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2013高考数学重点公式


集合与简易逻辑
知识回顾: (一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 3 ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题 ? 逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题 ? 逆否命题. (二)含绝对值不等式、一元二

次不等式的解法及延伸 1.含绝对值不等式的解法 (1)公式法: ax ? b ? c ,与 ax ? b ? c(c ? 0) 型的不等式的解法. (2)定义法:用“零点分区间法”分类讨论. (3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +box>0(a>0)解的讨论.

??0
二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象 一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

ax 2 ? bx ? c ? 0

?a ? 0?的根
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x2?

?

?

(三)简易逻辑 1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题: “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单 命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式:p 或 q(记作“p∨q” );p 且 q(记作“p∧q” );非 p(记 作“┑q” ) 。 互 逆 原命题 逆命题 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 若 p则 q 若 q则 p 互 否 为 (1)“非 p”形式复合命题的真假与 F 的真假相反; 逆
互 否 互 为 互 逆 否 否 逆否命题 若 ┐q则 ┐p

否命题 若 ┐p则 ┐q

互 逆

(2)“p 且 q”形式复合命题当 P 与 q 同为真时为真,其他情况时为假; (3)“p 或 q”形式复合命题当 p 与 q 同为假时为假,其他情况时为真. 4、四种命题的形式: 原命题:若 P 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若┑P 则┑q;逆否命题:若┑q 则┑p。 6、如果已知 p ? q 那么我们说,p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件。 若 p ? q 且 q ? p,则称 p 是 q 的充要条件,记为 p?q.

函数
知识回顾: (一) 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因 为这二者确定后, 值域也就相应得到确定, 因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数 才是同一函数. (二)函数的性质 ⒈函数的单调性 定义:对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数; ⑵若当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格 的)单调性,这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性

4. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如: (x1 ? x 2)x1 ? x 2 ) ( 2 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? x 2 ?b 2 ? x 2 ?b 2 ? 1 2 2 x x ? b 2 ? x1 ? b 2 (三)指数函数与对数函数 指数函数

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质

a>1
4.5

0<a<1
4.5
4

图 象

4

3.5

3.5

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

y=1
1 0.5

y=1

0.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-4
-0.5

-3

-2

-1

1

2

3

4

-0.5

-1

-1

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)x>0 时,y>1;x<0 时,0<y<1 (5)在 R 上是增函数 ⑴对数运算 (4)x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1. (5)在 R 上是减函数

loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N (1) loga M ? loga M ? loga N N 1 loga M n logb N logb a

loga M n ? n loga ?? M ?12) loga n M ? a log a
N

?N

换底公式: a N ? log

推论: a b ? logb c ? logc a ? 1 log ? loga1 a2 ? loga 2 a3 ? ... ? loga n ?1 an ? loga1 an

对数函数的图像和性质

.函数的定义域的求法:布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数 的定义域.常涉及到的依据为①分母不为 0; ②偶次根式中被开方数不小于 0; ③对数的真数 大于 0,底数大于零且不等于 1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义 等. .函数值域的求法:①配方法(二次或四次);②“判别式法”;③换元法;④不等式法; ⑤函数的单调性法.

数列
等差数列 定义 递推公 式 通项公 式
a n?1 ? a n ? d a n ? a n?1 ? d ; a n ? a m?n ? md a n ? a1 ? (n ? 1)d

等比数列
a n ?1 ? q(q ? 0) an

a n ? a n?1q ; a n ? a m q n ? m
a n ? a1 q n?1 ( a1 , q ? 0 )

前 n 项 和

Sn ?

n (a1 ? a n ) 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1? q ? 1? q

?

?

重要性 质
am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q) m ? n ? p ? q)

看数列是不是等差数列有以下方法: ① an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 ) ⑶看数列是不是等比数列有以下方法: ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0)
2 ② a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n?1a n?1 ? 0 )


在等差数列{ a n }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

?a m ? 0 的项数 m 使 ?a m ?1 ? 0

得 s m 取最大值. (2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ?

