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2011年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷


2011 新知杯) 2011 年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷
一、填空题:(每题 10 分,共 80 分) 填空题:
1、已知关于 x 的两个方程: x ? x + 3m = 0 …①, x + x + m = 0 …②,其中 m ≠ 0 .
2 2

若方程①有一个根是方程②的一个根的 3 倍,则实数 m 的值是___________.

2、已知梯形 ABCD 中 AB‖CD,∠ABC=90°,BD⊥AD,BC=5,BD=13,则梯形 ABCD 的面积 为___________.

3、从编号为 1、2、3、4、5、6 的六张卡片中任意抽取三张,则抽出的卡片编号都大于 2 的概率为___________.

4、将 8 个数,-7,-5,-3,-2,2,4,6,13 排列为 a,b,c,d,e,f,g,h,使得

(a + b + c + d )2 + (e +

f + g + h) 的值最小,则这个最小值为___________.
2

5、已知正方形 ABCD 边长为 4,E、F 分别在 AB,BC 上,AE=3,BF=2,AF,DE 交于 G,则 四边形 DGFC 的面积为___________.

6、在等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB=90°,P 是△ABC 内一点,使得 PA=11,PB=7,PC =6,则 AC 边长为___________.

7、有 10 名象棋选手进行单循环赛,规定每场比赛胜方得 2 分,负方得 0 分,平局各得 1 分,比赛结束后发现每位选手得分各不同,且第二名的得分是最后五名选手得分之和的 则第二名选手得分是___________.

4 , 5

则 8、 已知 a, c, 都是素数 b, d (可以相同) 并且 abcd 是 35 个连续正整数之和, a + b + c + d , 的最小值为___________.

二、解答题: 第 9、10 题每题 15 分,第 11、12 题每题 20 分,共 70 分) 解答题: ( 11、
9、如图:矩形 ABCD 的对角线交点为 O,已知∠DAC=60°,∠DAC 的平分线与边 DC 交于 S, 直线 OS 与 AD 相交于点 L,直线 BL 与 AC 相交于点 M.求证:SM‖LC.

L

D

S M O

C

A

B

10、对于正整数 n ,记 n! = 1 × 2 × L × n .求所有的正整数组( a , b , c , d , e , f ) , 使得 a! = b!+ c!+ d !+ e!+ f ! ,且 a>b≥c≥d≥e≥f.

2 2 11、 (1)证明:存在整数 x , y ,满足 x + 4 xy + y = 2022 ;

(2)问:是否存在整数 x , y ,满足 x 2 + 4 xy + y 2 = 2011 ?证明你的结论.

12、 对每一个大于 1 的整数 n , 设它的所有不同的素因子为 p1 , p 2 , …… p k , 对于每个 p i (1≤i≤k) ,存在正整数 a i ,使得 p i 例如: p(100 ) = 2 + 5 = 89 .
6 2

ai

≤ n ≤ pi

a i +1

,记 p(n ) = p1

a1

+ p2

a2

+ L + pk k .
a

(1)找出一个正整数 n ,使得 p(n ) > n ; (2)证明:存在无穷多个正整数 n,使得 p(n ) > 1.1n .


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