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江西省南昌三中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)


江西省南昌三中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)
一.选择题 1. (5 分)已知集合 M={x|y= },N={x|y=log2(2﹣x)},则?R(M∩N) () A.[1,2) B.(﹣∞,1)∪[2,+∞) C. [0,1] ∞,0)∪[2,+∞)
sin60

D. (﹣

2. (5 分)若

a=3 A.a>b>c

,b=log3cos60°,c=log3tan60°,则() B.a>c>b C.c>b>a D.b>a>c 的定义域是()

3. (5 分)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 A.[0,1] B.[0,1)

C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)

4. (5 分)设 x、y 是两个实数,命题“x、y 中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件是 () 2 2 A.x+y=2 B.x+y>2 C.x +y >2 D.xy>1 5. (5 分)设函数 f(x)=3sin(2x+ )+1,将 y=f(x)的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,

使得到的图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小值为() A. B. C. D.

6. (5 分)若 , , 均为单位向量,且 A. B. 1

=0,则| + ﹣ |的最小值为() C. +1 D.

7. (5 分)已知 θ∈(0, A.1

) ,满足 cosθcos2θcos4θ= 的 θ 共有()个. C. 3 D.4

B. 2

8. (5 分)设实数 x,y 满足约束条件,

且目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大

值为 1,则 + 的最小值为() A.4 B. 8 C. 9 D.6

9. (5 分)如图,直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=45°,底边 AB=5,高 AD=3,点 E 由 B 沿折线 BCD 向点 D 移动,EM⊥AB 于 M,ENAD 于 N,设 BM=x,矩形 AMEN 的面积为 y, 那么 y 与 x 的函数关系的图象大致是()

A. 10. (5 分)设函数

B.

C.

D.

(a∈R,e 为自然对数的底数) .若存在 b∈[0,1]使 f

(f(b) )=b 成立,则 a 的取值范围是() A.[1,e] B.[1,1+e]

C.[e,1+e]

D.[0,1]

二、填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分) 11. (5 分)如果 f(x)=e ,则 f′(0)=. 12. (5 分)点 P(x,y)在直线 x+y﹣2=0 上,则 3 +3 的最小值为. 13. (5 分)如果函数 f(x)=cos(kπx)在[0,1]上至少取得最小值 1008 次,则正数 k 的最小 值是. 14. (5 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与直线 y=0 在原点处 相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 ,则 a 的值为.
3 2 x y x

15. (5 分)函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1<x2 时,都有 f(x1)≥f (x2) ,则称函数 f(x)在 D 上为不增函数.设函数 f(x)为定义在[0,2]上的不增函数,且 满足以下三个条件:①f(0)=2;②f(2﹣x)+f(x)=2,x∈[0,2]; ③当 x∈[0, ]时,f (x)≤2﹣2x 恒成立.则 f( )+f( )=.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)记函数 f(x)= B,求集合 A、B、A∩B. 17. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且(2a+c)cosB=﹣bcosC. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b=2 ,a+c=4,求△ ABC 的面积. 18. (12 分)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数:f1(x)=x,f2(x)=x , 3 4 f3(x)=x ,f4(x)=x ,f5(x)=xcosx,f6(x)=xsinx. (Ⅰ)从中任意拿取 2 张卡片,其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数,在此条件下求 两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率; (Ⅱ)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则 停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ξ 的分布列和数学期望. 19. (12 分) 如图, 在底面是菱形的四棱锥 P﹣ABCD 中, ∠ABC=60°, PA=AC=a, PB=PD= 点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1. (Ⅰ)证明 PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面的二面角 θ 的大小; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论. ,
2

的定义域为 A,g(x)=lg[(1﹣x) (x+1)]的定义域为

20. (13 分)设 a 为实数,函数 f(x)=x +|x﹣a|+1,x∈R (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的最小值. 21. (14 分)已知函数 (a 为实常数) .

