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2013年4月杭州市重点高中2013高考命题比赛参赛试题高中数学8


2013 高考模拟试卷 数学(理)卷

选择题部分(共 50 分)
参考公式: 球的表面积公式
S ? 4? R
2

棱柱的体积公式
V ? Sh

球的体积公式 高
V ? 4 3

其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的

/>?R

3

棱台的体积公式
V ? 1 3 h ( S1 ? S1S 2 ? S 2 )

其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式
V ? 1 3 Sh

其中 S 1 , S 2 分别表示棱台的上、 下底面积,
h 表示棱台的高

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高

如果事件 A , B 互斥,那么
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B )

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.全集 U ? R , A = { x | x ? 4} , B ={ x | log
2
3

x ? 1 }, 则 A ? B =

A.{ x | x ? ? 2 }

B.{ x | 2 ? x ? 3 }

C.{ x | x ? 3 } D.{ x | x ? ? 2 或 2 ? x ? 3 }

2.某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人 数的 2 倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年 职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为( ) (A) 32 (B)36 (C)18 (D)86 3.已知两条不同的直线 m 、 n ,两个不同的平面 ? 、 ? ,则下列命题中的真命题是 A.若 m ? ? , n ? ? , ? ? ? ,则 m ? n . B.若 m ? ? , n ∥ ? , ? ? ? ,则 m ? n .
1

C.若 m ∥ ? , n ∥ ? , ? ∥ ? ,则 m ∥ n . D.若 m ∥ ? , n ? ? , ? ? ? ,则 m ∥ n . 4.已知数列 { a n }中 , a 1 ? 1, a n ?1 ? a n ? n ,利用如图所示的 程序框图计算该数列的第 10 项,则判断框中应填的语句是 ( ) (A) n ? 10 (B) n ? 10 (C) n ? 9 (D) n ? 9
?1? 5.已知函数 f ? x ? ? lg x ? ? ? 有两个零点 x1 、 x 2 ,则有 ?2?
x

(

)
B . x1 x 2 ? 1 D . 0 ? x1 x 2 ? 1
2

A. x1 x 2 ? 0 C . x1 x 2 ? 1

6. 双曲线 x ?

y

2

? 1 的左右焦点为 F1,F2,过点 F2 的直 l

3

与右支交于点 P,Q,若|PF1|=|PQ|,则|PF2|的值为( (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 7.数列 { a n } 满足 a n ? a n ? 1 ? 为 A. 6 8.在△ABC 中,
sin A cos A 1 2
?



( n ? N ) , a 2 ? 1 , S n 是 { a n } 的前 n 项和,则 S 21 的值

B.
?

11

C.

9 2

D. 10 ( )学

2 2 cos C ? cos A 2 sin C ? sin A

是角 A、B、C 成等差数列的

A.充分非必要条件 C.充要条件
?

B.必要非充分条件学科网 D.既不充分也不必要条件学科网
?

9.设 O 为△ABC 的外心,且 OA ? OB ? (A)
?
6

2 OC ? 0 ,则△ABC 的内角 C=

?

?





(B)

?
4

(C)

?
3

(D)

?
2

10、若函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ,则函数 g ? x ? ? f 为( ) B.5 C.4
2

? f ? x ? ? ? ln x 在 ? 0 , 1 ? 上的不同零点个数

A.2

D.3

非选择题部分(共 100 分)
注意事项: 1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2. 在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描 黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.计算 (1 ? i ) ?
2

2?i 1 ? 2i

?

.学科网

?x ? ?y 12 . 若 不 等 式 组 ? ?y ?y ?

