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内蒙古赤峰市宁城县2016届高三数学下学期第四次统一模拟考试试题 理


2016 年宁城县高三年级统一考试(5.10) 数学试卷(理科)
注意事项 : 1、本试卷本分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第(22)~ (24)题为选考题,其它题为必考题. 2、考生作答时,将答案答在答题卡上,写在本试卷上无效. 3、考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60

分,每小题给出的四个选项,只有一项 是符合题目要求的.
2 2 1. 已知集合 M ? x 3 x ? x ? 0 , N ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 ,则 M ? N ?

?

?

?

?

(A) ? 0,1?

(B) ?1,3?

(C) ? 0,3?

(D) ?3, ???

2. 设复数 z 的共轭复数为 z , i 为虚数单位,已知 ? 3 ? 4i ? z ? 1 ? 2i ,则 z =

1 2 (A) ? i 5 5

1 2 (B) ? ? i 5 5

1 2 (C) ? ? i 5 5

1 2 (D) ? i 5 5

3. 某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关, 于是随机抽取 1000 名成年人调查是否吸烟 及是否患有肺病,得到 2 ? 2 列联表,经计算得 K 2 ? 5.231 ,已知在假设吸烟与患肺病无关的 前提条件下, P( K 2 ? 3.841) ? 0.05, P( K 2 ? 6.635) ? 0.01 , 则该研究所可以( ) (A)有 95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” (B)有 95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” (C)有 99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关” (D)有 99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” 4. 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A)19 (C)8 (B)42 (D)3 开始

i ? 1, S ? 1
i ? i ?1 i ? 4?
否 输出 S 结束 是

S ? 2S ? i

5. 已知 a ? b ,函数 f ( x)=sin x , g ( x)= cos x . 命题 p: f (a) ? f (b) ? 0 , 命题 q:函数 g ( x) 在区间 ( a, b) 内有最值.则命题 p 是 命题 q 成立的 (A) 充分不必要条件 (C) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (D) 既不充 分也不必要条件

1

6.如图,矩形 OABC 内,阴影部分是由直线 y ? x ? 4 ,曲线

y ? 2 x 以及 x 轴围成,在矩形内随机取一点,则此点取自
阴影部分的概率是

( A)

7 12

( B)

5 12

(C )

1 2

( D)

2 3

7.函数 y ? Asin ??x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 一个周期的图像如图所示,则 (A) A ? 2, ? ? 2, ? ? (B) A ? 2, ? ? 2, ? ?

3? 4 5? 4
π 2

y 2

1 3? (C) A ? 2, ? ? , ? ? 2 4
(D) A ? 2, ? ?

O

3π 2

7π 2

x

1 5? ,? ? 2 4

8.右图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱, 圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图 形表达了阿基米德最引以为自豪的发现.圆柱的体积与球的体积之比和 圆柱的表面积与球的表面积之比分别为 (A)

3 ,1 2

(B)

4 ,1 3

(C)

3 3 , 2 2

(D)

4 4 , 3 3

9.已知 F1 、 F2 是椭圆 C 的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆的内部,则椭 圆 C 的离心率的取值范围( (A) (0, 1) 10. 已知函数 f ( x) ? ? (B) (0, )

1 ] 2

(C) (0,

2 ) 2

(D) [

2 , 1) 2

? 2? x ? 1,

x ? 0,

? f ( x ? 1), x ? 0.

若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的实数

根,则实数 a 的取值范围是 (A) ? 0,1? (B) ? ?? ,1? (C) ?0, ? ?? (D) ? ??,1?

2

11. 点 P 是在△ ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA , AB=2 , AC=3 ,

uu r uur

uur uuu r

uuu r uu r

uu u r uu u r uuu r ?A ? 60? .存在实数 ? , ? ,使 AP ? ? AB ? ? AC ,则
(A) ? ?

2 1 ,? ? 3 9
2

(B) ? ?

1 2 ,? ? 3 9

(C) ? ?

2 1 ,? ? 3 3

(D) ? ?

2 2 ,? ? 3 9

12. 若圆 ? x ? 1? ? y 2 ? r 2 ? r ? 0? 与曲线 x( y ? 1) ? 1 的没有公 共点,则半径 r 的取值范围是 (A) 0 ? r ? 2 (B) 0 ? r ?
11 2

(C) 0 ? r ? 3

(D) 0 ? r ?