2

(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 g(x)=f(x)﹣2x 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(0,2)上无极值,求 a 的取值范围; (Ⅲ)已知 n∈N 且 n≥3,求证:
*



江西省南昌三中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一.选择题 1. (5 分)已知集合 M={x|y= },N={x|y=log2(2﹣x)},则?R(M∩N) () A.[1,2) B.(﹣∞,1)∪[2,+∞) C. [0,1] ∞,0)∪[2,+∞) D. (﹣

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合 M,N,根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:M={x|y= }={x|x≥0},N={x|y=log2(2﹣x)}={x|2﹣x>0}={x|x<2}, 则 M∩N={x|0≤x<2}, 则?R(M∩N)={x|x≥2 或 x<0}, 故选:D. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础.
sin60

2. (5 分)若 a=3 A.a>b>c

,b=log3cos60°,c=log3tan60°,则() B.a>c>b C.c>b>a D.b>a>c

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数、三角函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵a=3
sin60

>1,b=log3cos60°<0,c=log3tan60°= ,

∴a>c>b. 故选:B. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数、三角函数的单调性,属于基础题. 3. (5 分)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 A.[0,1] B.[0,1)

的定义域是()

C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1)

考点: 函数的定义域及其求法. 分析: 根据 f(2x)中的 2x 和 f(x)中的 x 的取值范围一样得到:0≤2x≤2,又分式中分母 不能是 0,即:x﹣1≠0,解出 x 的取值范围,得到答案. 解答: 解:因为 f(x)的定义域为[0,2],所以对 g(x) ,0≤2x≤2 且 x≠1,故 x∈[0,1) , 故选 B. 点评: 本题考查求复合函数的定义域问题.

4. (5 分)设 x、y 是两个实数,命题“x、y 中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件是 () A.x+y=2 考点: 充要条件. 分析: 先求出 的必要不充分条件;利用逆否命题的真假一致,求出命题“x、y 中至少 B.x+y>2 C.x +y >2
2 2

D.xy>1

有一个数大于 1”成立的充分不必要条件. 解答: 解:若 时有 x+y≤2 但反之不成立,例如当 x=3,y=﹣10 满足 x+y≤2 当不满足

所以

是 x+y≤2 的充分不必要条件.

所以 x+y>2 是 x、y 中至少有一个数大于 1 成立的充分不必要条件. 故选 B 点评: 本题考查逆否命题的真假是相同的,注意要说明一个命题不成立,常通过举反例.

5. (5 分)设函数 f(x)=3sin(2x+

)+1,将 y=f(x)的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,

使得到的图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小值为() A. B. C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由已知中函数 f(x)=3sin(2x+ )+1 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位得到的图 ﹣2φ)+1 取最值,求出 φ 的表达

象关于 y 轴对称,可得当 x=0 时,函数 f(x)=3sin(2x+ 式后,结合 φ>0,可得满足条件的 φ 的最小值. 解答: 解:将函数 f(x)=3sin(2x+

)+1 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位后 ﹣2φ)+1 若平移后得到的图象关于 y 轴对称,

函数图象对称的解析式为 f(x)=3sin(2x+ 则 x=0 时,函数取最值 则 ﹣2φ= +kπ,k∈Z

则 φ=﹣

﹣ kπ,φ>0,k∈Z, .

当 k=﹣1 时,φ 的最小值为 故选:B.

点评: 本题考查的知识点是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,正弦函数的对称性,其中熟 练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键.

6. (5 分)若 , , 均为单位向量,且 A. B. 1

=0,则| + ﹣ |的最小值为() C. +1 D.

考点: 平面向量数量积的性质及其运算律. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 易求 ,表示出 ,由表达式可判断 与 同向时| + ﹣ | 最
2

小,最小值可求,再开方可得答案. 解答: 解:因为 所以 所以 =3﹣2( 则当 与 所以 ) = = , ) 最大,| + ﹣ | 最小,此时, (
2

=0, +2 =2,则 +2 ﹣2( = , )

同向时, ( ≥3﹣2



=



,故| + ﹣ |≥

﹣1,即| + ﹣ |的最小值为

﹣1,

故选 A. 点评: 本题考查平面向量数量积的性质及其运算律,考查向量模的求解,考查学生分析问 题解决问题的能力. 7. (5 分)已知 θ∈(0, A.1

) ,满足 cosθcos2θcos4θ= 的 θ 共有()个. C. 3 D.4

B. 2

考点: 二倍角的正弦;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 与条件利用二倍角的正弦公式可得 sin8θ=sinθ,从而得到 8θ=2kπ+θ,或 8θ=2kπ+π﹣ θ,k∈z,由此结合 θ 的范围,求得 θ 的值. 解答: 解:∵θ∈(0, ) ,满足 cosθcos2θcos4θ= ,

∴8sinθcosθcos2θcos4θ=1,∴sin8θ=sinθ, ∴8θ=2kπ+θ,或 8θ=2kπ+π﹣θ,k∈z. ∴θ= ,或 θ= ,或 θ= ,共计 3 个,

故选:C. 点评: 本题主要考查二倍角的正弦公式,函数零点的定义,属于基础题.

