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导数教案


导数知识点归纳及其应用
一、相关概念 1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,那么函数 y 相应地有增量

?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ,比值
率,即

?y 叫做函数 y=f(x)在 x 0 到 x 0 + ?x 之间的平均变化 ?x

>? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = 。如果当 ?x ? 0 时, 有极限,我们就说函数 y=f(x) ?x ?x ?x

在点 x 0 处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 0 处的导数,记作 f’(x 0 )或 y’| x ? x0 。 即 f(x 0 )= lim 说明: (1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时, 就说函数在点 x 0 处不可导,或说无导数。 (2) ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤: ① 求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ; ② 求平均变化率

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim 。 ? x ?x ?0 ?x
?y ?y 有极限。如果 不存在极限, ?x ?x

? y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ; ?x ?x

③ 取极限,得导数 f’(x 0 )= lim 例:设 f(x)= x|x|, 则 f′ (0)= [解析]: ∵ lim
?x ?0

?y 。 ?x ?0 ?x
.

f (0 ? ?x) ? f (0) f (?x) | ?x | ?x ? lim ? lim ? lim | ?x |? 0 ∴f′ (0)=0 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ?x

2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的 切线的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的斜率是 f’(x 0 ) 。 相应地,切线方程为 y-y 0 =f (x 0 ) (x-x 0 ) 。
/

例:在函数 y ? x 3 ? 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于 是 A.3

? 的点中,坐标为整数的点的个数 4
( ) D.0

B.2

C.1

[解析]:切线的斜率为 k ? y / ? 3x 2 ? 8 又切线的倾斜角小于 故 0 ? 3x 2 ? 8 ? 1 解得: ? 3 ? x ? ?

? ,即 0 ? k ? 1 4

8 8 或 ? x?3 3 3

故没有坐标为整数的点 3.导数的物理意义 如果物体运动的规律是 s=s(t) ,那么该物体在时刻 t 的瞬间速度 v= s ? (t) 。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是 v=v (t) , 则该物体在时刻 t 的加速度 a=v′ (t) 。 例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是( ) s s s s

O A. 答:A。

t

O B.

t

O C.

t O D.

t

练习:已知质点 M 按规律 s ? 2t ? 3 做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s) 。
2

?s ; ?t ?s (2) 当 t=2, ?t ? 0.001 时,求 ; ?t
(1) 当 t=2, ?t ? 0.01 时,求 (3) 求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度。 答案: (1)8.02 cm (2)8.002 cm ; (3)8 cm

s

s

s

二、导数的运算 1.基本函数的导数公式: ① C ? ? 0; (C 为常数) ② xn

? ?? ? nx

n ?1

;

③ (sin x)? ? cos x ;

④ (cos x)? ? ? sin x ; ⑤ (e x )? ? e x ; ⑥ (a x )? ? a x ln a ;

1 ; x 1 ⑧ ? l o g a x ?? ? log a e . x
⑦ ? ln x ?? ? 例 1:下列求导运算正确的是 A.(x+ ) ? ? 1 ?
x x

( B.(log2x)′=
2

)

1 x

1 x2 1 x 1 x2
1 x ln 2

1 x ln 2

C.(3 )′=3 log3e [解析]:A 错,∵(x+ ) ? ? 1 ?

D. (x cosx)′=-2xsinx

B 正确,∵(log2x)′=
x x

C 错,∵(3 )′=3 ln3 2 2 D 错,∵(x cosx)′=2xcosx+ x (-sinx) 例 2:设 f0(x) = sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x) = fn′(x),n∈N, 则 f2005(x)= ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx [解析]:f0(x) = sinx,f1(x)=f0′(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)= -sinx, f3(x)=f2′(x)= -cosx, f4(x) = f3′(x)=sinx,循环了 则 f2005(x)=f1(x)=cosx 2.导数的运算法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( u ? v) ? u ? v .
' ' '

法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ? u v ? uv .
' ' '

若 C 为常数,则 (Cu) ? C u ? Cu ? 0 ? Cu ? Cu .即常数与函数的积的导数等于常数乘
' ' ' ' '

以函数的导数: (Cu ) ? Cu .
' '

