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浙江省金华一中2014-2015学年高一上学期第一次段考数学试卷 Word版含解析


浙江省金华一中 2014-2015 学年高一上学期第一次段考数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1. (5 分)已知集合 U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则?UA=() A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9} 2. (5 分)下列判断正确的是() A.函数 f(x)= 是奇函数 是偶函数

B. 函数 f(x)=(1﹣x)

C. 函数 f(x)=

是偶函数

D.函数 f(x)=1 既是奇函数又是偶函数 3. (5 分)若 2 >1,则 a 的取值范围为() A.a>0 B.0<a<1 C.a<0 4. (5 分)下列函数中哪个与函数 y=x 相等() A.y= B.y= C.y= D.y=
a

D.a>2

5. (5 分)已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(|x|)的图象为()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)对 a,b∈R,记 max{a,b}= 的最小值是() A.0 B. C.

,函数 f(x)=max{|x+1|,|x﹣2|}(x∈R)

D.3

7. (5 分)函数 f(x)= A. B.

(x∈R)的值域是() C. D.

8. (5 分)已知函数 y=

,给出下列四个命题:

①函数的图象关于点(1,1)对称; ②函数的图象关于直线 y=x 对称; ③函数在定义域内单调递减; ④将函数图象向左平移一个单位,再向下平移一个单位后与函数 y= 的图象重合. 其中正确命题的个数是() A.1 B. 2

C. 3

D.4

9. (5 分)放在衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为 a,经过 t 天后体积与天数 t 的关系式为:V=a?e 后,体积变为 A.25 天 ?() B.50 天 C.75 天 D.100 天
﹣kt

,若新丸经过 50 天后,体积变为 a,那么经过几天

10. (5 分)对函数 f(x) ,若对任意 a,b,c∈R,f(a) ,f(b) ,f(c)为某一三角形的三边 长,则称 f(x)为“槑槑函数”,已知 f(x)= A. D. 是“槑槑函数”,则实数 a 的取值范围为()

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. (4 分)计算: ( )+
0

?

+lg5?lg20+(lg2) =. (答案化到最简)

2

12. (4 分)函数 y=

的定义域是. (结果写成集合形式)

13. (4 分)函数 f(x)= 个不相等的 x1,x2 都成立,则 a 的取值范围是.

满足(x1﹣x2)<0 对定义域中的任意两

14. (4 分)已知函数 y=f(x)为奇函数,且当 x>0 时 f(x)=x ﹣2x+3,则当 x<0 时,f(x) 的解析式为.

2

15. (4 分)函数

,则 f(﹣1)=.

16. (4 分)若关于 x 的方程|x ﹣4|x|+3|=k 有 4 个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是. 17. (4 分) 设函数 f (x) = (其中|m|>1) , 区间 M= (a<b) , 集合 N={y|y=f (x) , x∈M) },

2

则使 M=N 成立的实对数(a,b)有对.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应在相应的答题框内写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 2 18. (14 分)已知全集 U=R,A={x|x≥3},B={x|x ﹣8x+7≤0},C={x|x≥a﹣1} (1)求 A∩B,A∪B; (2)若 C∪A=A,求实数 a 的取值范围.

19. (14 分)已知函数 f(x)= 明理由.

,x∈与,若存在,求出 m,n 的值,若不存在,请说

21. (15 分)定义在 D 上的函数 f(x) ,如果满足:对任意 x∈D,存在常数 M>0,都有|f(x) |≤M 成立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x)的上界. 已知函数 f(x)=1+a? + ,

(1)当 a=﹣ 时,求函数 f(x)在(﹣∞,0)上的值域,并判 断函数 f(x)在(﹣∞,0) 上是否为有界函数,请说明理由; (2)若函数 f(x)在上的最大值(直接写出结果,不需给出演算步骤) .

