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2.2 函数的单调性与最值


第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ §2.2 函数的单调性与最值 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 课时作业 深度剖析 基础知识 自主学习 知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 间D上的任意两个自变量的值x1,x2 减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区 定义 当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2) , 当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2) , 那么就说函数 f(x) 在区间 D 上 那么就说函数f(x)在区间D上是 是增函数 减函数 图象描述 上升的 自左向右看图象是______ 自左向右看图象是下降的 ______ (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是 增函数 或 减函数 ,那么就说函数y=f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈I,都有 条件 f(x)≤M ;(2)存在x ∈I, ________ 0 f(x0)=M 使得_________ 结论 M为最大值 f(x)≥M ; (3)对于任意的x∈I,都有________ f(x0)=M (4)存在x0∈I,使得________ M为最小值 【知识拓展】 函数单调性的常用结论 f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? (1)对?x1,x2∈D(x1≠x2), >0?f(x)在 D 上是增函数, x1-x2 x1-x2 <0?f(x)在 D 上是减函数. a (2)对勾函数 y=x+ x(a>0)的增区间为(-∞,- a]和[ a,+∞),减区间 为[- a,0)和(0, a]. (3) 在区间 D 上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是 减函数. (4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同 增异减”. 基础自测 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若定义在R上的函数f(x),有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数. (× ) (2)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞). (× ) (3)函数y= 1 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( × ) x (4)闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到.( √ ) 1 2 3 4 5 6 7 题组二 教材改编 ,+∞)(或(1,+∞)) 2.[P39B组T1]函数f(x)=x2-2x的单调递增区间是[1 ____________________. 2 3.[P31例4]函数y= 在[2,3]上的最大值是________. 2 x-1 4.[P44A组T9]若函数f(x)=x2-2mx+1在[2,+∞)上是增函数,则实数 (-∞,2] m的取值范围是___________. 解析 由题意知,[2,+∞)?[m,+∞),∴m≤2. 1 2 3 4 5 6 7 解析 答案 题组三 易错自纠 (2,+∞) 5.函数y= log 1 ( x2 ? 4) 的单调递减区间为___________. 2 -6 6.若函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是[3,+∞),则a的值为________. 解析 由 图 象 ( 图 略 ) 易 知 函 数 f(x) = |2x + a| 的


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