13 2

2016 年宁城县高三年级统一考试(5.10) 数学试卷(理科) 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题?第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第 22 题?第:24 题为选考题,考生根据要求作 答. 二、填空题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.化简 1 ?

?

x

? ? ?1? x ?
5

5

按 x 升幂排列为


1

14.某三棱椎的三视图如图所示, 则其体积为 .
1 主视图 1 2 1

3 左视图

? x ? 0, ? 15.已知 x, y 满足 ? y ? x, (k 为常数) ,若 ? x ? y ? k. ?

z ? x ? 2 y 最大值为 8,则 k =________.
16.在△ABC 中, BC ?

俯视图

2, ?B ?

?
4

,则 AB ? 2 AC 的最小值为 ___________.

三、解答题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

3

17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,且 a2 ? 4 , S5 ? 30 ,数列 {bn } 满足

b1 ? 2b2 ? ?? ? nbn ? an .
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求证: b1b2 ? b2b3 ? L ? bnbn?1 ? 4 .

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为正方形,点 M , N 分别 为线段 PB , PC 上的点, MN ? PB . (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAB ; (Ⅱ)当 PA ? AB ? 2 ,二面角 C ? AN ? D 大小为为

π 时,求 PN 的长. 3
P

M

N D A

B

C

19. (本小题满分 12 分) 某工厂新研发的一种产品的成本价是 4 元/件,为了对该产品进行合理定价,将该产品

4

按事先拟定的价格进行试销,得到如下 6 组数据: 单价 x (元) 销量 y (件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

(Ⅰ)若 90 ? x ? y ? 100 ,就说产品“定价合理”,现从这 6 组数据中任意抽取 2 组 数据,2 组数据中“定价合理”的个数记为 X,求 X 的数学期望; (Ⅱ)求 y 关于 x 的线性回归方程,并用回归方程预测在今后的销售中,为使工厂获得 最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润 L =销售收入-成本)

?x ? a ? ?b ? 中系数计算公式: 附:线性回归方程 y

?? b

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i

n

?( x ? x)
i ?1 i

n

? x ,其中 x 、 y 表示样本均值. ? ? y ?b ,a

2

20 . (本小题满分 12 分)
2 已知抛物线 C : x ? 4 y , M 为直线 l : y ? ?1 上任意一点,过点 M 作抛物线 C 的两条

切线 MA, MB ,切点分别为 A , B . (Ⅰ)当 M 的坐标为 (0, ?1) 时,求过 M , A, B 三点的圆的方程; (Ⅱ)证明:以 AB 为直径的圆恒过点 M .

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e
1? x

(?a ? cos x) , a ? R .
5

(I)若函数 f ( x) 存在单调减区间,求实数 a 的取值范围; (II)若 a ? 0 ,证明: ?x ? ?? 1, ? ,总有 f (? x ? 1) ? 2 f ?( x) ? cos(x ? 1) ? 0 . 2

? ?

1? ?

请考生在第 (22) 、 (23) 、 (24) 三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分. 作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

6

如图,A、B 是圆 O 上的两点,且 AB 的长度小于圆 O 的直径,直线 l 与 AB 垂于点 D 且 与圆 O 相切于点 C.若 AB=2,DB=1 (1)求证:CB 为∠ACD 的角平分线; (2)求圆 O 的直径的长度.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos? ? 0 ,以极 点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平 面直角坐标系,直线 l 过点 M ? 3,0 ? ,倾斜角为

? . 6

(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于 AB 两点,求 MA ? MB .

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 若 ?x0 ? R ,使关于 x 的不等式 x ?1 ? x ? 2 ? t 成立,设满足条件的实数 t 构成的集
7

合为 T. (1)求集合 T ; (2)若 m ? 1, n ? 1 ,且对于 ?t ? T ,不等式 log3 m ? log3 n ? t 恒成立,求 m ? n 的最 小值.

