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高一数学指数运算及指数函数试题(有答案)


高一数学指数运算及指数函数试题 一.选择题 1.若 xlog23=1,则 3 +9 的值为( B ) A. 3 B. 6
x x

C. 2

D.

解:由题意 x=



所以 3 =
x

x

=2,
x x

所以 9 =4,所以 3 +9 =6 故选 B 2.若非零实数 a、b、c 满足 A. 1 解 解:∵ 答 : ∴设 B. 2 ,则 C. 3 的值等于( B ) D. 4

, =m,

a=log5m,b=log2m,c=2lgm, ∴ =

=2lgm(logm5+logm2) =2lgm?logm10 =2. 故选 B. ,则 a 等于( B. ) C. 2 D. 4

3.已知 A.

解:因为 解得 a=4 故选 D

所以

4.若 a>1,b>1,p= A. 1 B. b

,则 a 等于( C. logba

p

) D. alogba

解:由对数的换底公式可以得出 p= 因此,a 等于 logba. 故选 C. 5.已知 lg2=a,10 =3,则 log125 可表示为( C ) A. B. C.
b p

=loga(logba) ,

D.

解:∵lg2=a,10 =3, ∴lg3=b, ∴log125= = = .

b

故选 C. =( C ) B. C. a D.

6.若 lgx﹣lgy=2a,则 A. 3a

解:∵lgx﹣lgy=2a, ∴lg ﹣lg = lg ﹣ lg = (lg ﹣lg )

= lg = (lgx﹣lgy)= ?2a=a; 故答案为 C. ,若实数 a,b 满足 f(a)+f(b﹣2)=0,则 a+b=

7.已知函数 ( ) B. ﹣1

A. ﹣2

C. 0

D. 2

解:f(x)+f(﹣x)=ln(x+ ∵f(a)+f(b﹣2)=0 ∴a+(b﹣2)=0 ∴a+b=2 故选 D.

)+ln(﹣x+

=0

8. A. 1

=( B.

) C. ﹣2 D.

解:原式= 故选 B.

+2× lg +lg = +lg +lg = +1= ,

2

5

2

5

9.设 A. 1 解:∵ B. 2

,则 C. 3 ,

=(



D. 4



=

=(

)+(

)+(



= =3 故选 C

10. A. (1,2)

,则实数 a 的取值区间应为( C ) B. (2,3) C. (3,4) D. (4,5)

解:

=log34+log37=log328

∵3=log327<log328<log381=4 ∴实数 a 的取值区间应为(3,4) 故选 C.

11.若 lgx﹣lgy=a,则

=( A )

A. 3a

B.

C. a

D.

解: 故选 A.

=3(lgx﹣lg2)﹣3(lgy﹣lg2)=3(lgx﹣lgy)=3a

12.设

,则(



A. 0<P<1 解:

B. 1<P<2

C. 2<P<3

D. 3<P<4

=log112+log113+log114+log115 =log11(2×3×4×5) =log11120. ∴log1111=1<log11120<log11121=2. 故选 B. 13.已知 a,b,c 均为正数,且都不等于 1,若实数 x,y,z 满足 则 abc 的值等于( A ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ,

解:∵a,b,c 均为正数,且都不等于 1, 实数 x,y,z 满足 ∴设 a =b =c =k(k>0) , 则 x=logak,y=logbk,z=logck, ∴ ∴abc=1. 故选 A. =logka+logkb+logkc=logkabc=0,
x y z



14.化简 a ? A. a

2

? B.

?

的结果是( C ) C. a2 D. a3

解:∵a ?

2

?

?

=a ? = =a , 故选 C
2

2

?

?

15.若 x,y∈R,且 2 =18 =6 ,则 x+y 为( ) A. 0 B. 1 C. 1 或 2 解:因为 2 =18 =6 , (1)当 x=y=0 时,等式成立,则 x+y=0; x y xy (2)当 x、y≠0 时,由 2 =18 =6 得, xlg2=ylg18=xylg6, 由 xlg2=xylg6,得 y=lg2/lg6, 由 ylg18=xylg6,得 x=lg18/lg6, 则 x+y=lg18/lg6+lg2/lg6=(lg18+lg2)/lg6 =lg36/lg6=2lg6/lg6=2. 综上所述,x+y=0,或 x+y=2. 故选 D. 16.若 3 +9=10?3 ,那么 x +1 的值为( D ) A. 1 B. 2 C. 5 解:令 3 =t, (t>0) , 2 原方程转化为:t ﹣10t+9=0, 或 x x 所以 t=1 或 t=9,即 3 =1 3 =9 2 所以 x=0 或 x=2,所以 x +1=1 或 5 故选 D
x 2x x 2 x y xy