8. (5 分)设实数 x,y 满足约束条件,

且目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大

值为 1,则 + 的最小值为() A.4 B. 8 C. 9 D.6

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;简单线性规划的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,并找出目标函数取得最大值时的条件,进而利用基本不等 式的性质即可求出.

解答: 解:由 x,y 满足线性约束条件

,作出可行域.

联立

,解得 C(2,1) .

由可行域可知:当目标函数经过点 C 时 z 取得最大值 1, ∴2a+b=1(a>0,b>0) , ∴ + =( + ) (2a+b)= 当且仅当 b=2a= 时,取等号, ∴ + 的最小值为 8. 故选 B. ≥ =8,

点评: 本题考查线性规划的有关内容及基本不等式的运用,确定 2a+b=1,正确运用基本不 等式是关键.

9. (5 分)如图,直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=45°,底边 AB=5,高 AD=3,点 E 由 B 沿折线 BCD 向点 D 移动,EM⊥AB 于 M,ENAD 于 N,设 BM=x,矩形 AMEN 的面积为 y, 那么 y 与 x 的函数关系的图象大致是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 动点型. 分析: 关键是找出 y 与 x 之间的关系,注意当 E 在 BC 上运动时,右边是一上三角,当 E 点在 CD 上运动时,其右边是一个梯形. 解答: 解:∵EM⊥AB,∠B=45°,∴EM=MB=x,AM=5﹣x, 当 E 点在 BC 上动时,即 0≤x≤3 时,y= ,

当 E 点在 CD 上动力时,矩形 AMEN 即为矩形 AMED,此时 3≤x<5,y=3(5﹣x) , ∴y= .图象如图 A.

故答案为:A. 点评: 本题是动点问题, 随着 E 点的运动, 所得图形的形状也不同, 这里就要求分类讨论. 考 查了函数思想,分类讨论思想.属于中档题. 10. ( 5 分)设函数 (a∈R,e 为自然对数的底数) .若存在 b∈[0,1]使 f

(f(b) )=b 成立,则 a 的取值范围是() A.[1,e] B.[1,1+e]

C.[e,1+e]

D.[0,1]

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;压轴题;函数的性质及应用. 分析: 根据题意,问题转化为“存在 b∈[0,1],使 f(b)=f (b)”,即 y=f(x)的图象与 ﹣1 ﹣1 函数 y=f (x)的图象有交点,且交点的横坐标 b∈[0,1].由 y=f(x)的图象与 y=f (x) 的图象关于直线 y=x 对称, 得到函数 y=f (x) 的图象与 y=x 有交点, 且交点横坐标 b∈[0, 1]. 因 此,将方程 化简整理得 e =x ﹣x+a,记 F(x)=e ,G(x)=x ﹣x+a,由零点
x 2 x 2
﹣1

存在性定理建立关于 a 的不等式组,解之即可得到实数 a 的取值范围. 解答: 解:由 f(f(b) )=b,可得 f(b)=f (b) ﹣1 其中 f (x)是函数 f(x)的反函数
﹣1

因此命题“存在 b∈[0,1]使 f(f(b) )=b 成立”,转化为 “存在 b∈[0,1],使 f(b)=f (b)”, ﹣1 即 y=f(x)的图象与函数 y=f (x)的图象有交点, 且交点的横坐标 b∈[0,1], ∵y=f(x)的图象与 y=f (x)的图象关于直线 y=x 对称, ﹣1 ∴y=f(x)的图象与函数 y=f (x)的图象的交点必定在直线 y=x 上, 由此可得,y=f(x)的图象与直线 y=x 有交点,且交点横坐标 b∈[0,1], 根据
x
﹣1 ﹣1

