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湖北省部分重点中学2015届高三10月联考理科数学试卷(word含答案)


湖北省部分重点中学 2014-2015 学年度第一学期十月联考

高三数学(理科)试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? x x ? 1, x ? R , B ? y y ? x , x ? R ,则 A
2

?

?

?

?

B ? 错误!未找到引用源。

( A.

)

? x | ?1 ? x ? 1?

B.

? x | 0 ? x ? 1?

C.

? x | x ? 0?
)

D. ?

2.在复平面内,复数 A.第四象限

1 ? i 5 对应的点位于( 1? i

B.第三象限
2

C.第二象限 D.第一象限

3.已知二项式 (2 x ?

1 n ) ( n ? N * )展开式中,前三项的二项式系数和是 56,则展开 x

式中的常数项为( ) A.180 B.360 C.1152 D.2304 4.三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形,其正视图(如 图所示)的面积为 8,则侧视图的面积为( ) A. 8 B. 4 C. 4 3 D. 3 1 1 正 视 图

5.两个正数 a , b 的等差中项是 焦点坐标是( )

9 b 2 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b ,则抛物线 x ? ? y 的 2 a 2 , 0) 5
C. (0, ? )

2 A. (0, ? ) 5
6.函数 f ( x) ? 2sin ?

B. ( ?

1 5

D. (? , 0)

1 5

? 5? ? 8

? x ? ? log 2 x 的零点个数为( ?

)

A.1 B. 2 C.3 D.4 7.十一黄金周期间,5 位同学各自随机从“三峡明珠,山水宜昌” 、 “千古帝乡,智慧襄阳” 、 “养生山水,长寿钟祥”三个城市中选择一个旅游,则三个城市都有人选的概率是( )

20 81 27 C. D. 81 125 125 2 2 8.已知直线 x ? y ? k ? 0 (k ? 0) 与圆 x ? y ? 4 交于不同的两点 A 、B ,O 是坐标原点,
A.

50 81

B.

且有 | OA ? OB |≥ 3 | AB | ,那么 k 的取值范围是( A. [ 6, ??) B. [ 6, 2 2)

)

C. ? 2, ??

?

?

D. [ 2, 2 2)

9.对于函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a ,在曲线 y ? 的取值范围是( A. (?3, 0) ) C. (?3,3)

2x 上存在点 ( s, t ) ,使得 f ( f (t )) ? t ,则 a x ?1
2

B. ? ?3,0?

D. ? ?3,3?

10.记 max ?a, b? 为两数 a , b 的最大值,当正数 x , y 变化时, t ? max ? , 最小值为( ) A.1 B.2 C.3

?1 2 ? , 4x2 ? y 2 ? 的 ?x y ?

D.4

二、填空题: 本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡相应题号后的 横线上.答错位置、书写不清、模棱两可均不得分. 11.执行如右图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 127,则图中判断框内①处应填的整数 为 .

12. ?ABC 中 sin A : sin B : sin C ? 5: 31 : 6 ,则 ?ABC 最大角与最小角的和是____.

(n ? N ? ) 与直线 x ? 1 交于点 P ,若设曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的 切线与 x 轴交点的横坐标为 xn ,则 log 2015 x x ? ?log2015 2014 x 的值为_______. 1 ?log2015 2
13.已知曲线 f ( x) ? x 14.在平面直角坐标系 xOy 中,若动点 P (a, b) 到两直线 l1 : y ? x 和 l2 : y ? ? x ? 2 的距离之 和为 2 ,则 a ? b 的最大值为__________.
2 2

n?1

A 距离为 15.已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,在正方体的表面上与点
的集合形成一条曲线,则该曲线的长度为___________.

2 3 的点 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x ? a . (I) 求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间;

3 ? ? ?? , ? 时,函数 f ( x) 的最大值与最小值的和为 ,求 f ( x) 的解析式; 2 ? 6 3? ? (III) 将满足(Ⅱ)的函数 f ( x ) 的图像向右平移 个单位,纵坐标不变,横坐标伸长为原 12 1 来的 2 倍, 再向下平移 个单位, 得到函数 g ( x) , 求 g ( x) 图像与 x 轴的正半轴、 直线 x ? ? 2
(II) 当 x ? ? ? 所围成图形的面积.

17. (本题满分 12 分)已知公比不为 1 的等比数列 ?an ? 的首项 a1 ?

