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实验十一 行列式与矩阵 数学实验课件习题答案


天水师范学院数学与统计学院

实验报告
实验项目名称 所属课程名称 实 验 类 型 实 验 日 期 实验十一 行列式与矩阵 数学实验 上机实验 2013-5-10

班 学 姓 成

级 号 名 绩

10 数应(2)班 291010836 吴保石

一、实验概述: 【

实验目的】
掌握矩阵的输入方法,掌握利用 Mathemtica(4.0 以上版本)命令对矩阵进行转置、加、减、数乘、 相乘、乘方等运算,以及求逆矩阵和计算行列式。

【实验原理】
在 Mathematica 中,向量和矩阵是以表的形式给出的. (1) 表在形式上是用花括号括起来的若干表达式,表达式之间用逗号隔开. (2) 表的生成函数 (ⅰ) 最简单的数值表生成函数 Range, 其使用形式如下: Range[正整数]生成表{1, 3, ?, 2, 4, n}; Range[m,n]生成表{m,?,n}; Range[m,n,dx]生成表{m,?,n}.步长为 dx (ⅱ) 通用表的生成函数 Table,使用形式: Table[表达式,表] 例 Table[n^3,{n,1,20,2}] Table[x*y,{x,3},{y,3}] (3) 表作为向量和矩阵 一层表在线性代数中表示向量,二层表表示矩阵(这时要求子表的长度相同).MatrixForm[A]把矩 阵 A 显示成教科书中的形式.例如输入命令 A={{1,2},{5,6},{3,4}} MatrixForm[A] 这就是通常的矩阵形式.但要注意,一般地 MatrixForm[A]代表的矩阵 A 不能参与运算. 例 B={1,3,5,7} MatrixForm[B] 虽然从这个形式看,向量的矩阵形式是列向量,但实质上 Mathematica 不区分行向量与列向量,或 者说在运算时按照需要,Mathematlca 自动地把向量当作行向量或列向量. 生成抽象矩阵的例子 Table[a[i,j],{i,4},{j,3}] MatrixForm[%] 上面的矩阵也可以用命令 Array 生成.例 Array[a,{4,3}]//MatirxForm (4) 命令 IdentityMatrix[n]生成 n 阶单位矩阵. 输入下面命令则生成了一个 5 阶单位矩阵(输出略): IdentityMatrix[5] (5) 命令 DiagonalMatrix[….]生成 n 阶对角矩阵. DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}] (6) 命令 Transpose[A],给出矩阵 A 的转置 (7) 矩阵 A 与 B 的加法, A+B 表示; k 与矩阵 A 的乘法, k*A 表示; 用 数 用 矩阵 A 与矩阵 C 的乘法, 用 A.C 表示,或者用 Dot[A,C]来实现. (8) 命令 MatrixPower[A,n],给出方阵 A 的 n 次幂. (9) 命令 Inverse[A],给出方阵 A 的逆. (10) 当 a,b 是向量时,命令 Dot[a,b],给出向量 a 与 b 的内积.
1

【实验环境】 系统 Microsoft Windows XP Professional 版本 2002 Service Pack 3

GhostXP_SP3 电脑公司快速装机版 V2011.07 Intel(R) Core(TM)i3 CPU 550 @ 3.20GHz 3.19GHz,1.74GB 的内存 Mathematica 5.2 二、实验内容: 【实验方案】
1. 2. 3. 4. 5. 矩阵 A 的转置函数 Transpose[A]; 矩阵的加法,数乘和矩阵乘法; 求方阵的逆; 求方阵的行列式; 向量的内积。

【实验过程】 (实验步骤、记录、数据、分析) 1.矩阵 A 的转置函数 Transpose[A] 例 11.1 求矩阵的转置(*Example11.1*) ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}} Transpose[ma]//MatrixForm 2.矩阵的加法,数乘和矩阵乘法 例 11.2 设 A
?3 ? ? ? ?4 4 2 5? ?4 ?,B ? ? ? ? 6? ?1

2 9

7? ? , A ? B, 4B ? 2 A ? 2?

.(*Example11.2*)

A={{3,4,5},{4,2,6}}; B={{4,2,7},{1,9,2}}; A+B//MatrixForm 4B-2A//MatrixForm 如果矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数,则可进行求 AB 的运算.系 统中乘法运算符为“.,即用 A.B 求 A 与 B 的乘积,也可以用命令 Dot[A,B]实现.对于 ” 方阵 A,可用 MatrixPower[A,n]求其 n 次幂. 例 11.3 设 ma
?3 ? ? ? ?4 4 2 5 6 2? ? ? 3?



