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高三数学解三角形复习资料【超好资料】 - 副本


解三角形
一. 【课标要求】
(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一 些简单的三角形度量问题; (2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际 问题。

二. 【命题走向】
对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数 的求值以

及三角恒等式的证明问题,立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。 今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架,以三角形为主要依托,结合实际应用 问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题,也可能是中、难度的解 答题

三. 【要点精讲】
1.直角三角形中各元素间的关系: 如图,在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2。 (勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90°; (3)边角之间的关系: (锐角三角函数定义) sinA=cosB=

a b a ,cosA=sinB= ,tanA= 。 c c b

2.斜三角形中各元素间的关系: 如图 6-29,在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C= ? 。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等

a b c (R ? ? ? 2 R 。 为外接圆半径) sin A sin B sin C
(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余 弦的积的两倍 a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC。 3.三角形的面积公式:

1 1 1 aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 (2)△= absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2
(1)△= 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有 一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角 形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可 分为下面两种情形:若给出的三角形是直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三角形 是斜三角形,则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是: 设△ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。 (1)角与角关系:A+B+C = ? ; (2)边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b; (3)边与角关系: a b c 正弦定理 ; ? ? ? 2R (R 为外接圆半径) sin sin sin A B C 余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA;
-1-

它们的变形形式有:a = 2R sinA, 5.三角形中的三角变换

b2 ? c2 ? a2 sin A a 。 ? , cos A ? 2bc sin B b

三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。 (1)角的变换 因为在△ ABC 中,A+B+C=π ,所以 sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。

sin

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2

(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。 (3)在△ABC 中,熟记并会证明:∠A,∠B,∠C 成等差数列的充分必要条件∠B=60°; △ ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C 成等差数列且 a,b,c 成等比数列。

四. 【典例解析】
题型 1:正、余弦定理 已知△ ABC 中, AB ? a , AC ? b , a ? b ? 0 , S ?ABC ? A.. 30
?

??? ?

?

????

?

? ?

? 15 ? , a ? 3, b ? 5 ,则 ?BAC ? 4
D. 30 或 150
?

B . ?150

?

C. 150

0

0

例 1. (1)在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形; (2)在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A? 400 ,解三角形。

点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解 的情形; 例 2. (1)在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A; (2)在 ? ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ?87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形

例 3.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,且
2 2

sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b

-2-

题型 2:三角形面积 例 4.在 ?ABC 中, sin A ? cos A ? 积。

2 , AC ? 2 , AB ? 3,求 tan A 的值和 ?ABC 的面 2

例 5.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

? A 2 5 ??? ???? , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

题型 3:三角形中求值问题 例 6. ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2cos 值,并求出这个最大值。

B?C 取得最大 2

例 7.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

? A 2 5 ??? ???? ? , AB ? AC ? 3 . 2 5

-3-

题型 4:三角形中的三角恒等变换问题 例 8.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数列, 且 a2-c2=ac-bc,求∠A 的大小及
b sin B 的值。 c

解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理。 例 9.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,求 tan

A C A C ? tan ? 3 tan tan 的值。 2 2 2 2

点评:在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,将未知角变换为已知 角求解,同时结合三角变换公式的逆用。 题型 5:正、余弦定理判断三角形形状 例 10.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形

点评:本题考查了三角形的基本性质,要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形 方向,通畅解题途径 例 12 、 在 ?ABC 中 , A、B 为 锐 角 , 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c 且

sin A ?

5 10 ,sin B ? (I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ? 2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。 5 10

五. 【思维总结】
1.解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A、B、C) ,由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b; (2)已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短边 所对的角,然后利用 A+B+C = π,求另一角; (3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C, 再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况; (4)已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π,求角 C。
-4-


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