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【走向高考】2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题2 函数的概念、图象与性质(含解析)


【走向高考】 (全国通用)2016 高考数学二轮复习 第一部分 微专题 强化练 专题 2 函数的概念、图象与性质

一、选择题 1.(文)(2014·新课标Ⅰ文,5)设函数 f(x),g(x)的定义域为 R,且 f(x)是奇函数,

g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 [答案] C [解析] 本题考查函数的奇偶性. 由 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,得

)

f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).
∴f(x)·g(x)是奇函数,|f(x)|g(x)是偶函数,

f(x)|g(x)|是奇函数,|f(x)g(x)|是偶函数,选 C.
[方法点拨] 函数奇偶性判定方法: 紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域关于坐标原点对称、 函数图象的对称性等对问题 进行分析转化,特别注意“奇函数若在 x=0 处有定义,则一定有 f(0)=0,偶函数一定有

f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.
(理)(2015·安徽理,2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A.y=cos x C.y=ln x [答案] A [解析] 考查函数的奇偶性和函数零点的概念. 由选项可知,B,C 项均不是偶函数,故排除 B,C;A,D 项是偶函数,但 D 项与 x 轴没 有交点,即 D 项的函数不存在零点,故选 A. 2.(文)函数 f(x)= 1-2 + A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3,0] [答案] A
x

)

B.y=sin x D.y=x +1
2

1

x+3

的定义域为( B.(-3,1]

)

D.(-∞,-3)∪(-3,1]

1

[解析] 本题考查了定义域的求法.
?1-2 ≥0, ? 由题意知? ?x+3>0, ?
x

?2 ≤1, ? 即? ?x>-3, ?

x

即?

?x≤0, ? ?x>-3, ?

∴-3<x≤0,∴f(x)定义域为(-3,0]. (理)函数 f(x)=ln(x -x)的定义域为( A.(0,1) C.(-∞,0)∪(1,+∞) [答案] C [解析] 本题考查函数定义域的求法. 由题设得 x -x>0,解得 x<0 或 x>1,选 C. [方法点拨] 1.求解函数的定义域一般应遵循以下原则: ①f(x)是整式时,定义域是全体实数;②f(x)是分式时,定义域是使分母不为零的一切 实数;③f(x)为偶次根式时,定义域是使被开方数为非负值时的实数的集合;④对数函数的 真数大于零,且当对数函数或指数函数的底数中含变量时,底数需大于 0 且不等于 1;⑤零 指数幂的底数不能为零;⑥若 f(x)是由有限个基本初等函数运算合成的函数,则其定义域 一般是各基本初等函数的定义域的交集;⑦对于求复合函数定义域的问题,一般步骤是:若 已知 f(x)的定义域为[a,b],其复合函数 f[g(x)]的定义域应由不等式 a≤g(x)≤b 解出; ⑧对于含字母参数的函数求其定义域, 根据具体情况需对字母参数进行分类讨论; ⑨由实际 问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. 2.高考中常将指数函数、对数函数与二次函数或幂函数(例如分式函数、含偶次方根的 函数)等结合起来考查,这时一般应从外到内逐层剥离解决. 例如,y= ,从总体上看是分式,故先由分母不为 0 得到 2-log3x≠0,再 2-log3x 1
2 2

) B.[0,1] D.(-∞,0]∪[1,+∞)

由偶次方根下非负得到 2-log3x>0,即 log3x<2,最后由对数函数单调性及对数函数定义域 得到 0<x<9. 3x-1, ? ?x<1, 3.(2015·山东理,10)设函数 f(x)=? 2, ? ?x≥1.
x

)则满足 f(f(a))=2

f(a)

的a的

取值范围是(

) B.[0,1] D.[1,+∞)

?2 ? A.? ,1? ?3 ? ?2 ? C.? ,+∞? 3 ? ?
[答案] C

2

[解析] 当 a≥1 时,f(a)=2 >1, ∴f(f(a))=2
f(a)

a

, 当 a<1 时, f(a)=3a-1, 若 f(f(a))=2

f(a)

