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北京市石景山区2014届高三一模数学(文科)试题及答案(学生版}


2014 年石景山区高三统一测试

数学(文科)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
2 B ? ? x | x ? 1 ? 0? , 1. 已知全集 U ? R , 集合 A ? x | x ? 2 x ? 0 , 那么 A ? ?U B ? ( )

?

?

/>A. ? x | 0 ? x ? 1? C. ? x | x ? 2?

B. ? x | x ? 0? D. ? x |1 ? x ? 2?

? ?) 内单调递减,并且是偶函数的是( 2.下列函数中,在 (0 ,
A. y ? x 2 C. y ? ? lg | x | B. y ? x ? 1 D. y ? 2 x



3.直线 l : x ? 3 y ? 4 ? 0 与圆 C : x 2 +y 2 =4 的位置关系是( A.相交 B.相切 C.相离

) D.无法确定

4.双曲线

x2 y 2 b ? 0) 的渐近线方程是 y ? ?2x ,则其离心率为( ) ? ? 1 (a ? 0 , a 2 b2
B.

A. 5

5 2

C. 3

D. 5

5.下列函数中周期为 ? 且图象关于直线 x ? A. y ? 2sin( ?

?
3

对称的函数是( ) B. y ? 2sin(2 x ? D. y ? 2sin( ?

x ? ) 2 3

?
6

)

C. y ? 2sin(2 x ?

?

6

)

x ? ) 2 3
2
3

6.正三棱柱的左视图如右图所示,则该正三棱柱的侧面积为( ) A. 4 B. 12

高三数学(文科)试卷第 1 页(共 11 页)

左视图

C.

4 3 3

D. 24

开始

i ? 0, A?2
i ? i ?1

7.阅读右面的程序框图,运行相应的程序, 输出的结果为( ) A. ?2 C. ?1 B.

A ? 1?

1 A


1 2

i ? 2014
是 输出 A 结束

D. 2

x2 y 2 y ) 在椭圆 C : ? 8 .已知动点 P( x , ? 1 上, F 为椭圆 C 的右焦点,若点 M 满足 25 16 ???? ? ???? ???? ???? | MF |? 1 且 MP ? MF ? 0 ,则 | PM | 的最小值为( )
A. 3 B. 3 C.

12 5

D. 1

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. i 是虚数单位,计算

4?i ? _________. 1? i

a4 =16 ,则 数 列 an ? 的 通 项 公 式 an = ______ , 设 10 . 在 等 比数 列 an ? 中 , a1 =2 ,

?

?

bn ? log 2 an ,则数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n = __________.
11.已知命题 p : ?x ? R , e x ? 0 ,则 ?p 是_____________.

? x ? y ? 2 ? 0, y 满足约束条件 ? 12.已知变量 x, 则 z ? x ? 2 y 的最大值是_________. ? x ? 1, ? x ? y ? 7 ? 0, ?
13.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比,除燃料费外其 它费用为每小时 96 元. 当速度为 10 海里/小时时,每小时的燃料费是 6 元. 若匀速行 驶 10 海里,当这艘轮船的速度为_________海里/小时时,费用总和最小.
高三数学(文科)试卷第 2 页(共 11 页)

14.若存在实常数 k 和 b ,使得函数 f ( x) 和 g ( x) 对其定义域内的任意实数 x 分别满足:

f ( x) ? kx ? b 和 g ( x) ? kx ? b ,则称直线 l : y ? kx ? b 为 f ( x) 和 g ( x) 的“隔离直
2 线”.已知函数 f ( x) ? x ? 1 和函数 g ( x) ? 2ln x ,那么函数 f ( x) 和函数 g ( x) 的隔

离直线方程为_________. 三、解答题共 6 小题,共 80 分.

B, C 的对边分别为 a ,, b c ,且 a ? b ? c , 15 . ( 13 分) 在△ ABC 中,角 A ,

3a ? 2b sin A .

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 , b ?

7 ,求 c 边的长和△ ABC 的面积.

16. (13 分)某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不 同程度的污损,可见部分如下图.

60) 的频率及全班人数; (Ⅰ)求分数在 [50, 90) 之间的频数, 90) 间矩形的高; (Ⅱ) 求分数在 [80, 并计算频率分布直方图中 [80,
100) 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取 (Ⅲ)若要从分数在 [80,
100) 之间的概率. 的试卷中,至少有一份分数在 [90,
频率 组距

0.044 0.028 0.012 0.008 0 50 60 70 80 90 100 分数

高三数学(文科)试卷第 3 页(共 11 页)

17.(14 分)如图,已知四棱锥 A ? BCDE , AB ? BC ? AC ? BE ? 1 , CD ? 2 ,

CD ? 平面 ABC , BE ∥ CD , F 为 AD 的中点.
(Ⅰ)求证: EF ∥平面 ABC ; (Ⅱ)求证:平面 ADE ? 平面 ACD ; (Ⅲ)求四棱锥 A ? BCDE 的体积.

