2 ? 1 ? 6 a 2 ? ?1 x ? a2 ? a2 ???1 1 6? ?

.( ? 0*)

4 2 由 ? ? ?16 a 2 ? 1 ? ? 4 5a 2 ? 4 a 2 ? 1 16 ? a 2 ? 0 ,得 5a ? 20a ? 0 .

?

?

??

2

?

??

??

?

解得 a ? 4 .
2

∴ a ? 2 .∴ e ?

1 1 ? . a 2

当 a ? 2 时 , em a x ?

1 y 2 x2 ? ?1 . , 此 时 椭 圆 C1 的 方 程 为 2 4 3

把 a ? 2 代入方程(*) ,解得 x ?

3 ?3 ? , y ? ?1 .∴点 P 的坐标为 ? , ?1? . 2 ?2 ?

12

5. 解: (1)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,圆 C1 的圆心 C1 坐标为 (4, 0) ,圆 C2 的圆心 C2 坐 标为 (0, 2) , 因为动点 P 到圆 C1 , C2 上的点距离最小值相等,所以 | PC1 |?| PC2 | , 即

( x ? 4) 2 ? y 2 ? x 2 ? ( y ? 2) 2 , 化 简 得 y ? 2 x ? 3 ,

因此点 P 的轨迹方程是

y ? 2x ? 3 ;

(2)假设这样的 Q 点存在,因为 Q 点到 A(?2 2,0) 点的距离减去 Q 点

到 B(2 2,0) 点的距离的差为 4,所以 Q 点在以 A(?2 2,0) 和 B(2 2,0) 为焦点,实轴长 为 4 的双曲线的右支上, 即 Q 点在曲线

x2 y 2 ? ?1 ( x ? 2 ) 上, 又 Q 点在直线 4 4 ? y ? 2x ? 3 ? 2 的解,消元得 3x ? 12 x ? 13 ? 0 , l : y ? 2 x? 3上, Q 点的坐标是方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? ?4 4 ? ? 122 ? 4 ? 3 ?13 ? 0 ,方程组无解,所以点 P 的轨迹上不存在满足条件的点 Q .

6.解:椭圆的两个交点分别为 F1 ? 3, 0 , F2

?

? ?

3, 0 ,由椭圆的定义可得

?

2a ?| PF1 | ? | PF2 |?

7 1 x2 ? ? 4 ,所以 a ? 2 , b2 ? 1 ,所以椭圆 E 的方程为 ? y 2 ? 1. 2 2 4

(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)可知 A 1 ? 0,1? , A 2 ? 0, ?1? ,设 P ? x0 , y0 ? , 直线 PA1 : y ? 1 ? 直线 PA2 : y ? 1 ?

y0 ? 1 ? x0 ; x ,令 y ? 0 ,得 xN ? x0 y0 ? 1

y0 ? 1 x x ,令 y ? 0 ,得 xM ? 0 ; 设圆 G 的圆心为 x0 y0 ? 1
2 2

? 1 ? x0 x0 ? ? 2 ? 1 ? x0 x0 ? x0 ? x0 ? 1 ? x0 2 2 r ?? ? ? , h ? ? ? h ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?h ? 2 y ?1 y ?1 ? 4 ? y0 ? 1 y0 ? 1 ? 0 ? ? ? ? 0 ? 2 ? y0 ? 1 y0 ? 1 ? y0 ? 1?
x ? 1? x 2 , OG ? ? 0 ? 0 ? ? h 4 ? y0 ? 1 y0 ? 1 ?
2 2

x ? x ? x2 1? x 1? x OT ? OG ? r ? ? 0 ? 0 ? ? h 2 ? ? 0 ? 0 ? ? h 2 ? 0 2 4 ? y0 ? 1 y0 ? 1 ? 4 ? y0 ? 1 y0 ? 1 ? 1 ? y0
2 2 2
2 4 ?1 ? y0 ? ? 4 ,所以 | OT |? 2 ,即线段 x0 2 2 2 2 2 ? y0 ? 1 ,所以 x0 ? 4 ?1 ? y0 ? ,所以 OT ? 而 1 ? y0 2 4

2

2

OT 的长度为定值 2 .
解法二:由 (Ⅰ) 可知 A 1 : y ?1 ? 1 ? 0,1? , A 2 ? 0, ?1? ,设 P ? x0 , y0 ? ,直线 PA 得 xN ?

y0 ? 1 x ,令 y ? 0 , x0

? x0 y ?1 x ;直线 PA2 : y ? 1 ? 0 x ,令 y ? 0 ,得 xM ? 0 ; x0 y0 ? 1 y0 ? 1
x2 ? x0 x x2 2 2 ? 4 ?1 ? y0 ? 0 ? 20 ,而 0 ? y0 2 ? 1 ,所以 x0 ?, 4 y0 ? 1 y0 ? 1 y0 ? 1

则 | OM | ? | ON |?