法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,

? u ' v ? uv ' ?u? 再除以分母的平方: ? ? ? (v ? 0) 。 v2 ?v?
例: 设 f(x)、 g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)

>0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 ( ) A. (-3,0)∪(3,+∞) B. (-3,0)∪(0, 3) C. (-∞,- 3)∪(3,+∞) D. (-∞,- 3)∪(0, 3) [解析]:∵当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0 ,即 [ f ( x) g ( x)]/ ? 0 ∴当 x<0 时,f(x)g(x)为增函数, 又 g(x)是偶函数且 g(3)=0,∴g(-3)=0,∴f(-3)g(-3)=0 故当 x ? ?3 时,f(x)g(x)<0,又 f(x)g(x)是奇函数, 当 x>0 时,f(x)g(x)为减函数,且 f(3)g(3)=0 故当 0 ? x ? 3 时,f(x)g(x)<0 故选 D 3.复合函数的导数 形如 y=f ?? ( x ) ? 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤: 分解——>求导——>回代。 法则:y'| X = y'| U ·u'| X 或者 f ?[? ( x)] ? f ?( ? )*? ?( x) . 练习:求下列各函数的导数: (1) y ?
x ? x5 ? sin x x2
2?

;

(2) y ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3); (4) y ?
3 2

x x? (3) y ? ? sin ? ?1 ? 2 cos2 ?; 4?
1 x2

1 1? x

?

1 1? x

.

解:(1)∵ y ?
? 3

? x5 ? sin x x2

?x

?

? x3 ?
3 2

sin x x2
? 5 2
2

,

∴y′ ? ( x 2 )? ? ( x3 )? ? ( x ? 2 sin x)? ? ? x (2)
2 3

? 3x 2 ? 2 x ?3 sin x ? x ? 2 cos x.
2

y=(x +3x+2) (x+3)=x +6x +11x+6,∴y′=3x +12x+11.
2? 2? 2

x x? 1 (3)∵y= ? sin ? ? ? cos ? ? sin x,
? ? ?

∴ y? ? ? sin x ? ? (sin x)? ? cos x. (4) y ?
1 1? x ? 1 1? x ? 1? x ?1? x (1 ? x )(1 ? x ) ? 2 , 1? x

?1 ?2

1 2

1 2

∴ y? ? ?

? 2 ? 2 ? ? 2(1 ? x)? ? . ? ? 2 1 ? x (1 ? x) (1 ? x) 2 ? ?

三、导数的应用 1.函数的单调性与导数
' (1)设函数 y ? f ( x) 在某个区间(a,b)可导,如果 f ( x ) ? 0 ,则 f ( x) 在此区间上为

增函数;如果 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在此区间上为减函数。 (2)如果在某区间内恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数。 例:函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1是减函数的区间为 A. (2,??) B. (??,2) C. (??,0) D. (0,2) ( )

[解析]:由 f / ( x) ? 3x 2 ? 6 x <0,得 0<x<2 ∴函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1是减函数的区间为(0,2) 2.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 例:函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9, 已知 f ( x)在x ? ?3 时取得极值,则 a = ( A.2 B.3 C.4 D.5 )

[解析]:∵ f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3 ,又 f ( x)在x ? ?3 时取得极值 ∴ f / (?3) ? 30 ? 6a ? 0 则 a =5 3.最值: 在区间[a,b]上连续的函数 f ( x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值。但在开区间(a,b)内 连续函数 f(x)不一定有最大值,例如 f ( x) ? x , x ? (?1,1) 。
3

(1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念,最大值必须是整个区间上所有函数值中 的最大值,最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。 (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极 值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间 内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成 为最值,最值只要不在端点处必定是极值。 例:函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是
' 2 [解析]:由 f ( x) ? 3x ? 3 =0,得 x ? ?1 , / / / 当 x ? ?1 时, f ( x) >0,当 ? 1 ? x ? 1 时, f ( x) <0,当 x ? 1 时, f ( x) >0,

.