8

2016 年宁城县高三年级统一考试(5.10) 数学试卷(理科)参考答案 一、选择题:ACBA ABDC CDAC 二、填空题:13、 2 ? 20 x ? 10 x ;14、
2

16 3 ;15、 ;16、 3 ? 1 . 3 3

三、解答题: 17.解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,由 a2 ? 4,S5 ? 30 得

?a1 ? d ? 4 ? 由? ??????????????2 分 5? 4 5 a ? d ? 30 1 ? ? 2
解得 a1 =2,d ? 2 ,????????????????4 分 故数列 {an } 的通项公式为: an ? 2 ? ? n ?1? ? 2 ? 2n ????????5 分 (Ⅱ)由(1)可得 b1 ? 2b2 ? ....... ? nbn ? 2n ①????????????6 分 所以当 n ? 2 时, b1 ? 2b2 ? ? ? (n-1)bn?1 ? 2(n ?1) ②?????????7 分

2 ?????????????????8 分 n 2 2 ? 又 b1 ? a1 ? 2 也满足 bn ? ,所以 bn ? ,n ? N .????????????9 分 n n
①-②得 nbn ? 2 ,即 bn ?

? bn ? bn ?1 ?

4 1 1 ? 4( ? ) ??????????????10 分 n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 ? b1b2 ? b2b3 ? ? ? bnbn ?1 ? 4(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 4(1 ? ) ? 4 ???12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1
18.(Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, AB ? BC , ??? ????1 分 因为 PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , 所以 PA ? BC . ???????2 分 因为 AB ? PA ? A ,且 AB , PA ? 平面 PAB , 所以 BC ? 平面 PAB ???????4 分

(Ⅱ)因为 PA ? 平面 ABCD , AB, AD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? AB , PA ? AD .

9

又 AB ? AD , 如图,以 A 为原点, AB, AD, AP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系

A ? xyz ,
所以 C (2,2,0), D(0,2,0), B(2,0,0), P(0,0,2) .

???????6 分
z P

? 设平面 DAN 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , ?? 平面 CAN 的一个法向量为 m ? (a, b, c) ,
???? ??? ? 设 PN ? ? PC , ? ? [0,1] ,
因为 PC ? (2,2, ?2) ,所以 AN ? (2?,2?,2 ? 2? ) ,
B x M N D A C y

??? ?

????

???? ? ? AN ? n ? 0 ???? ?2? x ? 2? y ? (2 ? 2? ) z ? 0 ? 又 AD ? (0,2,0) ,所以 ? ???? ? ,即 ? , ? ?2 y ? 0 ? AD ? n ? 0
取 z ?1, 得到 n ? (

?

? ?1 ,0,1) , ?
????

???????8 分

因为 AP ? (0,0,2) , AC ? (2,2,0)

??? ?

??? ? ?? ? ?2c ? 0 ? AP ? m ? 0 所以 ? ???? ?? ,即 ? , ? ?2a ? 2b ? 0 ? AC ? m ? 0
取 a ? 1 得, 到 m ? (1, ?1,0) , 因为二面 C ? AN ? D 大小为

??

???????10 分

?? ? ? π 1 , 所以 | cos ? m, n ?|? cos ? , 3 3 2

?? ? ?? ? m?n ? ? 所以 | cos ? m, n ?|? ?? ?? | m || n |
1 , 所以 PN ? 3 2

? ?1 1 ? ? 2 ? ?1 2 2 ( ) ?1 ?
???????12 分

解得 ? ?

19.解: (Ⅰ) X 取值为 0,1,2.使 90 ? x ? y ? 100 的有 3 组,所以 P( X ? 0) ?
1 1 C3 C3 3 C32 1 P( X ? 1) ? 2 ? , P( X ? 2) ? 2 ? . X 的分布列为 C6 5 C6 5

C32 1 ? , 2 C6 5

10

X
P

0

1

2

1 3 5 5 1 3 1 数学期望为 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 . 5 5 5
(Ⅱ)因为 x ? 8.5 , y ? 80 ,
n n

1 5
????6 分

? ( xi ? x )2 ? 0.7 , ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? ?14 .所以
i ?1 i ?1

? ? ?14 ? ?20 , a ? x ? 250 . y 关于 x 的线性回归方程是 y ? ?20 x ? 250 . ? ? y ?b b 0.7
利润 L ? x(?20x ? 250) ? 4(?20x ? 250) ? ?20x ? 330x ? 1000 .
2

当x??

330 ? 8.25 时, L 取最大值 361.25 . 2 ? (?20)
????12 分

故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润.

20.解: (Ⅰ)解:当 M 的坐标为 (0, ?1) 时,设过 M 点的切线方程为 y ? kx ? 1 ,

? x 2 ? 4 y, 2 由? 消 y 得 x ? 4kx ? 4 ? 0 . ? y ? kx ? 1,
2 令 ? ? (4k ) ? 4 ? 4 ? 0 ,解得 k ? ?1 .