所以 | OM | ? | ON |?

x0 2 ? 4 ,由切割线定理得 OT 2 ?| OM | ? | ON |? 4 2 y0 ? 1
13

所以 | OT |? 2 ,即线段 OT 的长度为定值 2 . 7. 解: (1)因为 a ? b ? 0 ,所以
?

c b ? 1 ,所以 e ? ? a a

a 2 ? b2 ?b? ? 1? ? ? ? 2 . a ?a?

2

由 ?APB ? 90 及圆的性质,可知四边形 PAOB 是正方形,所以 OP ? 2b .

c a 2 ? b2 b 2 6 ?b? ? 1? ? ? ? 因为 OP ? 2b ? a ,所以 ? ,所以 e ? ? .故双曲 a a a 2 2 ?a?
线离心率 e 的取值范围为 ?

2

? 6 ? , 2? . (2) 方法 1: 因为 PA2 ? OP2 ? OA2 ? x02 ? y02 ? b2 , ? ? 2 ?
2 2

2 2 2 所以以点 P 为圆心, PA 为半径的圆 P 的方程为 ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? x0 ? y0 ? b .因

为 圆 O 与 圆 P 两 圆 的 公 共 弦 所 在 的 直 线 即 为 直 线 AB , 所 以 联 立 方 程 组
2 2 2 ? ?x ? y ? b , 2 消 去 x , y 2 , 即 得 直 线 AB 的 方 程 为 ? 2 2 2 2 2 ? ?? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? x0 ? y0 ? b .

x0 x ? y0 y ? b2 .
方 法 2 : 设 A ? x1 , y1 ? B ? x2 , y2 ? , 已 知 点 P ? x0 , y0 ? , 则 k PA ?

y0 ? y1 , x0 ? x1

kOA ?

y ? y1 y1 y1 因为 PA ? OA , 所以 kPAkOA ? ?1 , 即 0 整 ? ? ?1 . ?其中x1 ? x0 , x1 ? 0? . x1 x0 ? x1 x1

理得 x0 x1 ? y0 y1 ? x12 ? y12 .因为 x12 ? y12 ? b2 ,所以 x0 x1 ? y0 y1 ? b2 .因为 OA ? OB ,

PA ? PB ,根据平面几何知识可知, AB ? OP .
因 为 kOP ?

y0 x x , 所 以 k AB ? ? 0 . 所 以 直 线 AB 方 程 为 y ? y1 ? ? 0 ? x ? x1 ? . 即 x0 y0 y0

AB 的方程为 x0 x ? y0 y ? b2 . x0 x? y ? x y y 0 y 0 x 1? 0 .所以直线 1
方 法 3 : 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 已 知 点 P ? x0 , y0 ? , 则 k PA ?

y0 ? y1 , y? x x0 1
A ? 1 , 即 O? A O B

P

kOA ?

y1 x1

?其中x1 ? x0 , x1 ? 0?

. 因 为 PA ? OA , 所 以 kP k A

y0 ? y1 y1 ? ? ?1 . 整理得 x0 x1 ? y0 y1 ? x12 ? y12 . x0 ? x1 x1
2 2 2

x

因为 x1 ? y1 ? b , 所以 x0 x1 ? y0 y1 ? b . 这说明点 A 在直线 x0 x ? y0 y ? b 上. 同理点 B
2 2

也在直线 x0 x ? y0 y ? b 上.所以 x0 x ? y0 y ? b 就是直线 AB 的方程.
2 2

14

( 3 ) 由( 2 )知 ,直线 AB 的 方程为 x0 x ? y0 y ? b2 , 所 以点 O 到 直线 AB 的 距离 为

d?

b2 x0 2 ? y0 2

2b x0 2 ? y0 2 ? b 2 b4 .因为 AB ? 2 OA ? d ? 2 b ? 2 , ? x0 ? y0 2 x0 2 ? y0 2
2 2 2

所以三角形 OAB 的面积 S ?

b 1 ? AB ? d ? 2

3

x0 2 ? y0 2 ? b 2 . x0 2 ? y0 2

以下给出求三角形 OAB 的面积 S 的三种方法: 方 法 1 : 因 为 点 P ? x0 , y0 ? 在 双 曲 线

x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ?1 , 即 上 , 所 以 a 2 b2 a 2 b2

2 2 2 ? b2 ? 2 b2 x 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ? a b x ? a y ? t ? x ? y ? b ? .设 ? ? 0 ?1 ? 2 ? x0 ? 2b ? a ? b , 0 0 2 a ? a ? 2 0

所以 S ?