?a m ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。 ?a m ?1 ? 0

(三)、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ?

?

c ? ? 其中{ a n }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数; ? a n a n ?1 ?

3.错位相减法:适用于 ?a n bn ? 其中{ a n }是等差数列, ?bn ?是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

三角函数
1. 三角函数的定义域: 三角函数 f (x) ? sinx
f (x) ? cosx f (x) ? tanx

?x | x ? R? ?x | x ? R?
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

定义域

2、同角三角函数的基本关系式: sin ? ? tan ?
cos?

2 s i n? ? c o 2 ? ?1 s

3、诱导公式:
把 k? “奇变偶不变,符号看象限” ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 2

三角函数的公式:(一)基本关系
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
tan( ? ? ) ? ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?
s i n? ? 2s i n c o ? 2 ? s
2 2 c o 2? ? c o 2 ? ? s i n ? ? 2 c o 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 s i n ? s s s

t a n? ? 2

2t a ? n 1? t a 2 ? n

4. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

定义域 值域 周期性 奇偶性
[?

R
[?1,?1]

R
[?1,?1]

R

2?

奇函数
?
2 ? 2k? ,

? 偶函数 奇函数 [?2k ? 1?? , ? ? ? ? ; ? ? ? k? , ? k? ? 2 2 2k? ] ? ?

2?

?
2

? 2k? ]

上为增函 数 ; 单调性
[

上为增函 数 [2k? , ?2k ? 1?? ] 上为减函 数 ( k ?Z )

上 为 增 函 数 ( k ?Z )


y

?

2 3? ? 2 k? ] 2

? 2 k? ,

x O

上为减函 数 k ?Z ) ( ② y ? sin(?x ? ? ) 或 y ? cos(?x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ? ④ y ? sin(?x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ?
2?

?

.

?
2

( k ? Z ),对称中心( k? ,0 ); y ? cos(?x ? ? )

的对称轴方程是 x ? k? ( k ? Z ),对称中心( k? ? 1 ? ,0 ); y ? tan( x ? ? ) 的对称中心 ?
2



k? ,0 ). 2

奇偶性的两个条件: 一是定义域关于原点对称 (奇偶都要),二是满足奇偶性条件, 偶函数: f (? x) ? f ( x) ,奇函数: f (? x) ? ? f ( x) )

奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y ? tan x 是奇函数, y ? tan(x ? 1 ? ) 是非奇非偶.(定 3 义域不关于原点对称) 奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f (x) 一定有 f (0) ? 0 .( 0 ? x 的定义域,则无此性 质)


⑨ y ? sin x 不是周期函数; y ? sin x 为周期函数( T ? ? );
y ? cos x 是周期函数(如图); y ? cos x 为周期函数( T ? ? );

y



y

x

1/2 x

y=cos|x|图象

1 y ? cos 2 x ? 的周期为 ? (如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如: 2

y=|cos2x+1/2|图象

y ? f ( x) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R .

三角函数图象的作法:
1)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线). 2)、利用图象变换作三角函数图象.

平面向量
向量的概念? (1)向量的基本要素:大小和方向.?(2)向量的表示:几何表示法 AB ;字母表示:a; 坐标表示法 a=xi+yj=(x,y).? (3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|.? (4)特殊的向量:零向量 a=O ? |a|=O.? 单位向量 aO 为单位向量 ? |aO|=1.? (5)相等的向量:大小相等,方向相同?(x1,y1)=(x2,y2) ? ?

? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2

(6) 相反向量:a=-b ? b=-a ? a+b=0 (7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称 为共线向量.? 3.向量的运算? 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质

? ? ? ? a?b ? b?a
向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则

? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

AB ? BC ? AC
向量的 减法 三角形法则

? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ? ? a ? b ? a ? (?b)

??? ? ??? ? AB ? ? BA , OB ? OA ? AB
1. ? a 是 一 个 向 量 , 满 数 乘 向 量 足: | ? a |?| ? || a | 2. ? >0 时, ? a与a 同向;

?

?

?

