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2017届四川省双流中学高三9月月考数学(理)试题


四川省双流中学高 2014 级高三 9 月月考

数学(理科)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 2 共 4 页,共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.答案务必写在答题卡的相应位置 . ..............
1.设全集 U ={1,, 2 3,, 4 5, 6} ,集合 S ={1, 3, 5} , T ={3, 6} ,则 ? U ( S ? T ) 等于 A. ? B. ?4? C. ?2, 4? D. ?2,4,6?

2 2.抛物线 C : y ? 4 x 的准线方程为

A. x ? ?1

B. x ? 1

C. x ? ?2

D. x ? 2

2 3.复数 z ? (a ? 9) ? (a ? 3)i 是纯虚数,则 a ?

A. ?3
0.1

B. ?3

C. 3

D. ?

4.设 a ? 2 , b ? ln A. a ? b ? c C. b ? a ? c

5 9 , c ? log 3 , 则 a, b, c 的大小关系是 2 10 B. b ? c ? a
D. a ? c ? b 第5题 C. ?2,3, 4,5? D. ?2,3, 4,5,6?

5. 执行如图所示程序框图,若输出的结果为 2,则输入的正整数 a 的可能取值集合是 A. ?1,2,3,4,5? B. ?1, 2,3, 4,5,6?

6.某三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的表面积是 A. 2 ? 5 C. B. 2 ? 2 5 D.

4 3

2 3

7.下列有关命题的说法正确的是
2 2 A. 命题“若 x ? 1 , 则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1 , 则 x ? 1”

B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5x ? 6 ? 0 ”的必要而不充分条件
2

C.命题“ ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题
-1-

8.设 f ?( x ) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ?( x) 的图象如图所示,则 y ? f ( x) 的图象最有可能的是

A

B

C

D

?x ? y ? 2 ? 0 ? y 9. 已知变量 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 的取值范围为 x ? 3 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
? 2? A. ?0, ? ? 3?

B. ?0, ?? ?

2? ? C. ? ??, ? 3? ?

? 2 ? D. ? ? , 0? ? 3 ?

10. 由 0 到 9 这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中,满足千位、百位、十位上的数字成递增等差 数列的五位数共有 A. 720 个 11. 已知椭圆 B. 684 个 C. 648 个 D. 744 个

x2 y 2 ? ? 1(0 ? m ? 9), 左、右焦点分别为 F1、F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 9 m

| AF2 | ? | BF2 | 的最大值为 10 ,则 m 的值为
A. 3 B. 2
2

C. 1

D. 3

12.已知函数 g ? x ? ? a ? x (

1 ? x ? e , e 为自然对数的底数)与 h ? x ? ? 2ln x 的图象上存在关于 x 轴对 e

称的点,则实数 a 的取值范围是 A. ?1,

? 1 ? ? 2? 2 ? e ?

2 B. ? ?1, e ? 2 ? ?

C. ?

?1 ? ? 2, e2 ? 2? 2 ?e ?

2 D. ? ? e ? 2, ??

?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.答案务必写在答题卡的相应位置 . ..............
13. cos
2

?
8
2

? sin 2 1 x

?
8

?

.

(x - ) 展开式中的所有二项式系数之和为 512,则该展开式中常数项为 14. 若

n

.(用数字作答)

-2-

15.在 6 道题中有 4 道理科题和 2 道文科题, 如果不放回的依次抽取 2 道题, 则在第一次抽到理科题的条件 下,第二次抽到理科题的概率 .

16. 如图,在直角梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AB ? 2 ,

AD ? DC ? 1 , P 是线段 BC 上一动点, Q 是线段 DC 上一动点,

??? ? ???? ???? ???? ??? ? ??? ? DQ ? ? DC, CP ? (1 ? ?)CB ,若集合 M ? x x ? AP ? AQ ,
? ? a 2 ? b2 ? 1 ? ? M ? ?x x ? , a ? b, ab ? 1? .则 M ? N ? 3(a ? b) ? ? ? ?
.

?

?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答 .. 务必写在答题卡的相应位置 . ............
17、 (本小题满分 10 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (I)求{ an }的公比 q ; (II)求 a1 - a3 =3,求 Sn


18、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ( x ? R) 2 2

(I)求函数 f ( x) 的单调增区间. (II)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ,且 c ? 3, f (C) ? 0 ,若向量 m ? (1,sin A) 与向量

n ? (2,sin B) 共线,求 a , b 的值.