?b3 ? t ? b ?? t ? b ? b 3t ? .因为 ,所以当 0 ? t ? b 时, S ? ? 0 ,当 t ? b 时, S ? 2 2 2 t 2 ? b2 t ? b ? ?
b 3t 在 ? 0, b ? 上单调递增,在 ? b, ??? 上单调递减.当 a2 ? b2 ? b , 2 2 t ?b b3 ? b 1 2 ? b ,当 b2 ? b2 2

S ? ? 0 .所以 S ?
即 b?a?

2b 时 , S最大值 ?
b3 ? a 2 ? b2 ?

a2 ? b2 ? b , 即 a ? 2b 时 ,

S最大值 ?

?

a 2 ? b2 ? b2

?

2

2 b3 a? b2 . a2

综上可知,当 b ? a ?
2

2b 时, S最大值 ?
2 2

1 2 b3 a 2 ? b 2 b ;当 a ? 2b 时, S最大值 ? . 2 a2

b3t b3 ? 方法 2:设 t ? x0 ? y0 ? b ,则 S ? 2 . b2 t ? b2 t? t
因 为 点
2 b2 0x? a2

P ? x0 , y0 ?

x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ?1 上 , 即 ? ?1 , 即 在 双 曲 线 a 2 b2 a 2 b2

2 y0 ?

? b2 ? 2 a 2 b22 2 2 2 2 2 2 2 x ? a t ? x ? y ? b ? . 所以 ?0 ? ?1 ? 2 ? x0 ? 2b ? a ? b . 0 0 ? a ?

b2 b2 ? t ? b ?? t ? b ? ? 令 g ?t ? ? t ? , 则 g ?t ? ? 1 ? 2 ? . 所以当 0 ? t ? b 时, 当t ? b g? ?t ? ? 0 , t t t2
时 , g? ?t ? ? 0 . 所 以 g ?t ? ? t ?

b2 在 ? 0, b ? 上 单 调 递 减 , 在 ? b, ??? 上 单 调 递 增 . 当 t

15

a2 ? b2 ? b ,即 b ? a ? 2b 时, S最大值 ?

b3 1 ? b 2 ,当 a2 ? b2 ? b ,即 a ? 2b 2 b 2 b? b

时, S最大值 ?

b3 a 2 ? b2 ? b2 a 2 ? b2

?

b3 a 2 ? b 2 . a2
1 2 b3 a 2 ? b 2 ? b ;当 a ? 2b 时, S最大值 ? . 2 a2
2

综上可知,当 b ? a ?

2b 时, S最大值
2

b3 t ? b 2 ?1? 1 ? b3 ?b 2 ? ? ? . 方法 3:设 t ? x0 ? y0 ,则 S ? t ?t ? t
2

因 为 点
2 b2 0x? a2

P ? x0 , y0 ? 在 双 曲 线

x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ?1 , 即 上 , 即 a 2 b2 a 2 b2

2 y0 ?

? b2 ? 2 2 a 2 b22 2 2 2 x ? a ?0 ? .所以 t ? x0 ? y0 ? ?1 ? a2 ? x0 ? b ? a 2 . ? ?
2 2 2 2

1 ? 1 ? 令 g ? u ? ? ?b u ? u ? ?b ? u ? 2 ? ? 2 , 2b ? 4b ?
所 以 g ? u ? 在 ? ??,

? ?

1 ? ? 1 ? 上 单 调 递 增 , 在 ? 2 , ?? ? 上 单 调 递 减 . 因 为 t ? a , 所 以 2 ? 2b ? ? 2b ?