浙江省金华一中 2014-2015 学年高一上学期第一次段考数 学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1. (5 分)已知集合 U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则?UA=() A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9} 考点: 补集及其运算. 分析: 从 U 中去掉 A 中的元素就可. 解答: 解:从全集 U 中,去掉 1,5,7,剩下的元素构成 CUA. 故选 D. 点评: 集合补集就是从全集中去掉集合本身含有的元素后所构成的集合. 2. (5 分)下列判断正确的是() A.函数 f(x)= 是奇函数 是偶函数

B. 函数 f(x)=(1﹣x)

C. 函数 f(x)=

是偶函数

D.函数 f(x)=1 既是奇函数又是偶函数 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇偶性定义判断,先看定义域,再看解析式, 每个选项分析: (1)函数 f(x)= (2)函数 f(x)=(1﹣x) 的定义域不关于原点对称,x≠2 定义不关于原点对称,x≠1,

(3)函数 f(x)=

定义域,

函数 f(x)= f(﹣x)=f(x) , 函数 f(x)=

=



是偶函数,

(4)函数 f(x)=1,是偶函数,不是奇函数.

解答: 解: (1)函数 f(x)= 对称, 函数 f(x)= 不是奇函数.

的定义域(﹣∞,2)∪(2,+∞) ,所以不关于原点

(2)函数 f(x)=(1﹣x) 所以该选项为错的. (3)函数 f(x)=

定义(﹣∞,1)∪(1,+∞) ,不关于原点对称,

定义域,关于原点对称,

∵函数 f(x)=

=

,f(﹣x)=f(x) ,

∴函数 f(x)=

是偶函数,

(4)函数 f(x)=1,是偶函数,不是奇函数. 故选:C 点评: 本题考查了奇偶函数的定义,注意定义域,解析式两种思路判断. 3. (5 分)若 2 >1,则 a 的取值范围为() A.a>0 B.0<a<1 C.a<0
a

D.a>2

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. x 分析: 结合函数 y=2 为 R 上的单调递增的函数可求 a 的范围 x 解答: 解:∵y=2 为定义域 R 上的单调递增的函数 a 0 又∵2 >1=2 ∴a>0 故选 A 点评: 本题主要考查了指数函数的单调性在比较大小中的应用,属于基础试题 4. (5 分)下列函数中哪个与函数 y=x 相等() A.y= B.y= C.y= D.y=

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 确定函数的三要素是:定义域、对应法则和值域,据此可判断出答案. 解答: 解:A.y= 的定义域是{x|x≥0},而函数 y=x 的定义域 R,故不是同一函数.

B.y= C.y= D.y=

的定义域是{x|x≠0},而函数 y=x 的定义域 R,故不是同一函数. =|x|与 y=x 的对应法则、值域皆不同,故不是同一函数. =x 与 y=x 是同一函数.

故选:D. 点评: 本题考查了函数的定义,依据三要素可判断出两个函数是否是同一函数. 5. (5 分)已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(|x|)的图象为()

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 作图题. 分析: 根据函数图象的对称变换,可以将函数 y=f(x)的图象在 y 轴右侧的部分保持不变, 并将其关于 y 轴对称,即可得到函数 y=f(|x|)的图象. 解答: 解:函数 y=f(|x|)= ,是偶函数,

因此将函数 y=f(x)的图象在 y 轴右侧的部分保持不变, 利用函数 y=f(|x|)是偶函数,其图象关于 y 轴对称,即可得到函数 y=f(|x|)的图象 故选 B. 点评: 本题考查函数图象的对称变换,其本质是去绝对值符号,属基础题.

6. (5 分)对 a,b∈R,记 max{a,b}= 的最小值是() A.0 B. C.