? ( ? a) ? (?? )a
? ? ? ? (? ? ? )a ? ? a ? ? a

?

?

? ? ? ?

? a ? (? x, ? y )

? ( a ? b) ? ? a ? ? b
? ? ? ? a // b ? a ? ? b ? ? ? ? a ?b ? b? a
? ? ? ? ? ? (? a) ? b ? a ? (? b) ? ? (a ? b)

? ?

?

?

? <0 时, ? a与a 异向;

? =0 时, ? a ? 0 .
? ? a ? b 是一个数
向 量 的 数 量 积

?

?

? ? ? ? 1. a ? 0或b ? 0 时, ? ? a ?b ? 0 . ? ? ? ? a ? 0且b ? 0时, 2. ? ? ? ? a ? ?| a || b | cos( a, b) b

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

? ? ? ? ? ? ? ( a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c
?2 ? ? ? a ?| a |2 即|a|= x 2 ? y 2

? ? ? ? | a ? b |?| a || b |

4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理? e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一 对实数λ 1, λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2.? (2)两个向量平行的充要条件? a∥b ? a=λ b(b≠0) ? x1y2-x2y1=O.? (3)两个向量垂直的充要条件? a⊥b ? a?b=O ? x1x2+y1y2=O.?

x1 ? x 2 ? , ?x ? 1 ? 2 OP = ( OP1 + OP2 )或 ? 中点公式 2 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ?
正、余弦定理? 2 2 2 正弦定理:余弦定理:a =b +c -2bccosA,? 2 2 2 b =c +a -2cacosB,? 2 2 2 c =a +b -2abcosC.? 三角形面积计算公式: 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念

不等(等)号的定义: a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b; a ? b ? 0 ? a ? b. 2.不等式的基本性质 (1) a ? b ? b ? a (对称性)(2) a ? b, b ? c ? a ? c (传递性) (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法单调性)(4) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相 加)(5) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (异向不等式相减)(6) a. ? b, c ? 0 ? ac ? bc (7) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (乘法单调性)(8) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向不等式 相乘) (9) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b (异向不等式相除) (10) a ? b, ab ? 0 ? 1 ? 1 (倒数关系)
c d

a

b

(11)a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? Z , 且n ? 1)(平方法则) (12)a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? Z , 且n ? 1) (开方法则) 3.几个重要不等式 (1) 若a ? R, 则 | a |? 0, a 2 ? 0 (2) 若a、b ? R ? , 则a 2 ? b 2 ? 2ab(或a 2 ? b 2 ? 2 | ab |? 2ab) (当仅当 a=b 时 取等号)(3)如果 a,b 都是正数,那么
ab ? a ? b (当仅当 a=b 时取等号) . 2

极值定理:若 x, y ? R ? , x ? y ? S , xy ? P, 则: 1 ○如果 P 是定值, 那么当 x=y 时,S 的值最小; 2 ○如果 S 是定值, 那么当 x=y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.
(4)若a、b、c ? R ? , 则 a?b?c 3 ? abc (当仅当 a=b=c 时取等号) 3

b a (5) 若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b

(6)a ? 0时,x |? a ? x 2 ? a 2 ? x ? ?a 或 x ? a; |

| x |? a ? x 2 ? a 2 ? ?a ? x ? a

不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 不等式的解法

直线和圆的方程
一、直线方程. 1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜 角,其中直线与 x 轴平行或重合时,其倾斜角为 0,故直线倾斜角的范围是
0 ? ? ? ? 180? (0 ? ? ? ? ) .