, 则 f(a)≥1, 即 3a-1≥1,

2 2 2 ∴a≥ ,∴ ≤a<1,综上 a≥ .∴选 C. 3 3 3 [方法点拨] 1.分段函数求值或解不等式时, 一定要依据条件分清利用哪一段求解, 对 于具有周期性的函数要用好其周期性. 2.形如 f(g(x))的函数求值应遵循先内后外的原则. 1,x>0, ? ? 4.(2015·湖北理,6)已知符号函数 sgn x=?0,x=0, ? ?-1,x<0,

f(x)是 R 上的增函数,

g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则(
A.sgn [g(x)]=sgn x B.sgn [g(x)]=sgn [f(x)] C.sgn [g(x)]=-sgn x D.sgn [g(x)]=-sgn [f(x)] [答案] C

)

[解析] 考查新定义问题及函数单调性的应用. 因为 f(x)是 R 上的增函数,a>1,所以当 x>0 时,ax>x,f(x)<f(ax),g(x)<0;x =0 时,ax=x,f(x)=f(ax)=f(0),g(0)=0;x<0 时,ax<x,f(x)>f(ax),g(x)>0. -1,x>0, ? ? 因此 sgn[g(x)]=?0,x=0, ? ?1,x<0. 故本题正确答案为 C. 5.(文)函数 f(x)=ln(x +1)的图象大致是(
2

所以 sgn[g(x)]=-sgn x.

)

[答案] A [解析] ∵f(-x)=ln[(-x) +1]=ln(x +1)=f(x), ∴f(x)是偶函数,排除 C.∵x +1≥1,则 ln(x +1)≥0,且当 x=0 时 f(0)=0,所以
3
2 2 2 2

排除 B、D,选 A.
?kx+1,x≤0 ? (理)若函数 f(x)=? ?lnx, x>0, ?

则当 k>0 时,函数 y=f[f(x)]+1 的零点个数为

(

) A.1 C.3 [答案] D 1 [解析] 结合图象分析.当 k>0 时,f[f(x)]=-1,则 f(x)=t1∈(-∞,- )或 f(x) B.2 D.4

k

=t2∈(0,1).对于 f(x)=t1,存在两个零点 x1、x2;对于 f(x)=t2,存在两个零点 x3、x4, 共存在 4 个零点,故选 D.

1 2 6.函数 f(x)=log (x -4)的单调递增区间为( 2 A.(0,+∞) C.(2,+∞) [答案] D

)

B.(-∞,0) D.(-∞,-2)

1 1 [解析] 本题考查复合函数的单调性, f(x)=log (x2-4)由 y=log u 及 u=x2-4 复合 2 2 1 而成, y=log u 在定义域内为减函数,而 u=x2-4 在(-∞,-2)上是减函数,在(2,+∞) 2 1 2 上是增函数,所以 f(x)=log (x -4)的单调递增区间(-∞,-2),选 D. 2
? ?8x-8,x≤1, 7.(文)已知函数 f(x)=? ?0,x>1, ?

g(x)=log2x,则 f(x)与 g(x)两函数图象的

交点个数为( A.4 C.2 [答案] C

) B.3 D.1

[解析] 画出两函数的图象知,当 0<x<1 时,有一个交点,又 f(1)=g(1)=0;当 x>1

4

时,f(x)=0<g(x)恒成立,故选 C. 1 π π (理)函数 f(x)=log cosx(- <x< )的图象大致是( 2 2 2 )

[答案] C [解析] 解法 1: 由奇偶性定义易知函数为偶函数, 故其图象关于 y 轴对称, 排除 A, B; π 1 又 x∈[0, ]时,cosx∈(0,1],f(x)=log cosx>0,排除 D,故选 C. 2 2 π π 解法 2:利用复合函数单调性的判断方法,由于 u=cosx 在区间(- ,0)、(0, )上 2 2 1 1 π 分别为增函数和减函数, 而 y=log u 为减函数, 故复合函数 f(x)=log cosx 在区间(- , 2 2 2 π 0)、(0, )上分别为减函数和增函数,故选 C. 2 8.(文)如果我们定义一种运算:g?h=? 数 f(x-1)的大致图象是( )
?g?g≥h?, ? ?h?g<h?, ?

