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高三理科数学立体几何专项复习题


作者:路人甲

立体几何复习专题
一、要求: (1)熟练掌握课本中的 基本概念、定理。 (2)积累各种常见题型的 解题方法: ① 基本概念型题(直接证明、画图形举反例) ② 证明类题:线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直。 ③ 计算类题:异面直线所成角、线面角、面面角、点到面的 距离、异面 直线间的 距 离、多面体的 体积、球面距离。 (各自常用的 方法是什么) (3)会用空间向量的 方法去解决上述问题。

二、典型例题讲解 例 1. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, CC1 ? AC ? BC ,
C1 A1 B1

?ACB ? 90? , P 是 AA1 的 中点, Q 是 AB 的 中点.
(1)求证: AB ? C 1 CQ (2)求异面直线 PQ 与 B1C 所成角的 大小; (3)求直线 PQ 与面 Q B1C 所成角的 正弦; (4)求二面角 A 1 -CQ-B 1 的 平面角的 余弦。

P
C
Q

B

A

例 2.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, (1)在棱 AD 上有一点 P,当
PA 为多少时,使二面角 D1-PC-D 的 大小等于 60° ? PD

(2)在(1)的 条件下,求直线 A1B1 与平面 CD1P 所成的 角.

作者:路人甲

例 3.如图,将长 AA′=3 3 ,宽 AA1=3 的 矩形沿长的 三等分线处折叠成一个三棱柱,如图所 示:

(1) 求平面 APQ 与底面 ABC 所成二面角的 正切值; (2) 求三棱锥 A1—APQ 的 体积.

例 4.如图,矩形 ABCD 与 ADQP 所在平面垂直,将矩形 ADQP 沿 PD 对折,使得翻折后点 Q 落在 BC 上,设 AB=1,PA=h,AD=y.

(1)试求 y 关于 h 的 函数解析式; (2)当 y 取最小值时,指出点 Q 的 位置,并求出此时 AD 与平面 PDQ 所成的 角; (3)在条件(2)下,求三棱锥 P—ADQ 内切球的 半径.

作者:路人甲

三、巩固练习 1、如图,已知面 ABC⊥面 BCD,AB⊥BC,BC⊥CD,且 AB=BC=CD,设 AD 与面 ABC 所成角 为 ? ,AB 与面 ACD 所成角为β ,则 ? 与β 的 大小关系为 (A) ? <β (B) ? =β (C) ? >β (D)无法确定 2、下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的 中点,这四个点中不共面的 一 ... 个图是
S P
P
P

S P
S

S P
P

S
S P
P S

R

S

R
R

P
P
P
Q

Q
Q
Q
P

R Q

Q
Q Q

R

R

R P R

P S
Q

P
R

P
S S
Q R

R QQ

R

Q

Q

Q Q

S

SS SR

R RR S

(A)

(B)

(C)

(D)

3、在棱长为 a 的 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P,Q 是对角线 A1C 上的 点,且 PQ= 棱锥 P-BDQ 的 体积为

a ,则三 2

3 3 (D)无法确定 a 24 4、已知球的 内接三棱锥的 三条侧棱两两垂直,长度分别为 3cm,2cm 和 3 cm,则此球的 体积为

(A)

3 3 a 36

(B)

3 3 a 18

(C)

(A)

12 3 ?cm3 3

(B)

16 3 ?cm3 3

(C)

16 ?cm3 3

(D)

32 ?cm3 3

5、如图,在一根长 11cm,外圆周长 6cm 的 圆柱形柱体外表面,用一根细铁丝缠绕,组成 10 个螺旋,如果铁丝的 两端恰好落在圆柱的 同一条母线上,则铁丝长度的 最小值为
(A) 61cm (B) 157 cm (C) 1021 cm (D)10 37 cm

6、设 a、b 是两条不同的 直线, ? 、 ? 是两个不同的 平面,则下列四个命题: ① 若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 b // ? ;②若 a // ? , ? ? ? ,则 a ? ? ; ③若 a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? 或 a ? ? ;④若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? 其中正确命题的 个数为 A.0 B.1 ( D.3 )