,函数 f(x)=max{|x+1|,|x﹣2|}(x∈R)

D.3

考点: 函数的值域. 专题: 压轴题. 分析: 根据题中所给条件通过比较|x+1|、|x﹣2|哪一个更大先求出 f(x)的解析式,再求出 f(x)的最小值. 解答: 解:当 x<﹣1 时,|x+1|=﹣x﹣1,|x﹣2|=2﹣x,因为(﹣x﹣1)﹣(2﹣x)=﹣3<0, 所以 2﹣x>﹣x﹣1; 当﹣1≤x< 时,|x+1|=x+1,|x﹣2|=2﹣x,因为(x+1)﹣(2﹣x)=2x﹣1<0,x+1<2﹣x; 当 <x<2 时,x+1 2﹣x; 当 x≥2 时,|x+1|=x+1,|x﹣2|=x﹣2,显然 x+1>x﹣2;


故 f(x)=

据此求得最小值为 . 故选 C. 点评: 本题主要考查给条件求函数解析式的问题.这种先给出定义,让根据条件求解析式 是经常考到点. 7. (5 分)函数 f(x)= A. B. (x∈R)的值域是() C. D.

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 化 y=f(x)= 解答: 解:令 y=f(x)= 则可化为:yx ﹣x+y=0, 2 则△ =1﹣4y ≥0, 则 y∈ .
2

为 yx ﹣x+y=0,利用判别式法求值域. ,

2

故选 D. 点评: 本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有:1、观察法,2、配方法,3、反 函数法,4、判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法,8、分离常数法,9、单调 性法,10、利用导数求函数的值域,11、最值法,12、构造法,13、比例法.要根据题意选择. 8. (5 分)已知函数 y= ,给出下列四个命题:

①函数的图象关于点(1,1)对称;

②函数的图象关于直线 y=x 对称; ③函数在定义域内单调递减; ④将函数图象向左平移一个单位,再向下平移一个单位后与函数 y= 的图象重合. 其中正确命题的个数是() A.1 B. 2 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 将函数进行化简得到 y=1+ 解答: 解:y= =1+ , 的对称中心是(1,1) ,所以正 ,利用与函数 y= 的图象关系,进行分别判断.

C. 3

D.4

(1)因为函数 y= 的对称中心是(0,0) ,所以函数 y=

确. (2)设函数图象的任意一点为(x,y) ,则点关于直线 y=x 对称的点的坐标为(y,x) ,则点 (y,x)满足函数 y= ,所以(2)正确.

(3)因为函数的定义域为{x|x≠1},所以函数在定义域内不单调,所以(3)错误. (4)将函数 y= =1+ 图象向左平移一个单位,然后再向下平移一个单位后,得到,

所以(4)正确. 故其中正确命题的个数是 3 个, 故选:C. 点评: 本题主要考查分式函数的图象和性质,要求熟练掌握分式函数的变化技巧,分子常 数化是解决分式函数最常用的方法. 9. (5 分)放在衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为 a,经过 t 天后体积与天数 t 的关系式为:V=a?e 后,体积变为 A.25 天 ?() B.50 天 C.75 天 D.100 天
﹣kt

,若新丸经过 50 天后,体积变为 a,那么经过几天

考点: 指数函数综合题. 专题: 计算题;方程思想. 分析: 由题意,可得出 V=a?e V=a?e
﹣50k ﹣50k

= a 与 V=a?e
﹣(t﹣50)k

﹣kt

=

,两式作商求得 e

﹣(t﹣50 )k

= ,由于

= a 可变为 e

﹣50k

= ,对比 e

= ,可得出 2t﹣100=50,由此方程解出 t 的值

即可选出正确选项 解答: 解:由题意得 V=a?e
﹣50k

= a



可令 t 天后体积变为 由①可得 e
﹣50k

,即有 V=a?e ③ = ,

﹣kt

=



=

又②÷①得 e 两边平方得 e

﹣(t﹣50)k

﹣(2t﹣100)k

= ,与③比较可得 2t﹣100=50,解得 t=75

即经过 75 天后,体积变为 故选 C 点评: 本题考点是指数函数综合题,考查了指数运算的综合,求解本题的关键是先待定 t 值为天数,建立起方程,再比较已知条件,得出 t 的方程,解出 t 值,本题解法巧妙,充分考 虑了题设条 件的特征,对观察判断能力要求较高,解题时根据题设条件选择恰当的方法可以 大大降低计算量. 10. (5 分)对函数 f(x) ,若对任意 a,b,c∈R,f(a) ,f(b) ,f(c)为某一三角形的三边 长,则称 f(x)为“槑槑函数”,已知 f(x)= A. D. 是“槑槑函数”,则实数 a 的取值范围为()