?0 ?0 ? x? s ? 2x ? 4

表示的平面区域是一个三角形,则 s 的取值范围



.学科网

13. 在集合 ?? x , y ? 0 ? x ? 5且 0 ? y ? 4 , x ? Z , y ? Z ? 内任取 1 个元素,能使代数式
x 4 ? y 3 ? 19 12 ? 0 成立的概率

是 ; 14.一个容器的外形是一个棱长为 2 的正方体,其三视图 如图所示,则容器的容积为 15.二项式 ? x ?
? ? m? 3 ? 的展开式中 x 的系数为 10 ,则实数 m 等 x ?
5

于___▲ . 16. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a , 2 分的概率为 b , 得 不得分的概率为 c( a 、 b 、 c ? (0 , 1) ) ,已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其它得分情况) ,则 a b 的最大 值为 . 17.将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排,然后从左至右依次给它们赋以编号 l, 2,…,8。则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有 种。 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分)已知向量 m ? (sin B ,1 ? co s B ) 与向量 n ? (2, 0 ) 的夹角为 A, B, C 是△ABC 的内角. (1)求角 B 的大小; (2)求 sin A ? sin C 的取值范围.
3

??

?

?
3

,其中

19. (本题满分 14 分)数列 { a n } 中, a 3 ? 1, a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a n ?1 ( n ? 1, 2, 3 ? ). (1)求 a1 , a 2 的值; (2)求数列 { a n } 的前 n 项和 S n 及数列 { a n } 的通项公式; (3)设 bn ? log 2 S n ,存在数列 {c n } 使得 c n ? bn ? 3 ? bn ? 4 ? 1 ? n ( n ? 1)( n ? 2) S n ,试求数列
{c n } 的前 n 项和 T n .

20(本题满分 14 分)如图,已知△ AOB,∠AOB=

? 2

,∠BAO=

? 6

,AB=4,D 为线

段 AB 的中点.若△ AOC 是△ AOB 绕直线 AO 旋转而成的.记二面角 B-AO-C 的大 小为 ? . (1)当平面 COD⊥平面 AOB 时,求 ? 的值; (2)当 ? ∈[
? 2
[来源:Zxxk.Com]



2? 3

]时,求二面角 C- OD-B 的余弦值的取值范围. A

D

O C

B

4

21. (本小题满分 15 分) 如图,过点 D (0, ? 2 ) 作抛物线 x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的切线 l ,切点 A 在第二象限.. (1)求切点 A 的纵坐标; (2) 若离心率为
3 2

的椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

设切线 l 交椭圆 ? 1( a ? b ? 0 ) 恰好经过切点 A,

的另一点为 B,记切线 l 、OA、OB 的斜率分别为 k , k1 , k 2 , 若 k1 ? 2 k 2 ? 4 k ,求椭 圆方程.

22.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? e
2x

? 2 tx , g ( x ) ? ? x ? 2 te ? 2 t ?
2 x 2

1 2



(Ⅰ)求 f ( x ) 在区间 [ 0 , ?? ) 的最小值; (Ⅱ)求证:若 t ? 1 ,则不等式 g ( x ) ≥
1 2

对于任意的 x ? [ 0 , ?? ) 恒成立;

(Ⅲ)求证:若 t ? R ,则不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 对于任意的 x ? R 恒成立。

5

2013 年高考模拟试卷 数学(理)卷参考答案及评分标准
一、选择题:每小题 5 分,满分 50 分。 (1)B (6)B (2)C (7)C (3)A (8)A (4)D (9)B (5)A (10)D

二、填空题:每小题 4 分,满分 28 分。 (11) ?
1 6 14 5 i

(12) ?4 , ?? ? ? ?0 , 2 ?

(13)

11 30

(14)

2? 3

(15)2

(16)

(17) 31

三、解答题 18. (本题满分 14 分)已知向量 m ? (sin B ,1 ? co s B ) 与向量 n ? (2, 0 ) 的夹角为 A, B, C 是△ABC 的内角. (1)求角 B 的大小; (2)求 sin A ? sin C 的取值范围.
? 18.解: (1)∵→=(sinB,1-cosB) ,与向量→=(2,0)所成角为 , m n
3

??

?

?
3

,其中



2 sin B 2 2 ? 2 cos B

?
B 2

1 2

, cos

B 2

?

1 2

…………………………………………3 分
2 3

∴又 0 ? B ? ? ? (2) :由(1)
A?C ?

?

?
3

,即 B ?

