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高中数学抽象函数的图像以及抽象函数常见类型及部分题目


函数 f ? x ? 的定义域为 D ,则其图像为:

?? x, y ? | y ? f ? x? , x ? D? ?? x, y ? | y ? f ? x ? a? , x ? D?

1,若把这个图像向左平移 a 个单位,得到新图像为:

简单说明:新图像上任取点 ? x, y ? ,向右平移 a 个单位得到 ? x ? a, y ? ,这个点在 f ? x ? 图 像上,所以 y ? f ? x ? a ? 向右、上、下平移函数图象情况类似,请自己给出 2,若把 f ? x ? 图像按照直线 x ? a 作一次对称,得到新函数为 y ? f ? 2a ? x ? 简单说明:新图像上任取点 ? x, y ? ,按照直线 x ? a 作一次对称得到点 ? 2a ? x, y ? ,这个点 在 f ? x ? 图像上,所以 y ? f ? 2a ? x ? 按照直线 y ? a 作对称类似,请自己给出 需要指出的是,不能按照任意直线作对称得到新函数,因为新的图像不一定是函数图像(实 际上那是方程的图像) ,另外,按照直线 y ? x 作对称得到的是反函数,当然前提是该函数 存在反函数。 3,若把 f ? x ? 图像按照点 ? a, b ? 作对称,得到新函数 y ? 2b ? f ? 2a ? b ? 简单说明:新图像上任取点 ? x, y ? ,按照点 ? a, b ? 作对称,得到点 ? 2a ? x,2b ? y ? ,这个点 在 f ? x ? 图像上,则 2b ? y ? f ? 2a ? x ? ,整理得 y ? 2b ? f ? 2a ? x ? 4,若把 f ? x ? 图像在水平方向上作伸缩,横坐标都变为原来的 a 倍( a ? 0 ) ,纵坐标不变, 那么得到新函数图像是 y ? f ?

? x? ? ?a? ?x ? ? x? 这点在 f ? x ? 图像上, 所以 y ? f ? ? , y?, ?a ? ?a?

简单说明: 新函数图像上取点 ? x, y ? , 变回去 ?

至于竖直方向的伸缩,请自己给出 ==============华丽的分割线=================== 下面是函数图像本身的对称性 5,如果一个函数向左平移 a 个单位与原图像重合,即 a 是一个周期,那么按照第 1 条,

y ? f ? x ? a? 这个新函数与原函数 y ? f ? x ? 重合,也就是说: f ? x ? a ? ? f ? x ?
6, 如果一个函数有一条对称轴 x ? a ,那么按照第 2 条到的新函数 y ? f ? 2a ? x ? 与原函数 是同一个,也就是说: f ? 2a ? x ? ? f ? x ? ,至于类似 f ? a ? x ? ? f ?b ? x ? 这样的条件,改 写一下是非常显然的

7,如果一个函数有一个对称中心 ? a, b ? ,那么按照第 3 条, y ? 2b ? f ? 2a ? x ? 与原函数 是同一个函数,也就是说: f ? x ? ? f ? 2a ? x ? ? 2b ,类似 6,这个条件也可以作适当改写 8,出于好奇,我们来看看当 f ?

?x? ? ? f ? x ? 时函数会如何,显然,它会成为常函数 ?a?

=============分割线路过===================== 另外一类常见的变换是关于绝对值的 9,把函数 f ? x ? 的图像在 x 轴下方部分全部作对称到上方,上方部分不变,得到新函数:

y ? f ? x ? ,这是显然的,去掉绝对值讨论一下就行
10,把函数 f ? x ? 的图像在 y 轴右边部分全部作对称到左边,左边部分不变,得到新函数:

y ? f ? x ? ,这也是显然的去掉绝对值讨论一下就行
=============分割线再次路过=================== 11,另外补充的是半周期,如果 f ? x ? a ? ? ? f ? x ? 或者 f ? x ? a ? ?

1 ,那么 a 是半周 f ? x?

期,证明是容易的,请自己给出。另外我们可以知道,反推是不成立的,半周期可以有其它 写法。一般的写法是 f ? x ? a ? ? g ? ? f ? x ?? ? ,且 g ? ? g ? x ?? ??x ==============分割线继续路过================== 关于抽象函数, 除了图像外,还有一类题, 如果能记得一些具体模型,会有一些好处。当然, 不要满足于这几类,只有找到本质才能解决新题。表格放在最后。 =============分割线坚持路过=================== 例 1: (第 7 届希望杯) 函数 f ( x ) 的值域 ( , 4] ,则 g ( x) ? f ( x) ? 2 f ( x) 的值域为

1 4

例 2: (第 5 届希望杯) 定义为 R 的函数 f ( x ) , 对任何 a, b ? R , 都有 f [af (b)] ? ab , 则

f 21 9 ( 9 4 )

?