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: f(x)解析式变形后,由题意得到 f(x)>0 恒成立,求出 a 的范围,分 0<a≤1 与 a >1 两种情况,利用函数的增减性,以及三角形的三角关系求出 a 的范围即可. 解答: 解:f(x)= =1+ ,

由题意,f(x)>0 恒成立,即

>﹣1,即 a>﹣e ,

x

解得:a>0, ①若 0<a≤1,则 f(x)为增函数,当 x 取正无穷时,f(x)取最大值 1,当 x 取负无穷时,f (x)取最小值 a, 即 f(x)值域为(a,1) , 又知三角形两边之和大于第三边,故应有 a+a≥1,解得: ≤a≤1; ②若 a>1,则 f(x)为减函数,当 x 取正无穷时,f(x)取最小值 1,当 x 取负无穷时,f(x) 取最大值 a, 即 f(x)值域为(1,a) ,同理,有 1+1≥a,得 1<a≤2, 综上,a 的取值范围为, 故选:B.

点评: 此题考查了余弦定理,函数的增减性,以及三角形三边关系,熟练掌握函数的增减 性是解本题的关键. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. (4 分)计算: ( )+
0

?

+lg5?lg20+(lg2) =3. (答案化到最简)

2

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数与对数的运算法则即可得出. 解答: 解:原式=1+ =1+ +(lg2+lg5)
2

+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)

2

=1+1+1 =3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了指数与对数的运算法则,属于基础题. 12. (4 分)函数 y= 的定义域是. (结果写成集合形式)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件,即可求出结论. 解答: 解:要是函数有意义,则﹣x +3x+4≥0, 2 即 x ﹣3x﹣4≤0, 解得﹣1≤x≤4, 故函数的定义域是, 故答案为: 点评: 本题主要考查函数定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.
2

13. (4 分)函数 f(x)=

满足(x1﹣x2)<0 对定义域中的任意两

个不相等的 x1,x2 都成立,则 a 的取值范围是(0, ].

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 首先判断函数 f(x)在 R 上单调递减,再分别考虑各段的单调性及分界点,得到 0 0 <a<1①a﹣3<0②a ≥(a﹣3)×0+4a③,求出它们的交集即可.

解答: 解: (x1﹣x2)<0 对定义域中的任意两个不相等的 x1,x2 都成立, 则函数 f(x)在 R 上递减, 当 x<0 时,y=a ,则 0<a<1① 当 x≥0 时,y=(a﹣3)x+4a,则 a﹣3<0② 0 又 a ≥(a﹣3)×0+4a③ 则由①②③,解得 0<a≤ . 故答案为: (0, ]. 点评: 本题考查分段函数及运用,考查函数的单调性及应用,注意分界点的情况,考查运 算能力,属于中档题和易错题. 14. (4 分)已知函数 y=f(x)为奇函数,且当 x>0 时 f(x)=x ﹣2x+3,则当 x<0 时,f(x) 2 的解析式为﹣x ﹣2x﹣3. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意知 x<0 时﹣x>0,利用已知的解析式求出 f(﹣x) ,再由奇函数 f (x)=﹣f (﹣x) ,得出 x<0 时的 f(x)解析式. 解答: 解:设 x<0,则﹣x>0; ∵当 x>0 时,f(x)=x ﹣2x+3, 2 2 ∴f(﹣x)=(﹣x) ﹣2(﹣x)+3=x +2x+3, ∵f(x)是奇函数,即 f(﹣x)=﹣f(x) , 2 2 ∴f(x)=﹣f(x)=﹣(x +2x+3)=﹣x ﹣2x﹣3, 2 所以 x<0 时,f(x)=﹣x ﹣2x﹣3. 2 故答案为:﹣x ﹣2x﹣3 点评: 本题考查了利用函数的奇偶性求解析式,即把自变量 x 的范围转化到已知的范围内 求对应的解析式,是教材中的基础题.
2 2 x