故 f ( x) 的极小值、极大值分别为 f (?1) ? 3、f (1) ? ?1 , 而 f (?3) ? ?17、f (0) ? 1 故函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在[-3,0]上的最大值、最小值分别是 3、-17。

●经典例题选讲
例 1. 已知函数 y ? xf ?( x) 的图象如图所示(其中 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数) ,下面 四个图象中 y ? f ( x) 的图象大致是 ( )

[解析]:由函数 y ? xf ?( x) 的图象可知: 当 x ? ?1 时, xf ?( x) <0, f ?( x ) >0,此时 f ( x) 增 当 ? 1 ? x ? 0 时, xf ?( x) >0, f ?( x ) <0,此时 f ( x) 减 当 0 ? x ? 1 时, xf ?( x) <0, f ?( x ) <0,此时 f ( x) 减 当 x ? 1 时, xf ?( x) >0, f ?( x ) >0,此时 f ( x) 增 故选 C 例 2.设 f ( x) ? ax ? x 恰有三个单调区间,试确定 a 的取值范围,并求其单调区间。
3

解: f ?( x) ? 3ax ? 1
2

若 a ? 0 , f ?( x) ? 0 对 x ? (??,??) 恒成立,此时 f ( x) 只有一个单调区间,矛盾

若 a ? 0 , f ?( x) ? 1 ? 0 若a ? 0

∴ x ? (??,??) , f ( x) 也只有一个单调区间,矛盾

∵ f ?( x) ? 3a( x ?

1 3| a |

) ? (x ? 1 3| a |

1 3| a | ) 和(

) ,此时 f ( x) 恰有三个单调区间 1 3| a |



a ? 0 且 单 调 减 区 间 为 (??,?

,??) , 单 调 增 区 间 为

(?

1 3| a |

,

1 3| a |

)

例 3. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? ax ? d 的图象过点 P(0,2),且在点 M (?1, f (?1)) 处的 切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间. 解: (Ⅰ)由 f ( x) 的图象经过 P(0,2) ,知 d=2, 所以 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? 2,

f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c.
由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 ,知

? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6.
?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? 3, ?? 即? 解得b ? c ? ?3. ?? 1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0,
故所求的解析式是 f ( x) ? x ? 3x ? 3x ? 2.
3 2

(Ⅱ) f ?( x) ? 3x ? 6x ? 3.
2

令3x 2 ? 6x ? 3 ? 0,即x 2 ? 2x ? 1 ? 0.

解得 x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2. 当 x ? 1 ? 2, 或x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0; 当 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0. 故 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2在(??,1 ? 2 ) 内是增函数, 在 (1 ? 2 ,1 ? 2 ) 内是减函数,在 (1 ? 2 ,??) 内是增函数.

例 4. 设函数 f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。 (Ⅰ)求 b 、 c 的值。
3 2

(Ⅱ)求 g ( x) 的单调区间与极值。

解: (Ⅰ)∵ f ? x ? ? x ? bx ? cx ,∴ f ? ? x ? ? 3x2 ? 2bx ? c 。从而

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? (3x2 ? 2bx ? c) = x3 ? (b ? 3) x2 ? (c ? 2b) x ? c 是 一个奇函数,所以 g (0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? x3 ? 6 x ,从而 g ?( x) ? 3x2 ? 6 ,由此可知,

(??, ? 2) 和 ( 2, ??) 是函数 g ( x) 是单调递增区间; (? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调
递减区间;

g ( x) 在 x ? ? 2 时,取得极大值,极大值为 4 2 , g ( x) 在 x ? 2 时,取得极小值,极小值为 ?4 2 。 2 3 2 例 5. 已知 f(x)= x ? ax ? bx ? c 在 x=1,x= ? 时,都取得极值。 3
(1)求 a、b 的值。

1 恒成立,求 c 的取值范围。 c 2 / 2 解: (1)由题意 f (x)= 3x ? 2ax ? b 的两个根分别为 1 和 ? 3 2a b 2 2 由韦达定理,得:1 ? = ? , ? 1 ? (? ) 3 3 3 3 1 则 a ? ? , b ? ?2 2 1 2 / 3 2 (2)由(1) ,有 f(x)= x ? x ? 2 x ? c ,f (x)= 3x ? x ? 2 2 2 2 / / / 当 x ? [ ?1,? ) 时,f ( x) ? 0 , 当 x ? ( ? ,1) 时,f ( x) ? 0 , 当 x ? (1,2] 时,f ( x) ? 0 , 3 3 2 22 1 ? c , f (?1) ? ? c, f (2) ? 2 ? c , 当 x ? ? 时, f ( x) 有极大值 3 27 2
(2)若对 x ? [?1,2] ,都有 f ( x) ? ∴ 当 x ? [?1,2] , f ( x) 的最大值为 f (2) ? 2 ? c 对 x ? [?1,2] ,都有 f ( x) ? 解得 0 ? c ?

