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辽宁省锦州市2014届高三第一次质量检测考试 数学文


2014 年高三质量检测数学文
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
2i 1.在复平面内,复数 对应的点的坐标为 1-i A. (-1 ,1) 2.设全集 U ? R ,A={ x | A.{ x | x ? 1 } B.{ x |1 ? x ? 2 } C.{ x | 0 ? x ? 1

} D.{ x | x ? 1 } 3.设平面向量 a =(1,2) , b =(-2, y ),则|2 a - b |等于 A. 4 B. 5 C. 3 5 4. 下列说法中正确的是 A. “ x ? 5 ”是“ x ? 3 ”的必要条件 D. 4 5
→ → → →

B. (1,1)

C. (1,,1)

D. (-1,-1)

x ? 0 },B={ x | 2x ? 2 },则如图中阴影部分表示的集合为 x?2

B. 命题“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 ” C. ?m∈R,使函数 f ( x) ? x2 ? mx( x ? R) 是奇函数 D.设 p,q 是简单命题,若 p∨q 是真命题,则 p∧q 也是真命题 5.为了研究一片大约一万株树木的生长情况,随 机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位: cm) ,根据所得数据画出的样本频率分布直方 图如图,那么在这片树木中底部周长大于 100 cm 的株树大约中 A.3000 株 B.6000 株 C.7000 株 D.8000 株

? ?x-y+1≥0 6. 已知函数 x, y 满足条件?y+1≥0 , 那么 2 x ? y 的最大值为 ?x+y+1≤0 ?
A.-3 B. -2 C.1 D.2

1 7. 函数 y ? ln x( x ? 0) 的图象与直线 y ? x ? a 相切,则 a 等于 2
A.2ln2 B.2ln2+1 C.ln2 D.ln2-1 5 8. 执行如图所示的程序框图,输出的结果是6 ,则判断框内应填入的条件是
1

A. n≤5 C. n>5

B. n<5 D. n≥5

9. 已知函数①y= sin x + cos x ,② y =2 2 sin x cos x ,则下列结 论正确的是 ? A. 两个函数的图象均关于点(- ,0)对称 4 B. ①的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的 2 倍,再向右平移 ? 个单位即得②; 4 ? ? C. 两个函数在区间(- , )上都是单调递增函数 4 4 D. 两个函数的最小正周期相同 10. 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形, 如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为 A. 29? B. 30? C. 29 ? 2 D. 216?

11.春节期间, “厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过 随机询问 100 名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得 到如下列联表 做不到“光盘” 能做到“光盘” 男 女 45 30 10 15 P(K ≥k) k
2

0.10

0.05 0.025

2.706 3.841 5.024 附 : K
2



n(ad ? bc)2 ? a ? b ? (c ? d )(a ? c)(b ? d )
参照附表,得到的正确结论是 A.在犯错误的概率不超过 l%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过 l%的前提下,认为“该市居民能否做到?光盘?与性别无关” C.有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” D. 有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
2 12.若函数 y = f ( x ) ( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x)且x ?[?1,1]时,f ( x)=1 ? x ,函数

?lg x( x ? 0) ? g ( x) ? ? 1 , 则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间[-5,5]内的与 x 轴交点的个数为 ? ( x ? 0) ? ? x
A.5 B.7 C.8 D.10

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.
? 13.在?ABC 中,BC=2,AC= 7,B= ,则 AB= 3 ;?ABC 的面积是
2

14.在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d≠0,若 am ? a1 ? a2 ? ?a9 ,则 m=__________.

15.如图,已知过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A(- a ,0)作直线 l 交 y 轴于点 P,交椭圆于点 Q, a 2 b2
→ →

若?AOP 是等腰三角形,且 PQ =2 QA ,则此椭圆离心率为_________. 16.下列命题: ① ?x ? R, 使 f ( x) ? (m ?1) xm
2

?4m?3

是幂函数;且在(0,+∞)上递减;

②若 0 ? loga 2 ? logb 2 , 则 a ? b ? 1 ; ③已知 a, b ? R* , 2a ? b ? 1, 则
→ →

2 1 ? 有最小值 8; a b
→ → →

④已知向量 a =(1,2), b =(2,0),若向量? a + b 与向量 c =(1,-2)垂直,则实数?等于-1. 其中,正确命题的序号为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 1 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn=p(Sn- an )+ (p 为大于 0 的常数),且 a1 是 6a3 与 a2 的等差中项. 2 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 an ? bn ? 2n ? 1,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

18.(本小题满分 12 分) 如图,在边长为 3 的等边三角形 ABC 中,E,F,P 分别为 AB, AC, BC 边上的点,且满足 AE=FC=CP=1, 将?AEF 沿 EF 折起到?A1EF 的位置,如图,使平面 A1EF⊥平面 FEBP,连接 A1B,A1P. (1)求证:A1E⊥PF; (2)若 Q 为 A1B 中点,求证:PQ∥平面 A1EF.

