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四川省自贡市2010届高三第三次诊断性考试(数学理)word版


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自贡市普高 2010 级第三次诊断性考试 数学试卷(理工农医类) 数学试卷(理工农医类)
本试卷分第 I 卷(1-2 页,选择题)和第 II 卷(3-8 页,非选择题)两部分,共 150 分。考试结束后, 将第 II 卷和答题卡一并交回,第一卷考生保留。

/>第 I 卷(选择题,共 60 分) 选择题,
注意事项: 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号,不能答在试题卷上。 3.本试卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。

参考公式: 参考公式: 如果事件 A、B 互斥那么

球的表面积公式

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A、B 相互独立,那么

S = 4π R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p , 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率

4 V = π R3 3
其中 R 表示球的半径

Pn (k ) = Cnk p k (1 ? p ) n ? k
个小题, 在每小题给出的四个选项中, .... 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 选择题: 题目要求的。 题目要求的。 1.设 U = R, A = {x | x > 0}, B = {x | x > 1} ,则 A I CU B 等于 A. {x | 0 ≤ x < 1} 2.复数 2i (1 + i ) 2 等于 A. ? 4 3.函数 y = B.4 C. ? 4 i D.4 i B. {x | 0 < x ≤ 1} C. {x | x < 0} D. {x | x > 1}

2 x ? 2 + ( x ? 4)o 的定义域为
B. {x | x ≥ 0 且 x ≠ 4} C. {x | x ≥ 1} D. {x | x ≥ 1 且 x ≠ 4}

A. {x | x ≥ 0}

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?3 2 ? 2 a + x , x ≥ 0, ? 4.设 f ( x ) = ? 要使 f ( x ) 在 (?∞, + ∞ ) 内连续,则 a 的值为 2? 4? x ? , x < 0, ? x ?
A.6 B.

1 3

C.

1 6

D.

1 24

5.设 F1 、 F2 分别是双曲线 C:

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 P,使 a2 b2

| OP |=| OF1 | (O 为原点) | PF1 |= 3 | PF2 | ,则双曲线的离心率为 ,且
A.

3 ?1 2

B. 3 ? 1

C.

3 +1 2

D. 3 + 1

6.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 12 条棱所在直线成等角的直线共有 A.0 条 B.1 条 C.4 条 D.无数条

7.将函数 f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,同时将纵坐标缩小到原来的

y = cos( x ? ) 的图象, 另一方面函数 f ( x ) 的图象也可以由函数 y = 2 cos x + 1 的图象按向量 c 平移得到, 6 则 c 可以是
A. (

π

1 倍,得到函数 2

π
6

, ?1)

B. (

π

12

,1)

C. (

π

12

, ?1)

D. (

π
6

,1)
数,

8.如图 1,三行三列的方阵中有 9 个数 aij (i = 1, 2,3; j = 1, 2, 3) ,从中任取三个 则至少有两个位于同行或同列的概率是 A.

3 7

B.

4 7

C.

1 14

D.

13 14

9.已知有穷数列 {an } ( n = 1, 2,3, ???6) 满足 an ∈ {1, 2,3 ???,10} ,且当 i ≠ j (i, j = 1, 2, ???6) 时 ai ≠ a j 。若

a1 > a2 > a3 , a4 < a5 < a6 ,则符合条件的数列 {an } 的个数是
A. C10C7
3 3

B. C10C10

3

3

C. A10 A7

3

3

D. C10 A6

6

3

10.已知椭圆 C:

uuu r uuu r x2 + y 2 = 1 的右焦点为 F,右准线为 l ,点 A ∈ l ,线段 AF 交椭圆 C 于 B,若 FA = 3FB , 2

uuur
则 | AF | 等于 A. 2 B.2 C. 3 D.3

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11.已知函数 y =

1 3 x + x 2 + x 的图象 C 上存在一个定点 P 满足:若过定点 P 的直线 l 与曲线 C 交于不同 3

于 P 的两点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,就恒有 y1 + y2 为定值 y0 ,则 y0 的值为 A. ?

