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高一小班数学学案三:集合的基本关系和运算


罗高老校区高一小班数学学案 3

1.1.2

集合间的基本关系与运算 )

一、基础达标 1.(2016· 浙江温州十校联合体高一期中)如果 A={x|x>-1},那么正确的结论是(

A.0?A B.{0}∈A C.{0}?A D.?∈A 2.已知集合 A={x|x 是平行四边形},B={x

|x 是矩形},C={x|x 是正方形},D={x|x 是菱形}, 则( ) A.A?B B.C?B C.D?C D.A?D 3.定义集合运算 A◇B={c|c=a+b,a∈A,b∈B},若 A={0,1,2},B={3,4,5},则集合 A◇B 的子 集个数为( ) A.32 B.31 C.30 D.14 4.已知集合 A={2,-1},B={m2-m,-1},且 A=B,则实数 m=( ) A.2 B.-1 C.2 或-1 D.4 5.已知集合 A={x|1≤x<4},B={x|x<a},若 A?B,则实数 a 的取值集合是( ) A.{a|a≥4} B.{a|a>4} C.{a|a≤4} D.{a|a<4} 6.能正确表示集合 M={x|0≤x≤2}和集合 N={x|x2-2x=0}的关系的 Venn 图是(

)

7.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m2},若 B?A,则实数 m= 8.若 A= ,B={(x,y)|y=ax2+1},且 A?B,则 a= .

.

9.已知集合 A={1,a,b},B={a,a2,ab},且 A=B,求实数 a,b 的值. 10.已知集合 M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5,或 x>4},则 M∪N=( ) A.{x|x<-5,或 x>-3} B.{x|-5<x<4} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<-3,或 x>5} 11.已知集合 A={x|x=2n-3,n∈N},B={-3,1,4,7,10},则集合 A∩B 中元素的个数为( A.5 B.4 C.3 D.2 12.已知集合 A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则 A∩B=( ) A.? B.{2} C.{0} D.{-2} 2 2 13.若集合 M={(x,y)|x+y=0},N={(x,y)|x +y =0,x∈R,y∈R},则有( ) A.M∪N=M B.M∪N=N C.M∩N=M D.M∩N=? 14.若 A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为(

)

)

A.{2}

B.{3}

C.{-3,2}

D.{-2,3}

1

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15.已知集合 S={直角三角形},集合 P={等腰三角形},则 S∩P= 16.已知集合 A={2,3},B={2,6,8},C={6,8},则(C∪A)∩B= . 17.已知集合 A={x|x≤1},B={x|x≥a},且 A∪B=R,则实数 a 的取值范围是 18.已知集合 A= ,集合 B={x|3>2x-1},求 A∩B,A∪B. .

.

19.已知 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}. (1)若 A∪B=B,求 a 的值; (2)若 A∩B=B,求 a 的值.

20.已知集合 A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}. (1)若 A?B,求 a 的取值范围; (2)若 B?A,求 a 的取值范围.

2

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二、能力提升
1.若 x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B= ,则集合 A,B 间的关系为( )

A.A?B B.A?B C.A=B D.A?B 2.已知集合 A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使 A?B 成立的实数 a 的取值集合是 ( ) A.{a|3<a≤4} B.{a|3≤a≤4} C.{a|3<a<4} D.? 3.若 B={1,2},A={x|x?B},则 A 与 B 的关系是( A.A∈B B.B∈A C.A?B

) D.B?A

4.已知集合 M={x|x2+2x-8=0},N={x|(x-2)(x-a)=0},若 N?M,则实数 a 的值 是 . 5.如果集合 M={(x,y)|x+y<0,xy>0},P={(x,y)|x<0,y<0},那么 M 与 P 的关系 为 . 6.已知集合 A= ,B= ,C= ,则集合