已知函数 f(x)=2 ?1,那么函

x

[答案] B
5

[解析] 由定义知,当 x≥0 时,2 ≥1,∴f(x)=2 ,当 x<0 时,2 <1,∴f(x)=1,
?2 ?x≥0?, ? ∴f(x)=? ?1?x<0?, ?
x

x

x

x

其图象易作,f(x-1)的图象可由 f(x)的图象向右平移 1 个

单位得到,故选 B. [方法点拨] 1.新定义题型要准确理解把握新定义的含义,发掘出其隐含条件. 2.恒成立问题要注意恒成立的临界点及特值法应用. 3.分段函数的单调性和最值问题,一般是在各段上分别讨论. (理)定义两种运算:a⊕b= a -b ,a?b= ?a-b? ,则函数 f(x)= ( ) A.奇函数 C.既是奇函数又为偶函数 [答案] A [解析] 本题考查对新运算的理解和应用以及函数奇偶性的判断方法,难度中等. 2⊕x 4-x 根据所给的运算定义得函数 f(x)= = ,求出函数的定义域为[- ?x?2?-2 |x-2|-2 2,0)∪(0,2],关于原点对称,且 x-2≤0,所以函数 f(x)=
2 2 2 2 2

2⊕x 为 ?x?2?-2

B.偶函数 D.非奇函数且非偶函数

4-x 4-x = = |x-2|-2 ?2-x?-2

2

2

4-x ,易知 f(-x)=-f(x),所以原函数为奇函数,故选 A. -x [易错分析] 本题中常见错误是不化简函数的解析式而直接将-x 代入, 导致选择错误 答案 D.
?log2?-x?,x<0 ? 9.(文)已知 f(x)=? ? ?f?x-5?,x≥0

,则 f(2013)等于( B.2 D.1

)

A.-1 C.0 [答案] D

[解析] ∵2013=403×5-2,∴f(2013)=f(-2)=log22=1. (理)(2014·湖南理,3)已知 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x) -g(x)=x +x +1,则 f(1)+g(1)=( A.-3 C.1 [答案] C [解析] 本题考查函数的奇偶性. 分别令 x=1 和 x=-1 可得 f(1)-g(1)=3 且 f(-1)-g(-1)=1? f(1)+g(1)=1,
6
3 2

) B.-1 D.3


?f?1?-g?1?=3, ? ? ?f?1?+g?1?=1. ?

??

?f?1?=2, ? ?g?1?=-1. ?

? f(1)+g(1)=1,故选 C.

10.(2015·浙江嘉兴测试一)偶函数 f(x)在[0,+∞)上为增函数,若不等式 f(ax- 1)<f(2+x )恒成立,则实数 a 的取值范围为( A.(-2 3,2) C.(-2 3,2 3) [答案] B [解析] 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用, 如何利用单调性构造不等式是解 答本题的关键所在,难度中等. 由于函数为偶函数,故 f(ax- 1)= f(|ax- 1|),因此 f(ax -1)<f(2+x )?f(|ax - 1|)<f(2+x ),据已知单调性可得 f(|ax-1|)<f(2+x )?|ax-1|<2+x ,据题意可得不等 式|ax-1|<2+x
2 2 2 2 2 2 2

) B.(-2,2) D.(-2,2 3)

? ?x -ax+3>0, 恒成立,即-(2+x )<ax-1<2+x ?? 2 ?x +ax+1>0 ?
2 2

2

恒成立,据二次函

数知识可知?

?a -12<0, ? ? ?a -4<0,
2

解得-2<a<2,故选 B.

[易错分析] 考生多因为分类讨论而使解答过程复杂化, 且讨论过程出错率也较高. 利 用整体思想将偶函数的条件拓展,利用整体性思想解决问题可以回避分类讨论的过程. 11.(文)若 f(x)=-x +2ax 与 g(x)= 值范围是( ) B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1]
2

a

x+1

在区间(1,2)上都是减函数,则实数 a 的取

A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1) [答案] D

[解析] 由 f(x)在(1,2)上为减函数得 a≤1; 由 g(x)= ∴0<a≤1.

a

x+1

在(1,2)上为减函数得 a>0,

1 2 2 (理)函数 f(x)=( )-x +2mx-m -1 的单调增区间与值域相同,则实数 m 的取值为 2 ( ) A.-2 C.-1 [答案] B [解析] ∵-x +2mx-m -1=-(x-m) -1≤-1,
2 2 2