3

19. (本小题满分 12 分) 有一个不透明的袋子,装有 4 个完全相同的小球,球上分别编有数字 1, 2, 3, 4. (Ⅰ) 若逐个不放回取球两次, 求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除的概率; (Ⅱ)若先从袋中随机取一个球,该球的编号为 a ,将球的编号为 a ,将球放回袋中,然后再从袋中随 机取一个球,该球的编号为 b,求直线 ax ? by ? 1 ? 0 与圆 x ? y ?
2 2

1 有公共点的概率. 16

20. (本小题满分 12 分) 设 F 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,R,S,T 为该抛物线上三点,若 FR + FS + FT = 0 ,且| FR |+ | FS |+| FT |=6. (Ⅰ)求抛物线 y 2 ? 2 px 的方程; (Ⅱ)M 点的坐标为(m,0)其中 m>0,过点 F 作斜率为 k1 的直线与抛物线交于 A,B 两点,A,B 两点 的横坐标均不为 m, 连接 AM、BM 并延长交抛物线于 C、D 两点,设直线 CD 的斜率为 k2. 求 m 的值.
→ → → → → → →

k1 ? 4, k2

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? x ? x ln x(a ? 0) . (Ⅰ)若函数满足 f (1) ? 2 ,且在定义域内 f ( x) ? bx2 ? 2 x 恒成立,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在定义域上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当

1 y 1 ? ln y ? x ? y ? 1 时,试比较x与 的大小. e 1 ? ln x

4

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图所示,已知 PA 与⊙ O 相切,A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B、C 两点,弦 CD∥AP,AD、BC 相交 于点 E,F 为 CE 上一点,且 DE =EF·EC. 求证: (Ⅰ)求证:CE?EB=EF?EP; (Ⅱ) 若 CE:BE=3:2,DE=3,EF=2,求 PA 的长.
2

23. (本小题满分 10 分) 选修 4—4:极坐标和参数方程 在极坐标系下,已知圆 O: ? ? cos ? ? sin ? 和直线 l :

? 2 , ? sin(? ? ) ?
4 2

(Ⅰ) 以极点为坐标原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 ? ? (0, ? ) 时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 3 . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)已知关于 x 的不等式 a ? 3 ? f ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

5

2014 年高三质量检测数学(文)参考答案
一、选择题:(1)-(12)ABDBC CDACA CC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13) 3 ,

3 3 2

(14)37

(15)

2 5 5

(16)①②

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分 12 分) 解: (I)当 n=1 时, 当 n≥2 时, , , ,得 .

两式相减得 an=pan﹣1,即 故{an}是首项为 ,公比为 p 的等比数列, ∴ .



由题意可得:2a1=6a3+a2, 化为 6p +p﹣2=0. 解得 p= 或 ∴ (II)由(I)得 则 (舍去) . =
2



. --------------------------------------------(6 分) , , +(2n﹣1)×2 +(2n+1)×2
2 3 n n n+1



两式相减得﹣Tn=3×2+2×(2 +2 +…+2 )﹣(2n+1)×2 = =﹣2﹣(2n﹣1)×2 ∴
n+1

n+1

, . --------------------------------------------(12 分)

(18) (本小题满分 12 分)

6

证明: (Ⅰ)在△ AEF 中,∵ AE=1,AF=2,∠ EAF=60°, 由余弦定理可得 EF =1 +2 ﹣2×1×2×cos60°=3, 2 2 2 ∴ AE +EF =AF ,∴ EF⊥ AE.即 A1E⊥ EF. 又平面 A1EF⊥ 平面 FEBP,∴ A1E⊥ 平面 FEBP. ∴ A1E⊥ PF.-------------------------------------------------------------------(6 分) (Ⅱ)取 A1E 的中点 M,连接 QM,MF. 又∵ Q 为 A1B 的中点,∴ ∵ FC=CP=1,∠ C=60°. ∴ △ CFP 是等边三角形. ∴ ∠ CPF=∠ B=60°, ∴ PF∥ BE. ∴ QM PF. . .
2 2 2

∴ 四边形 PQMF 为平行四边形, ∴ PQ∥ MF. ∵ MF?平面 A1EF,PQ?平面 A1EF. ∴PQ∥平面 A1EF.---------------------------------------------------------(12 分) (19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ )用(a,b) (a,b 分别表示第一、二次取到球的编号)表示先后两次取球构成的基本事件, 则基本事件有: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3)共 12 个…(3 分) 设“第一次球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除”为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件有: (2,1) , (2,4) , (4,2)共有 3 个; …(5 分) ∴ P(A)= = ---------------------------------(6 分)