?4 ? ?1 mb ? ? 0 ? ? ?8

2 9 3 4

9? ? 2? 5? ? ? 1?

,求矩阵 ma 与 mb 的乘积.(*Example11.3*)

Clear[ma,mb]; ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}};
2

mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}}; ma.mb//MatrixForm 例 11.4 设 A ? ? 1
?4 ? ?0 ? 2 9 3 7? ? 2? 5? ?

,B

?1? ? ? ? ?0? ?1? ? ?

,求 AB 与 B T A ,并求 A .(*Example11.4*)
3

Clear[A,B]; B={1,0,1}; A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}}; A.B B.A(*不需要先求 B 的转置*) MatrixPower[A,3]//MatrixForm 3.求方阵的逆
?2 ? ?5 设A ? ? 0 ? ? ?3 1 2 1 2 3 3 4 1 2? ? 3? 6? ? ? 5?

例 11.5

,求 A ? 1 .(*Example11.5*)

Clear[ma]; ma={{2,1,3,2},{5,2,3,3},{0,1,4,6},{3,2,1,5}}; Inverse[ma]//MatrixForm 例 11.6
?3 ? 设 ?2 A ? ? 1 ? ? ?1 0 1 5 2 4 3 3 1 4? ? 3? 4? ? ? 5?

?0 ? ,B ? ?7 ?1 ? ? ?1

3 1 3 2

2? ? 2 ? ,求 A ? 1 B 2? ? ? 2?

.(*Example11.6*)

Clear[A,B]; A={{3,0,4,4},{2,1,3,3},{1,5,3,4},{1,2,1,5}}; B={{0,3,2},{1,1,3},{1,3,3},{1,2,2}}; Inverse[A].B//MatrixForm 例 11.7 解方程组 ?
? 3x ? 2 y ? z ? 7, ? x ? y ? 3 z ? 6, ?2 x ? 4 y ? 4 z ? ?2. ?

(*Example11.7*)

Clear[A,b]; A={{3,2,1},{1,-1,3},{2,4,-4}}; b={7,6,-2}; Inverse[A].b 4.求方阵的行列式 运用 Det 命令可以求得一个方阵的行列式. 例 11.8 求行列式
D ? 3 ?5 2 1 1 1 0 ?5 ?1 3 1 3 2 ?4 ?1 ?3

.(*Example11.8*)

Clear[A];
3

A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}}; Det[A]
a ?
2

1 a 1 b 1
2

a b c d

1 a 1 b 1 c 1 d

1 1 1 1

例 11.9 求行列式

b ?
2

D ? c ?
2

2

(*Example11.9*)

d

2

?

c 1 d

2

2

Clear[A,a,b,c,d]; A={{a^2+1/a^2,a,1/a,1},{b^2+1/b^2,b,1/b,1},{c^2+1/c^2,c,1/c,1},{d^2+1/d^2,d,1 /d,1}}; Det[A]//Simplify 例 1l.10 计算范德蒙德行列式.(*Example11.10*) Clear[x]; van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}] van//MatrixForm Det[van]//Simplify Factor[Det[van]] 5.向量的内积 例 1l.11 求向量 u u={1,2,3}; v={1,-1,0}; u.v Dot[u.v]
? {1, 2 , 3} 与 v ? {1, ? 1, 0 } 的内积.(*Example11.11*)

【实验结论】 (结果)
本次实验,我通过用 mathematica5.2 在计算机上输入相应的命令程序,解决了以下问题: 1 求矩阵 A 的转置函数 Transpose[A]的问题; 2 有关矩阵的加法,数乘和矩阵乘法的问题; 3 求方阵的逆的问题以及相关题目; 4 求方阵的行列式的求解; 4 向量的内积的问题。

【实验小结】 (收获体会)
通过本节的学习初步掌握了表的生成函数命令 Range[m,n]和 Range[m,n,dx]生成表{m,?,n}.步长为 dx;表作为向量和矩阵命令 MatrixForm[A];生成 n 阶单位矩阵命令 IdentityMatrix[n];生成 n 阶对角矩 阵命令 DiagonalMatrix[….] ;矩阵 A 的转置命令 Transpose[A];向量 a 与 b 的内积命令 Dot[a,b],给 出方阵 A 的 n 次幂,命令 MatrixPower[A,n];给出方阵 A 的逆命令 Inverse[A]; 矩阵 A 与 B 的加法。以及通过在计算机上实际操作,使我更好的理解了矩阵与行列式相关的内容。

4

三、指导教师评语及成绩: 评语等级 评 语 优 良 中 及 格 不 及 格

1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强 2.实验方案设计合理 3.实验过程(实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻) 4 实验结论正确.