注:①当 ? ? 90? 或 x 2 ? x1 时,直线 l 垂直于 x 轴,它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与 x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都 有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ⑴两条直线平行: l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 两条直线平行的条件是:① l 1 和 l 2 是两条不重合的直线. ②在 l 1 和 l 2 的斜率 都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个―前提‖都会导致结论的 错误. (一般的结论是:对于两条直线 l 1,l 2 ,它们在 y 轴上的纵截距是 b1 ,b 2 ,则 l 1 ∥ l 2 ?k 1?k 2 ,

且 b1 ?b 2 或 l 1,l 2 的斜率均不存在,即 A1 B 2 ? B1 A 2 是平行的必要不充分条件,且 C 1?C 2 ) 推论:如果两条直线 l 1,l 2 的倾斜角为 ? 1,? 2 则 l 1 ∥ l 2 ?? 1?? 2 . ⑵两条直线垂直: 两条直线垂直的条件:①设两条直线 l 1 和 l 2 的斜率分别为 k 1 和 k 2 ,则有 l 1?l 2 ?k 1k 2 ? ?1 这 里的前提是 l 1,l 2 的斜率都存在. ② l 1?l 2 ?k 1? 0 ,且 l 2 的斜率不存在或 k 2 ? 0 ,且 l 1 的斜率不 存在. (即 A1 B 2 ? A 2 B1 ? 0 是垂直的充要条件) . 点到直线的距离: ⑴点到直线的距离公式:设点 P( x 0 , y 0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0, P 到 l 的距离为 d ,则有
d? Ax 0 ? By 0 ?C A2 ?B 2

.

注: 1. 两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式: | P1 P2 |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 . 特例:点 P(x,y)到原点 O 的距离: | OP |?

x2 ? y 2

2. 直线的倾斜角(0°≤ ? <180°)、斜率: k ? tan? 3. 过两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 )的直线的斜率公式:k ?

y 2 ? y1 . x 2 ? x1

( x1 ? x2 )

当 x1

? x2 , y1 ? y 2 (即直线和 x 轴垂直)时,直线的倾斜角 ? = 90? ,没有斜率

新疆 学案

王新敞

⑵两条平行线间的距离公式:设两条平行直线 l 1: Ax ? By ?C 1? 0,l 2 : Ax ? By ?C 2 ? 0(C 1?C 2 ) , 它们之间的距离为 d ,则有 d ?
C 1 ?C 2 A2 ?B 2

.

7. 关于点对称和关于某直线对称: ⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线,且这个点到两直线的距离相等. ⑵关于某直线对称的两条直线性质:若两条直线平行,则对称直线也平行,且两直线到对称 直线距离相等. 若两条直线不平行, 则对称直线必过两条直线的交点, 且对称直线为两直线夹角的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称,用中点表示两对称点,则中点在对称直线上(方程①),过两对 称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点. 二、圆的方程. 如果曲线 C 的方程是 f(x ,y)=0,那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是 f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程:以点 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . 特例:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是: x 2 ? y 2 ?r 2 . 3. 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
? D E? ,? ? ,半径 r ? 2? ? 2 D 2 ? E 2 ?4 F . 2

当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时,方程表示一个圆,其中圆心 C ? ?

当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时,方程表示一个点 ? ?

? D E? ,? ? . 2? ? 2

当 D 2 ? E 2 ?4F ? 0 时,方程无图形(称虚圆). 4. 点和圆的位置关系:给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ① M 在圆 C 内 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 ② M 在圆 C 上 ? x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 ( ③ M 在圆 C 外 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 5. 直线和圆的位置关系: 设圆圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 (r ? 0) ; 圆心 C (a, b) 到直线 l 的距离 d ? ① d ? r 时, l 与 C 相切; 附:若两圆相切,则 ?
? x 2 ? y 2 ? D 1 x ? E 1 y ? F 1? 0 ? ?x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0 ? ? 相减为公切线方程.

直线 l : Ax ? By ? C ? 0( A 2 ? B 2 ? 0) ;

Aa ? Bb ? C A2 ?B 2

.

C 1:x 2 ? y 2 ? D1 x ? E 1y ? F 1? 0 ② d ? r 时, l 与 C 相交; C 2 :x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 ? 0 附:公共弦方程:设 有两个交点,则其公共弦方程为 ( D1 ?D 2 ) x ? ( E 1?E 2 ) y ? ( F 1?F 2 ) ? 0 .

