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2014年全国高中数学联赛模拟卷(7)(一试+二试


2014 年全国高中数学联赛模拟卷(7)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)__________ 1. 集合 A ? {x 2a ?1 ? x ? 3a ? 5} , B ? {x 3 ? x

? 33}, A ? ( A B) , 则 a 的取值范围是___________
2. 某人投两次骰子, 先后得到点数 m, n , 用来作为一元二次方程 x ? mx ? n ? 0 的系数, 则使方程有 实根的概率为______________ F E 3. 过四面体 ABCD 的顶点 D 作半径为 1 的球,该球与四面体 ABCD 的外接球相切
2

于点 D ,且与平面 ABC 相切。若 AD ? 2 3, ?BAD ? ?CAD ? 45?, ?BAC ? 60? , A 则四面体 ABCD 的外接球的半径 r =________ 4. 如图, M , N 分别为正六边形 ABCDEF 的对角线 AC,CE 的内分点, AM CN 且 = =λ, 若 B,M,N 三点共线,则 ? =______________ AC CE

N M B C

D

5. 已知 f ( x) ? x2 ? (b ? 4 ? a 2 ) x ? 3a ? b 是偶函数,则函数图像与 y 轴交点的纵坐标的最大值是 1 6. 对所有的实数 x 及 1 ? t ? 2 均有 ( x ? t 2 ? 2)2 ? ( x ? at )2 > , 则实数 a 的取值范围是 ______ . 8 7. 定义“n 次幂平均三角形”:如果△ABC 的三边满足等式: b ? (

an ? cn 1 ) n ( n ? Z ), 则称△ABC 为 2
______ .

“n 次幂平均三角形”. 如果△ABC 为“3 次幂平均三角形”, 则角 B 的最大值是

8. 设 u , v, w 为复数, 其中 w ? a ? bi a, b ? 3, a ? b ? 25 , u ? w ? 3v , 若 v ? 1 , 则当 u 的辐角主值
2 2

?

?

u 的值为_____________ w 二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 9.定义域为实数集 R 的函数 f(x)同时满足以下 3 个条件:①x>0 时,f(x)>0,②f(1)=2, 2 2 ③对任意 m,n ? R ,都有 f(m+n) =f(m)+f(n).设集合 A ? {( x, y ) f (3 x ) ? f (4 y ) ? 24} ,
最小时,

B ? {( x, y) f ( x) ? f (ay) ? f (3) ? 0} , C ? {( x, y ) | f ( x) ?
且 A∩C≠Ф ,试求实数 a 的取值范围.

1 f ( y 2 ) ? f ( a)} ,若 A∩B≠Ф 2

10. 已知双曲线方程 x 2 ?

y2 π ? 1 ,是否存在过焦点的直线 l,交双曲线于 A、B 两点,使得∠AOB=2. 2

若存在,求出 l 的方程;若不存在,请说明理由。

11. 数列{an}满足对任意 n∈N*, ? ai ? 1 ? ? (ai ? 1) ,求 ? ai ? i 的最小值.
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

2003

2014 模拟卷(7)

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2014 年全国高中数学联赛模拟卷(7)加试
(考试时间:150 分钟 满分:180 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、 (本题满分 40 分)如图所示:AM 和 AN 是圆 O 的切线,M、N 是切点,L 是劣弧 MN 上异于 2?
M、N 的点,过点 A 平行于 MN 的直线分别交 ML、NL 于点 P、Q,或 S⊙O=

3

S△ABC.求∠POQ.

二、 (本题满分 40 分)已知 a、b、c 是满足 a 2 ? b 2 ? c 2 的正数, a 3 ? b3 ? c3 求函数 f ?a, b, c ? ? 2 的最小值. a ?b ? c ? ? b 2 ?a ? c ? ? c 2 ?a ? b?