1 ,前 n 项和为 Sn ,且 2

a4 ? S4 , a5 ? S5 , a 6 ?S 6 成等差数列.
(I)求等比数列 ?an ? 的通项公式; (II)对 n ? N ,在 an 与 an ?1 之间插入 3 个数, 使这 3 ? 2 个数成等差数列, 记插入的这 3 个
* n n n

数的和为 bn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

18. (本题满分 12 分)低碳生活,从“衣食住行”开始.在国内一些网站中出现了“碳足迹” 的应用,人们可以由此计算出自己每天的碳排放量,如家居用电的二氧化碳排放量(千克) =耗电度数 ?0.785 , 家用天然气的二氧化碳排放量 (千克) =天然气使用立方数 ?0.19 等. 某 校开展“节能减排,保护环境,从我做起! ”的活动,该校高一、六班同学利用假期在东城、 西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查.生活习惯符合 低碳观念的称为“低碳家庭”,否则称为“非低碳家庭”.经统计,这两类家庭占各自小区 总户数的比例 P 数据如下: 东城小区 低碳家庭 非低碳家庭 西城小区 低碳家庭 非低碳家庭 比例 P
1 2 1 2

比例 P

4 5

1 5

(I)如果在东城、西城两个小区内各随机选择 2 个家庭,求这 4 个家庭中恰好有两个家庭是 “低碳家庭”的概率; (II) 该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义, 每周 “非低碳家庭” 中有 20% 5 的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中.宣传两周 后随机地从东城小区中任选 个家庭,记 .. ? 表示 5 个家庭中“低碳家庭”的个数,求 E? 和 D? .

19. (本题满分 12 分) 如图, 已知长方形 ABCD 中,AB ? 2, AD ? 1 , M 为 DC 的中点. 将

?ADM 沿 AM 折起,使得平面 ADM ? 平面 ABCM . (I)求证: AD ? BM ;
(II) 若点 E 是线段 DB 上的一动点, 问点 E 在何位置时, 二面角 E ? AM ? D 的余弦值为

5 . 5

A

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交 a 2 b2 3 2 椭圆于 A, B 两点. AF 的最大值是 M , BF 的最小值是 m ,满足 M ? m ? a . 4
20. (本题满分 13 分)如图,椭圆 (I) 求该椭圆的离心率; (II) 设线段 AB 的中点为 G , AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点, O 是 坐标原点. 记 ?GFD 的面积为 S1 , ?OED 的面积为 S2 ,求

2 S1S 2 的取值范围. S12 ? S 2 2
y
A G
F D B

O E

x

21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

ln x . x

(Ⅰ)求过原点且与函数 f ( x) 的图象相切的直线方程; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ln x ? m ,讨论函数 g ( x) 在区间 ? , e 2 ? 上零点的个数;

?1 ?e

? ?

ln 2 (nx) , S n ( x) ? F1 ( x) ? F2 ( x) ? ? ? Fn ( x), n ? N ? .若对任意正整数 p , (Ⅲ) 记 Fn ( x) ? 3 n 4 | S n? p ( x) ? S n ( x) |? 对任意 x ? D 恒成立,则称 S n ( x) 在 x ? D 上是“高效”的.试判断 n S n ( x) 是否是 x ? e, e 2 上是“高效”的?若是,请给出证明,若不是,请说明理由.

? ?

湖北省部分重点中学 2014-2015 学年度第一学期十月联考

高三数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.B;2.D;3.A;4.C;5.C;6.C;7.A;8.B;9.D;10.B 二、填空题: 本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.8; 12.

2 5 3? ? ; 13. ?1 ; 14.8; 15. 3 6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. 解:(Ⅰ) f ( x) ?

? f ( x) 的最小正周期为 ? ??????????????????????????3 分 ? ? 3? ? 2? ? 2k? ,得 ? k? ? x ? ? k? ( k ? Z ) 由 ? 2 k? ? 2 x ? ? 2 6 2 6 3 2? ?? ? 故函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) ???????????4 分 3 ?6 ? 注:上面函数 f ( x ) 的单调递减区间写成开区间或半开半闭区间也正确. ? ? ? 5? ? ? ? 1 ? ? ? ?? . (II) x ? ? ? , ? ,? 2 x ? ? ?? , ? ,?sin(2 x ? ) ? ?? ,1? 6 ? 6 6 ? 6 ? 2 ? ? 6 3? 3 ? ? ?? ? 当 x ? ? ? , ? 时,函数 f ( x) 的最大值与最小值的和为 2a ? ????????6 分 2 ? 6 3? 3 3 由题意, 2a ? ? ,? a ? 0 ????????????????????????7 分 2 2 ? 1 故 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? ??????????????????????????8 分 6 2 ? 1 ? (III) 函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 的图像向右平移 个单位,纵坐标不变,横坐标伸长为 6 2 12 1 原来的 2 倍,再向下平移 个单位,得到函数 g ( x) ? sin x ???????????10 分 2
2 直线 x ? ? 所围成图形的面积为 2? 2 sin xdx ? ?2cos x 0 ? g ( x) 图像与 x 轴的正半轴、 ?2 0

3 cos 2 x ? 1 ? 1 sin 2 x ? ? a ? sin(2 x ? ) ? ? a ,????2 分 2 2 6 2

?