D

F
E
C

A

B

2 2 18. (13 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x (a ? 0) .

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间;

e] 上没有零点,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)若 f ( x) 在 [1,

高三数学(文科)试卷第 4 页(共 11 页)

19. (14 分)给定椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O ,半径为 a 2 ? b 2 a 2 b2

的圆是椭圆 C 的 “准圆” .若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2 , 0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程;

l2 交“准圆”于 (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点,过点 P 作椭圆的切线 l1 ,
N. 点M,
(ⅰ) 当点 P 为 “准圆” 与 y 轴正半轴的交点时,

y

l2

P

l1

l2 的方程并证明 l1 ? l2 ; 求直线 l1 ,
(ⅱ)求证:线段 MN 的长为定值.

M
O

N

x

20 . ( 13 分 ) 对 于 数 列 {an } , 把 a1 作 为 新 数 列 {bn } 的 第 一 项 , 把 ai 或 ?ai

3 4, ?, n )作为新数列 {bn } 的第 i 项,数列 {bn } 称为数列 {an } 的一个生成数 ( i ? 2 ,,
2 3 4 5 的一个生成数列是 1, ? 2, ? 3,, 4 5. 列.例如,数列 1,,,,
已知数列 {bn } 为数列 {

1 }(n ? N? ) 的生成数列, S n 为数列 {bn } 的前 n 项和. n 2

(Ⅰ)写出 S 3 的所有可能值;

? 1 , n ? 3k ? 1, ? ? 2n ( k ? N) ,求 S n . (Ⅱ)若生成数列 {bn } 满足的通项公式为 bn ? ? 1 ?? , n ? 3k ? 1, ? ? 2n

高三数学(文科)试卷第 5 页(共 11 页)

2014 年石景山区高三统一测试

高三数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 D 5 B 6 B 7 C 8 A

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.两空的题目,第一空 2 分, 第二空 3 分. 题号 9 10 11 12 13 14

答案

5 3 - i 2 2

2n ; n(n ? 1) 2

?x ? R , ex ? 0

13

40

y ? 2x ? 2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 3a ? 2b sin A ,所以 3 sin A ? 2sin B sin A , 因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 因为 0 ? B ? ? ,且 a ? b ? c ,所以 B ? 60? . (Ⅱ)因为 a ? 2 , b ? ???2 分 ???4 分 ??6 分

3 , 2

7,
1 ,即 c 2 ? 2c ? 3 ? 0 , 2
???8 分

所以由余弦定理得 ( 7) 2 ? 22 ? c 2 ? 2 ? 2 ? c ?

解得 c ? 3 或 c ? ?1 (舍) ,所以 c 边的长为 3 . ???10 分

1 1 3 3 3 . S?ABC = ac sin B ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2

??13 分

60) 的频率为 0.008 ?10 ? 0.08 , ??2 分 16. (13 分)解: (Ⅰ)分数在 [50,
高三数学(文科)试卷第 6 页(共 11 页)

60) 之间的频数为 2 ,所以全班人数为 由茎叶图知:分数在 [50,
???4 分

2 ? 25 . 0.08

90) 之间的频数为 25 ? 22 ? 3 ; (Ⅱ)分数在 [80,

90) 间的矩形的高为 频率分布直方图中 [80,

3 ? 10 ? 0.012 .?????7 分 25

90) 之间的 3 个分数编号为 a1 , 100) 之间的 2 个分数编号 a2 , a3 , [90, (Ⅲ)将 [80,

b2 , 为 b1 ,
100) 之间的试卷中任取两份的基本事件为: 在 [80,

??????8 分

(a1 , a2 ), ( a1 , a3 ), ( a1 , b1 ), ( a1 , b2 ), ( a2 , a3 ), ( a2 , b1 ), ( a2 , b2 ), ( a3 , b1 ), ( a3 , b2 ), ( b1 , b2 ) 共 10 个,
100) 之间的基本事件有 7 个, 其中,至少有一个在 [90,
100) 之间的概率是 故至少有一份分数在 [90,
17. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)取 AC 中点 G ,连结 FG , BG , ??????10 分

7 ? 0.7 . 10
D

?????13 分

?F, G 分别是 AD , AC 的中点,
? FG ∥ CD ,且 FG ?