P 19、 (本小题满分 12 分) 三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥平面 ABC , AB ⊥ BC 。 (I)证明:平面 PAB ⊥平面 PBC ; (II) 若 PA ? A B C 底面

6 ,PC 与侧面 APB 所成角的余弦值为

2 2 ,PB 与 3

-3-

ABC 成 60? 角,求二面角 B ? PC ? A 的大小。


20. (本小题满分 12 分) 为了解某地区高中生身高情况, 研究小组在该地区高中生中随机抽出 30 名高中生的身高编成如右所示 的茎叶图(单位:cm) :若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子” ,身高在 175cm 以下(不 包括 175cm)定义为“非高个子” . (I)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽 取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“高个子” 的概率是多少? (II)用样本估计总体,把频率作为概率,若从该地区所有高 中生(人数很多 )中选 3 名,用 ? 表示所选 3 人中“高个子” .... 的人数,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望. 15 16 17 18 19 7 7 8 9 9 9 1 2 4 5 8 8 9 9 0 2 3 4 5 5 6 6 0 1 1 2 4 7 1 8


21.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C :

3 1 x2 y 2 ,直线 l 的方程为 x ? 4 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1, ) ,离心率 e ? 2 2 2 a b

(I)求椭圆 C 的方程; (II) AB 是经过右焦点 F 的任一弦 (不经过点 P ) , 设直线 AB 与

l 相交于点 M,记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1, k2 , k3 ,问:是否
存在常数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ?k3 ?若存在,求出 ? 的值,若不存 在,说明理由.


22. (本小题满分 12 分)

ax 2 ? bx 已知函数f ( x) ? , g ? x ? ? ln ? x ? 1?,曲线y ? f ( x)在点 ?1, f (1) ? 处的切线方 (I)求 a , b 的 x ?1 程是5x ? 4 y ? 1 ? 0
值; (II)若 当 x ? ?0, ?? ? 时 , 恒 有 f ( x) ? kg ( x) 成 立 , 求 k 的 取 值 范 围 ; (III)若

5 ? 2.2361, 试 估 计 ln

5 的 值 ( 精 确 到 0.0 01 ) 4
-4-

-5-

四川省双流中学高 2014 级高三 9 月月考试题

参考答案(理科)
一、选择题 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

C

A

C

A

C

B

D

C

D

D

A

B

第 11 题.【解析】由 0 ? m ? 9 可知,椭圆焦点在 x 轴上,

? 过点F1的直线交椭圆于A,B两点,

? BF1 ? AF1 ? BF2 ? AF2 ? 4a ? 12 ,? BF2 ? AF2 ? 12 ? AB 当AB垂直于x轴时 AB 最小, BF2 + AF2 值最大 ,
此时 AB ?

2m 2m ,?10 ? 12 ? 解得m=3 3 3

2 2 第 12 题 【 解 析 】 由 已 知 , 得 到 方 程 a ? x ? ?2lnx ? ?a ? 2lnx ? x 在 ? , e ? 上 有 解 , 设 ?e ?

?1

?

f ?( x) ? f ( x)? 2l n ?x 2 , x

2 2(1 ? x)(1 ? x) 1 ? 2x ? ,? ? x ? e , ? f ?( x) ? 0 在 x ? 1 有唯一的极值点, x x e

1 1 1 ? f ( ) ? ?2 ? 2 , f (e) ? 2 ? e2 , f ( x)极大值 =f (1) ? ?1 ,? f (e) ? f ( ) , e e e
2 2 故方程 ? a ? 2lnx ? x 在 ? , e ? 上有解等价于在 2 ? e ? ? a ? ?1 即 a ? ? ?1, e ? 2? ? e ? ?

?1

?

2

二、填空题 13.

2 2

14.

84

15. ,∴0≤λ≤1. . (

3 5

16. ?

?2 3 ? , 2? 3 ? ?

第 16 题【解答】 :∵ = = = ∴ ∴M= = =( = .

)=



)?(

)=

+

=2λ.

=[0,2].∵a>b,ab=1, ∴a﹣b>0,

-6-

=

=

≥2

=



∴N={x|x=

,a>b,ab=1}=[

,+∞) .

∴M∩N=[ 三、解答题:

,2].

17、 【解析】 (Ⅰ)依题意有

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 )
由于 a1 ? 0 ,故 2q 2 ? q ? 0

1 2 1 2 ( )?3 (Ⅱ)由已知可得 a1 ? a 1 ? 2
又 q ? 0 ,从而 q ? - 故 a1 ? 4

1 n ( 4 1? (? ) ) 8 1 n 2 从而 S n ? ? ( 1? (? ) ) 1 3 2 1? (? ) 2 ? 18、 【解析】 (1) f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 1 6
令?