,化简整理得 e =x ﹣x+a
2

x

2

记 F(x)=e ,G(x)=x ﹣x+a,在同一坐标系内作出它们的图象, 可得 ,即 ,解之得 1≤a≤e

即实数 a 的取值范围为[1,e] 故选:A

点评: 本题给出含有根号与指数式的基本初等函数,在存在 b∈[0,1]使 f(f(b) )=b 成立 的情况下,求参数 a 的取值范围.着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在性 定理和互为反函数的两个函数的图象特征等知识,属于中档题. 二、填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分) x 11. (5 分)如果 f(x)=e ,则 f′(0)=1. 考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 利用导数的运算法则即可得出. x 解答: 解:∵f′(x)=e , ∴f′(0)=1. 故答案为:1. 点评: 本题考查了导数的运算法则,属于基础题. 12. (5 分)点 P(x,y)在直线 x+y﹣2=0 上,则 3 +3 的最小值为 6. 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用基本不等式的性质、指数运算性质即可得出.
x y

解答: 解:∵点 P(x,y)在直线 x+y﹣2=0 上,∴x+y=2. 则 3 +3 的
x y x y

=

=6,当且仅当 x=y=1 时取等号.

∴3 +3 的最小值为 6. 故答案为:6. 点评: 本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质,属于基础题. 13. (5 分)如果函数 f(x)=cos(kπx)在[0,1]上至少取得最小值 1008 次,则正数 k 的最小 值是 2015. 考点: 余弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据余弦函数的图象和性质进行求解即可. 解答: 解:函数的周期 T= = ,

若函数 f(x)=cos(kπx)在[0,1]上至少取得最小值 1008 次, 则 1007T+ 即 ≤1, ≤1,

即 k≥2015, 故正数 k 的最小值是 2015. 故答案为:2015 点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,根据条件确定函数周期和区间长度之间的关 系是解决本题的关键. 14. (5 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与直线 y=0 在原点处 相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 ,则 a 的值为﹣3.
3 2

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 由图可知 f(x)=0 得到 x 的解确定出 b 的值,确定出 f(x)的解析式,由于阴影部 分面积为 ,利用定积分求面积的方法列出关于 a 的方程求出 a 并判断 a 的取舍即可.

解答: 解:由图知方程 f(x)=0 有两个相等的实根 x1=x2=0,于是 b=0, ∴f(x)=x (x+a) ,有
2



∴a=±3. 又﹣a>0?a<0,得 a=﹣3. 故答案为:﹣3. 点评: 考查学生利用定积分的方法求平面图形面积的能力. 15. (5 分)函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1<x2 时,都有 f(x1)≥f (x2) ,则称函数 f(x)在 D 上为不增函数.设函数 f(x)为定义在[0,2]上的不增函数,且 满足以下三个条件:①f(0)=2;②f(2﹣x)+f(x)=2,x∈[0,2]; ③当 x∈[0, ]时,f (x)≤2﹣2x 恒成立.则 f( )+f( )=2.

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 f(x)满足的三个条件即可得到 f(1)=1,f( )≤1,所以根据 f(x)是不增 函数,便可得到 x∈[ ,1]时,f(x)=1,从而可求出 . 解答: 解:由条件②得,f(1)=1; 由条件③,f( )≤1; ∵f(x)是[0,2]上的不增函数; ∴x∈ 时,f(x)=1; )=2﹣f( )=1; .

∴f( )=1,f( ∴

故答案为:2. 点评: 考查对不增函数的理解以及对其定义的运用,对条件②③的运用. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)记函数 f(x)= B,求集合 A、B、A∩B. 考点: 函数的定义域及其求法;交集及其运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数的解析式,求出集合 A、B; (2)由集合 A、B,求出 A∩B. 的定义域为 A,g(x)=lg[(1﹣x) (x+1)]的定义域为

解答: 解: (1)由 f(x)=

,得到



解得:﹣1<x≤1,即 A={x|﹣1<x≤1}, 由 g(x)=lg[(1﹣x) (x+1)],得到(1﹣x) (x+1)>0,解得:即 B={x|﹣1<x<1}; (2)∵A={x|﹣1<x≤1},B={x|﹣1<x<1}, ∴A∩B=B={x|﹣1<x<1}. 点评: 本题考查了求函数定义域的问题,也考查了集合的基本运算问题,是基础题. 17. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且(2a+c)cosB=﹣bcosC. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b=2 ,a+c=4,求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)在△ ABC 中,由条件利用正弦定理化简可得 cosB=﹣ ,由此求得 B 的值. (2)由条件利用余弦定理求得 ac=4,可得△ ABC 的面积 ac?sinB 的值. 解答: 解: (1)在△ ABC 中,根据(2a+c)cosB=﹣bcosC, 利用正弦定理可得 2sinAcosB+sinCcosB=﹣sinBcosC, 即 2sinAcosB+sin(C+B)=0,即 2sinAcosB+sinA=0. 由于 sinA≠0,可得 cosB=﹣ ,∴B=120°. (2)若 b=2 ,a+c=4,由余弦定理可得 b =12=a +c ﹣2ac?cosB=(a+c) ﹣2ac+ac=16﹣ac, ac?sinB=2× = .
2 2 2 2