F
E
G
C

1 DC ? 1 . 2
??????2 分

? BE ∥ CD ,
? FG 与 BE 平行且相等.

A

?四边形 BEFG 为平行四边形,
? EF ∥ BG .
??????3 分

H
B

又 EF ? 平面 ABC , BG ? 平面 ABC .? EF ∥平面 ABC .

??4 分 ??5 分

(Ⅱ)? ?ABC 为等边三角形, G 为 AC 的中点,? BG ? AC . 又 DC ? 平面 ABC , BG ? 平面 ABC .

? DC ? BG ,

???6 分

高三数学(文科)试卷第 7 页(共 11 页)

又 AC ? DC ? C ,? BG ? 平面 ADC .

???7 分

? EF ∥ BG ,? EF ? 平面 ADC , ???8 分

? EF ? 平面 ADE ,?平面 ADE ? 平面 ADC .
(Ⅲ)取 BC 中点 H ,连结 AH .

???10 分

? AB ? BC ? AC ,? AH ? BC . ? DC ? 平面 ABC , AH ? 平面 ABC ? DC ? AH ,
又 BC ? DC ? C ,

? AH ? 平面 BCDE ,
3 , 2
???12 分

? AH 是四棱锥 A ? BCDE 的高,且 AH ?

1 1 (1 ? 2) ?1 3 3 . V ? S梯形BCDE ? AH ? ? ? ? 3 3 2 2 4
18. (本小题满分 13 分)

???14 分

? ?) . 解: (Ⅰ) f ( x) ? x ? 2a ln x (a ? 0) 的定义域为 (0,
2 2

????1 分

f ?( x) ? 2 x ?

2a 2 2 x 2 ? 2a 2 2( x ? a)( x ? a) ? . ? x x x

???2 分

? f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,? f ?(1) ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ? - 1 (舍). ?3 分
1? , f ?( x) ? 0 ; x ? ?1, ? ? ? , f ?( x) ? 0 , 当 a ? 1 时, x ? ? 0,
所以 a 的值为 1 . ???4 分

(Ⅱ)令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? a 或 x ? ?a (舍).??5 分

? ?) 内变化时, f ?( x), f ? x ? 的变化情况如下: 当 x 在 (0,

x
f ?( x)

(0, a)
?


a
0
极小值

(a , ? ?)

?


f ( x)

高三数学(文科)试卷第 8 页(共 11 页)

? ?) ,单调递减区间为 (0, a) . 由上表知 f ( x) 的单调递增区间为 (a ,

??8 分

e] 上没有零点,只需在 [1, e] 上 f ( x) min ? 0 或 f ( x)max ? 0 , (Ⅲ)要使 f ( x) 在 [1, e] 上 f ( x) min ? 0 . 又 f (1) ? 1 ? 0 ,只须在区间 [1, e] 上单调递减, (ⅰ)当 a ? e 时, f ( x) 在区间 [1,
f ( x) min ? f (e) ? e2 ? 2a 2 ? 0 , 解得 0 ? a ?

2e 与 a ? e 矛盾. 2

??10 分

a) 上单调递减,在区间 (a , e] 上单调递增, (ⅱ) 当 1 ? a ? e 时, f ( x) 在区间 [1,
f ( x)m i n? f ( a) ? 2a ( ? 1
解得 0 ? a ?

2 ln a?) , 0
???12 分

e ,所以 1 ? a ? e .

e] 上单调递增, f ( x)min ? f (1) ? 0 ,满足题意. (ⅲ)当 0 ? a ? 1时, f ( x) 在区间 [1,
综上, a 的取值范围为 0 ? a ? 19. (14 分) 解: (Ⅰ)? c ?

e.

???13 分

2, a ? 3, ? b ? 1 , ?椭圆方程为
???3 分

x2 ? y 2 ? 1 , ??2 分 3

准圆方程为 x 2 ? y 2 ? 4 .
2 2

2) , (Ⅱ) (ⅰ)因为准圆 x ? y ? 4 与 y 轴正半轴的交点为 P(0,
2) 且与椭圆相切的直线为 y ? kx ? 2 , 设过点 P(0,

? y ? kx ? 2, ? 2 2 所以由 ? x 2 得 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 9 ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ?3
因为直线 y ? kx ? 2 与椭圆相切, 所以 ? ? 144k ? 4 ? 9(1 ? 3k ) ? 0 ,解得 k ? ?1 ,
2 2