15. (4 分)函数

,则 f(﹣1)=2.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式可得 f(﹣1)=f(﹣1+3)=f(2)=f(2+3 )=f(5)=5﹣3,运算求 得结果. 解答: 解:∵函数 ,则 f(﹣1)=f(﹣1+3)=f(2)=f(2+3)

=f(5)=5﹣3=2, 故答案为 2. 点评: 本题主要考查利用分段函数求函数的值,属于基础题.

16. (4 分)若关于 x 的方程|x ﹣4|x|+3|=k 有 4 个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是 1 < k<3 或 k=0. 考点: 函数的零点. 专题: 数形结合. 2 分析: 原命题等价于函数 f(x)=|x ﹣4|x|+3|与 y=k 的图象有 4 个不同的公共点,只需在同 一个坐标系中作出它们的图象即可得解. 解答: 解:关于 x 的方程|x ﹣4|x|+3|=k 有 4 个不相等的实数根 2 等价于函数 f(x)=|x ﹣4|x|+3|与 y=k 的图象有 4 个不同的公共点, 2 而函数 f(x)=|x ﹣4|x|+3|为偶函数,y 轴右边的图象为抛物线的一部分, 作图如下:
2

2

由图象可知:当 1<k<3 或 k=0 时,两函数的图象有 4 个不同的公共点, 故答案为:1<k<3 或 k=0 点评: 本题考查函数零点的个数,转化为两函数图象的交点个数是解决问题的关键,属基 础题. (其中|m|>1) , 区间 M= (a<b) , 集合 N={y|y=f (x) , x∈M) },

17. (4 分) 设函数 f (x) =

则使 M=N 成立的实对数(a,b)有 1 或 3 对. 考点: 集合的相等. 专题: 函数的性质及应用;集合. 分析: 先判断函数 ( f x) 是奇函数, 进而从认知集合切入. 这里的集合 N 为函数 ( f x) , (x∈M) 的值域.注意到 f(x)的表达式中含有|x|,为求 f(x)的值域,先将 f(x)化为分段函数的 形式,以便于化整为零,逐段分析.最后综合讨论结果,可得答案. 解答: 解:由函数 f(x)= 故函数 f(x)是奇函数. 当 x=0 时,f(0)=0, 当 x≠0 时,f(x)= 当 m<﹣1 时, , (x∈R) 可得 f(﹣x)= =﹣ =﹣f(x) ,

若 x>0, f(x)=

为减函数,若 x>0,f(x)=

为减函数,

故函数 f(x)在区间上为减函数, 若 M=N,则 f(a)=b,且 f(b)=a, 由点(a,b)与点(b,a)关于 y=x 对称,则 a<0<b, ∴f(﹣a)=﹣f(a)=﹣b, 若 b<﹣a,则 f(b)>f(﹣a) ,a>﹣b,﹣a<b 矛盾, 若 b>﹣a,则 f(b)<f(﹣a) ,a<﹣b,﹣a>b 矛盾, 故 b=﹣a, x>0 时,f(x)=﹣x,即 =﹣x,解得 x=﹣1﹣m>0,

x<0 时,f(x)=﹣x,即

=﹣x,解得 x=1+m<0,

故 M=, 当 m>1 时, 若 x>0,f(x)= 为增函数,若 x>0,f(x)= 为增函数,

故函数 f(x)在区间上为增函数, 若 M=N,则 f(a)=a,且 f(b)=b, x>0 时,f(x)=x,即 =x,解得 x=﹣1+m,

x<0 时,f(x)=x,即

=x,解得 x=1﹣m,

x=0 时,f(0)=0, 故 M=,或 M=,或 M= 综上所述,当 m<﹣1 时,使 M=N 成立的实对数(a,b)有 1 对, 当 m>1 时,使 M=N 成立的实对数(a,b)有 3 对. 故答案为:1 或 3 点评: 解决分段函数问题的基本策略:分段考察,综合结论.在这里,认知集合 N 仍是解 题成败的关键所在. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应在相应的答题框内写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 2 18. (14 分)已知全集 U=R,A={x|x≥3},B={x|x ﹣8x+7≤0},C={x|x≥a﹣1} (1)求 A∩B,A∪B; (2)若 C∪A=A,求实数 a 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题;并集及其运算.