1 1 1 ? 1? 1 ? 1 ? ,此时 u ? ? ? 0, 2 ? ,当 2 ? 2 ,即 b ? a ? 2b 时, ? g ? u ?? ? g ? ? ? 2 2 ? ? max 2b a t ? a ? ? 2b ? 4b S最大值 ? b3 ?
此时 S最大值 ?
2 2 1 1 2 1 1 ? 1 ? a ?b ? b .当 2 ? 2 ,即 a ? 2b 时, ? , g u ? g ? ? ? ? ? 2? ? ? max 2b 2 2b a a4 ?a ?

1 2 b3 a 2 ? b 2 .综上可知,当 b ? a ? 2b 时, S最大值 ? b ;当 a ? 2b 时, 2 2 a

S最大值 ?

b3 a 2 ? b 2 . a2
2 2

8. 解: (1)方法1:设动圆圆心为 ? x, y ? ,依题意得, x ? ? y ? 1? ? y ? 1 .整理,得
2 2 所以轨迹 M 的方程为 x ? 4 y 。 (2) 由 (1) 得 x ? 4y , 即y? x2 ? 4 y .

1 2 1 x , 则 y? ? x . 4 2
y C

设 点 D ? x0 ,

? ?

1 2? x0 ? , 由 导 数 的 几 何 意 义 知 , 直 线 l 的 斜 率 为 4 ?

k BC ?

1 1 ? ? ? 1 ? x0 . 由 题 意 知 点 A ? ? x0 , x0 2 ? . 设 点 C ? x1 , x12 ? , 2 4 ? ? ? 4 ?
16

E A BO l D x

? 1 ? B ? x2 , x2 2 ? ,则 k BC ? 4 ?

1 2 1 2 x1 ? x2 x ?x 1 4 ?4 ? 1 2 ? x0 ,即 x1 ? x2 ? 2 x0 . x1 ? x2 4 2

因为 k AC

1 2 1 2 1 2 1 2 x1 ? x0 x2 ? x0 x ? x x ?x 4 4 ?4 ? 1 0 , k AB ? 4 ? 2 0. x1 ? x0 4 x2 ? x0 4

由于 k AC ? k AB ?

x1 ? x0 x2 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? 2 x0 ? ? ? 0 ,即 k AC ? ?k AB . 4 4 4

所以 ?BAD ? ?CAD . (3)方法 1:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ? BAD ? 45? .不妨设点 C 在 AD 2
1 2 x0 ? ? ? x ? x0 ? . 4

上方(如图) ,即 x2 ? x1 ,直线 AB 的方程为: y ?

1 2 ? 1 2? ? y ? x0 ? ? ? x ? x0 ? , ? 由 ? 解 得 点 B 的 坐 标 为 ? x0 ? 4, ? x0 ? 4 ? ? . 所 以 4 4 ? ? ? x 2 ? 4 y. ?
AB ? 2 ? x0 ? 4 ? ? ? ? x0 ? ? 2 2 x0 ? 2 .
? 由( 2 )知 ?CAD ? ? BAD ? 45 ,同理可得 AC ? 2 2 x0 ? 2 .所以△ ABC 的面积

1 S ? ? 2 2 x0 ? 2 ? 2 2 x0 ? 2 ? 4 x0 2 ? 4 ? 20 ,解得 x0 ? ?3 .当 x0 ? 3 时,点 B 的 2
坐标为 ? ?1, ? , k BC ?

? ?

1? 4?

3 1 3 ,直线 BC 的方程为 y ? ? ? x ? 1? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 . 2 4 2

当 x0 ? ?3 时 , 点 B 的 坐 标 为 ? ?7,

? ?

3 49 ? ? , k BC ? ? 2 , 直 线 BC 的 方 程 为 4 ?

49 3 ? ? ? x ? 7 ? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 . 4 2 1 ? a1 ? , ? b1 ? ? ? ? 3, 2 9.解: ⑴双曲线 C1 满足:? a1 解得 ? 则 c1 ? a12 ? b12 ? 1 , 于是曲线 C1 的 3 ? ? b1 ? . ? 2a1 ? 1. ? 2 ? 焦 点 F1 (?1 , 0) 、 F2 (1 , 0) 曲 线 C 2 是 以 F1 、 F2 为 焦 点 的 椭 圆 , 设 其 方 程 为 y?

? 2a 2 ? 2 2 , ?a 2 ? 2 , x2 y2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) C ,解 得 ,即 : ? y 2 ? 1 依题意, ? ? 2 2 2 2 2 2 2 a2 b2 2 ?a 2 ? b2 ? 1. ? b2 ? 1.