(1)

代入方程(1),解得 A(2,1), B(?2,1) .

?????3 分

设圆心 P 的坐标为 (0, a ) ,由 PM ? PB ,得 a ? 1 ? 2 ,解得 a ? 1 . 故过 M , A, B 三点的圆的方程为 x ? ( y ? 1) ? 4 .
2 2

?????5 分

(Ⅱ)证明:设 M ( x0 , ? 1) ,由已知得 y ?

1 x2 x2 , y? ? x ,设切点分别为 A( x1 , 1 ) , 2 4 4

B ( x2 ,

x x x2 2 ) ,所以 k MA ? 1 , k MB ? 2 , 2 2 4 1 1 x12 x1 ? ( x ? x1 ) 即 y ? x1 x ? x12 , 2 4 4 2

切线 MA 的方程为 y ?

11

1 1 x2 2 x2 ? ( x ? x2 ) 即 y ? x2 x ? x2 2 . 切线 MB 的方程为 y ? 2 4 4 2
又因为 切线 MA 过点 M ( x0 , ? 1) ,所以得 ?1 ?

?????7 分

1 1 x0 x1 ? x12 . ① 2 4 1 1 2 又因为切线 MB 也过点 M ( x0 , ?1) ,所以得 ?1 ? x0 x2 ? x2 . ② 2 4 1 1 2 所以 x1 , x2 是方程 ?1 ? x0 x ? x 的两实根, 2 4
由韦达定理得 x1 ? x2 ? 2x0 , x1 x2 ? ?4 . ?????9 分

uuu r uuu r x12 x2 2 ? 1) , MB ? ( x2 ? x0 , ? 1) , 因为 MA ? ( x1 ? x0 , 4 4
所以 MA ? MB ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? (

uuu r uuu r

x12 x2 ? 1)( 2 ? 1) 4 4

? x1 x2 ? x0 ( x1 ? x2 ) ? x0 2 ?

x12 x2 2 1 ? ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? ? ? 1. 16 4?

将 x1 ? x2 ? 2x0 , x1 x2 ? ?4 代入,得 MA ? MB ? 0 . 所以以 AB 为直径的圆恒过点 M . 21.解: (I)由已知,得 ?????12 分

uuu r uuu r

f ?( x) ? ?e1? x (?a ? cos x) ? e1? x sin x ? e1? x (a ? (sin x ? cos x)) ??????2 分
因为函数 f ( x) 存在单调减区间,所以方程 f ?( x) ? 0 有解. 而e
1? x

? 0 恒成立,即 a ? (sin x ? cos x) ? 0 有解, 所以 a ? (sin x ? cos x)max .
2 sin( x ? ) ? ? 2 , 2 ,所以, a ? 2 . ?????5 分 4

又 sin x ? cos x ?

?

?

?

(II)因为 a ? 0 ,所以 f ( x) ? e1? x ? cos x , 所以 f (? x ?1) ? e
x ?2

? cos(? x ?1) ? e x?2 ? cos(x ? 1) .
1? x

因为 2 f ?( x) ? cos(x ? 1) ? ?2e

(sin x ? cos x) ? cos(x ? 1) ,

所以 f (? x ? 1) ? 2 f ?( x) ? cos(x ? 1) ? cos?x ? 1? e

?

x?2

? 2e1? x ?sin x ? cos x?

?
12

又对于任意 x ? ?? 1, ? , cos(x ? 1) ? 0 .???????????6 分 2

? ?

1? ?

要证原不等式成立,只要证 e x?2 ? 2e1? x (sin x ? cos x) ? 0 , 只要证 e
2 x ?1

? 2 2 sin( x ?

?

? 1? ) ,对于任意 x ? ?? 1, ? 上恒成立. ??????8 分 4 ? 2?

设函数 g ( x) ? 2 x ? 2 ? 2 2 sin( x ?

?

? 1? ) , x ? ?? 1, ? , 4 ? 2? 2 ? ? cos(x ? )) , 2 4

则 g ?( x ) ? 2 ? 2 2 cos( x ?

?
4

) ? 2 2(

当 x ? ?? 1,0? 时, g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 ?? 1,0? 上是减函数, 当 x ? ? 0, ? 时, g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 ? 0, ? 上是增函数, 2 2

? ?

1? ?

? ?

1? ?

所以,在 ?? 1, ? 上, g ( x)min ? g (0) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 . 2

? ?