③ d ? r 时, l 与 C 相离. 由代数特征判断: 方程组 ? 其判别式为 ? ,则: ? ? 0 ? l 与 C 相切; ? ? 0 ? l 与 C 相交; ? ? 0 ? l 与 C 相离. 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上, 则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地, 过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上一 点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 .
? ?( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 用代入法, 得关于 x(或 y ) 的一元二次方程, ? ? Ax ? Bx ? C ? 0

圆锥曲线方程
一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义:
PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为椭圆, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹, PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程:

i. ii.

中心在原点,焦点在 x 轴上: x
a

2 2

?

y2 b2
2 2

? 1(a ? b ? 0) .
x2 b2 ? 1(a ? b ? 0) .

ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上: y
a

?

②一般方程: Ax 2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) .⑵①顶点: (?a,0)(0,?b) 或 (0,?a)(?b,0) .②轴:对称轴:x 轴 , y 轴 ; 长 轴 长 2a , 短 轴 长 2b .③ 焦 点 : (?c,0)(c,0) 或 (0,?c)(0, c) .④ 焦 距 :
F 1F 2 ? 2c, c ? a 2 ?b 2 .⑤准线: x ? ?

a2 a2 c 或y?? .⑥离心率: e ? (0 ? e ? 1) . c c a
2b 2 a2 ( ? c, b2 b2 ) 和 ( c, ) a a

⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标: d ? 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义:
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为双曲线 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹 PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

⑴① 双 曲 线 标 准 方 程 :
Ax 2 ?Cy 2 ? 1( AC ? 0) .

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a, b ? 0),

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a, b ? 0) . 一 般 方 程 :

⑵①i. 焦点在 x 轴上: 顶点: (a,0), (?a,0)
x2 a2 ? y2 b2 ?0

焦点: (c,0), (?c,0)

准线方程 x ? ?

a2 c

渐近线方程:

x y ? ?0或 a b

②轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. ③离心率 e ? ⑤参数关系 c 2 ?a 2 ?b 2 , e ?
c . a

c . a

④通径

2b 2 . a

⑥焦点半径公式:对于双曲线方程

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ( F 1,F 2 分别

为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) ⑶等轴双曲线: 双曲线 x 2 ? y 2 ? ? a 2 称为等轴双曲线, 其渐近线方程为 y ? ? x , 离心率 e ? 2 . 三、抛物线方程. 3. 设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 ? 2 px
y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


图形



y

y

y

x O

x O

x O
O

x

焦点

p F ( ,0) 2

F (?

p ,0) 2

p F (0, ) 2

F (0,?

p ) 2

准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0)
e ?1
PF ? p ? x1 2 PF ? p ? x1 2 PF ? p ? y1 2 PF ? p ? y1 2

注:通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. 四、圆锥曲线的统一定义.. :椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 定义 1. 到两定点 F1,F2 的距离 之和为定值 2a(2a>|F1F2|) 的点的轨迹 2.与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹.(0<e<1) 图形 方 标准 方程 双曲线 1.到两定点 F1,F2 的距 离之差的绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的 轨迹 2. 与定点和直线的距离 之比为定值 e 的点的轨 迹.(e>1) 与定点和直线的距离相等 的点的轨迹. 抛物线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b F1(c,0), F2(─c,0) (c= a ? b )
2 2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2
|x| ? a,y?R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0)

y2=2px

程 范围 中心 顶点 对称轴 焦点 焦距 2c 离心率 准线 x?0 (0,0) x轴

x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. F1(c,0), F2(─c,0) 2c (c= a ? b )
2 2

p F ( ,0 ) 2

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (e ? 1) a

e=1

a2 x= ? c

a2 x= ? c
y=±

x??

p 2

渐近线

b x a

焦半径 通径

r ? a ? ex
2b 2 a

r ? ?(ex ? a)
2b 2 a

r ? x?