1 1 恒成立,∴ 2 ? c ? , c c

2 ? 1, 或 c ? ? 2 ? 1,

3 2 例 6. 已 知 x ? 1 是 函 数 f ( x) ? mx ? 3(m ? 1) x ? nx ? 1 的 一 个 极 值 点 , 其 中

m, n ? R, m ? 0 ,
(I)求 m 与 n 的关系式; (II)求 f ( x ) 的单调区间; (III)当 x ?? ?1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的 取值范围.

解:(I) f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点, 所以 f ?(1) ? 0 ,即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0 ,所以 n ? 3m ? 6 (II)由(I)知, f ?( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 = 3m( x ? 1) ? x ? ?1 ?

? ?

? ?

2 ?? ? m ?? ?

当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?

2 ,当 x 变化时, f ( x ) 与 f ?( x ) 的变化如下表: m 2 m

x
f ?( x )
f ( x)

2? ? ? ??,1 ? ? m? ?
?0
调调递减

1?
0

2 ? ? ?1 ? ,1? ? m ?
?0
单调递增

1

?1, ???
?0
单调递减

0 极大值

极小值

故有上表知,当 m ? 0 时, f ( x ) 在 ? ??,1 ? 在 (1 ?

? ?

2? ? 单调递减, m?

2 ,1) 单调递增,在 (1, ??) 上单调递减. m

(III)由已知得 f ?( x) ? 3m ,即 mx2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0

2 2 2 2 (m ? 1) x ? ? 0 即 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ? ? ?1,1? ① m m m m 1 2 2 设 g ( x) ? x ? 2(1 ? ) x ? ,其函数开口向上,由题意知①式恒成立, m m
2 又 m ? 0 所以 x ?

2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 所以 ? 解之得 ?? m m ? g (1) ? 0 ? ??1 ? 0
4 ? ? m又m? 0 3 4 所以 ? ? m ? 0 3
即 m 的取值范围为 ? ? ,0 ? 例 7: (2009 天津理 20)已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3a)e ( x ? R), 其中 a ? R
2 2 x

? 4 ? 3

? ?

(1) 当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (2) 当 a ?

w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值。 3

w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

本小题主要考查导数的几何意义、 导数的运算、 利用导数研究函数的单调性与极值等基础知 识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。 解: (I) 当a ? 0时,f ( x) ? x 2 e x ,f ' ( x) ? ( x 2 ? 2 x)e x,故f ' (1) ? 3e.

所以曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为 3e.
(II) f ' ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 2a 2 ? 4a e x .

?

?

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

令f ' ( x) ? 0,解得 x ? ?2a,或 x ? a ? 2.由a ?
以下分两种情况讨论。 (1) 若a >

2 知, ? 2a ? a ? 2. 3

2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
? 2a
0 极大值

x

?? ?, ? 2a ?
+ ↗

?? 2a,a ? 2?
— ↘

a?2
0 极小值

?a ? 2, ? ??
+ ↗

所以f ( x)在(??, ? 2a), (a ? 2, ? ?)内是增函数,在 (?2a,a ? 2)内是减函数 .

函数f ( x)在x ? ?2a处取得极大值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a .

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极小值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 .
(2) 若a <

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
a?2
0 极大值

x

?? ?,a ? 2?
+ ↗

?a ? 2, ? 2a ?
— ↘

? 2a
0 极小值

?? 2a, ? ??
+ ↗

所以f ( x)在(??,a ? 2), (?2a, ? ?)内是增函数,在 (a ? 2, ? 2a)内是减函数。

函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极大值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 .

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m


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