A,B,C 之间的关系是 . 7.若 X={0,1,2,4,5,7},Y={1,4,6,8,9},Z={4,7,9},则(X∩Y)∪(X∩Z)等于( A.{1,4} B.{1,7} C.{4,7} D.{1,4,7} 8.已知集合 M={a,0},N={1,2},且 M∩N={2},则 M∪N=( A.{a,0,1,2} B.{1,0,1,2} C.{2,0,1,2} D.{0,1,2} )

)

9 已知集合 A={x|-3≤x≤8},B={x|x>a},若 A∩B≠?,则 a 的取值范围是( A.a<8 B.a>8

)

C.a>-3 D.-3<a≤8 10.已知集合 A={5,a+1},集合 B={a,b}.若 A∩B={2},则 A∪B= . 11.已知集合 A={x|x<1,或 x>5},B={x|a≤x≤b},且 A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则 2a-b= . 12.若集合 A={x|3ax-1=0},B={x|x2-5x+4=0},且 A∪B=B,则 a 的值是 . 13.(2016· 贵州凯里一中高一期中)集合 A={x|ax2-2x+2=0},集合 B={y|y2-3y+2=0},如果 A?B,求实数 a 的取值集合.

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14 已知集合 A={x|-1≤x≤6},B={x|m-1≤x≤2m+1},且 B?A. (1)求实数 m 的取值集合; (2)当 x∈N 时,求集合 A 的子集的个数.

15. (2016· 四川宜宾三中高一期中)集合 2 A={x|x -ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}. (1)若 A∩B=A∪B,求 a 的值; (2)若??A∩B,A∩C=?,求 a 的值.

16.已知集合 A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1,或 x>16}. (1)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围; (2)若 A?(A∩B),求实数 a 的取值范围.

4

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1 . 1 .2

集合间的基本关系
一、A 组
)

1.(2016· 浙江温州十校联合体高一期中)如果 A={x|x>-1},那么正确的结论是(

A.0?A B.{0}∈A C.{0}?A D.?∈A 解析:∵0∈A,∴{0}?A. 答案:C 2.已知集合 A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是矩形},C={x|x 是正方形},D={x|x 是菱形}, 则( ) A.A?B B.C?B C.D?C D.A?D 解析:正方形是邻边相等的矩形. 答案:B 3.定义集合运算 A◇B={c|c=a+b,a∈A,b∈B},若 A={0,1,2},B={3,4,5},则集合 A◇B 的子 集个数为( ) A.32 B.31 C.30 D.14 解析:∵A={0,1,2},B={3,4,5},又 A◇B={c|c=a+b,a∈A,b∈B},∴A◇B={3,4,5,6,7}. ∵集合 A◇B 中共有 5 个元素,∴集合 A◇B 的所有子集的个数为 25=32.故选 A. 答案:A 4.已知集合 A={2,-1},B={m2-m,-1},且 A=B,则实数 m=( ) A.2 B.-1 C.2 或-1 D.4 2 2 解析:∵A=B,∴m -m=2,即 m -m-2=0,∴m=2 或 m=-1. 答案:C 5.已知集合 A={x|1≤x<4},B={x|x<a},若 A?B,则实数 a 的取值集合是( A.{a|a≥4} B.{a|a>4} C.{a|a≤4} D.{a|a<4} 解析:将集合 A 表示在数轴上(如图所示),

)

要满足 A?B,表示数 a 的点必须在表示 4 的点处或在表示 4 的点的右边,所以所求 a 的取值集合为{a|a≥4}. 答案:A 6.能正确表示集合 M={x|0≤x≤2}和集合 N={x|x2-2x=0}的关系的 Venn 图是(

)

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解析:解 x2-2x=0,得 x=2 或 x=0,则 N={0,2}.又 M={x|0≤x≤2},则 N?M,故 M 和 N 对应的 Venn 图如选项 B 所示. 答案:B 7.已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m2},若 B?A,则实数 m= . 2 解析:集合 A,B 中均含有元素 3,由 B?A,得 B 中另一元素 m 一定与 A 中元素-1,2m-1 中的 一个相等. 又-1<0,m2≥0,则 m2=2m-1,解得 m=1. 答案:1 8.若 A= 解析:A= ,B={(x,y)|y=ax2+1},且 A?B,则 a= ={(2,-1)}, .