三、 (本题满分 50 分)设正整数 a, b 满足:ab>1. 求代数式 f(a, b)=
整数的值.

a 2 ? ab ? b 2 所能取到的所有正 ab ? 1

四、 (本题满分 50 分)把 n 个物体排成一行,如果这些物体的一个子集中任何两元素均不相邻,
则称这个子集合为不亲切的. 证明:含有 k 个元素的不亲切的子集合的个数是 C n?k ?1
k

2014 模拟卷(7)

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2014 年全国高中数学联赛模拟卷(7)答案
? 2a ? 1 ? 3 1、由条件知 A ? B , ① A=Ф , 2a+1>3a+5, ② A≠Ф , ? ?3a ? 5 ? 22 , 解得 a<-4 或 1≤a≤9. ?3a ? 5 ? 2a ? 1 ?
2、由题意知, m, n ??1,2,3,4,5,6? ,则事件总数为 36,而方程有实根等价于 m ? 4n , 即: n ?
2

m2 , 4

19 据此可列出 n 的值:1, 2, 3, 4, 5, 6。 m 的个数为:5, 4, 3, 3, 2, 2。即 5+4+3+3+2+2=19,故概率为 36 3、过 D 作平面 ABC 的垂线,垂足为 H ,作 DE ? AB ,垂足为 E , DF ? AC ,垂足为 F , 则 HE ? AB, HF ? AC , 且有 AE ? AF ? AD cos45? ? 6 。 由于 AEH ? AFH , 则 ?HAE ? 30? ,

AH ?

AE ? 2 2 ,DH ? AD2 ? AH 2 ? 2 ,因此 DH 为半径为 1 的球的直径,从而四面体 ABCD cos 30?
2

的外接球的球心 O 在 DH 的延长线上,于是有 r 2 ? ? r ? 2? ? 2 2

?

? ,解得 r ? 3 .
2

由 AM ? ? AC , 3, 1 CB ,CA 是 PCE 边上的中线,CN ? ?CE ,则有 CA ? CE ? CP , 可得:CM ? ?1 ? ? ? CA ,又 CP ? 3 2 3 1 ? ? ? ? CB ,因为当 B,M,N 三点共线时, 1? ? 1 1 3 CM ? CN ? CB ,整理得:CM ? CN ? 即: 1? ? 2? 2 2? 2 1 ? ? 3 ?1 ? ? ? 3 ? ? 1 ,解得 ? ? 存在实数 t 使得 CM ? ?1 ? t ? CN ? tCB ,故 2? 2 3 4、 延长 EA, CB 交于 P, 设正方形边长为 1, 易知 PB=2, A 为 EP 的中点, EA=AP=

?

?

5、∵ f ( x ) 是偶函数, ∴ f (? x) ? f ( x) , 即 x2 ? (b ? 4 ? a 2 ) x ? 3a ? b ? x 2 ? (b ? 4 ? a 2 ) x ? 3a ? b ,

(b ? 4 ? a2 ) x ? 0 , b ? 4 ? a2 . f ( x) 的图像与 y 轴交点的纵坐标是 3a ? b ? 3a ? 4 ? a2 ,
设 a=2cosθ, b=2sinθ, θ∈[0, π], 3a-b=6cosθ-2sinθ, 当 θ=π 时,最大为 6 6、 2[( x ? t ? 2) ? ( x ? at ) ] ? [( x ? t ? 2) ? ( x ? at )] ? [( x ? t ? 2) ? ( x ? at )]
2 2 2 2 2 2 2

2[( x ? t 2 ? 2)2 ? ( x ? at )2 ] ? (2x ? t 2 ? 2 ? at )2 ? (t 2 ? 2 ? at )2 1 1 2 2 2 2 2 2 即 (2 x ? t ? 2 ? at ) ? (t ? 2 ? at ) ? 恒成立, 则 (t ? 2 ? at ) ? , 4 4 3 3 3 5 2 2 2 t2 ? t2 ? t ? t ? 1 1 2 ? 6, 2 2 2? 2 或a ? 2. ∵ 即 t ? 2 ? at ? 或 t ? 2 ? at ? ? . a ? t t 2 2 t t 3 t2 ? 3 6 2 2) ? 6 . 当且仅当 t ? , 即 t ? ? [1, 2] .故 a ? ( min 2 2 t 5 5 5 5 t2 ? t2 ? 12 ? 2 ? t ? 2 在 [1, 2] 单调递减, 故 a ? ( 2) ? 2?7. 又易知函数 max t t t 1 2 7 综上可知, 实数 a 的取值范围是 ( ??, 6) ( , ??) . 2 3 3 1 a ?c 3 ) , 猜想当 a ? c 时, 角 B 达到最大值, 由余弦定理知, 7. 解:注意到条件 b ? ( 2