绩: 指导教师签名: 批阅日期:

附录 1:源 程 序
第一题 A={{1,1,1},{1,1,-1},{1,-1,1}}; B={{1,2,3},{-1,-2,4},{0,5,1}}; 3A.B-2A//MatrixForm Transpose[A].B//MatrixForm
? 2 ? 2 4 13 ? 17 29 22 20 ? 2

第二题 Clear[A]; A={{?,1,0},{0,?,1},{0,0,?}}; A.A//MatrixForm

2 ? 2? 1 2 0 ? 2? 2 0 0 ? MatrixPower[A,3]//MatrixForm 3 2 ? 3? 3? 3 2 0 ? 3? 3 0 0 ? MatrixPower[A,4]//MatrixForm

?? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ??
0 0 2 5 ? 5 9 8 6 0
5

4 3 2 ? 4? 6? 4 3 0 ? 4? 4 0 0 ? MatrixPower[A,5]//MatrixForm 5 4 3 ? 5 ? 10 ? 5 4 0 ? 5? 5 0 0 ? MatrixPower[A,6]//MatrixForm 6 5 4 ? 6 ? 15 ? 6 5 0 ? 6? 6 0 0 ? MatrixPower[A,7]//MatrixForm 7 6 5 ? 7 ? 21 ? 7 6 0 ? 7? 7 0 0 ? MatrixPower[A,8]//MatrixForm 8 7 6 ? 8 ? 28 ? 8 7 0 ? 8? 8 0 0 ? MatrixPower[A,9]//MatrixForm

9 8 7 ? 9 ? 36 ? 9 8 0 ? 9? 9 0 0 ? MatrixPower[A,10]//MatrixForm 10 ? 9 10 ? 10 ? 8 45 ? 9 10 ?

10 ? MatrixPower[A,k]//MatrixForm

第三题 Clear[A]; A={{1+a,1,1,1,1},{1,1+a,1,1,1},{1,1,1+a,1,1},{1,1,1,1+a,1},{1,1, 1,1,1+a}}; Inverse[A]//MatrixForm
6

?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
0 0 0
k ? ? k ?1? k 1 2
? ? 1 ? k k ?2? k

0 0

k ?

? k ?1? k

0

k ?

第四题 Clear[A]; A={{4,2,3},{1,1,0},{-1,2,3}}; Inverse[A-2*IdentityMatrix[3]].A//MatrixForm

? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
4 a3? a4 5 a4? a5 a3 5 a4? a5 a3 5 a4? a5 a3 5 a4? a5 a3 5 a4? a5

?

a3 5 a4? a5

? ?

a3 5 a4? a5

? ? ?

a3 5 a4? a5

? ? ? ?

a3 5 a4? a5 a3 5 a4? a5 a3 5 a4? a5 a3 5 a4? a5 4 a3? a4 5 a4? a5

? ? ?

4 a3? a4 5 a4? a5 a3 5 a4? a5 a3 5 a4? a5 a3 5 a4? a5

a3 5 a4? a5 4 a3? a4 5 a4? a5

a3 5 a4? a5 a3 5 a4? a5 4 a3? a4 5 a4? a5 a3 5 a4? a5

? ?

a3 5 a4? a5 a3 5 a4? a5

?

? ? ? ? ? ? ? ?

? 2 第五题 Clear[A,a]; A={{1,2,3},{2,2,5},{3,5,1}}; a={1,2,3}; Inverse[A].a
{1,0,0}

?? ??
3 2 ? 8 ? 9 12 ? 6 ? 6 9

附录 2:实验报告填写说明
1.实验项目名称:要求与实验教学大纲一致。 2.实验目的:目的要明确,要抓住重点,符合实验教学大纲要求。 3.实验原理:简要说明本实验项目所涉及的理论知识。 4.实验环境:实验用的软、硬件环境。 5.实验方案(思路、步骤和方法等):这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。 对于验证性实验,要写明依据何种原理、操作方法进行实验,要写明需要经过哪几个步 骤来实现其操作。对于设计性和综合性实验,在上述内容基础上还应该画出流程图、设 计思路和设计方法,再配以相应的文字说明。对于创新性实验,应注明其创新点、特色。 6.实验过程(实验中涉及的记录、数据、分析):写明具体实验方案的具体实施步骤,包 括实验过程中的记录、数据和相应的分析。

7

7.实验结论(结果):根据实验过程中得到的结果,做出结论。 8.实验小结:本次实验心得体会、思考和建议。 9.指导教师评语及成绩:指导教师依据学生的实际报告内容,给出本次实验报告的评价。

8


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