∵A?B,∴-1=a×22+1, ∴a=- .
答案:9.已知集合 A={1,a,b},B={a,a2,ab},且 A=B,求实数 a,b 的值. 解:∵A=B,且 1∈A,∴1∈B. 若 a=1,则 a2=1,这与集合中元素的互异性矛盾, ∴a≠1. 若 a2=1,则 a=-1 或 a=1(舍去). ∴A={1,-1,b}, ∴b=ab=-b,即 b=0. 若 ab=1,则 a2=b,得 a3=1,即 a=1(舍去). 故 a=-1,b=0. 10. 导学号 29900012 已知集合 A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}. (1)若 A?B,求 a 的取值范围; (2)若 B?A,求 a 的取值范围. 解:(1)若 A?B,由图可知,a>2.

(2)若 B?A,由图可知,1≤a≤2.

二、B 组

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1.若 x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B= A.A?B 解析:∵B= B.A?B C.A=B

,则集合 A,B 间的关系为( D.A?B

)

={(x,y)|y=x,且 x≠0},

∴B?A.
答案:B 2.已知集合 A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使 A?B 成立的实数 a 的取值集合是 ( ) A.{a|3<a≤4} C.{a|3<a<4} 解析:∵A?B, B.{a|3≤a≤4} D.?


解得 3≤a≤4. 经检验知当 a=3 或 a=4 时符合题意.

故 3≤a≤4. 答案:B 3.若 B={1,2},A={x|x?B},则 A 与 B 的关系是(

)

A.A∈B B.B∈A C.A?B D.B?A 解析:∵B 的子集为{1},{2},{1,2},?, ∴A={x|x?B}={{1},{2},{1,2},?},∴B∈A. 答案:B 4.已知集合 M={x|x2+2x-8=0},N={x|(x-2)(x-a)=0},若 N?M,则实数 a 的值 是 . 2 解析:M={x|x +2x-8=0}={2,-4}. 当 a≠2 时,N={x|(x-2)(x-a)=0}={2,a}. ∵N?M,

∴a=-4.
当 a=2 时,N={x|(x-2)(x-a)=0}={2},此时 N?M,符合题意. 答案:-4 或 2 5.如果集合 M={(x,y)|x+y<0,xy>0},P={(x,y)|x<0,y<0},那么 M 与 P 的关系 为 . 解析:因为 xy>0,所以 x,y 同号. 又因为 x+y<0,所以 x<0,y<0,即集合 M 表示第三象限内的点.而集合 P 也表示第三象 限内的点,故 M=P.

7

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答案:M=P 6. 导学号 29900013 已知集合 A= 的关系是 解析:∵A= B= = C= , , ,B= . , ,C= ,则集合 A,B,C 之间

又{x|x=6m+1,m∈Z}?{x|x=3n+1,n∈Z}, ∴A?B=C. 答案:A?B=C 7.(2016· 贵州凯里一中高一期中)集合 A={x|ax2-2x+2=0},集合 B={y|y2-3y+2=0},如果 A?B,求实数 a 的取值集合. 解:化简集合 B 得 B={1,2}. 由 A?B,知若 a=0,则 A={x|-2x+2=0}={1}?B. 若 a≠0,当 Δ=4-8a<0,即 a> 时,A=??B; 当 Δ=4-8a=0,即 a= 时,A={2}?B; 当 Δ=4-8a>0,即 a< ,且 a≠0 时,必有 A={1,2},所以 1,2 均为关于 x 的方程 ax2-2x+2=0 的实根,即 a-2+2=0,4a-4+2=0,这是不可能的. 所以实数 a 的取值集合为 .

