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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何课时作业62 理 新人教A版


课时作业 62

圆锥曲线中的最值、范围与定值、定点问题

1.已知椭圆 C 过点 M?1,

? ?

6? ?,点 F(- 2,0)是椭圆的左焦点,点 P,Q 是椭圆 C 上的 2?

两个动点,且|PF|,|MF|,|QF|成等差数列. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)

求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A. 6 ? ? 1 4 x y 的方程为 + = 1(a>b>0) ,由已知,得 ?a +b =1, a b ?a -b =2, ?
2 2 2 2 2 2 2 2

解: (1) 设椭圆 C

解得

? ?a =4, ? 2 ?b =2, ?

2

∴椭圆的标准方程为 + =1. 4 2 (2) 证明:设 P(x1 , y1) , Q(x2 , y2) ,由椭圆的标准方程为 + = 1 ,可知 |PF| = 4 2 ?x1+ 2? +y1= =2+
2 2

x2 y2

x2

y2

?x1+ 2? +2-

2

x2 1
2

2 2 x1,同理|QF|=2+ x2, 2 2 ?1+ 2? +?
2

|MF|=

2 ? 6?2 ? =2+ 2 , ?2?

∵2|MF|=|PF|+|QF|, ∴2?2+

? ?

2 2? ?=4+ 2 (x1+x2),∴x1+x2=2. 2?
2 2

? ?x1+2y1=4, (ⅰ)当 x1≠x2 时,由? 2 2 ? ?x2+2y2=4.

得 x1-x2+2(y1-y2)=0, ∴

2

2

2

2

y1-y2 1 x1+x2 =- · . x1-x2 2 y1+y2 y1-y2 1 =- , x1-x2 2n

设线段 PQ 的中点为 N(1,n),由 kPQ=

得线段 PQ 的中垂线方程为 y-n=2n(x-1),
1

?1 ? ∴(2x-1)n-y=0,该直线恒过一定点 A? ,0?. ?2 ?
(ⅱ)当 x1=x2 时,P?1,-

? ?

6? ? 6? 6? ? 6? ? ?,Q?1, ?或 P?1, ?,Q?1,- ?, 2? ? 2? 2? ? 2? ?

?1 ? 线段 PQ 的中垂线是 x 轴,也过点 A? ,0?. ?2 ? ?1 ? 综上,线段 PQ 的中垂线过定点 A? ,0?. ?2 ?

2.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 (1)求椭圆的标准方程;

x2 y2 a b

2 ,且过点(2, 2). 2

(2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC,BD 过原点 O,若 kAC·kBD=- 2. 求证:四边形 ABCD 的面积为定值. 解:(1)由题意 e= = 方程为 + =1. 8 4 (2)证明:设直线 AB 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立? (1+2k )x +4kmx+2m -8=0, Δ =(4km) -4(1+2k )(2m -8)=8(8k -m +4)>0,① -4km ? ?x +x =1+2k , 由根与系数的关系得? 2m -8 ?x x =1+2k . ?
1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b2 a

c a

2 4 2 2 2 2 2 2 , 2+ 2=1,又 a =b +c ,解得 a =8,b =4,故椭圆的标准 2 a b

x2 y2

? ?y=kx+m, ?x +2y =8. ?
2 2



b 1 y1y2 1 ∵kAC·kBD=- 2=- ,∴ =- , a 2 x1x2 2
1 1 2m -8 m -4 ∴y1y2=- x1x2=- · 2=- 2. 2 2 1+2k 1+2k 又 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
2 2

2

2

=k x1x2+km(x1+x2)+m
2

2

2

=k

2

2m -8 -4km m -8k 2 2+km 2+m = 2, 1+2k 1+2k 1+2k
2 2 2

2

2

m -4 m -8k 2 2 2 ∴- 2= 2 ,∴-(m -4)=m -8k , 1+2k 1+2k
∴4k +2=m . 设原点到直线 AB 的距离为 d,则
2 2

S△AOB= |AB|·d=


1 2

1 |m| 2 1+k ·|x2-x1|· 2 2 1+k

|m| 2 ?x1+x2? -4x1x2 2 |m| 2



? -4km2?2-4×2m -8=|m| ?1+2k ? 2 1+2k 2 ? ?

2

8m 2 2 ?1+2k ?