1 3

B. ?

2 3

C. ?

4 3

D. ?2

12.如图 2,有一直角墙角,两边的长度尺足够长,在 P 处有一棵树与两墙的距 离分别是 am(0<a<12)、4m,不考虑树的粗细,现在想用 16m 长的篱笆,借助墙 角围成一个矩形的花圃 ABCD,设此矩形花圃的最大面积为 S,若将这棵树围在花 圃内,则函数 S = f ( a ) (单位 m )的图象大致是
2

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自贡市普高 2010 级第三次诊断性考试 数学试卷(理工农医类) 数学试卷(理工农医类)
第 II 卷(非选择题 共 90 分)
注意事项: 注意事项: 1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2.答题前密封线内的项目填写清楚。 3.本卷共 10 小题,共 90 分。 填空题: 小题, 把答案填在题中横线上。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。 13.若 (2 x ?
2

1 n ) (n ∈ N * ) 展开式中含有常数项,则 n 的最小值是 3 x

。 若球心 O

14.如图 3,A、B、C 是球面上三点,且 AB=2cm,BC=4cm,∠ABC=60°, 到截面 ABC 的距离为 2 2 cm,则该球的表面积为 。

? x ? y ? 2 ≤ 0, x2 + y2 ? 的取值范围 15 . 设 实 数 x 、 y 满 足 ? x + 2 y ? 5 ≥ 0, 则 u = xy ? y ? 2 ≤ 0, ?
是 。 16.有下列命题: ① a > b 是 a > b 的充分不必要条件;
2 2

② OP ? OQ =

uuu uuur r

r r 1 uuu 2 uuur 2 uuu 2 (OP + OQ ? PQ ) ; 2

③若函数 f ( x ) 满足 f ( x + 1) = 1 ? f ( x ) ,则 f ( x ) 是周期函数; ④如果一组数据中,每个数都加上同一个非零常数 c,则这组数据的平均数和方差都改变。 其中错误命题的序号为 (要求填写所有错误命题的序号) 。 解答题: 小题, 解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 或演算步骤。 三、解答题:共 6 小题,共 74 分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 如图 4,已知△ABC 中, | AC |= 1 ,∠ABC=120°,∠BAC= θ ,记 f (θ ) = AB ? BC 。 (I)求 f (θ ) 关于 θ 的表达式; (II)求 f (θ ) 的值域。

uuu uuu r r

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18. (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三名教师指导五名学生 a、b、c、d、e 参加全国高中数学联赛,每位老师至少指导一名学 生,教师甲资历最老,只指导其中的一名学生。 (I)求教师甲指导学生 a 的概率; (II)求教师乙至少指导两名学生的概率; (III)设教师丙指导学生的人数为 ξ ,求 ξ 的分布列和期望。

19. (本小题满分 12 分) 如图 5,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面

ABCD, ∠ABC=

1 ∠BCD=90°,PA=PD=DC=BC= AB,E 是 BP 的中点。 2
(I)求证:EC//平面 APD; (II)求 BP 与平面 ABCD 所成角的正切值; (III)求二面角 P-AB-D 的大小。

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20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 过定点 F (?

1 1 , 0) ,且与直线 x = 相切,圆心 C 的轨迹为 E,曲线 E 与直线 l : 4 4

y = k ( x + 1) (k ∈ R ) 相交于 A、B 两点。
(I)求曲线 E 的方程; (II)当△OAB 的面积等于 10 时,求 k 的值; (III)在曲线 E 上是否存在与 k 的取值无关的定点 M,使得 MA⊥MB?若存在,求出所有符合条件的 定点 M;若不存在,请说明理由。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = 2 ln x ? x 2 。 (I)若方程 f ( x) + m = 0 在 [ , e] 内有两个不等的实根,求实数 m 的取值范围( e 为自然对数的底) ; (II)如果函数 g ( x) = f ( x) ? ax 的图象与 x 轴交于两点 A( x1 , 0) , B ( x2 , 0) ,且 0 < x1 < x2 。求证:

1 e

g '( px1 + qx2 ) < 0 (其中正常数 p 、 q 满足 p + q = 1, q ≥ p ) 。

22. (本小题满分 14 分)

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+

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3 3 3 3 2

设数列 {an } 的各项都是正数,且对任意 n ∈ N ,都有 a1 + a2 + a3 + ??? + an + = S n ,其中 Sn 为数列

{an } 的前 n 项和。
(I)求证: an = 2 sn ? an ;
2

(II)求数列 {an } 的通项公式; (III)若 bn = 3 + ( ?1)
n n ?1 + λ ? 2a ( λ 为非零常数,n ∈ N + ) ,问是否存在整数 λ ,使得对任意 n ∈ N ,
n

