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2.2.3向量数乘运算及其几何意义(高中数学人教A版必修四)


知识回顾
1.向量加法三角形法则: 首 尾 相 连 首 尾 接 2.向量加法平行四边形法则:

b a a

b
O.

o.
a+b A B
a
A
b

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a+b
C



起 点 相 同 B 连 对 角

3.向量减法法则:

o.
a-b A

B 共起点,连终点,
方向指向被减数

向量数乘问题的实际背景
在物理中:位移与速度的关系:S=vt, 力与加速度的关系:F=ma. 其中位移、速度,力、加速度都是向量, 时间、质量都是数量

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a

练习引入
已 非 向 a, 出 a ? a ? a和 ?a) ? (?a) ? (?a)。 知 零 量 作 (

a O
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aA
-a

aB

a C

OC ? OA ? OB ? OC

? a ? a ? a =3a
PN ? PQ ? QM ? MN

N

-a

M

-a

Q

-a

P

? (?a) ? (?a) ? (?a)

=3(-a) =-3a

3 探究: 向量 3a 、(?a)与 a 在方向与长度上有什么变化?

(1)向量 3a 的方向与 a 的方向相同, 向量 3a 的长度是 a 的3倍,即 3a ? 3 a ; 3 的长度是 a (2)向量 (?a的方向与 a 的方向相反, 向量(?a) 3 ) 的3倍,即? 3a ? 3 a .

向量的数乘定义
一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,

这种运算叫做向量的数乘运算,记作λa。
它的长度和方向规定如下:

(1) 长度 |λa|=|λ|· |a|
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(2) 方向

当λ>0时,λa的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a方向相反;

特别地,当 λ=0 或 a = 0 时, λa = 0 几何意义:将 a 的长度扩大(或缩小) |λ|倍,改变 a (或不改变)a 的方向,就得到了λ

观察总结
(1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a≠0),并比较。

a

3(2a)
结论: 3(2a)=6

a

6a
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(2) 已知向量a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b,并比较。

b

2(a ? b)

a
a?b

2a ? 2b

2b

2a

结论: 2a+2b=2(a+b)

实践出真知
运算律: 设a、b为任意向量,λ、μ为任意实数,则有:
①λ(μa)= (λμ) a ②(λ+μ) a= λa+μa
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结合律

第一分配律 第二分配律

③λ(a+b)= λa+λb 特别地, (-λ)a=-(λa)= λ(-a)

λ(a-b)= λa-λb

牛刀小试
计算:(口答) (1) (-3)×4 a (2) 3( a+b) –2( a-b)-a (3) (2a+3b-c) –(3a-2b+c )
解: (1) 原式 = -12a
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(2) 原式 = (3-2-1)a+(3+2)b = 5b (3) 原式 = (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c = -a+5b-2c

结论: (1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
(2)对于任意的向量 a,b 以及任意实数 λ, μ1, μ2 恒有 λ(μ1a±μ2b)= λμ a±λμ b 1 2

自主探究
对于向量a(a≠0)、b,以及实数λ:
1、如果 b=λa , 那么,向量a与b是否共线? 2、如果a与b共线,那么是否有λ,使b=λa ? 对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使得 b=λa , 那么,由数乘向量的定义知:向量a与b共线。 若向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是a的长 度的μ(μ>0)倍,即有|b|=μ|a|,且 当a与b同方向时,有b=μa; 当a与b反方向时,有b=-μa,

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所以始终有一个实数λ,使b=λa。

自主探究
向量共线定理: 向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一 一个实数λ,使得 b=λa.即:
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b // a a ? 0

?

?

b ? ?a

? (1)a为什么要是非零向量, ? ?? 若a ? 0,上述定理成立吗 ? (2)b可 是 0 ? 以 吗

定理应用
例1:如图,点C在线段AB上,且AC=5,BC=2,
A
C

B

则有
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(1)AC=______AB;
(2)BC=______AC.

CA=_____AB

变式:如图: ABCD的两条对角线交于点M, 且 AB ? a, AD ? b , 你能用 a , 表示: b
D M C AC=_____________; MA=_____________;

A

B

MB=_____________;

定理应用 摇身一变
例2:如图,已知AD=3AB、DE=3BC,试证明AC与AE共线。

如图,已知AD=3AB、DE=3BC,试判断A、C、E三点位置关系 如图,已知AD=3AB、AE=3AC,试证明BC和DE共线。 变式2: 变式1:
解: ∵ AB+BC=AC
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E C A B D

又 AE=AD+DE =3 AB+3 BC
=3( AB+ BC )

=3 AC


AC与AE 共线


又 AC与AE有公共点A,

A、C、E三点共线.