专题: 计算题. 分析: (1)由题意可得 B={x|x ﹣8x+7≤0}={x|1≤x≤7},从而可求 A∩B,A∪B (2)由 C∪A=A 可得 C?A,结合数轴可求 a﹣1 的范围,进而可求 a 的范围 2 解答: 解: (1)由题意可得 B={x|x ﹣8x+7≤0}={x|1≤x≤7},﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) , ∴A∩B={x|3≤x≤7},A∪B={x|x≥1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) (2)∵C∪A=A ∴C?A ∴a﹣1≥3 ∴a≥4﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 点评: 本题主要考查了二次不等式的解法,集合之间的交并运算及集合之间包含关于的应 用,属于基础试题
2

19. (14 分)已知函数 f(x)= 明理由.

,x∈与,若存在,求出 m,n 的值,若不存在,请说

考点: 二次函数的性质;二次函数在闭区间上的最值. 专题: 综合题. 分析: (1)由 f(﹣x+5)=f(x﹣3) ,得函数的对称轴为 x=1,又方程 f(x)=x 有两相等 2 实根,即 ax +(b﹣1)x=0 有两相等实根 0,由此可求出 a,b 的值. (2)本题主要是借助函数的单调性确定出函数在上的单调性,找到区间中那个自变量的函数 值是 3m,3n,由此建立方程求解,若能解出值,说明存在,否则不存在. 解答: 解: (1)∵f(﹣x+5)=f(x﹣3) ,∴f(x)的对称轴为 x=1, 即﹣ =1 即 b=﹣2a.
2

∵f(x)=x 有两相等实根,∴ax +bx=x, 2 即 ax +(b﹣1)x=0 有两相等实根 0, ∴﹣ =0,

∴b=1,a=﹣ , ∴f(x)=﹣ x +x. (2)f(x)=﹣ x +x=﹣ (x﹣1) + ≤ , 故 3n≤ ,故 m<n≤ , 又函数的对称轴为 x=1,故 f(x)在单调递增则有 f(m)=3m,f(n)=3n, 解得 m=0 或 m=﹣4,n=0 或 n=﹣4,又 m<n,故 m=﹣4,n=0. 点评: 本题考点是二次函数的性质考查综合利用函数的性质与图象转化解题, (1)中通过 有相等的 0 根这一特殊性求参数; (2)中解法入手最为巧妙,根据其图象开口向下这一性质, 求出函数的最大值,利用最大值解出参数 n 的取值范围,从而结合对称轴为 x=1 得出函数在 区间单调性,得到方程组 ,求参数,题后应好好总结每个小题的转化规律.
2 2 2

21. (15 分)定义在 D 上的函数 f(x) ,如果满足:对任意 x∈D,存在常数 M>0,都有|f(x) |≤M 成立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x)的上界. 已知函数 f(x)=1+a? + ,

(1)当 a=﹣ 时,求函数 f(x)在(﹣∞,0)上的值域,并判断函数 f(x)在(﹣∞,0) 上是否为有界函数,请说明理由; (2)若函数 f(x)在恒成立,设 到函数的最值,从而求出 a 的值. 解答: 解: (1)当 ∵x<0,∴t>1, ∵ ∴ 时, ; ,令 , , ,求出单调区间,得

在(1,+∞)上单调递增, ,即 f(x)在(﹣∞,1)的值 域为 ,

故不存在常数 M>0,使|f(x)|≤M 成立, ∴函数 f(x)在(﹣∞,0)上不是有界函数; (2)由题意知,|f(x)|≤4 对 x∈ ∴ ∴ 设 , 对 t∈(0,1]恒成立, , ,由 t∈(0,1],