? , , ……………3 分

?
3

可得∴ sin A ? sin C ? sin A ? sin(

?
3

? A) ?

1 2

sin A ?

3 2

cos A ? sin( A ?

?
3

)

……………………………………2 分 ∵0 ? A ? ∴
?
3 ? A?

?
3

?
3

?

2? 3

……………………………………………………………2 分

∴ sin( A ?

?

? 3 ? ? 3 ? )?? , 1? , ? sin A ? sin C ? ? , 1? ? 2 ? 2 3 ? ? ? ? ? ?

………… 4 分

6

19. (本题满分 14 分)数列 { a n } 中, a 3 ? 1, a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a n ?1 ( n ? 1, 2, 3 ? ). (1)求 a1 , a 2 的值; (2)求数列 { a n } 的前 n 项和 S n 及数列 { a n } 的通项公式; (3)设 bn ? log 2 S n ,存在数列 {c n } 使得 c n ? bn ? 3 ? bn ? 4 ? 1 ? n ( n ? 1)( n ? 2) S n ,试求数列
{c n } 的前 n 项和 T n .

19 解: (1) a1 ? (2) S n ? 2
n?2

1 2

, a2 ?

1 2

;…….2 分

;……………………….3 分

?1 ? ,n ?1 ………………………3 分 an ? ? 2 ? 2 n ? 3, n ? 2 ?

(3) c n ?

1 ( n ? 1)( n ? 2)

? n ?2

n?2

…………………3 分

c1 ? c 2 ? ? ? c n ? ( n ? 1) ? 2

n ?1

?

n ?1 n?2

……………….3 分

20(本题满分 14 分)如图,已知△ AOB,∠AOB=

? 2

,∠BAO=

? 6

,AB=4,D 为线

段 AB 的中点.若△ AOC 是△ AOB 绕直线 AO 旋转而成的.记二面角 B-AO-C 的大 小为 ? . (1)当平面 COD⊥平面 AOB 时,求 ? 的值; (2)当 ? ∈[
? 2
[来源:Zxxk.Com]



2? 3

]时,求二面角 C- OD-B 的余弦值的取值范围. A

D

O
7

B

C

解法一: (1)解:如图,以 O 为原点,在平面 OBC 内垂直于 OB 的直线为 x 轴,OB,OA 所在的直线分别为 y 轴, z 轴建立空间直角坐标系 O-xyz, 则 A (0,0,2 3 ),B (0,2,0), D (0,1, 3 ),C (2sin ? ,2cos ? ,0). 设 n 1 =(x,y,z)为平面 COD 的一个法向量,
?? ??? ? ? n1 ? O D ? 0, ? 由 ? ?? ??? ? ? n1 ? O C ? 0, ?
?? ??

z A

D

O C

B

y

? x sin ? ? y co s ? ? 0, ? 得? ? y ? 3 z ? 0, ?

x (第 20 题)

取 z=sin ? ,则 n 1 =( 3 cos ? ,- 3 sin ? ,sin ? ). 因为平面 AOB 的一个法向量为 n 2 =(1,0,0), 由平面 COD⊥平面 AOB 得 n 1 ? n 2 =0, 所以 cos ? =0,即 ? =
?
2

?? ?

??

?? ?



………………………7 分

(2)设二面角 C-OD-B 的大小为 ? , 由(1)得 当? =
?
2

时, cos ? =0;
?
2

当 ? ∈(

,

2? 3

]时,tan ? ≤- 3 ,
3 co s ? 3 ? sin ?
2

cos ? =

??

n1 ? n 2

?? ?? ? ?? = ?

=-

3 4 tan ? ? 3
2



| n1 || n 2 |

故-

5 5

≤cos ? <0.