17

p 2 ? 1, 所以 p ? 2 , 曲线 C3 : x ? 4 y 2 ? x 2 ? 4 y, ⑵ 由 条 件 可 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? kx ? 1 (k ? 0) 由 ? 得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , y ? kx ? 1 . ?
2 曲线 C3 : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F (0 , 1) 于是

? ? 16(k 2 ? 1) ? 0 ,由求根公式得: x1 ? 2k ? 2 k 2 ? 1 , x2 ? 2k ? 2 k 2 ? 1
由 AF ?

1 1 FB 得 ? 3x1 ? x2 ,于是 ? 3(2k ? 2 k 2 ? 1) ? 2k ? 2 k 2 ? 1 ,解得 k 2 ? , 3 3

由图知 k ? 0 , k ?

? 3 ,直线 l 的倾斜角为 。 6 3
3 , a ? b 2 ? c 2 ? 2 ,所以椭

10.⑴依题意, B(0 , 1) , F (? 3 , 0) ,所以 b ? 1 , c ? 圆的离心率 e ?

c 3 . ⑵ 0 ?|| PF | ? | PB ||?| BF | , 当 且 仅 当 | PF |?| PB | 时 , ? a 2 || PF | ? | PB ||? 0 ,当且仅当 P 是直线 BF 与椭圆 C 的交点时, || PF | ? | PB ||?| BF | , | BF |? 2 , 所 以 || PF | ? | PB || 的 取 值 范 围 是 [0 , 2] 设 P(m , n) , 由 | PF |?| PB | 得

3m ? n ? 1 ? 0 ,
? 8 3 ?m2 2 m?? ? ? n ?1 ?m ? 0 ? ? 13 , 所 求 点 P 为 P(0 , ? 1) 和 由 ? 4 ,解得 ? 或 ? ?n ? ?1 ? 3m ? n ? 1 ? 0 ?n ? 11 ? ? 13 ? 8 3 11 P( ? , ). 13 13 c 1 x2 y2 11.⑴依题意, 设曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0 ) ,c ? 1 ,e ? ? ,a ? 2 …… a 2 a b
x2 y2 ? ? 1. 3 分, b ? a ? c ? 3 ,所求方程为 4 3
2 2

? x2 y2 ?1 ? ? ⑵ 当 直 线 AB 不 与 x 轴 垂 直 时 , 设 其 方 程 为 y ? k ( x ? 1) , 由 ? 4 得 3 ? y ? k ( x ? 1) ?

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 ,从而 x A ? x B ?
P(t , 0) ,则 PA? PB ? ( x A ? t )(xB ? t ) ? y A yB

8k 2 4(k 2 ? 3) x ? x ? , ,设 A B 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? (k 2 ? 1) x A x B ? (t ? k 2 )(x A ? x B ) ? (k 2 ? t 2 ) ?

3t 2 ? 12 ? (?5 ? 8t ? 4t 2 )k 2 3 ? 4k 2





11 135 3t 2 ? 12 ? 5 ? 8t ? 4t 2 ? ,t ? 时,对 ?k ? R , PA ? PB ? ? ;当 AB ? x 轴时, 8 64 3 4
直 线 AB 的 方 程 为 x ? 1 , x A ? x B ? 1 , y A ( y B ) ? ?

3 11 , 对 t? , 2 8

18

PA ? PB ? ( x A ? t )( x B ? t ) ? y A y B ?

11 9 9 135 ? ?? ,即存在 x 轴上的点 P ( , 0) ,使 8 64 4 64

PA? PB 的值为常数 ?

135 . 64

c2 y2 b2 2b 2 ? 1 , a ? 2 ,椭圆 ? 的 12.解:⑴依题意,b ? 1 ,解 2 ? 2 ? 1 ,得 | y |? ,所以 a a a b
x2 ? y 2 ? 1 。⑵直线 BD : y ? ?1? ( x ? 1) ? ? x ? 1 ,设 AC : y ? x ? b ,由方程 方程为 4

?y ? x ? b 5 5x 2 ? 2 ? 2bx ? (b 2 ? 1) ? 0 ,当 ? ? (2b) 2 ? 4 ? ? (b 2 ? 1) ? 5 ? b 2 ? 0 组?x 得 2 4 4 ? ? y ?1 ?4
时, A( x1 , y1 ) 、 C ( x2 , y 2 ) 的中点坐标为

x1 ? x 2 y ? y 2 x1 ? x 2 4b b ?? ? ?b ? , , 1 2 5 2 2 5
b 4b 5 ? ?1 ,解得 b ? ? ,满足 5 5 3

ABCD 是 菱 形 , 所 以 AC 的 中 点 在 BD 上 , 所 以

5 ? ? 5 ? b 2 ? 0 ,所以 AC 的方程为 y ? x ? 。 3
⑶因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 所 以 菱 形

?
3


,所以 AB ? AC ? BC ,

A

B

C的 D面

S?