1? ?

所以, 2 2 sin( x ? 设函数 h( x) ? e
2 x ?1

?
4

) ? 2x ? 2 , (当且仅当 x ? 0 时上式取等号)①?????10 分

? 1? ? (2x ? 2) , x ? ?? 1, ? ,则 h?( x) ? 2e2 x?1 ? 2 ? 2(e2 x?1 ?1) , ? 2? ? ? 1? ?

当 x ? ?? 1,? ? 时, h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在 ? ? 1,? ? 上是减函数, 2 2

? ?

1? ?

当 x ???

? 1 1? ? 1 1? , ? 时, h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在 ? ? , ? 上是增函数, ? 2 2? ? 2 2? ? ? 1? ?
1

所以在 ?? 1, ? 上, h( x) min ? h(? ) ? 0 ,所以 h( x) ? 0 , 2 2 即e
2 x ?1

1 ? 2x ? 2 , (当且仅当 x ? ? 时上式取等号)②. 2
2 x ?1

综上所述, e

? 2 x ? 2 ? 2 2 sin( x ? ) , 4
13

?

因为①②不可能同时取等号 所以 e
2 x ?1

? 2 2 sin( x ?

?

? 1? ) ,在 ?x ? ?? 1, ? 上恒成立, 4 2? ?
???12 分

所以 ?x ? ?? 1, ? ,总有 f (? x ? 1) ? 2 f ?( x) ? cos(x ? 1) ? 0 成立. 2

? ?

1? ?

四、选做题 22.(1)证明:由 切割线定理得 CD2=DA?DB=3,∴ 又∵在 Rt△CDB 中,CB =CD +BD =3+1=4 ∴在 Rt△CBA 中,CB=AB=2, ∴∠ACB=∠CAB 又∵CD 为圆 O 的切线, ∴∠BCD=∠CAB ∴∠BCD=∠ACB,CB 为∠ACD 的角平分 线 ????5 分 (2)解:连结 AO 并延长交圆 O 于点 E,连结 CE, 设 DC 延长线上一点为 F, ∵AE 为圆 O 直径,∴ ∵直线 l 与圆 O 相切于点 C.∴∠ACD=∠E,∠BCD=∠2, ∴∠1=∠2(等角的余角相等) ∴∠1=∠2=∠BCD=∠ACB ∴EC=BC=AB=2(相等的圆周角所对的弦相等) ∵AC2=AD2+CD2=9+3=12 ∴AE2=EC2+AC2=4+12=16 ∴AE=4 圆 O 的直径为 4 ??????????10 分
2 2 2
2 2 2

23.解: (1)对于 C:由 ? ? 4cos? 得? ? 4? cos?, ? x ? y ? 4x

14

? 3 x ? 3? t ? ? 2 ? t为参数 ? 对于 l : 由 ? ? y ? 1t ? ? 2
(2)设 A,B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 将直线 l 的参数方程带入圆的直角坐标方程 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0

? ? 3 ? 1 2 3 ? 得 ? 3+ t ? t ? 4 3 ? t? ?0 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 4 ? ?
化简得 t ? 3t ? 3 ? 0
2

2

?t1 ? t2 ? ? 3, t1t2 ? ?3 ? MA ? MB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ?
24.解:(I)

?t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 15

x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? ( x ? 2) ? 1

所以 x ? 1 ? x ? 2 ? 1 ,所以 t 的取值范围为 ? ??,1? .-----------------4 分 (Ⅱ)由(I)知,对于 ?t ? T ,不等式 log3 m ? log3 n ? t 恒成立,只需 log3 m ? log3 n ? tmax , 所以 log3 m ? log3 n ? 1 ,------------------------------------6 分 又因为 m ? 1, n ? 1 ,所以 log 3 m ? 0, log 3 n ? 0 .

? log3 m ? log3 n ? ? log3 mn ? 又 1 ? log3 m ? log3 n ? ? ? log3 m= log3 n时,取等号,此时m ? n ? ? ? 2 4 ? ?
2 2

所以 ? log 3 mn ? ? 4 ,所以 log 3 mn ? 2
2



mn ? 9 ,

所以 m ? n ? 2 mn ? 6 ,即 m ? n 的最小值为 6 此时m=n=3 .---------------10 分

?

?

15


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内蒙古赤峰市宁城县2016届高三数学上学期第一次统一考试试题 理

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