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a3 ? c3 3 a3 ? a3 3 ) a2 ? c2 ? ( ) a ?c ?b 1 ? 2 2 ? ? ? , 得到 B= . 此时 cos B ? 2 2ac 2ac 2a 2 3 3 3 2 a ?c 3 a2 ? c2 ? ( ) 1 1 2 cos B ? ? , cos B ? 为此只需证明 . 即证明 2ac 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 即 4(a ? ac ? c ) ? (a ? c ) ? [(a ? c)(a ? ac ? c )] ,
2 2 2

a2 ? c2 ? (

2

2

即 4(a2 ? ac ? c2 ) ? (a ? c)2 , 即 3(a ? c)2 ? 0 . 显然. 8、因为 v ? 1 ,所以 u ? w ? 3 v ? 3 ,于是 u 对应的点 P 在以 w 对应的点 M 为圆心, 3 为半经的圆 C 上,当 u 的辐角主值最小时,OP 与圆 C 相切,而 OM ? 5 , PM ? 3 , 则 OP ? 4 ,于是 所以

w u

?

w 4 3 5 ,又 的辐角主值 ? ? ?POM , cos ? ? , sin ? ? , 5 5 u 4

u 16 12 w 5?4 3 ? 3 ? i ? ? ? i ? ? 1 ? i ,故 ? w 25 25 u 4?5 5 ? 4

9、由条件③令 m=0 得 f(0)=0;再令 m=x,n=-x 得:f(-x) =-f(x);所以 f(x)在 R 上是奇函数. 设 x1,x2∈R,且 x2>x1,则 x2-x1>0,由①和③知: f ?x2 ? x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?? x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ? >0 ,所以 f ?x ? 在 R 上是增函数. 由 f(1)=2 及③可得:24=12f(1)=f(12),所以 f(3x2)+f(4y2)≤24,
2 2 即 f(3x2+4y2)≤f(12),从而 A ? ? x, y ? 3 x ? 4 y ? 12 ;

?

?

由 f(x) -f(ay)+f(3)=0 得:f(x-ay+3)=f(0),从而 B ? 由 f ?x ? ?

?? x, y ? x ? ay ? 3 ? 0? ;

1 f y 2 ? f ?a ? 得: f ? 2 x ? a ? ? f ? y 2 ? ,从而 C ? ? x, y ? y 2 ? 2 x ? 2a ; 2 13 15 ? a ? 2; 由 A∩B≠Ф 可求得: a ? ;由 A∩C≠Ф 可求得: ? 6 3 ? 13 15 ? ? 15 ? ,2? . 所以实数 a 的取值范围是: ?? ,? ??? 3 ? ? 3 ? 6 ? 2 y 2 ? 1 .①, 焦点坐标 ? 3,0 ,不防设 l 过右焦点 F: 3,0 . 10、 x ? 2 2 ? 若 l ? x 轴,则 A,B 坐标为 3 ,?2 , 3 ,?2 ? ?AOB ? 2 arctan > ,矛盾! 3 2

? ?

?

?

?

?

? ??

?

?

?

故可设 l 的方程为 y ? k x ? 3 .② ∵ ?AOB ?

?
2

?

?

设 A: (x1,y1),B(x2,y2). ③

,∴

y1 y 2 ? ? ?1 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 . x1 x2

2 2 2 2 2 2 由①、②,得 2 x ? k x ? 3 ? 2 ? k ? 2 x ? 2 3k x ? 3k ? 2 ? 0 . k2=2 时,④只有一个根,至多只能对应一个交点,不可能.故 k2≠2.

?

?

2

?

?

?

?



2 3k 2 , ⑤ k2 ?2 3k 2 ? 2 x1 x2 ? 2 . ⑥ k ?2 由②、⑤、⑥,得 y1 y2 ? k 2 x1 ? 3 x2 ? 3 ? k 2 x1 x2 ? 3?x1 ? x2 ? ? 3
由韦达定理得

x1 ? x2 ?

?

??

?

?

?