B.2 D.1

7

1 2 2 ∴( )-x +2mx-m -1≥2, 2 ∴f(x)的值域为[2,+∞), 1 x 2 ∵y=( ) 单调递减,y=-(x-m) -1 的单调减区间为[m,+∞),∴f(x)的单调增区 2 间为[m,+∞). 由条件知 m=2. [方法点拨] 函数单调性判定方法 一是紧扣定义; 二是充分利用函数的奇偶性、 函数的周期性和函数图象的直观性进行分 析转化.函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇,要注意这些知识的综合运 用.三是利用导数研究. 对于选择、填空题若能画出图象一般用数形结合法;而对于由基本初等函数通过加、减 运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题; 对于解析式为分式、 指数 函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法;对于抽象函数一般用定义法. 12.(2015·浙江宁波期末)设函数 y=f(x)是定义在 R 上以 1 为周期的函数,若 g(x) = f(x) -2x 在区间 [2,3]上的值域为 [ - 2,6] ,则函数 g(x) 在 [ -2012,2012] 上的值域为 ( ) A.[-2,6] C.[-4020,4034] [答案] C [解析] 本题考查函数性质与归纳推理的应用, 考查对抽象函数的理解和应用, 难度较 大. 求出几个区间的值域,再进行归纳推理.当 x∈[3,4]时,x-1∈[2,3],g(x-1)=f(x -1)-2(x-1),且 g(x-1)∈[-2,6],又 f(x)的周期为 1,所以 f(x)-2x=f(x-1)-2x =g(x-1)-2∈[-4,4], 所以 g(x)在[2,4]内的值域为[-4,6]. 同理, 当 x∈[4,5]时, g(x) 的值域是[-6,2],所以 g(x)在[2,5]内的值域为[-6,6],?,g(x)在[2,2012]内的值域为 [-4020,6].g(x)在[1,2]内的值域为[0,8],g(x)在[1,2012]内的值域为[-4020,8],?, 所以 g(x)在[-2012,2012]内的值域为[-4020,4034],故选 C. [易错分析] 抽象函数值域的求解是一个难点, 尤其是与年份相关的周期函数的值域问 题,难度更大.利用函数的周期性及整体思想将函数进行变换,使函数 g(x)能够特殊化, 从而归纳得出结论. 13.(文)已知 f(x+1)为偶函数,且 f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,a=f(2)、b= B.[-4030,4024] D.[-4028,4016]

f(log32)、c=f( ),则有 (
A.a<b<c

1 2

) B.b<c<a
8

C.c<b<a [答案] D

D.a<c<b

[解析] ∵f(x+1)为偶函数,∴其图象关于 y 轴对称, ∴函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 又∵函数 f(x)在(1,+∞)上单调递减, ∴函数 f(x)在(-∞,1)上单调递增, 1 ∵f(2)=f(0),且 0< <log32, 2 1 ∴f(2)<f( )<f(log32),∴a<c<b. 2
?log2?1-x?+1,-1≤x<k ? (理)已知函数 f(x)=? 5 ?x -3x+2,k≤x≤a ?

,若存在 k 使得函数 f(x)的值域

是[0,2],则实数 a 的取值范围是( A.[ 3,+∞) C.(0, 3] [答案] B

) 1 B.[ , 3] 2 D.{2}

[解析] 当 a=2 时,f(x)=x -3x+2,k≤x≤2,f(2)=28 不合题意,∴a≠2,排除 1 1 1 1 2 2 A、D;当 a= 时,∵k≤x≤a,∴k≤ ,当 k= 时,-1≤x< , <1-x≤2,∴log2 <log2(1 3 3 3 3 3 3 2 -x)≤1,又 log2 <0,∴不合题意,排除 C,故选 B. 3 二、填空题 2a-3 14.(文)设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1,f(2)= ,则实 a+1 数 a 的取值范围是________. 2 [答案] (-1, ) 3 [解析] f(x+3)=f(x),f(-x)=-f(x),得 f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1),又