向量共线定理可用来解决:向量共线和三点共线问题。 结论:

能力提升
已知任意两非零向量a、b,

试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么? 解:作图如右 依图猜想:A、B、C三点共线
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a

b C b b B



AB=OB-OA =a+2b-(a+b)=b

A b O
a

又 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b


AC=2AB


又 AB与AC有公共点A,

A、B、C三点共线.

如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB中点,点

1 N在线段BD上,且有BN= BD,求证:M、N、C 3
三点共线。
首 页 上 页

提示:设AB = a

BC = b

D

C

1 1 则MN= … = a + b 3 6 下 页 1 MC= … = a+ b 小 结 2
结 束

N A M B

?? ?? ? ? 5、设 e1 ,e2 是两个不共线的向量, ???? ?? ? ?? ??? ?? ? ? ? ?? ??? ? ? ?? ?? ? ? AB = 2e1 + ke2 ,CB = e1 + 3e2 ,CD = 2e1 - e2
,若A,B,C三点共线,求k的值。
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???? ??? ??? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? 解:? BD = CD - CB = 2e1 - e2 - e1 + 3e2 = e1 - 4e2 ???? ???? 若A,B,D三点共线,则 AB与BD共线, ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???? ???? ?设 AB = λBD ,即 2e1 + ke2 = λe1 - 4λe2

?

?

?? ?? ? ? 由于 e1与e2不共线

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?? ? ?? ? ? 2e1 = λe1 ? 可得: ? ?? ? ?? ? ?ke2 = -4λe2 ?


λ = 2,k = -8

练习
1 (1) D是?ABC 中BC 边上一点,且 BD ? BC ,设 AB ? a, AC ? b, 3 A 则AD等于 C ) (

1 A. ( a ? b) 3
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1 C. (2a ? b) 3

1 B. (b ? a ) 3 1 D. ( 2b ? a ) B 3

D

C

(2) 在平行四边形ABCD中,AB ? a, AD ? b, AN ? 3NC,M为BC的

1 1 中点,则 MN 等于______ b ? a? 4 4
分析:由

1 所以 AN ? 3NC , 得4 AN ? 3 AC ? (a ? b)AM ? a ? b, 3 , 2 3 1 1 1 MN ? (a ? b) ? (a ? b) ? ? a ? b 4 2 4 4

[例 3] 设两非零向量 a 和 b 不共线,如果 AB =a+b,CD = ??? ? 3(a-b), BC =2a+8b.求证:A、B、D 三点共线.

??? ?

??? ?

??? ? [证明]: ∵ BD = BC + CD =(2a+8b)+3(a-b)=5a+5b,
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??? ?

??? ?

??? ?

AB =a+b,

? ??? ??? ? ? 1 ??? ∴ AB = BD ,∴ AB ∥ BD , 5 ??? ?
又 AB 、 BD 有公共点 B,∴A、B、D 三点共线.

??? ?

??? ?

? ? ? 5.求已知向量a(a ? 0)的单位向量.
?? ?? ? ?

2e1 ? ke2共线,求实数k的值. ?? ?? ? ?? ?? ?  解: 向量e1 ? 4e2和2e1 ? ke2共线 ?
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6.设e1,是两个不共线的向量,而e1 ? 4e2和 e2 ?? ? ?? ?

?? ?

?? ?

?? ?? ? ?? ?? ?   存在实数? , 使得2e1 ? ke2 ? ? (e1 ? 4e2 ) ?

?? ?? ? ?? ?? ? 即2e1 ? ke2 ? ? e1 ? 4? e2

?? ? 2 ??    k ? ?8 ? ? k ? ?4?

小结:
一、①λ

a 的定义及运算律 (a≠0)

②向量共线定理

b=λa
首 页

向量a与b共线

二、定理的应用: 1. 证明 向量共线 上 页 2. 证明 三点共线: AB=λBC 下 且有公共点B 页 3. 证明 两直线平行: 小
结 结 束

A,B,C三点共线

AB=λCD

AB∥CD

直线AB∥直线CD

AB与CD不在同一直线上


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