3 ? AC 2 2











AC 2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? 2( x2 ? x1 ) 2 ? 2( x2 ? x1 ) 2
? 8 x1 x 2 ? 2 ? (? 8b 2 4 32 32 ) ? 8 ? ? (b 2 ? 1) ? ? ? b 2 , 因 为 | b |? 5 , 所 以 当 且 仅 当 5 5 5 25

b ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值,最大值为

3 32 16 3 。 ? ? 2 5 5

13. (14 分) (1)解法 1:由 ?

? y ? 2 x ? m, 2 消去 y ,得 x ? 8x ? 4m ? 0 . 2 ? x ? 4y
2

∵直线 l 与抛物线 C2 只有一个公共 ∴ ? ? 8 ? 4 ? 4m ? 0 , 解得 m ? ?4 .∴直线 l 的方程 为 y ? 2 x ? 4 .解法 2:设直线 l 与抛物线 C2 的公共点坐标为 ? x0 , y0 ? , 由y?

1 2 x ,得 4

y' ?

1 x ,∴直线 l 的斜率 k ? y ' 2

x ? x0

?

1 1 x0 .依题意得 x0 ? 2 ,解得 x0 ? 4 ,把 x0 ? 4 代入 2 2

抛物线 C2 的方程,得 y0 ? 4 .

∵点 ? x0 , y0 ? 在直线 l 上,

19

∴ 4 ? 2 ? 4 ? m ,解得 m ? ?4 .

∴直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 .

( 2 )解法 1 :∵抛物线 C2 的焦点为 F 1 ? 0,1? ,依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为
F1 ? 0,1? , F2 ? 0, ?1? .设点 F 1

? 0,1? 关于直线 l 的对称点为 F ? x0 , y0 ? ,
' 1
F1 O F2

y

? y0 ? 1 ? 2 ? ?1, ? ? x ? 4, x0 则? …… 7 分解得 ? 0 ? ? y0 ? ?1. ? y0 ? 1 ? 2 ? x0 ? 4. ? ? 2 2

P x P0 F1
'

' 3 ? ∴点 F ? . ∴直线 l 与直线 F1' F2 : y ? ?1 的交点为 P0 ? 1 ? 4, ?1 ? , ?1? . 由椭圆的定义及平面 ?2 ?
' ' 几何知识得: 椭圆 C1 的长轴长 2a ? PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? 4 , 其中当点 P

a ? 2. ∴e ? 与点 P 0 重合时,上面不等式取等号. ∴

1 1 ? . a 2
2 2

故当 a ? 2 时, emax ? 1 … 12 分此时椭圆 C1 的方程为 y ? x ? 1 ,点 P 的坐标为 ? 3 , ?1? . ? ? 2 4 3 ?2 ? 解法 2: ∵抛物线 C2 的焦点为 F1 ? 0,1? , 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 ? 0,1? , F2 ? 0, ?1? 设 椭 圆 C1 的 方 程 为

y2 x2 ? ? 1? a ? 1? , a2 a2 ? 1
16 ? ? a2

? y ? 2 x ? 4, 由 ? 消去 y ,得 ? y2 x2 ? ? 1 ? 2 a2 ? 1 ?a

? 5a

2

? 4 ? 1 ? x 2 ? 1? 6 a 2 ?? 1 x?? a2 ??

( ? *) 0

4 2 2 由 ? ? ?16 a 2 ? 1 ? ? 4 5a 2 ? 4 a 2 ? 1 16 ? a 2 ? 0 ,得 5a ? 20a ? 0 . 解得 a ? 4 .∴

?

?

??

2

?

??

??

?

a ? 2. ∴e?

1 1 ? . a 2

当 a ? 2 时, ema x ?

1 y 2 x2 ? ?1. 把 ,此时椭圆 C1 的方程为 2 4 3

a ? 2 代入方程(*) ,解得 x ?

3 ?3 ? , y ? ?1 . ∴点 P 的坐标为 ? , ?1? . 2 ?2 ?

20


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