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平面向量数乘运算及其几何意义


1.向量加法三角形法则: 特点:首尾顺次连,起点 指终点
C

2.向量加法平行四边形法则:
特点:共起点的对角线
B

? a
? ? ?a ?b b

? ? a?b
A

? b

C

? b

>A

? a

B

O

? a

3.向量减法三角形法则:

特点:平移共起点,连终点,箭头指向被减量

a b
O

B

b
a
A

BA ? a ? b

作一作,看成果 已知非零向量 a ,作出 a ? a ? a ,你能发现什么? a
O

a
A

a
B

a
C

3a

3a与 a 方向相同
即 3a ? 3 a

(?a) ? (?a) ? (?a) 又如何呢? 类比上述结论,

?a
N M

?a
Q

?a
P

?3a ?3a 与 a方向相反
即 ?3a ? 3 a

一般地,我们规定实数λ 与向量 a 的积是一个向量,
这种运算叫做向量的数乘,记作 ? a ,它的长度和方向 规定如下:
(1)

| ? a |?| ? || a |;

(2)当 ? ? 0时, ? a 的方向与 当? ? 0时, ? a 的方向与

a

的方向相同;

a 的方向相反。 特别的,当 ? ? 0 时, ? a ? 0.

练一练: 书本P90,练习2,3

(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量),并进行比较。 (2) 已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b, 并进行比较。 ?

a

? 3(2a )

? b ? a
? ? ? ? 2(a ? b ) ? 2a ? 2b

? ? 3(2a ) = 6 a
? ? a ?b

? ? 2a ? 2b

? 2b

? 2a

向量的数乘运算满足如下运算律:

?,?是实数,
(1)( ? ? a ) ? ( ?? )a;
结合律

(2)( ? ? ? )a ? ? a ? ? a; 第一分配律 (3)? ( a ? b ) ? ? a ? ? b . 第二分配律
特别地:(? ?) a ? ? ?a

? a ? b ? ? a ? ?b
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算

?

?

? ?

例1、计算下列各式

? ? (1)(?3) ? 4a ? ?12a ? ? ? ? ? ? (2)3(a ? b ) ? 2(a ? b ) ? a ? 5b

? ? ? ? ? ? (3)(2a ? 3b ? c ) ? (3a ? 2b ? c )
? ? ? ? ?a ? 5b ? 2c
书本P90,练习5

练一练:

思考:
(1)若b ? ? a(a ? 0),则a, b位置关系如何 ?

b // a
(2)若b // a(a ? 0),则b ? ? a是否成立?
成立

向量共线定理:
向量a (a ? 0)与b共线, 当且仅当有唯一一个实数? , 使b ? ? a.

即a与b共线

b ? ? a (a ? 0)

思考:1) a 为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?

练一练:

书本P90,练习4

例2 如图,已知AD=3AB,DE=3BC, 试判断AC与AE是否共线。
C E

? AE ? AD ? DE 解:

A B D

? 3AB ? 3BC

? 3 AB ? BC

?

?

? 3 AC
∴ AC 与 AE 共线.

例3.如图,已知任意两个向量 a、 b ,试作OA ? a ? b,

OB ? a ? 2b, OC ? a ? 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗?为什么?
C

a

b

3b

B

2b

A

b
O

a

总结:
证明三点共线的方法:

AB=λBC
且有公共点B

A,B,C三点共线

已知两个非零向量e1和e2不共线,如果 求证 : A、B、D三点共线.

AB ? 2e1 ? 3e2, BC ? 6e1 ? 23e2, CD ? 4e1 ? 8e2,

设 e , e 是两个不共线的向量, AB ? 2e ? ke , CB ? e ? 3e , 1 2 1 2 1 2

CD ? 2e1 ? e2

,若A、B、D三点共线,求k的值.

例5.如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且

b 来表示MA AB ? a, AD ? b ,你能用 a 、 、 MB、 MC 和 MD
D M C



b
A

a

B

练一练: 书本P92,11题

C

D

① ② ④

小结:
一、

①λ a 的定义及运算律 ②向量共线定理 (a≠0)

b=λa

向量a与b共线

二、定理的应用: 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点B 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD

A,B,C三点共线

AB与CD不在同一直线上

直线AB∥直线CD

书本P91,A组,9,10

B组,3


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