?

?????????????????????????????????????12 分 17.解: (I)因为 a4 ? S4 , a5 ? S5 , a6 ? S6 成等差数列, 所以 a5 ? S5 ? a4 ? S4 ? a6 ? S6 ? a5 ? S5 ,???????????????????2 分 即 2a6 ? 3a5 ? a4 ? 0 ,所以 2q ? 2q ? 1 ? 0 ,因为 q ? 1 ,所以 q ?
2

1 ,??????4 分 2

所以等比数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (II) bn ?

an ? an ?1 n 3 3 n ? 3 ? ( ) ,?????????????????? 9 分 2 4 2 3 3 n ?1 ?( ) 32 2 9 3 Tn ? ? [( ) n ? 1] ???????????????????? 12 分 4 1? 3 4 2 2 18.解(I)设事件“ 4 个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为 A , ???1 分

1 ???????????????????6 分 2n

则有以下三种情况: “低碳家庭”均来自东城小区, “低碳家庭”分别来自东城、西城两个小 区, “低碳家庭”均来自西城小区.

1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 33 .???????6 分 ? ? ? ? 4? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 5 5 2 2 5 5 2 2 5 5 100 (II)因为东城小区每周有 20% 的人加入“低碳家庭”行列,经过两周后,两类家庭占东
∴ P ( A) ? 城小区总家庭数的比例如下:

A 小区 P

低碳家庭

非低碳家庭

17 25

8 25

???8 分

由题意,两周后东城小区 5 个家庭中的“低碳家庭”的个数 ? 服从二项分布,

17 ) ???????????????????????????10分 25 17 17 ∴ E? ? 5 ? ,?????????????????????????11 分 ? 25 5 17 8 136 .?????????????????????????12 分 D? ? 5 ? ? ? 25 25 125 19. 解 : 因 为 平 面 ADM ? 平 面 ABCM , AB ? 2, AD ? 1 , M 为 DC 的 中 点 , ? AD ? DM ,取 AM 的中点 O ,连结 OD ,则 DO ? 平面 ABCM ,取 AB 的中点 N , 连结 ON ,则 ON ? AM ,以 O 为原点, OA, ON , OD 的正方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴
即 ? ~ B (5, 的正方向建立如图空间直角坐标系??????????????????????2 分

2 2 2 2 ,0,0), B(? , 2,0), M (? ,0,0), D(0,0, ) 2 2 2 2 2 2 , 0, ), BM ? (0, 2, 0) , 所 , 则 AD ? (? 2 2 以 AD BM ? 0,? AD ? BM ?????6 分 A(
(Ⅱ) 设 DE ? ? DB ,因为平面 AMD 的一个法

1,) 0 向量 n =(0,
ME ? MD ? ? DB ? ( 2 2 2 2 2 ? ?, ?, ? ? ) , AM ? (? 2, 0, 0) 2 2 2 2 2

? 2x ? 0 ? 设平面 AME 的一个法向量为 m ? ( x, y, z ) , ? 2 (1 ? ? ) z ? 0 ? 2? y ? ? 2 2? 2? 取 y ? 1 ,得 x ? 0, y ? 1, z ? ,所以 m ? (0,1, ) ,????????????8 分 1? ? 1? ? m?n 5 1 因为 cos m, n ? 求得 ? ? ,????????????????? 10 分 ? 2 5 m?n
所以 E 为 BD 的中点????????????????????????????12 分 20.解:(I) 设 F (?c,0)(c ? 0) ,则根据椭圆性质得
y