???6 分

高三数学(文科)试卷第 9 页(共 11 页)

y ? ?x ? 2 . l2 方程为 y ? x ? 2, 所以 l1 ,
? kl1 ? kl2 ? ?1 ,? l1 ? l2 .
???8 分

???7 分

l2 中有一条斜率不存在时,不妨设直线 l1 斜率不存在, (ⅱ)①当直线 l1 ,
则 l1 : x ? ? 3 , 当 l1 : x ? 3 时, l1 与准圆交于点 ( 3 ,, 1) ( 3 , ? 1) ,

l2 垂直; 此时 l 2 为 y ? 1 (或 y ? ?1 ) ,显然直线 l1 , l2 垂直. 同理可证当 l1 : x ? ? 3 时,直线 l1 ,
???10 分

2 2 l2 斜率存在时,设点 P( x0 , y0 ) ,其中 x0 ? y0 ? 4. ②当 l1 ,

y0 ) 与椭圆相切的直线为 y ? t ( x ? x0 ) ? y0 , 设经过点 P( x0 ,
? y ? t ( x ? x0 ) ? y0 , ? 所以由 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?3
2 2 2 得 (1 ? 3t ) x ? 6t ( y0 ? tx0 ) x ? 3( y0 ? tx0 ) ? 3 ? 0 . 2 2 2 由 ? ? 0 化简整理得 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? 1 ? y0 ? 0 , 2 2 2 2 2 因为 x0 ? y0 ? 4 ,所以有 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0 .

l2 的斜率分别为 t1 , t2 ,因为 l1 , l2 与椭圆相切, 设 l1 ,
2 2 2 t2 满足上述方程 (3 ? x0 )t ? 2 x0 y0t ? ( x0 ? 3) ? 0 , 所以 t1 ,

l2 垂直. 所以 t1 ? t2 ? ?1 ,即 l1 ,

???12 分

N ,且 l1 , l2 经过点 P( x0 , y0 ) ,又分别交其准圆于点 M , l2 综合①②知:因为 l1 ,
垂直. 所以线段 MN 为准圆 x ? y ? 4 的直径, | MN | =4 ,
2 2

所以线段 MN 的长为定值.

???14 分

高三数学(文科)试卷第 10 页(共 11 页)

20. (13 分)解: (Ⅰ)由已知, b1 ?

1 1 ? n ? 2) , , | bn |? n (n ? N , 2 2

b3 ? ? , ∴ b2 ? ? ,
由于

1 4

1 8

1 1 1 7 1 1 1 5 1 1 1 3 1 1 1 1 ? ? ? ,? ? ? ,? ? ? ,? ? ? , 2 4 8 8 2 4 8 8 2 4 8 8 2 4 8 8 1 3 5 7 8 8 8 8
???5 分

∴ S 3 可能值为 ,,, .

? 1 , n ? 3k ? 1, ? ? 2n ( k ? N) .∴ n ? 3k (k ? N? ) 时, (Ⅱ)∵ bn ? ? 1 ?? , n ? 3k ? 1, ? ? 2n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ) ? ( 4 ? 5 ? 6 ) ? ? ? ( 3k ?2 ? 3k ?1 ? 3k ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( 1 ? 4 ? ? ? 3k ?2 ) ? ( 2 ? 5 ? ? ? 3k ?1 ) ? ( 3 ? 6 ? ? ? 3k ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 [1 ? ( 3 ) k ] [1 ? ( 3 ) k ] [1 ? ( 3 ) k ] 2 3 2 2 2 ?2 ?2 ?2 1 1 1 1? 3 1? 3 1? 3 2 2 2 8 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [1 ? ( )k ]( ? ? ) ? [1 ? ( )3k ] .? Sn ? [1 ? ( )n ] . 7 8 2 4 8 7 2 7 2 1 1 1 1 1 n ? 3k ? 1(k ? N) 时, Sn ? Sn?1 ? an ? [1 ? ( ) n?1 ] ? n ? [1 ? 5( ) n ] ; 7 2 2 7 2 1 1 n ?1 1 1 1 n ? 3k ? 2(k ? N) 时, Sn ? Sn ?1 ? an ?1 ? [1 ? ( ) ] ? n ?1 ? [1 ? 3( ) n ] ; 7 2 2 7 2 Sn ? (

1 ? 1 n ? 3k , ( k ? N* ) ? 7 (1 ? 2n ), ? 5 ?1 ? S n ? ? (1 ? n ), n ? 3k ? 1, (k ? N) 2 ?7 3 ?1 n ? 3k ? 2.(k ? N) ? 7 (1 ? 2n ), ?

??13 分

高三数学(文科)试卷第 11 页(共 11 页)


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