C.2

7、正三棱锥 S — ABC 的 侧棱长和底面边长相等,如果 E、F 分别为 SC,AB 的 中点,那么 异面直线 EF 与 SA 所成角为 A. 90 0 B. 60 0 C. 45 0 D. 30 0 ( )

8.右图是正方体的 平面展开图,在这个正方体中: ①BM 与 DE 平行; ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60°角

作者:路人甲

④DM 与 BN 垂直 以上四个命题中,正确的 是 A.①②③ B.②④



) C.②③④

D.③④ )

9.将棱长为 1 的 正方体木块切削成一个体积最大的 球,则该球的 体积为( A.

3 ? 2

B.

2 ? 3

C.

? 6

D.

4? 3


10.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 BC 的 中点,则 A1C 与 DE 所成的 角的 余弦为( A.

15 15

B.

10 15

C.

30 6

D.

10 10

11.有 3 个命题 (1)底面是正三角形,其余各个面都是等腰三角形的 棱锥是三棱锥; (2)各个侧面都是等腰三角形的 四棱锥是正四棱锥; (3)底面是正三角形,相邻两侧面所成的 二面角都相等的 三棱锥是正三棱锥。 其中假命题的 个数是 A.0 B.1 C.2
?

( D.3



12、一个水平放置的 平面图形的 斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和上底边均为 1 的 等腰 梯形,则这个平面图形的 面积是 ( ) A.

1 2 ? 2 2

B. 2 ? 2

C. 1? 2

D.

1?

2 2

13、在空间四边形 ABCD 各边上分别取 E、F、G、H 四点,如果 EF 和 GH 能相交于点 P,那么 (A)点 P 必在直线 AC 上 (C)点 P 必在平面 ABC 内 为 5,体积为 2,则 (A)
1 1 1 ? ? ? a b c

(B)点 P 必在直线 BD 上 (D)点 P 必在平面上 ABC 外

14、设长方体的 三条棱长分别为 a,b,c,若长方体所有棱的 长度之和为 24,一条对角线长度

11 4 11 2 (B) (C) (D) 4 11 2 11 15、若三棱锥 A-BCD 的 侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的 距离与到棱 AB 的 距离相等, 则动点 P 的 轨迹与 ? ABC 组成图形可能是: ( )

A

A

P B (A) A C B

P (B) A C

作者:路人甲

P B (C) C B

P C (D) )

16、已知异面直线 a、b 成 ? ?角,过空间一点 p,与 a、b 也都成 ? ?角的 直线,可以作( 0 0 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

17.若 a,b,l 是两两异面的 直线,a 与 b 所成的 角是 则 ? 的 取值范围是

? ,l 与 a、l 与 b 所成的 角都是 ? , 3

A.[

? 5?
6 6 ,

]

B.[

? ?
3 2 ,

]

C.[

? 5?
3 6 ,

]

D.[

? ?

, ] 6 2

18、 对于平面 M 与平面 N, 有下列条件: ①M、 都垂直于平面 Q; ②M、 都平行于平面 Q; ③ M N N 内不共线的 三点到 N 的 距离相等; ④ l, M 内的 两条直线, 且 l // M, m // N; ⑤ l, m 是异面直线, 且 l // M, m // M; l // N, m // N, 则可判定平面 M 与平面 N 平行的 条件的 个数 A.1 B.2 C.3 D.4

19.如图, 直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 体积为 V, P、 分别在侧棱 AA1 和 CC1 上, 点 Q AP=C1Q, 则四棱锥 B-APQC 的 体积为 (A)

V 2

(B)

V 3
B C A

(C)

V 4

(D)

V 5

A1 P B1

C1

E

F

Q A B C

B1 A1

C1
A

D B

C

20.棱长为 a 的 正方体中,连结相邻面的 中心,以这些线段为棱的 八面体的 体积为 (A)

a3 3

(B)

a3 4

(C)

a3 6

(D)

a3 12

21.如图,在斜三棱柱 A1B1C1-ABC 中,∠BAC=900,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的 射影 H 必在 (A)直线 AB 上 (B)直线 BC 上 (C)直线 AC 上 (D)△ABC 内部

22.如图所示,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 3 的 正方形,EF∥AB,EF= 离为 2,则该多面体的 体积为

3 ,EF 与面 AC 的 距 2

作者:路人甲

(A)

9 2

(B)5

(C)6

(D)

15 2

23.(天津卷 6)如图,在棱长为 2 的 正方体 ABCD ?