∴ac=4,△ ABC 的面积为

点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,根据三角函数的值求角,属于基础题. 18. (12 分)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数:f1(x)=x,f2(x)=x , 3 4 f3(x)=x ,f4(x)=x ,f5(x)=xcosx,f6(x)=xsinx. (Ⅰ)从中任意拿取 2 张卡片,其中至少有一张卡片上写着的函数为奇函数,在此条件下求 两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率; (Ⅱ)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则 停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ξ 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量及其 分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由已知得 6 个函数中有三奇函数和三个偶函数,由此能求出所求概率. (2)由已知得 ξ=1、2、3、4,分别求出相应的概率,由此能求出抽取次数 ξ 的分布列和数学 期望. 3 解答: 解: (1)∵f1(x)=x,f3(x)=x ,f5(x)=xcosx 都是奇函数, 2 4 f2(x)=x ,f4(x)=x ,f6(x)=xsinx 都是偶函数,
2

即 6 个函数中有三奇函数和三个偶函数, 故共有 取法,

故所求概率 (2)由已知得 ξ=1、2、3、4, P(ξ=1)= = ,

P(ξ=2)=

=



P(ξ=3)=

=



P(ξ=4)= ∴ξ 的分布列如下: ξ 1 p 故 Eξ=

=



2

3

4

= .

点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题, 解题时要认真审题,在历年 2015 届高考中都是必考题型之一. 19. (12 分) 如图, 在底面是菱形的四棱锥 P﹣ABCD 中, ∠ABC=60°, PA=AC=a, PB=PD= 点 E 在 PD 上,且 PE:ED=2:1. (Ⅰ)证明 PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求以 AC 为棱,EAC 与 DAC 为面的二面角 θ 的大小; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论. ,

考点: 平面与平面垂直的判定;平面与平面之间的位置关系;与二面角有关的立体几何综 合题. 专题: 证明题;综合题;转化思想.

分析: (I)证明 PA⊥AB,PA⊥AD,AB、AD 是平面 ABCD 内的两条相交直线,即可证 明 PA⊥平面 ABCD; (II)求以 AC 为棱,作 EG∥PA 交 AD 于 G,作 GH⊥AC 于 H,连接 EH,说明∠EHG 即为 二面角 θ 的平面角,解三角形求 EAC 与 DAC 为面的二面角 θ 的大小; (Ⅲ)证法一 F 是棱 PC 的中点,连接 BM、BD,设 BD∩AC=O,利用平面 BFM∥平面 AEC, 证明使 BF∥平面 AEC. 证法二建立空间直角坐标系,求出 点时,BF∥平面 AEC. 还可以通过向量表示,和转化得到 、 、 是共面向量,BF?平面 ABC,从而 BF∥平面 、 、 共面,BF?平面 AEC,所以当 F 是棱 PC 的中

AEC. 解答: 解: (Ⅰ)证明因为底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°, 所以 AB=AD=AC=a,在△ PAB 中, 2 2 2 2 由 PA +AB =2a =PB 知 PA⊥AB. 同理,PA⊥AD,所以 PA⊥平面 ABCD. (Ⅱ)解:作 EG∥PA 交 AD 于 G, 由 PA⊥平面 ABCD. 知 EG⊥平面 ABCD.作 GH⊥AC 于 H,连接 EH, 则 EH⊥AC,∠EHG 即为二面角 θ 的平面角. 又 PE:ED=2:1,所以 从而 ,θ=30°. .

(Ⅲ)解法一以 A 为坐标原点,直线 AD、AP 分别为 y 轴、z 轴,过 A 点垂直平面 PAD 的直 线为 x 轴,建立空间直角坐标系如图. 由题设条件,相关各点的坐标分别为 . . 所以 . . 设点 F 是棱 PC 上的点, 则 = . . ,其中 0<λ<1,







解得 亦即,F 是 PC 的中点时, 、

.即 、

时, 共面.