8. 导学号 29900014 已知集合 A={x|-1≤x≤6},B={x|m-1≤x≤2m+1},且 B?A. (1)求实数 m 的取值集合; (2)当 x∈N 时,求集合 A 的子集的个数. 解:(1)①当 m-1>2m+1,即 m<-2 时,B=?符合题意. ②当 m-1≤2m+1,即 m≥-2 时,B≠?. 由 B?A,借助数轴(如图所示),

8

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解得 0≤m≤ .所以 0≤m≤ .

经验证知 m=0 和 m= 符合题意. 综合①②可知,实数 m 的取值集合为 (2)∵当 x∈N 时,A={0,1,2,3,4,5,6}, ∴集合 A 的子集的个数为 27=128. .

1 .1 .3

集合的基本运算
一、A 组

第 1 课时 并集和交集
1.已知集合 M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5,或 x>4},则 M∪N=( A.{x|x<-5,或 x>-3} B.{x|-5<x<4} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<-3,或 x>5} 解析:在数轴上分别表示集合 M 和 N,如图所示, )

则 M∪N={x|x<-5,或 x>-3}. 答案:A 2.已知集合 A={x|x=2n-3,n∈N},B={-3,1,4,7,10},则集合 A∩B 中元素的个数为( A.5 B.4 C.3 D.2 解析:由条件知,当 n=0 时,2n-3=-3;当 n=2 时,2n-3=1;当 n=5 时,2n-3=7. 所以 A∩B={-3,1,7}.故选 C. 答案:C 3.已知集合 A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则 A∩B=( ) A.? B.{2} C.{0} D.{-2} 解析:因为 B={-1,2},所以 A∩B={2}. 答案:B 4.若集合 M={(x,y)|x+y=0},N={(x,y)|x2+y2=0,x∈R,y∈R},则有( A.M∪N=M B.M∪N=N

)

)

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C.M∩N=M

D.M∩N=?

解析:集合 M 表示第二、四象限角的平分线,集合 N 表示坐标原点. 答案:A 5.若 A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为(

)

A.{2}

B.{3}

C.{-3,2}

D.{-2,3}

解析:A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为 A∩B,故 A∩B={2}. 答案:A 6.已知集合 S={直角三角形},集合 P={等腰三角形},则 S∩P= . 解析:S∩P 表示集合 S 和集合 P 的公共元素组成的集合,故 S∩P={等腰直角三角形}. 答案:{等腰直角三角形} 7.已知集合 A={2,3},B={2,6,8},C={6,8},则(C∪A)∩B= . 解析:∵A∪C={2,3}∪{6,8}={2,3,6,8}, ∴(C∪A)∩B={2,3,6,8}∩{2,6,8}={2,6,8}. 答案:{2,6,8} 8.已知集合 A={x|x≤1},B={x|x≥a},且 A∪B=R,则实数 a 的取值范围是 解析:用数轴表示集合 A,B,如图所示,

.

由于 A∪B=R,则在数轴上实数 a 与 1 重合或在 1 的左边,所以 a≤1. 答案:a≤1 9.已知集合 A= 解:解不等式组 ,集合 B={x|3>2x-1},求 A∩B,A∪B. 得-2<x<3,

即 A={x|-2<x<3}. 解不等式 3>2x-1,得 x<2,即 B={x|x<2}, 在数轴上分别表示集合 A,B,如图所示.

则 A∩B={x|-2<x<2},A∪B={x|x<3}. 10. 导学号 29900017 已知 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}. (1)若 A∪B=B,求 a 的值; (2)若 A∩B=B,求 a 的值. 解:(1)A={-4,0}. 若 A∪B=B,则 B=A={-4,0},解得 a=1. (2)若 A∩B=B,则 B?A.