(Ⅱ )基本事件有: (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4)共 16 个…(8 分) 设“直线 ax+by+1=0 与圆 x +y = 由题意知:
2 2 2

有公共点”为事件 B,
2

,即 a +b ≥16,

则事件 B 包含的基本事件有: (1,4) , (2,4) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) ,
7

(4,4)共有 8 个; ∴ P(B)= (20) (本小题满分 12 分) ----------------------------------------------(12 分)

(21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 f(1)=2,得 a=1,又 x>0, ∴ x +x﹣xlnx)≥bx +2x 恒成立?1﹣ ﹣ 令 g(x)=1﹣ ﹣
2 2

≥b,

,可得 g(x)在(0,1]上递减,

在[1,∞)上递增,所以 g(x)min=g(1)=0, 即 b≤0. ----------------------------------------------(4 分) (Ⅱ)f′ (x)=2ax﹣lnx, (x>0) , 令 f′ (x)≥0 得:2a≥ ∴ 当 a≥ ,设 h(x)= ,当 x=e 时,h(x)max= ,

时,函数 f(x)在(0,+∞)单调递增…(5 分) ,g(x)=2ax﹣lnx, (x>0) ,g′ (x)=2a﹣ , ,x∈(0, ) ,g′ (x)<0,x∈( ,+∞) ,g′ (x)>0,

若 0<a<

g′ (x)=0,x=

8

∴ x=

时取得极小值,即最小值. 时,g( )=1﹣ln <0,

而当 0<a<

f′ (x)=0 必有根,f(x)必有极值,在定义域上不单调 ∴ a≥ .---------------------------------------------------------------(8 分) 在(0,1)上单调递减, <

(Ⅲ)由(I)知 g(x)=1﹣

∴ <x<y<1 时,g(x)>g(y)即 而 <x<y<1 时,﹣1<lnx<0, ∴ 1+lnx>0, ∴<

.------------------------------------------------------------(12 分)

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解: (I)证明:∵ DE =EF?EC,∠ DEF 公用, ∴ △ DEF∽ △ CED, ∴ ∠ EDF=∠ C. 又∵ 弦 CD∥ AP,∴ ∠ P=∠ C, ∴ ∠ EDF=∠ P,∠ DEF=∠ PEA ∴ △ EDF∽ △ EPA. ∴ ,∴ EA?ED=EF?EP.
2

又∵ EA?ED=CE?EB, ∴ CE?EB=EF?EP .-------------------------------------------------(5 分) 2 (II)∵ DE =EF?EC,DE=3,EF=2. ∴ 3 =2EC,∴
2



∵ CE:BE=3:2,∴ BE=3. 由(I)可知:CE?EB=EF?EP,∴ ∴ BP=EP﹣EB=
2

,解得 EP=





∵ PA 是⊙ O 的切线,∴ PA =PB?PC, ∴ ,解得 .----------------------------------(10 分)
2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ )圆 O:ρ=cosθ+sinθ,即 ρ =ρcosθ+ρsinθ, 2 2 2 2 所以圆 O 的直角坐标方程为:x +y =x+y,即 x +y ﹣x﹣y=0. 直线 ,即 ρsinθ ﹣ρcosθ = ,

也就是 ρsinθ﹣ρcosθ=1. 则直线 l 的直角坐标方程为:y﹣x=1,即 x﹣y+1=0.-----------------------(5 分)
9

(Ⅱ )由

,得



故直线 l 与圆 O 公共点为(0,1) ,该点的一个极坐标为

.---------------(10 分)

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

解: (Ⅰ)∵ f(x)=|2x+1|﹣|x﹣3|=



∵ f(x)>0, ∴ ① 当 x<﹣ 时,﹣x﹣4>0, ∴ x<﹣4; ② 当﹣ ≤x≤3 时,3x﹣2>0, ∴ <x≤3; ③ 当 x>3 时,x+4>0, ∴ x>3. 综上所述,不等式 f(x)>0 的解集为: (﹣∞,﹣4)∪ ( ,+∞)------------------------(5 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=



∴ 当 x≤﹣ 时,﹣x﹣4≥﹣ ; 当﹣ <x<3 时,﹣ <3x﹣2<7; 当 x≥3 时,x+4≥7, 综上所述,f(x)≥﹣ . ∵ 关于 x 的不等式 a+3<f(x)恒成立, ∴ a<f(x)﹣3 恒成立, 令 g(x)=f(x)﹣3,则 g(x)≥﹣ ∴ g(x)min=﹣ . ------------------------------------------------(10 分) .

∴ a<g(x)min=﹣

10


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