2

=2 2, ∴S 四边形 ABCD=4S△AOB=8 2, 即四边形 ABCD 的面积为定值. 3.在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点(- 3,0),( 3,0)的距离之和等于 4, 设点 P 的轨迹为曲线 C,直线 l 过点 E(-1,0)且与曲线 C 交于 A,B 两点. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)△AOB 的面积是否存在最大值,若存在,求出△AOB 的面积的最大值;若不存在,说 明理由. 解:(1)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(- 3,0),( 3,0)为焦点,长半轴长为 2 的椭圆. 故曲线 C 的轨迹方程为 +y =1. 4 (2)△AOB 的面积存在最大值. 因为直线 l 过点 E(- 1,0),所以可设直线 l 的方程为 x= my - 1 或 y=0(舍) .由

x2

2

x ? ? +y2=1, ?4 ? ?x=my-1.
整理得(m +4)y -2my-3=0,Δ =(2m) +12(m +4)>0. 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),其中 y1>y2.
2 2 2 2

2

m+2 m2+3 m-2 m2+3 解得 y1= ,y2= . m2+4 m2+4
4 m +3 则|y2-y1|= 2 . m +4
3
2

1 2 m +3 因为 S△AOB= |OE|·|y1-y2|= 2 2 m +4 =
2

2

2

m +3+

1

.

m2+3 t t

1 1 2 设 t= m +3,t≥ 3,g(t)=t+ ,则 g′(t)=1- 2,故当 t≥ 3时,g′(t)>0 恒成 4 3 立,则 g(t)在区间[ 3,+∞)上为增函数,所以 g(t)≥g( 3)= . 3 所以 S△AOB≤ 3 ,当且仅当 m=0 时取等号. 2 3 . 2

所以 S△AOB 的最大值为

1. (2014·新课标全国卷Ⅰ)已知点 A(0, -2), 椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为

x2 y2 a b

3 , 2

F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为
(1)求 E 的方程;

2 3 ,O 为坐标原点. 3

(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 2 2 3 解:(1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3. c 3 又 =

c a

3 2 2 2 ,所以 a=2,b =a -c =1. 2

故 E 的方程为 +y =1. 4 (2)当 l⊥x 轴时不合题意,故设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 将 y=kx-2 代入 +y =1 得 4 (1+4k )x -16kx+12=0. 8k±2 4k -3 2 2 3 当 Δ =16(4k -3)>0,即 k > 时,x1,2= . 2 4 4k +1 4 k +1· 4k -3 2 从而|PQ|= k +1|x1-x2|= . 2 4k +1 又点 O 到直线 PQ 的距离 d= 2
2 2 2 2 2

x2

2

x2

2

k2+1

.所以△OPQ 的面积
4

S△OPQ= d·|PQ|=
2

1 2

4 4k -3 . 2 4k +1 4t 4 = . t +4 4 t+
2

2

设 4k -3=t,则 t>0,S△OPQ=

t

4 7 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立,且满足 Δ >0. t 2 所以,当△OPQ 的面积最大时,l 的方程为

y=

7 7 x-2 或 y=- x-2. 2 2

x2 y2 2 2.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)经过点 M( 6,1),离心率为 . a b 2
(1)求椭圆的标准方程. → → (2)已知点 P( 6,0),若 A,B 为已知椭圆上两动点,且满足PA·PB=-2,试问直线 AB 是否恒过定点?若恒过定点,请给出证明,并求出该定点的坐标;若不过,请说明理由. 解:(1)由题意得 =

c a

2 ,① 2

6 1 因为椭圆经过点 M( 6,1),所以 2+ 2=1.②

a

b

又 a =b +c ,③ 由①②③,解得 a =8,b =c =4. 所以椭圆方程为 + =1. 8 4 (2)①当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线的方程为 y=kx+m,代入 + =1,消去 y 整 8 4 理得(2k +1)x +4kmx+2m -8=0. 由 Δ >0,得 8k +4-m >0,(*) 4km 2m -8 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 . 2k +1 2k +1 → → 所以PA·PB=(x1- 6)(x2- 6)+y1y2 =(x1- 6)(x2- 6)+(kx1+m)(kx2+m) =(k +1)x1x2+(km- 6)(x1+x2)+6+m =-2, 得(k +1)x1x2+(km- 6)(x1+x2)+8+m =0, 2m -8 -4km 2 2 (k +1)· 2 +(km- 6)· 2 +8+m =0, 2k +1 2k +1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

x2 y2

x2 y2

5

2 6 2 整理得( 3m+2 2k) =0,从而 m=- k,且满足(*), 3

? 2 6? ?2 6 ? 所以直线 AB 的方程为 y=k?x- ?,故直线 AB 经过定点? ,0?. 3 ? ? ? 3 ?
2 6 ?2 6 2 6 ? ②当直线 AB 与 x 轴垂直时,若直线为 x= ,此时点 A,B 的坐标分别为? , ?, 3 3 ? ? 3 2 6? ?2 6 → → ? ,- ?,亦有PA·PB=-2. 3 ? ? 3 综上,直线 AB 经过定点?

?2 6 ? ,0?. ? 3 ?

6


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