例 3:设 f ( x ) 是 [0,1] 上的不减函数, 即对于 0 ? x1 ? x2 ? 1 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且满足: (1)

1 x 1 )? (2) f ( ) ? f ( x) ; (3) f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) ,则 f ( f (0) ? 0 ; 2005 3 2



例 4: (第 4 届希望杯) 设 奇 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 R , f (1) ? 2 , 且 对 任 意 x1 , x2 ? R , 都 有

f( x f( 1x)?f ( x2 ) ,当 x ? 0 时, f ( x) 是增函数,则函数 y ? ? f 2 ( x) 在区间 1? x 2) ?
[? 3,? 2]上的最大值是


2.抽象函数的单调性 例 5: (第 14 届希望杯) 奇函数 f ( x ) 在区间 [3, 7]上是增函数,在区间 [3, 6] 上的最大值为 8 ,最小值为 ?1 ,

2 f (?6) ? f (?3) ?

例 6 : 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 增 函 数 , 且 f ( x) ? f ( ) ? f ( y ) , 若 f ( 3)? 1, 则

?

x y

1 f ( x) ? f ( )? 2 成立的 x 的取值范围是 x ?5



3.抽象函数的奇偶性 例 7: (第 6 届希望杯)

f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 它 的 最 小 正 周 期 为 f ( 1? ) f
A、1 或 0

2 , 则

(? 2 f ) ? ? ( 3? )f
B、1 或 ?1

? ( 1 9 9 5 )
C、0 D、1

例 8: (第 4 届希望杯) 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 是 R , 函 数 g ( x)? f ( x) , ,则 ? 2 ? f? ( x ) 已 知 g( 5 ) ?? 3

g (? 5 ) ?



4.抽象函数的周期性 例 9: (第 12 届希望杯) 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数

数学试卷 第 4 页共 6 页

f ( x) , 满 足 f ( x ? 1) ?


1 ? f ( x ? 1) , 则 1 ? f ( x ? 1)

f (1) ? f (2) ? f (3).....f (2000 ) ? 2000的值为

例 10: (第 12 届希望杯) 定义在 R 上的非常数函数, 满足 (1)f (10 ? x) 为偶函数; (2)f (5 ? x) ? f (5 ? x) , 则 f ( x) 一定是( ) B、是偶函数,但不是周期函数 D、是奇函数,但不是周期函数

A 、是偶函数,也是周期函数 C、是奇函数,也是周期函数

补充练习题
1.函数 f ( x ) 是定义在 R 上的实函数,它既关于 x ? 5 对称,又关于 x ? 7 对称,那么 f ( x ) 的周期是( ) (A) 4 (B) 2 (C)

? 2

(D) ?

2.已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数,且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数, 则( ) (C) f ?7? ? f ?9? (D) f ?7? ? f ?10?

(A) f ?6? ? f ?7? (B) f ?6? ? f ?9?

3.定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数,又是周期函数, T 是它的一个正周期 .若将方程

f ( x) ? 0 在闭区间 ?? T , T ? 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为(
(A)0 (B)1 (C)3 (D)5



4. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) , 它具有下述性质: (1) 对任何 x ? R , 都有 f ( x ) ? f ( x) ;
3 3

(2) 对任何 x1 , x2 ? R ,x1 ? x2 , 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 则 f (0) ? f (1) ? f (?1) 的值为 ( (A)0 (B)1 (C) ?1 (D)不确定



5.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 3 ,当 x ? [0,1] 时,

f ( x) ? 2 ? x ,则 f (?2005.5) ?
6. (第 5 届希望杯)



函数 f ( x ) 是定义域为 [?1,1] 的奇函数,且为增函数, f (1 ? a) ? f (1 ? a2 ) ? 0 ,则实数 a 的 取值范围是 7 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) , 恒 有 f ( x? y) ? f ( x)? f ( y . ) 若 f (16) ? 4 , 那 么

f (2003) ?



8.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,并对一切实数 x ,都满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) . (1)证明:函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称; (2)若 f ( x ) 又是偶函数,且 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? 2 x ?1 ,求 x ? [?4,0] 时的 f ( x ) 的表达 式

9. ( 2005 年 广 东 高 考 ) 设 函 数 f ( x) 在 (??,??) 上 满 足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,

f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区间 [0, 7] 上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 .
(1)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性; (2)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?2005 ,2005 ] 上的根的个数,并证明你的结论.

抽象函数满足条件 1

代表函数

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x) ? kx ( k ? 0 )

2

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
3

f ( x) ? a x ( a ? 0, a ? 1 )

f ( x) ? loga x
( a ? 0, a ? 1 )

f(

x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) x2

4 5

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f ( x1 ? x2 x ?x )? f ( 1 2 ) 2 2

f ( x) ? xa
f ( x) ? cos x

6

f ( x ? 1) ?

1 ? f ( x) 1 ? f ( x)

f ( x) ? tan

?x
4 1? x 1? x

7

x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( 1 2 ) 1 ? x1 x2

f ( x) ? log a

8

f ( x) ? ?

1 f ( x)

f ( x) ? loga x 或
f ( x) ? x ? 1 x


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