5

f(1)>1,所以 f(2)<-1,即

2a-3 2 <-1,解得-1<a< . a+1 3

(理)设 M 是由满足下列性质的函数 f(x)构成的集合:在定义域内存在 x0,使得 f(x0+ 1 x 2 1)=f(x0)+f(1)成立. 已知下列函数: ①f(x)= ; ②f(x)=2 ; ③f(x)=lg(x +2); ④f(x)

x

=cosπ x.其中属于集合 M 的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号). [答案] ②④

9

[解析]

对于①,方程

1 1 x +1 x = +1,显然无实数解;对于②,由方程 2 =2 +2,解 x+1 x
2 2

得 x=1; 对于③, 方程 lg[(x+1) +2]=lg(x +2)+lg3, 也无实数解; 对于④, 方程 cos[π (x 1 +1)]=cosπ x+cosπ ,即 cosπ x= ,显然存在 x 使等式成立,故填②④. 2 15.如图所示,f(x)是定义在区间[-c,c](c>0)上的奇函数,令 g(x)=af(x)+b,并 有关于函数 g(x)的四个论断:

①若 a>0,对于[-1,1]内的任意实数 m、n(m<n), ②函数 g(x)是奇函数的充要条件是 b=0; ③? a∈R,g(x)的导函数 g′(x)有两个零点;

g?n?-g?m? >0 恒成立; n-m

④若 a≥1,b<0,则方程 g(x)=0 必有 3 个实数根; 其中所有正确结论的序号是________. [答案] ①②③ [解析] ①∵g(x)=af(x)+b,∴

g?n?-g?m? a[f?n?-f?m?] = ,由图知对于 n-m n-m

f?n?-f?m? f(x)在[-1,1]上任意两点 A(m,f(m)),B(n,f(n)),有 kAB= >0,又 a>0, n-m


g?n?-g?m? >0 恒成立,故①正确; n-m
② g(x) 为奇函数 ?g( - x) =- g(x) ?af( - x) + b =- af(x) - b ?2b =- a[f( - x) +

f(x)],∵f(x)为奇函数,∴f(-x)+f(x)=0,故 g(x)为奇函数?b=0,故②正确;
③g′(x)=af ′(x),由图知 f(x)在[-c,c]上减、增、减, ∴f ′(x)在[-c,c]上取值为负、正、负,从而当 a≠0 时,g′(x)=0 在[-c,c]上 与 x 轴必有两个交点, 又 a=0 时, g′(x)=0 在[-c, c]上恒成立, ∴? a∈R, g′(x)在[-

c,c]上有两个零点,故③正确;
④取 a=1,b=-5,则 g(x)=f(x)-5 与 x 轴无交点,∴方程 g(x)=0 无实根,∴④ 错误. 三、解答题

10

1 16.已知函数 f(x)的定义域为 R,对任意的实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+ , 2 1 1 且 f( )=0,当 x> 时,f(x)>0. 2 2 (1)求 f(1); (2)判断 f(x)的增减性并证明. 1 1 1 1 1 [解析] (1)令 x=y= ,得 f(1)=f( )+f( )+ = . 2 2 2 2 2 (2)f(x)为增函数,证明:任取 x1、x2∈R,且 x2>x1,Δ x=x2-x1>0,则: 1 1 Δ y = f(x2) - f(x1) = f(x1 + Δ x) - f(x1) = f(Δ x) + f(x1) + - f(x1) = f(Δ x) + = 2 2

f(Δ x)+f( )+ =f(Δ x+ ),
1 1 1 又∵Δ x>0,∴Δ x+ > ,∴f(Δ x+ )>0, 2 2 2 ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在 R 上是增函数. [方法点拨] 抽象函数的求值与性质讨论, 常结合条件式通过赋值转化解决, 赋值时要 紧扣目标进行.如判断奇偶性要创设条件产生 f(-x)与 f(x)的关系式;判断单调性,则要 在设出 x1<x2 的条件下, 构造产生 f(x1)-f(x2)(或

1 2

1 2

1 2

f?x1? ), 朝着可判断正负(或可与 1 比较 f?x2?

大小)的方向转化.解抽象函数的不等式,则要将原不等式利用条件转化产生 f(x1)<f(x2)的 形式.

11



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