?
2

? 2k ? ? 2 x ? 6 ? k? ? x ?

?
6

?

?
2

? 2k ?

解得-

?

?
3

? k?

? ? ? ? ?函数f ( x)单调增区间是 ?- ? k? , ? k? ? k ? z 3 ? 6 ?
(2) f (c) ? sin(2c ? ) ? 1 ? 0则sin(2c ? ) ? 1 6 6 ? 0 ? C ? ? ? 0 ? 2C ? 2? ? ? 11? ? ? ? 2C ? ? 6 6 6 ? 2C ?

?

?

?
6

?

?
2

,C ?

?
3

? 向量 m ? (1,sin A) 与向量 n ? (2,sin B) 共线
? 1 sin A ? 2 sin B
-7-

由正弦定理得 b ? 2a ① 由余弦定理得 a ? b ? ab ? 3 ②
2 2

由①②解得 a ? 1, b ? 2 19、 【解析】

20. 【解析】 (1)根据茎叶图,有“高个子”12 人, “非高个子”18 人,用分层抽样的方法,每个人被抽中 的概率是

5 1 1 1 ? ,? 选中的“高个子”有 12 ? ? 2 人, “非高个子”有 18 ? ? 3 人,用事件 A 表示至少 30 6 6 6

有一名 “高个子” 被选中, 则其对立事件 A 表示没有一名 “高个子” 被选中, 则 P( A) ? 1 ?

C32 3 7 ? 1? ? , 2 C5 10 10

因此至少有一人是“高个子”的概率是 名学生是“高个子”的频率为

7 ; (2)依题意,抽去 30 名学生中 12 名是“高个子” ,? 抽去一 10

7 ,频率当作概率,那么从所有高中生中抽取一名学生是“高个子”的概 10 2 2 ?? 服从二项分布B(3, ), ? 率是 , 又? 所取总体数量较多, 抽取 3 名学生看成进行 3 次独立重复试验, 5 5 2 27 2 2 54 0 3 1 2 的取值为 0,1, 2,3 , P (? ? 0) ? C3 (1 ? ) ? , P(? ? 1) ? C3 ( )(1 ? ) ? 5 125 5 5 125 8 2 2 36 3 2 3 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 (1 ? ) ? , P (? ? 0) ? C3 ( ) ? , 5 125 5 5 125
-8-

∴ ? 的分布列如下:

?

0
27 125

1
54 125

2
36 125

3
8 125

P

∴ E? ? 0 ?

2 6 27 54 36 8 6 ? 1? ? 2? ? 3? ? (或 E? ? 3 ? ? ). 5 5 125 125 125 125 5

21.【解析】 (1)由点 P (1, ) 在椭圆上得,
2 2 2

3 2

1 9 1 c 1 ? 2 ? 1 ① 又e ? , 所以 ? 2 a 4b 2 a 2



x2 y 2 ? ? 1 ????????..4 分 由 ①②得 c ? 1, a ? 4, b ? 3 ,故椭圆 C 的方程为 4 3
(2)假设存在常数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 . 由题意可设 AB的斜率为k , 则直线AB的方程为 y ? k ( x ? 1) ③

代入椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 并整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 4 3
④ ?????6 分

8k 2 4(k 2 ? 3) , x1 x2 ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
y1 ?

3 3 y2 ? 2 ,k ? 2, 在方程③中,令 x ? 4 得, M (4,3k ) ,从而 k1 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

3 2 ? k ? 1 .又因为 A、F、B 共线,则有 k ? k ? k , k3 ? AF BF 4 ?1 2 3k ?
即有

y1 y ? 2 ?k x1 ? 1 x2 ? 1
y1 ?

3 3 y2 ? 2? 2 ? y1 ? y2 ? 3 ( 1 ? 1 ) 所以 k1 ? k 2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 1
= 2k ?