p 2

2p

立体几何
平面. 1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 注:两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内. 2. 两个平面可将平面分成 3 或 4 部分.(①两个平面平行,②两个平面相交) 3. 过三条互相平行的直线可以确定 1 或 3 个平面.(①三条直线在一个平面内平行,②三条 直线不在一个平面内平行) 一、 空间直线. 1. 空间直线位置分三种:相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点;平行直 线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内 2. 异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异 面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) 3. 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角 相等 (如下图) . (二面角的取值范围? ? ?0? ,180 ? ? ) 1 1 2 (直线与直线所成角? ? ?0? ,90 ? ?) (斜线与平面成角? ? ?0 ? ,90 ? ? ) 2 (直线与平面所成角? ? ?0 ? ,90 ? ?) 方向不相同 方向相同 (向量与向量所成角 ? ? [0 ? ,180? ]) 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直角) 相等. 二、 直线与平面平行、直线与平面垂直. 1. 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内. 2. 直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条 直线和这个平面平行.(“线线平行,线面平行”) [注]:①直线 a 与平面 ? 内一条直线平行,则 a ∥ ? . (?)(平面外一条直线) ②直线 a 与平面 ? 内一条直线相交,则 a 与平面 ? 相交. (?)(平面外一条直线) ③若直线 a 与平面 ? 平行,则 ? 内必存在无数条直线与 a 平行. (√) (不是任意一条直线, 可利用平行的传递性证之) ④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. (?)(可能在此平 面内) ⑤平行于同一直线的两个平面平行.(?)(两个平面可能相交) ⑥平行于同一个平面的两直线平行.(?)(两直线可能相交或者异面) ⑦直线 l 与平面 ? 、 ? 所成角相等,则 ? ∥ ? .(?)( ? 、 ? 可能相交) 3. 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个 平面相交,那么这条直线和交线平行.(“线面平行,线线平行”) 直线与平面垂直的判定定理二: 如果平行线中一条直线垂直于一个平面, 那么另一条也垂直

于这个平面. 推论:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. [注]:①垂直于同一平面的两个平面平行.(?)(可能相交,垂直于同一条直线的两个平 .... ..... 面平行) ②垂直于同一直线的两个平面平行.(√)(一条直线垂直于平行的一个平面,必垂直于另 一个平面) ③垂直于同一平面的两条直线平行.(√) 三、 平面平行与平面垂直. 1. 空间两个平面的位置关系:相交、平行. 2. 平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,哪么这两个 平面平行.(“线面平行,面面平行”) 推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行. [注]:一平面间的任一直线平行于另一平面. 3. 两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平 行.(“面面平行,线线平行”) 4. 两个平面垂直性质判定一:两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二: 如果一个平面与一条直线垂直, 那么经过这条直线的平面垂直于 这个平面.(“线面垂直,面面垂直”) 四. 空间几何体 .异面直线所成角的求法: (1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线; (2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方 体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系; .直线与平面所成的角 .二面角的求法 .空间距离的求法(求点到直线的距离) 转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解; 正方体和长方体的外接球的直径等于其体对角线长;

概率 知识要点
1. 概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个,且所有结果出现的可能 1 性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是 ,如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那 n 么事件 A 的概率 P(A)?
m . n

3. ①互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率,等于事件 A、B 分别发生的概率和,即 P(A+B)=P(A)+P(B),推广: P(A1 ?A 2 ? ? ?A n ) ? P(A1 ) ? P(A2 ) ? ? ? P(An ) . ②对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. ............... 注意:i.对立事件的概率和等于 1: P(A)? P(A) ? P(A? A) ? 1 .
互斥 对立

ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事 件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率, 等于每个事件发生的概率的

积,即 P(A· B)=P(A)· P(B).

回归分析和独立性检验
第一步:提出假设检验问题 第二步:选择检验的指标 H 0 :吸烟与患肺癌没有关系 ? H 1 :吸烟与患肺癌有关系

n(ad ? bc)2 (它越小,原假设“H 0 :吸 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大;它越大,备择假设“H 1 :吸烟与患肺癌有关系” K2 ?
成立的可能性越大.
n ? ? xi yi ? nx y ? ?b ? i ?1 ? n 回归直线方程的求法: ? ? xi2 ? n( x)2 ? i ?1 ? ? a ? y ? bx ?


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