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①若 B 为空集,则 Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,解得 a<-1; ②若 B 为单元素集合,则 Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0,解得 a=-1.
将 a=-1 代入方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0, 得 x2=0,即 x=0,B={0},符合要求; ③若 B=A={-4,0},则 a=1. 综上所述,a≤-1 或 a=1.

二、B 组
1.若 X={0,1,2,4,5,7},Y={1,4,6,8,9},Z={4,7,9},则(X∩Y)∪(X∩Z)等于( A.{1,4} B.{1,7} C.{4,7} D.{1,4,7} 解析:∵X∩Y={1,4},X∩Z={4,7}, )

∴(X∩Y)∪(X∩Z)={1,4,7}.
答案:D 2.已知集合 M={a,0},N={1,2},且 M∩N={2},则 M∪N=( A.{a,0,1,2} B.{1,0,1,2} C.{2,0,1,2} D.{0,1,2} )

解析:由于集合 M={a,0},N={1,2},且 M∩N={2},所以 a=2.故 M∪N={0,1,2}. 答案:D 3.已知集合 A={x|-3≤x≤8},B={x|x>a},若 A∩B≠?,则 a 的取值范围是( ) A.a<8 B.a>8 C.a>-3 D.-3<a≤8 解析:A={x|-3≤x≤8},B={x|x>a},要使 A∩B≠?,借助数轴可知 a<8.

答案:A 4.已知集合 A={5,a+1},集合 B={a,b}.若 A∩B={2},则 A∪B= 解析:∵A∩B={2},∴2∈A,故 a+1=2,a=1, 即 A={5,2};又 2∈B,∴b=2,即 B={1,2}, ∴A∪B={1,2,5}. 答案:{1,2,5}

.

5.已知集合 A={x|x<1,或 x>5},B={x|a≤x≤b},且 A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则 2a-b= . 解析:如图所示,可知 a=1,b=6,2a-b=-4.

答案:-4 6.若集合 A={x|3ax-1=0},B={x|x2-5x+4=0},且 A∪B=B,则 a 的值是 解析:∵B={1,4},A∪B=B,∴A?B.

.

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当 a=0 时,A=?,符合题意; 当 a≠0 时,A= ,∴ =1 或 =4,

∴a= 或 a= .
综上,a=0, 答案:0, 7. 导学号 29900018(2016· 四川宜宾三中高一期中)集合 2 2 A={x|x -ax+a -19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}. (1)若 A∩B=A∪B,求 a 的值; (2)若??A∩B,A∩C=?,求 a 的值. 解:由已知得 B={2,3},C={2,-4}. (1)∵A∩B=A∪B,∴A=B. .

∴2,3 是关于 x 的一元二次方程 x2-ax+a2-19=0 的两个根.
(2)由??A∩B?A∩B≠?. 又 A∩C=?,得 3∈A,2?A,-4?A. 由 3∈A,得 32-3a+a2-19=0,解得 a=5 或 a=-2. 当 a=5 时,A={x|x2-5x+6=0}={2,3},与 2?A 矛盾; 当 a=-2 时,A={x|x2+2x-15=0}={3,-5},符合题意.∴a=-2. 8. 导学号 29900019 已知集合 A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1,或 x>16}. (1)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围; (2)若 A?(A∩B),求实数 a 的取值范围. 解:(1)若 A=?,则 A∩B=?成立. 此时 2a+1>3a-5,即 a<6. 若 A≠?,如图,

得 a=5.



解得 6≤a≤7.

经检验 a=6,a=7 符合题意. 综上,满足条件 A∩B=?的实数 a 的取值范围是 a≤7. (2)因为 A?(A∩B),所以 A∩B=A,即 A?B. 显然 A=?满足条件,此时 a<6.

12

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若 A≠?,如图,

则 由 解得 a∈?;



解得 a> .

综上,满足条件 A?(A∩B)的实数 a 的取值范围是 a<6 或 a> .

13


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