A1 B1C1 D1 中,
D1 C1 B1

O 是底面 ABCD 的 中心,E、F 分别是 CC1 、AD 的 中点。那么异面直线 OE 和 FD1 所成的 角的 余弦值等于

A1

E

(A)

10 5

(B)

15 5

(C)

4 5

(D)

2 3
A

D F O B

C

24.(天津卷 10)如图, 在长方体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 6, AD ? 4, AA1 ? 3 ,分别过 BC、 A1 D1 的
D1 F1 E1 B1

C1

两个平行截面将长方体分成三部分, 其体积分别记为 V1 若 V1

? V AEA1 ? DFD1 , V3 ? VB1E1B ?C1F1C 。
面积为

A1 D E F

: V2 : V3 ? 1 : 4 : 1 ,则截面 A1 EFD1 的 10
?

C

(A) 4

(B) 8

3

(C) 4

13

(D) 16
? ?

A

B

25.北纬 45 圈上有甲、乙两地,它们分别在东经 50 与东经 140 ,则甲、乙两地的 球面距离是 (地球半径为 R) A. ? R

1 2

B. ? R

1 3

C. ? R

1 4

D.

1 2? R 2

26.(福建卷 16)如图 1,将边长为 1 的 正六边形铁皮的 六个角各切去一个全等的 四边形, 再沿虚线折起,做成一个无盖的 正六棱柱容器。当这个正六棱柱容器的 底面边长为 时,其容积最大。 27、已知∠ACB=90?,S 为平面 ABC 外一点,且∠SCA=∠SCB=60?,则直线 SC 和平面 ABC 所成的 角为 . 28、点 A 是二面角?- l -?内一点,AB⊥?于 B,AC⊥?于 C,设 AB=3,AC=2,∠BAC=60?, 则点 A 到棱 l 的 距离是 . 29.由图(1)有关系

V S? PA ' B ' PA '? PB ' ? ,则由图(2)有关系 P ? A ' B 'C ' ? S? PAB PA ? PB VP ? ABC



B B B' B' C C'
D E P

P A'
(1)

A

P
(2)

A'

A

A B

C

30.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,E 为 CD 上的 动点,四边形 ABCD 为

时,体积

作者:路人甲

VP-AEB 恒为定值(写上你认为正确的 一个答案即可) . 31.在棱长为 a 的 正方体 ABCD—A1B1C1D1, E、F 分别为 BC 与 A1D1 的 中点, (1) 求直线 A1C 与 DE 所成的 角; (2) 求直线 AD 与平面 B1EDF 所成的 角; (3)求面 B1EDF 与 面 ABCD 所成的 角。

在三棱锥 S—ABC 中,△ABC 是边长为 4 的 正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA=SC=2 别为 AB、SB 的 中点. (Ⅰ)证明:AC⊥SB; (Ⅱ)求二面角 N—CM—B 的 大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 CMN 的 距离.

3 ,M、N 分

32.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的 中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F。 (1)证明 PA//平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C—PB—D 的 大小。

P

F

E

D

C

A

B

作者:路人甲

33. 如图, 已知直三棱柱 ABC-A1B1C1, 侧棱长为 2, 底面△ABC 中, ∠B=90°, AB=1, BC= 3 , D 是侧棱 CC1 上一点,且 BD 与底面所成角为 30°. (1)求点 D 到 AB 所在直线的 距离. (2)求二面角 A1-BD-B1 的 度数.


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