2014 模拟卷(7)

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? 3k 2 ? 2 6k 2 3k 2 ? 6 ? 4k 2 ? ? ?k ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? k2 ?2 . ⑦ ? k ?2 k ?2 k ?2 ? 3k 2 ? 2 4k 2 2?k2 ? 2 ?0? 2 ? 0 ,矛盾! 由③、⑥、⑦,得 2 k ?2 k ?2 k ?2 故不存在过右焦点的直线 l ,同时满足条件(1) 、 (2) .同理,也不存在过左焦点的直线满足题意.
2

11、由已知:

? ai ? 1 ? ? ?ai ? 1? ,从而还有 ? ai ? 1 ? ? ?ai ? 1?
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n ?1

n ?1

以上两式相减,得 ?a n ?1 ? 1? (1)若数列中所有项均为 1,则

? ai ? an?1 ? 1 , 故 an?1 ? 1或? ai ? 1 . ①
i ?1 2003 i ?1

n

n

?a
i ?1

i

. ? i ? ? 1 ? i ? ? j ? 2005003
i ?1 j ?0

2003

2002

(2)若数列中所有项不均为 1,设 a1=a2=?am?1=1(m=1 时该式省去),am≠1. ①中,取 n=m, 有 am+1=1 或 a1a2?am?1am=1. 由前面所设,a1a2?am-1am=am ≠1∴am+1=1.设 am+k=am+k-1=?am+1=1, 则①中,取 n=m+k, 有 am+ k+1=1 或 a1a2?am+k=1,同理,只可能是 am+ k+1=1. 另外,由下式②可说明,当 am ≠1,n≥m 时,可以保证条件成立:

? ai ? am ? ai ? am ? ?am ? 1? ? 1 ? ? ?ai ? 1? ? 1 ? ? ?ai ? 1? .②
i ?1 1?i ? n i?m 1?i ? n i?m i ?1

m

n

当 m>2003 时,归为(1)的情形.
2003

若 1≤m≤2003,则

? ai ? i ? ? j ? am ? m ? 1 ? m ? ? j ? 0 ? 2002 ? 2003001.
i ?1 j ?0 j ?0

2002

2002

综上,当 a1=a2=?a2002=1,a2003=2003 时,取最小值,等于 2003001.

第二试
一、连结 OA、OM,设∠AOP=α,∠AOQ=β.因为 AM、AN 是⊙O 的两条切线, 所以由切线长定理知 AM=AN,且 AO⊥MN. 又因为 PQ∥MN,所以 AO⊥PQ. cos∠POQ=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

OA OA AP AQ OA2 ? AP ? AQ 所以 ? ? ? ? ? OP OQ OP OQ OP ? OQ
又因为∠AMP=∠MNL=∠AQN,∠APM=∠PMN=∠ANQ, 所以△AMP∽△AQN, 所以 所以 AP· AQ=AM· AN=AM2, 所以 cos?POQ ?

AM AP ? , AQ AN

OA2 ? AM 2 OM 2 , ? OP ? OQ OP ? OQ

所以 OM2=OP· OQcos∠POQ,所以 S⊙O=π· OM2=π· OP· OQcos∠POQ, 又 S△ABC ?

1 2? 1 OP ? OQ sin ?POQ   ? ? OP ? OQ cos?POQ ? ? OP ? OQ sin ?POQ , , 所以由已知得: 2 3 2 所以 sin∠POQ= 3 ,∠POQ=60° .

2014 模拟卷(7)

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二、 解: ∵ b ? bc ? c ? b c ≥ 2 b3 ? bc2 ? 2 c 3 ? b 2 c ? 2b 2 c ? 2bc2 . 则 b ? c ≥ b c ? bc .
3 2 3 2 3 3 2 2
3 故a ?

? 2b? ≥ a
3

2

? 2b ? a 2b ,即 2a 3 ? 4b 3 ≥ 2a 2 b ? 2 2ab2 .
2 2
3 3

? ?

2

同理, 2a ? 4c ≥ 2a c ? 2 2ac .
3 3
3

综上可得 2 2a ? 7b ? 7c ≥ 2a 2 ?b ? c? ? 2 2 b 2 a ? c 2 a ? 3 b 2 c ? c 2b .①

?

? ?

?