3 x1 ? x2 ? 2 . ⑤ 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

8k 2 ?2 2 3 1 4 k ? 3 ? 2k ? 1 ,又 k 3 ? k ? , 将④代入⑤得 k1 ? k 2 ? 2 k ? . 2 2 2 4(k ? 3) 2 8k ? 2 ?1 2 4k ? 3 4k ? 3
所以 k1 ? k 2 ? 2k 3
-9-

故存在常数 ? ? 2 符合题意???????????????????????12 分 22. 【解析】 : ( 1 ) f ′( x ) = b=2 … ( 2) : 由 ( 1) 知 : f( x) = 令 F( x) = ,由题意: ﹣ k ln ( 1+x ) ≥ 0 ﹣ … ,由 题 意 : f ′( 1 ) = = f( 1 ) = = 解 得 : a=1 ,

﹣ k ln ( 1+x ) , 则 F ′ ( x ) =1+

解 法 一 : F ′ ( x ) =1+



=

令 △ =( 2﹣ k) 2﹣ 4( 2﹣ k) =( k﹣ 2) ( k+2 ) , ① 当 △ ≤ 0 即 ﹣ 2 ≤ k ≤ 2 时 , x 2 + ( 2 ﹣ k ) x+2 ﹣ k ≥ 0 恒 成 立 , ∴ F′( x) ≥0 ∴ F ( x ) 在 x ∈ [0 , + ∞ ) 上 单 调 递 增 , ∴ F( x) ≥F( 0) = 0 恒 成 立 , 即 f( x) ≥kg( x) 恒 成 立 , ∴﹣ 2 ≤ k ≤ 2 时 合 题 意 ② 当 △ > 0 即 k < ﹣ 2 或 k > 2 时 , 方 程 x 2 + ( 2 ﹣ k ) x+2 ﹣ k=0 有 两 解 x 1 = ,

x2= 此 时 x 1 +x 2 =k ﹣ 2 , x 1 x 2 =2 ﹣ k ( i ) 当 k < ﹣ 2 时 , x 1 x 2 =2 ﹣ k > 0 , x 1 +x 2 =k ﹣ 2 < 0 , ∴x1< 0, x2< 0, ∴ F′( x) = >0

∴ F ( x ) 在 x ∈ [0 , + ∞ ) 上 单 调 递 增 , ∴ F( x) ≥F( 0) = 0 恒 成 立 即 f( x) ≥kg( x) 恒 成 立 ∴k< ﹣ 2 时 合 题 意 ( ii ) 当 k > 2 时 , x 1 x 2 =2 ﹣ k < 0 , ∴x1< 0, x2> 0
- 10 -

∴ F′( x) = ∴当 x ∈ ( 0 , x 2 ) 时 , F ′ ( x ) < 0 , ∴ F( x) 在 x∈( 0, x2) 上 单 调 递 减 ∴当 x ∈ ( 0 , x 2 ) 时 , F ( x ) < F ( 0 ) =0 这 与 F( x) ≥0 矛 盾 , ∴k> 2 时 不 合 题 意 综 上 所 述 , k 的 取 值 范 围 是 ( ﹣ ∞, 2]… 解 法 二 : F ′ ( x ) =1+ ① ∵ 1+x+ ≥2, ﹣ = ( 1+ x+ ﹣ k)

∴当 k ≤ 2 时 , F ′ ( x ) ≥ 0 ∴ F ( x ) 在 x ∈ [0 , + ∞ ) 上 单 调 递 增 , ∴ F( x) ≥F( 0) = 0 恒 成 立 , 即 f( x) ≥kg( x) 恒 成 立 , ∴k≤2 时 合 题 意 , ② 当 k > 2 时 , 令 F ′ ( x ) =0 得 x 1 < 0 < x 2 , 结 合 图 象 可 知 , 当 x ∈ ( 0 , x 2 ) 时 , F ′ ( x ) < 0, ∴ F( x) 在 x∈( 0, x2) 上 单 调 递 减 ( 其 中 x2= ∴当 x ∈ ( 0 , x 2 ) 时 , F ( x ) < F ( 0 ) =0 这 与 F( x) ≥0 矛 盾 , ∴k> 2 时 不 合 题 意 综 上 所 述 , k 的 取 值 范 围 是 ( ﹣ ∞, 2]… ( 3) 由 ( 2) 知 : 当 k≤2 时 , ≥ kln ( 1+x ) 在 x ≥ 0 时 恒 成 立 )

取 k=2 , 则

≥ 2 ln ( 1+x )

即:

≥ 2ln ( 1+ x )

令 x=

﹣ 1 > 0 得 : 2 ln





- 11 -

∴ ln



≈ 0.223 6 …

由 ( 2) 知 : 当 k> 2 时 ,

< k ln ( 1+x ) 在 ( 0 ,

)时恒成立



=

﹣ 1 , 解 得 : k=





ln ( 1+x ) 在 x ∈ ( 0 ,

)上恒成立

取 x=

﹣1 得:



ln



∴ ln



≈ 0.222 2 ,

∴ ln

=

=0.22 29

∵精 确 到 0 .00 1 , ∴取 ln =0.223 …

- 12 -


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