又 BF?平面 AEC,所以当 F 是棱 PC 的中点时,BF∥平面 AEC. 解法二:当 F 是棱 PC 的中点时,BF∥平面 AEC,证明如下, 证法一:取 PE 的中点 M,连接 FM,则 FM∥CE.① 由 ,知 E 是 MD 的中点.

连接 BM、BD,设 BD∩AC=O,则 O 为 BD 的中点. 所以 BM∥OE.② 由①、②知,平面 BFM∥平面 AEC. 又 BF?平面 BFM,所以 BF∥平面 AEC. 证法二: 因为 = = 所以 、 . 、 共面.

又 BF?平面 ABC,从而 BF∥平面 AEC.

点评: 本题考查直线与平面平行的判定,二面角的求法,直线与平面垂直的判定,考查空 间想象能力,逻辑思维能力,计算能力,转化思想,是中档题. 20. (13 分)设 a 为实数,函数 f(x)=x +|x﹣a|+1,x∈R (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 f(x)的最小值. 考点: 函数奇偶性的判断;函数的最值及其几何意义. 专题: 压轴题. 分析: 第一问考查函数的奇偶性,用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数;第二 问是求最值的题目,先判断函数的单调性再求最值. 2 解答: 解: (1)当 a=0 时,函数 f(﹣x)=(﹣x) +|﹣x|+1=f(x) 此时,f(x)为偶函数 当 a≠0 时,f(a)=a +1,f(﹣a)=a +2|a|+1,f(a)≠f(﹣a) ,f(a)≠﹣f(﹣a) 此时 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数 (2)①当 x≤a 时, 当 ,则函数 f(x)在(﹣∞,a]上单调递减,从而函数 f(x)在(﹣∞,a]上的最小值
2 2 2 2

为 f(a)=a +1. 若 ,则函数 f(x)在(﹣∞,a]上的最小值为 ,且 .

②当 x≥a 时,函数 若 若 , 则函数 ( f x) 在 (﹣∞, a]上的最小值为 , 且

,则函数 f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值
2

为 f(a)=a +1. 综上,当 当 当 时,函数 f(x)的最小值为 时,函数 f(x)的最小值为 a +1 时,函数 f(x)的最小值为 .
2

点评: 本题为函数的最值和奇偶性的考查;是 2015 届高考常考的知识点之一;而求最值时 需要注意的是先判断函数的单调性.

21. (14 分)已知函数

(a 为实常数) .

(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 g(x)=f(x)﹣2x 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(0,2)上无极值,求 a 的取值范围; (Ⅲ)已知 n∈N 且 n≥3,求证:
*



考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性;数列与不等式的综合. 专题: 综合题;压轴题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出函数定义域,当 a=1 时求出 g′(x) ,只需解不等式 g′(x)>0,g′(x) <0 即可. (Ⅱ)函数 f(x)在区间(0,2)上无极值,则 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0,由此即可求出 a 的取 值范围. (Ⅲ) 由 (Ⅱ) 知, 当 a=1 时, ( f x) 在 (0, +∞) 上的最大值为 ( f 1) =0, 得( f x) = 即 ln ,令 x= 适当变形即可证明. ,其定义域为(0,+∞) ,g′(x)=﹣ ≤ 0,

解答: 解: (I)当 a=1 时,

2+

=

, ,

令 g′(x)>0,并结合定义域知 ;

; 令 g′(x)<0,并结合定义域知

故 g(x)的单调增区间为(0, ) ;单调减区间为



(II)



(1)当 f′(x)≤0 即 a≤x 在 x∈(0,2)上恒成立时,a≤0,此时 f(x)在(0,2)上单调递减, 无极值; (2)当 f′(x)≥0 即 a≥x 在 x∈(0,2)上恒成立时,a≥2,此时 f(x)在(0,2)上单调递增, 无极值. 综上所述,a 的取值范围为(﹣∞,0]∪[2,+∞) . (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a=1 时,f′(x)= ,当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递

增; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, ∴f(x)= 在 x=1 处取得最大值 0.

即 f(x)=1﹣ ∴ ∴ln < 故 ,令 x=

, (0<x<1) ,则 ,即 ln(n+1)﹣lnn ,

=ln(n+1)﹣ln3=[ln(n+1)﹣lnn]+[lnn﹣ln(n﹣1)]+…+(ln4﹣ln3) . .

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数最值问题,考查了运用知 识解决问题的能力.


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