x

y

xy

D. 0 或 2

D. 1 或 5

17.已知函数 f(x)=4 ﹣a?2 +a ﹣3,则函数 f(x)有两个相异零点的充要条件是(D A. ﹣2<a<2 B. C. D. 解;令 t=2 ,则 t>0 2 2 若二次函数 f(t)=t ﹣at+a ﹣3 在(0,+∞)上有 2 个不同的零点, 2 2 即 0=t ﹣at+a ﹣3 在(0,+∞)上有 2 个不同的根
x

x

x

2





解可得,



故选 D

18.若关于 x 的方程 A. ≤a< B.

=3﹣2a 有解,则 a 的范围是( A ) a≥ C. <a< D. a>

解:∵1﹣

≤1,函数 y=2 在 R 上是增函数,∴0< ≤a< ,

x

≤2 =2,

1

故 0<3﹣2a≤2,解得 故选 A. 二.填空题 19.

,则 m=

10 .

解:由已知,a=log2 ,b=log5 . ∴ + =logm2+logm5=logm10=1 ∴m=10 故答案为:10.

m

m

20.已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,则

=



解:由题设 0<x<y ∵xy=9,∴

∴x+y﹣2

=

=12﹣6=6

x+y+2 ∴

= ,

=12+6=18

=

=



=

故答案为:

21.化简:

=

(或



) .

解: =

= = = . (或 或 ) .

故答案为:

22.

=

1 .

解:

=

= =1. 故答案为:1.

23.函数

在区间[﹣1,2]上的值域是 [ ,8] .

解:令 g(x)=x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1,对称轴为 x=1, ∴g(x)在[﹣1,1]上单调减,在[1,8]上单调递增, 又 f(x)=2 为符合函数, g(x) ∴f(x)=2 在[﹣1,1]上单调减,在[1, ,2]上单调递增, ∴f(x)min=f(1)= 又 f(﹣1)= ∴数 故答案为:[ ,8].
3 g(x)

2

2

= ; =2 =8,f(2)= =1,

在区间[﹣1,2]上的值域是[ ,8].

24.函数

的值域为 (0,8] .

解:令 t=x +2|x|﹣3= 结合二次函数的性质可得,t≥﹣3 ∴ 故答案为: (0,8]. ,且 y>0

2

=

25.函数 2,+∞) . .

(﹣3≤x≤1)的值域是 [3 ,3 ] ,单调递增区间是 (﹣

﹣9

9

解:
2

可以看做是由 y=

和 t=﹣2x ﹣8x+1,两个函数符合而成,

第一个函数是一个单调递减函数, 2 要求原函数的值域,只要求出 t=﹣2x ﹣8x+1,在[1,3]上的值域就可以, t∈[﹣9,9] 此时 y∈[3 ,3 ] 函数的递增区间是(﹣∞,﹣2], 故答案为:[3 ,3 ]; (﹣2,+∞)
﹣9 ﹣9

9

9

三.解答题 26.计算: (1) ;

(2)



解: (1)

=

= (2) = = =2+2﹣lg3+lg2+lg3﹣lg2+2 =6

27. (1)若

,求

的值;

(2)化简

(a>0,b>0) .

解: (1)∵ ∴x+x =9﹣2=7, 2 ﹣2 x +x =49﹣2=47, ∴ =
﹣1



=3×6=18,



=

= .

(2)∵a>0,b>0,



=

=

=

= .

28.已知函数 f(x)=4 ﹣2 +3. (1)当 f(x)=11 时,求 x 的值; (2)当 x∈[﹣2,1]时,求 f(x)的最大值和最小值. 解: (1)当 f(x)=11,即 4 ﹣2 +3=11 时, ) ﹣2?2 ﹣8=0 (2 x x ∴(2 ﹣4) +2)=0 (2 x x ∵2 >02 +2>2, x x ∴2 ﹣4=0,2 =4,故 x=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) x 2 x (2)f(x)=(2 ) ﹣2?2 +3 (﹣2≤x≤1) x 2 令∴f(x)=(2 ﹣1) +2 x 当 2 =1,即 x=0 时,函数的最小值 fmin(x)=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) x 当 2 =2,即 x=1 时,函数的最大值 fmax(x)=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)
29.已知函数
x x+1 x 2 x

x

x+1

f ( x) ? 2 x ?

1 . 2 | x|

(1)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值;

(2)若 2 f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ? [ 1, 2 ] 恒成立,求实数 m 的取值范围。
t

(1)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 由条件可知 2 x ?