1 ?b ? c ?2 ,得 a ≥ 1 ?b ? c ? . 2 2 1 2 ?b ? c ? ? a 3 ? 2 2 ? 1 a 2 ?b ? c? ? b 2 a ? c 2 a . ② 则 5 ? 2 a3 ≥ 4 ? 2 a ? 2 1 2 1 2 3 注意到 a ≥ a ?b ? c ? ? b ? c 2 ?b ? c ? ≥ 2bc?b ? c? ? 2 b 2 c ? c 2b . 2 2 2 则 2 ? 2 a 3 ≥ 2 2 ? 2 b c ? c 2b . ③
由a ? b ?c ≥
2 2 2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

2 2 ?1 2 a ?b ? c ? ? b 2 ?c ? a ? ? c 2 ?a ? b ? . 7 2 2 ?1 易知,当且仅当 a ? 2b ? 2c 时,上式等号成立, 故 f ?a, b, c ? ? . 7 三、解:由题意知,即找出(a,b),使 ab ?1| a2 ? ab ? b2 (*), ∵若(a, b)满足(*),则(b, a)亦满足(*)
将式①、②、③相加,整理即得 a ? b ? c ≥
3 3 3

?

?

∴ 若 a, b 中有一个为 1,则不妨设 a=1,此时 b ?1|1 ? b ? b2 ? b ? 1| 3 ∴ b=2 或 4,∴(1, 2)、(1, 4)、(4, 1)、(2, 1)满足(*) 若 a ? 2, b ? 2 ,则(*) ? ab ?1| a2 ? 2ab ? b2 ?1 ? ab ?1| (a ? b ?1)(a ? b ? 1)

?1, a ? b为偶数 ?2, a ? b为奇数 当 a+b 为偶数时,(*) ab ?1| a ? b ?1或 ab ?1| a ? b ? 1
又∵ (a ? b ? 1, a ? b ? 1) ? (a ? b ? 1, 2) ? ? 当 a+b 为奇数时,则 a、b 的奇偶性不一样,∴ab?1 为奇数,令 a+b=2n+1 (n ? Z ) ,
*

则 ab ? 1| 2n ? 2(n ? 1) , ∵(ab?1, 4)=1, ∴ ab ? 1| n(n ? 1) , ∴ ab ? 1| n或ab ? 1| n ? 1

a ? b ?1 a ? b ?1 , ∴总有 ab ?1| a ? b ?1 (1) 或 ab ?1| a ? b ? 1 (2) 或ab ? 1 2 2 b b?2 ? 2 ;若(2)则 ab ? 1 ? a ? b ? 1,即a ? ? 4, ∴a ? 4 若(1)则 ab ? 1 ? a ? b ? 1,即a ? b-1 b ?1 2 当 a=2 时,(*) ? 2b ?1| 4 ? 2b ? b ? 2b ?1| 21,∴b=2、4、11
即 ab ? 1 当 a=3 时,(*) ? 3b ?1| 9 ? 3b ? b ? 3b ?1| 91,∴b 不存在
2

当 a=4 时,(*) ? 4b ?1|16 ? 4b ? b ? 4b ?1| 273 ,∴b=2、10、23 ∴ f(a, b)所能取到的所有正整数为:7、4
2

四. 把 n 个物体记成 a1, a2 ,?, an . 且设 {ai1, ai 2 ,?, aik }(1 ? i1 ? i2 ? ? ? ik ? n) 是它的一个不亲切的子

? 1 ? i1 ? i2 ? ? ? ik ? n . 从而 1 ? i1 ? i2 ? 1 ? i3 ? 2 ? ? ? ik ? (k ? 1) ? n ? k ? 1 , ( j ? 1,2,?, k ? 1) ? i j ?1 ? i j ? 2 故 i1, i2 ? 1, i3 ? 2,?, ik ? (k ? 1) 是 1,2,?, n ? k ? 1 中一个严格上升序列. 反之,对于每一个这样的 上升序列 1 ? j1 ? j2 ? ? ? jk ? n ? (k ? 1) ,则以 a j1 , a j2 ?1,?, a jk ?( k ?1) 为元素的集合为不亲切子集合,
集合,于是有 ?
k 二者元素一一对应. 而从 1,2,3,?, n ? (k ? 1) 中选取 k 个组成严格上升序列共有 Cn ? k ?1 种方法.

故含 k 个元素的不亲切子集的个数是 Cn ? k ?1.
2014 模拟卷(7) 第 6 页 共 6页

k


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