综上,二面角 C-OD-B 的余弦值的取值范围为[- 解法二:
8

5 5

,0].…………14 分

(1)解:在平面 AOB 内过 B 作 OD 的垂线,垂足为 E, 因为平面 AOB⊥平面 COD, 平面 AOB∩平面 COD=OD, 所以 BE⊥平面 COD, 故 BE⊥CO. E 又因为 OC⊥AO, 所以 OC⊥平面 AOB, 故 OC⊥OB. 又因为 OB⊥OA,OC⊥OA, 所以二面角 B-AO-C 的平面角为∠COB, 即? =
?
2

A

D

F C

O G (第 20 题)

B


?
2

………………………………………7 分 时,二面角 C-OD-B 的余弦值为 0;

(2)解:当 ? = 当 ? ∈(
?
2

,

2? 3

]时,

过 C 作 OB 的垂线,垂足为 F,过 F 作 OD 的垂线,垂足为 G,连结 CG, 则∠CGF 的补角为二面角 C-OD-B 的平面角. 在 Rt△OCF 中,CF=2 sin ? ,OF=-2cos ? , 在 Rt△CGF 中,GF=OF sin
FG CG

?
3

=- 3 cos ? ,CG= 4 sin ? ? 3 cos ? ,
2 2

所以 cos∠CGF =
?
2
2? 3

=-
2

3 cos ? 4 sin ? ? 3 cos ?
2



因为 ? ∈(

,

],tan ? ≤- 3 ,
3 4 tan ? ? 3
2

故 0<cos∠CGF=



5 5



所以二面角 C-OD-B 的余弦值的取值范围为 [- 21. (本小题满分 15 分)

5 5

,0]. ……………14 分

如图,过点 D (0, ? 2 ) 作抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 的切线 l ,切点 A 在第二象限..
2

9

(1)求切点 A 的纵坐标; (2) 若离心率为
3 2

的椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

设切线 l 交椭圆的另 ? 1( a ? b ? 0 ) 恰好经过切点 A,

一点为 B,记切线 l 、OA、OB 的斜率分别为 k , k1 , k 2 , 若 k1 ? 2 k 2 ? 4 k ,求椭圆方程.

【解析】 (本小题满分 15 分) 解: (1)设切点 A ( x 0 , y 0 ) ,且 y 0 ? 由切线 l 的斜率为 k ?
x0 p x0
2

x0

2



2p

x0 p

,得 l 的方程为
x0
2

y ?

x?

, 又 点 D (0,? 2 ) 在 l 上 , ? …………5 分 切线斜率 k ? ? p ,2 ) ,
2 p

? 2 , 即 点 A 的 纵 坐 标

2p

2p

y0 ? 2 .

(2) (1) A ( ? 2 由 得
3 2

, B ( x1 , y 1 ) , 设 切线方程为 y ? kx ? 2 ,

由e ?

,得 a ? 4b .…………7 分
2 2

所以椭圆方程为
? y ? kx ? 2 ?x ? 4 y
2 2

x

2 2

?

y b

2 2

? 1 ,且过 A ( ? 2

p , 2 ) ,? b ? p ? 4 .………9 分
2

4b

由?

? 4b

2

? (1 ? 4 k ) x ? 16 kx ? 16 ? 4 b
2 2

2

? 0,

16 k ? ? x 0 ? x1 ? 1 ? 4 k 2 ? ?? , 2 ? x x ? 16 ? 4 b 2 ? 0 1 1 ? 4k ?

…………………11 分

∴ k1 ? 2 k 2 ?
? 3k ?

y0 x0

?

2 y1 x1

?

x1 y 0 ? 2 x 0 y 1 x 0 x1

?

x1 ( kx 0 ? 2 ) ? 2 x 0 ( kx1 ? 2 ) x 0 x1

2 x1 ? 4 x 0 x 0 x1

? 3k ?

2 ( x1 ? x 0 ) ? 2 x 0 x 0 x1

10

?4 p 2 2 32 k ? 4 p (1 ? 4 k ) 2 1 ? 4k ,b2 ? p ? 4 代 ? 3k ? ? 3k ? ? 4k .将 k ? ? 2 2 16 ? 4b 16 ? 4 b p 1 ? 4k
2

32k


x
2


? y


2

p ? 32







b ? 36 , a ? 144
2 2















? 1.