1 . 2x

1 ? 2 ,即 2 2 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 0 , x 2 x 解得 2 ? 1 ? 2 . ? 2 x ? 0 ,? x ? log 2 1 ? 2 .

?

?

1 ? 1 ? ? ? (2)当 t ?[ 1, 2 ] 时, 2 t ? 2 2t ? 2t ? ? m? 2 t ? t ? ? 0 , 2 ? 2 ? ? ? 2t 4t 即 m 2 ?1 ? ? 2 ?1 .

?

? ?

?

? 2

2t

?1 ? 0 , ? m ? ? 22t ? 1 .

? t ?[ 1, 2 ], ? ? 1 ? 2 ?[ ? 17, ? 5 ] , 故 m 的取值范围是 [ ? 5, ? ? ) .
2t

?

?

?

?

30.如果函数 y ? a
x

2x

? 2a x ? 1(a ? 0, a ? 1) 在区间[—1,1]上的最大值是 14,求 a 的值。

当 a ? 1时, 设a ? t ,因为x ? [?1,1], 所以t ? [ , a],

1 a

1 则y ? t 2 ? 2t ? 1 ? (t ? 1) 2 ? 2, 在t ? [ , a ]上是单调递增函数, a 2 则y max ? (a ? 1) ? 2 ? 14, 故a ? 3. 1 当0 ? a ? 1时, 设a x ? t ,因为x ? [?1,1], 所以t ? [a, ], a 1 则y ? t 2 ? 2t ? 1 ? (t ? 1) 2 ? 2, 在t ? [a, ]上是单调递增函数, a 1 1 则y max ? ( ? 1) 2 ? 2 ? 14, 故a ? . a 3 1 综上知a ? 3或a ? . 3
31.已知关于 x 的方程 9 +m?3 +6=0(其中 m∈R) . (1)若 m=﹣5,求方程的解; (2)若方程没有实数根,求实数 m 的取值范围. 解: (1)当 m=﹣5 时,方程即为 9 ﹣5?3 +6=0, x 2 令 3 =t(t>0) ,方程可转化为 t ﹣5t+6=0, 解得 t=2 或 t=3, x x 由 3 =2 得 x=log32,由 3 =3 得 x=1, 故原方程的解为 1,log32. x (2)令 3 =t(t>0) . 2 方程可转化为 t +mt+6=0① 要使原方程没有实数根,应使方程①没有实数根,或者没有正实数根. 2 当方程①没有实数根时,需△ =m ﹣24<0, 解得﹣2 <m<2 ;
x x x x

当方程①没有正实数根时,方程有两个相等或不相等的负实数根, 这时应有 ,解得 m≥2 . .

综上,实数 m 的取值范围为 m>﹣2
32.已知函数

1 f ( x) ? ( ) x , x ? [?1,1],函数g ( x) ? f 2 ( x) ? 2af ( x) ? 3 的最小值为 h(a). 3

(Ⅰ)求 h(a); (Ⅱ)是否存在实数 m,n 同时满足下列条件: ①m>n>3; ②当 h(a ) 的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2]? 若存在,求出 m,n 的值;若不存在,说明理由. (Ⅰ)∵ x ? [?1,1],? ( ) x ? [ ,3].

1 3

1 3

1 1 3 3 1 1 28 2a 当 a ? 时,y min ? h(a) ? ? ( ) ? ; ? 3 3 9 3 1 当 ? a ? 3时,y min ? h(a) ? ? (a) ? 3 ? a 2 ; 3
当 a ? 3时,y min ? h(a) ? ? (3) ? 12 ? 6a.

设 t ? ( ) x , t ? [ ,3],则? (t ) ? t 2 ? 2at ? 3 ? (t ? a) 2 ? 3 ? a 2

? 28 2a ?9 ? 3 ? ? 2 ∴ h( a ) ? ?3 ? a ? ?12 ? 6a ? ?

1 (a ? ) 3 1 ( ? a ? 3) 3 (a ? 3)

(Ⅱ)∵m>n>3, ∴ h(a) ? 12 ? 6a在(,3 ? ?) 上是减函数. ∵ h(a ) 的定义域为[n,m];值域为[n2,m2],
2 ? ?12 ? 6m ? n ∴? ?12 ? 6n ? m 2 ?

① ②

②-①得: 6(m ? n) ? (m ? n)( m ? n), ∵m>n>3, ∴m+n=6,但这与“m>n>3”矛盾. ∴满足题意的 m,n 不存在


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