由于 h(t)在 t∈(0,1]上递增,P(t)在 t∈(0,1]上递减, H(t)在 t∈(0,1]上的最大值为 h(1)=﹣6, P(t)在. 点评: 本题考查了函数的值域问题,考查了新定义问题,考查了函数的单调性,函数的最 值问题,是一道综合题. 22. (15 分)已知函数 f(x)=x ﹣1,g(x)=a|x﹣1|. (1)若关于 x 的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2)若当 x∈R 时,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3 )求函数 h(x)=|f(x)|+g(x)在区间上的最大值(直接写出结果,不需给出演算步骤) . 考点: 函数的零点与方程根的关系;函数最值的应用. 专题: 压轴题;数形结合;分类讨论. 分析: (1)关于 x 的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解,可转化为|x﹣1|(|x+1|﹣a)=0 只有一个解,进而转化为|x+1|=a,有且 仅有一个等于 1 的解或无解,进行判断得出参数范围 即可.
2

(2)根据自变量的取值范围进行分类讨论求参数的范围即可,此分类讨论是根据自变量进行 分类的,故求得的参数范围必须求交集教参能满足恒成立. (3)将所给的函数写成分段函数的形式,在每一段上对函数的最值进行讨论,求出最大值, 再比较两段上的最值得到函数的最大值,由于参数的影响,函数的单调性不确定,故可以根据 需要分成三段进行讨论 2 解答: 解: (1)方程|f(x)|=g(x) ,即|x ﹣1|=a|x﹣1|,变形得|x﹣1|(|x+1|﹣a)=0, 显然,x=1 已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程|x+1|=a, 有且仅有一个等于 1 的解或无解, 由此得 a<0. 2 (2)不等式 f(x)≥g(x)对 x∈R 恒成立,即(x ﹣1)≥a|x﹣1|(*)对 x∈R 恒成立, ①当 x=1 时, (*)显然成立,此时 a∈R; ②当 x≠1 时, (*)可变形为 ,令

因为当 x>1 时,φ(x)>2,当 x<1 时,φ(x)>﹣2, 所以 φ(x)>﹣2,故此时 a≤﹣2. 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a≤﹣2.
2

(3)因为 h(x)=|f(x)|+g(x)=|x ﹣1|+a|x﹣1|=

(10

分) 当 时,结合图形可知 h(x)在上递减,在上递增,

且 h(﹣2)=3a+3,h(2)=a+3,经比较,此时 h(x)在上的最大值为 3a+3. 当 在 时,结合图形可知 h(x)在, ,上递增,且 h(﹣2)=3a+3,h(2)=a+3, 上递减, ,

经比较,知此时 h(x)在上的最大值为 3 a+3. 当 在 时,结合图形可知 h(x)在, ,上递增,且 h(﹣2)=3a+3,h(2)=a+ 3, 上递减, ,

经比较,知此时 h(x)在上的最大值为 a+3. 当 递减, 在 , 上递增,且 h(﹣2)=3a+3<0,h(2)=a+3≥0, 时,结合图形可知 h(x)在 , 上

经比较,知此时 h(x)在上的最大值为 a+3. 当 时,结合图形可知 h(x)在上递减,在上递增,

故此时 h(x)在上的最大值为 h(1)=0.

综上所述,当 a≥0 时,h(x)在上的最大值为 3a+3; 当﹣3≤a<0 时,h(x)在上的最大值为 a+3; 当 a<﹣3 时,h(x)在上的最大值为 0. (14 分) 点评: 本题考查函数的零点与方程的根的关系,解题的关键是根据所给的条件及相关知识 对问题进行正确转化,本题比较抽象,对问题的转化尤其显得重要,本题在求解问题时用到了 分类讨论的思想,转化化归的思想,数学综合题的求解过程中,常到到这两个思想.



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