………………15 分

144

36

22.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? e 2 x ? 2 tx , g ( x ) ? ? x ? 2 te ? 2 t ?
2 x 2

1 2



(Ⅰ)求 f ( x ) 在区间 [ 0 , ?? ) 的最小值; (Ⅱ)求证:若 t ? 1 ,则不等式 g ( x ) ≥
1 2

对于任意的 x ? [ 0 , ?? ) 恒成立;

(Ⅲ)求证:若 t ? R ,则不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 对于任意的 x ? R 恒成立。
2x 2x 解(Ⅰ): f ?( x ) ? 2 e ? 2 t ? 2 ( e ? t ) ………………………………………………1 分

①若 t ? 1 ∵ x ? 0 ,则 e
2x

? 1 ,∴ e

2x

? t ? 0 ,即 f ? ( x ) ? 0 。

∴ f ( x ) 在区间 [ 0 , ?? ) 是增函数,故 f ( x ) 在区间 [ 0 , ?? ) 的最小值是 f ( 0 ) ? 1 。……3 分 ②若 t ? 1 令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x ? 又当 x ? [ 0 ,
1 2
1 2
1 2 ln t .

ln t ) 时, f ? ( x ) ? 0 ;当 x ? (

1 2

ln t , ?? ) 时, f ? ( x ) ? 0 ,

∴ f ( x ) 在区间 [ 0 , ?? ) 的最小值是 f ( ln t ) ? t ? t ln t ………………………………5 分 综上,当 t ? 1 时, f ( x ) 在区间 [ 0 , ?? ) 的最小值是 f ( 0 ) ? 1 ,当 t ? 1 时, f ( x ) 在区间
[ 0 , ?? )











f(

1 2

ln t ) ? t ? t ln t 。………………………………………………………………6 分

11

(Ⅱ)证明:当 t ? 1 时, g ( x ) ? ? x ? 2 e ?
2 x

3 2

,则 g ?( x ) ? ? 2 x ? 2 e x ? 2 ( e x ? x ) ,

……………………………………………………………………………………………7 分 ∴ [ g ?( x ) ]? ? 2 ( e x ? 1) , 当 x ? [ 0 , ?? ) 时,有 [ g ? ( x ) ] ? ? 0 ,∴ g ? ( x ) 在 [ 0 , ?? ) 内是增函数, ∴ g ?( x ) ? g ?( 0 ) ? 2 ? 0 , ∴ g ( x ) 在 [ 0 , ?? ) 内是增函数, ∴对于任意的 x ? [ 0 , ?? ) , g ( x ) ? g ( 0 ) ? (Ⅲ)证明: f ( x ) ? g ( x ) ? e
2 x 2x 2

1 2

恒成立。…………………………………10 分
x 2

? 2 tx ? x ? 2 te ? 2 t ?
2x

1 2

? 2 t ? 2 ( x ? e )t ? ( e

? x ?
2

1 2

),

令 h (t ) ? 2 t ? 2 ( x ? e )t ? ( e
2 x

2x

? x ?
2

1 2

) ? 2 (t ?

x?e 2

x

) ?
2

e

2z

? 2 xe ? x ? 1
x 2

2

则当 t ? R 时, h (t ) ≥

e

2x

? 2 xe ? x ? 1
x 2

2 (e ? x ) ? 1
x 2

?

,……………………………………………………12 分

2

令 F ( x ) ? e ? x ,则 F ?( x ) ? e ? 1 ,
x x

当 x ? 0 时, F ? ( x ) ? 0 ;当 x ? 0 时, F ? ( x ) ? 0 ;当 x ? 0 时, F ? ( x ) ? 0 , 则 F ( x ) ? e ? x 在 (?? , 0 ] 是减函数,在 ( 0 , ?? ) 是增函数,
x

∴ F ( x ) ? e ? x ? F ( 0 ) ? 1 ,∴
x

(e ? x ) ? 1
x 2

? 0,

2

∴ h ( t ) ? 0 ,即不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 对于任意的 x ? R 恒成立。………………………15 分

萧山五中 命题人 毛国伟
12

朱玲


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