A 3 3 M ? a ? c, m ? a ? c, 而 M ? m ? a 2 ,所以有 a 2 ? c 2 ? a 2 ,即 4 4 G O 2 2 a ? 4c , a ? 2c , F D B E c 1 因此椭圆的离心率为 e ? ? ??????????4 分. a 2 x2 y2 (II) 由(I)可知 a ? 2c , b ? a2 ? c2 ? 3c ,椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 . 4c 3c 根据条件直线 AB 的斜率一定存在且不为零,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c) , ? y ? k ( x ? c) ? 并设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则由 ? x 2 消去 y 并整理得 y2 ? ?1 ? 2 2 ? 4c 3c 2 2 2 2 2 (4k ? 3) x ? 8ck x ? 4k c ?12c2 ? 0 ????????????????5 分

x

8ck 2 6ck , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2c) ? 2 ,??????6 分 2 4k ? 3 4k ? 3 3ck 2 4ck 2 3ck ck 2 4 k ? 3 , ) .因为 DG ? AB , 所以 G (? 2 所以 . ? k ? ?1 ,xD ? ? 2 4k ? 3 4k 2 ? 3 4k ? 3 4ck 2 ? 2 ? xD 4k ? 3 由 Rt ?FGD 与 Rt ?EOD 相似,所以 4ck 2 ck 2 2 3ck ( ? ? ) ? ( 2 )2 2 2 S1 GD 2 3 4k ? 3 ? 9 ? 9 ? 9 . ???????10 分 ? ? 4k ? 3 4 k ? 2 2 ck S2 OD k2 (? 2 ) 2 4k ? 3 S1 2S S 2S S 2 2 9 令 ,即 2 1 2 2 的取值范围是 ? t ,则 t ? 9 ,从而 2 1 2 2 ? ? ? 1 1 41 S2 S1 ? S 2 S1 ? S2 t? 9? t 9 9 ( 0 , ).?????????????????????????????????13 分 41
从而有 x1 ? x2 ? ?

ln x 1 ? ln x 的定义域为 (0, ??) , f '( x) ? ???????1 分 x x2 1 ? ln x0 设切点为 ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 ,所以切线方程为 2 x0
21.解: (I)函数 f ( x) ?

y ? y0 ?

1 ? ln x0 ( x ? x0 ) ??????????????????????????2 分, 2 x0 1 ? ln x0 ln x0 1 ? ln x0 x0 ,即 ? x0 ,解得 x0 ? e ?3 分 2 2 x0 x0 x0

又因为原点在切线上,所以 y0 ? 故所求的直线方程为 y ?

x ????????????????????????4 分 2e

(II)令 g ( x) ? 0 ,得 m ? f ( x) ln x ,令 ? ( x) ? f ( x) ln x ,则 ? '( x) ?

2ln x ? ln 2 x ,由 x2

? '( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? e2 ????????????????????????5 分
又因为在区间 ( ,1) 上 ? '( x) ? 0 ,在区间 (1, e2 ) 上 ? '( x) ? 0 ,在区间 (e2 , ??) 上

1 e

? '( x) ? 0 ????????????????????????????????6 分
所以函数 ? ( x) 在区间 ( ,1) 上递减,在区间 (1, e2 ) 上递增,在区间 (e2 , ??) 上递减且

1 e

4 ??????????????????????7 分 e2 4 故当 m ? 0 或 m ? e 时,函数 g ( x) 没有零点;当 m ? 0 或 2 ? m ? e 时,函数 g ( x) 有一个 e 4 零点;当 0 ? m ? 2 时,函数 g ( x) 有两个零点.???????????????9 分 e 4 ln 2 x 4 ? 2 恒成立,即 ln 2 x ? 2 x 对任意 x ? 1 恒成立,又 (III)由(II)知当 x ? 1 时, e x e 4 n, p ? N * ,所以当 x ? 1 时, ln 2 ? (n ? p) x ? ? 2 (n ? p) x 成立??????????10 分 e 4 2 2 又当 x ? ? ln 2 ?(n ? p) x? ? 4(n ? p) ? ? e, e ? ? 时,e2 (n ? p) x ? 4(n ? p ) 故当 x ? ? ? e, e ? ? 时,

? (1) ? 0, ? ( ) ? e ? ? (e 2 ) ?

1 e

11 分 而对 Sn? p ( x) ? Sn ( x) ?

ln 2 ?(n ? 1) x? (n ? 1)3
?

?

ln 2 ?(n ? 2) x ? (n ? 2)3

?

?

ln 2 ?(n ? p) x ? ( n ? p )3 1 ? ( n ? p)3 ? ?

?

4(n ? 1) 4( n ? 2) ? ? (n ? 1)3 (n ? 2)3

? 1 4( n ? p ) 1 ? 4? ? ? 3 3 3 (n ? p ) ? (n ? 1) (n ? 2)

? 1 ? 1 1 1 1 4 ? 4? ? ? ? ? 4( ? ) ? ????13 分 ? (n ? p ? 1)(n ? p) ? n n? p n ? n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 2 综上, Sn ( x) 在区间 ? ? e, e ? ? 上是“高效”的.?????????????????14 分


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