都有 bn +1 > bn ,若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由。

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自贡市普高 2010 级第三次诊断性考试数学试卷 参考答案及评分意见
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) (理)13、5;14、48 πcm ;15、[2,
2

BADCD

CCDAA

BC

10 ];16、①④; 3

三、解答题: (每小题 10 分,共 60 分) 17、解: (Ⅰ) ,由正弦定理有:

| BC | 1 | AB | = = sin θ sin 120° sin(60° ? θ )

…………(2 分)



| BC |=

1 sin θ , sin 120°

| AB |=

sin(60° ? θ ) sin 120°

…………(4 分)

∴ f (θ ) = AB ? BC =

4 1 sin θ ? sin(60° ? θ ) ? 3 2



2 3 1 1 3 1 ? cos 2θ ( cos θ ? sin θ ) sin θ = ( sin 2θ ? ) 3 2 2 3 2 2 1 3

= sin( 2θ +

π
6

)?

1 6

(0 < θ <

π
3

)

…………(8 分)

(Ⅱ)

0 <θ <


π

3 6 1 π < sin(2θ + ) ≤ 1 2 6

=>

π

< 2θ +

π
6

<

5π , 6 1 f (θ ) ∈ (0, ] 6 1 1 = 1 C5 5
………(12 分)



18、 (理)解: (Ⅰ)设教师甲指导学生 a 为事件 A,则 P ( A) =

…………(2 分)

(Ⅱ)设教师乙只指导一名学生为事件 B,则教师乙至少指导两名学生为事件 B 的对立事件 B ,

因为

A52 2 P( B) = = 1 2 2 7 1 1 C 5 (C 4 + C 4 ) A2 2 P (ξ = 1) =

所以 P ( B ) = 1 ? P ( B ) =

5 7

…………(7 分)

(Ⅲ)易知 ξ = 1,2,3

1 1 C5 C4 2 = ;…………(8 分) 1 2 2 7 1 1 C 5 (C 4 + C 4 ) A2 2

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P (ξ = 2) =

1 2 1 3 C5C 4 C5 C 4 3 2 = ……(9 分) P(ξ = 3) = = ……(10 分) 1 2 2 7 1 2 2 7 1 1 1 1 C 5 (C 4 + C 4 ) A2 C 5 (C 4 + C 4 ) A2 2 2



ξ 的分布列为 ξ
P 1 2 3

2 7

3 7

2 7

…(11 分)

且 Eξ =

1× 2 2 × 3 3 × 2 + + 7 7 7

…………(12 分)

19、解:解法一(Ⅰ) 如图,取 PA 的中点为 F,连结 EF、FD。 ∵ E 是 BP 的中点 ∵ EF∥AB 且 EF=

1 AB, 又 ∵DC∥AB, 2

DC=

1 AB 2

∴ EF∥DC ,∴ 四边形 EFDC 是平行四边形,故得 EC∥FD. 又∵ EC ? 平面 PAD,FD ? 平面 PAD ∴ EC∥平面 ADE ……(4 分) (Ⅱ) 取 AD 中点 H,连结 PH,因为 PA=PD, 所以 PH⊥AD, ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 于 AD, ∴PH⊥面 ABCD ∴HB 是 PB 在平面 ABCD 内的射影, ∴∠PBH 是 PB 与平面 ABCD 所成角 ………(6 分) ∵四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BCD=90°∴四边形 ABCD 是直角梯形, ∴DC=CB= 设 AB= 2a ,则 BD= 2a
2 2

1 AB, 2

在 ? ABD 中,易得∠DBA=45°, AD= 2a ,
2

PH= PD ? DH = a ? 又 ∵ BD2+AD2=4 a =AB2, ∴ HB= DH + DB =
2 2

1 2 2 a = a 2 2

∴ ? ABD 是等腰直角三角形,∠ADB=90°, ………(7 分)

1 2 10 a + 2a 2 = a 2 2

2 a PH 5 2 ∴ 在 Rt ? PHB 中, tan ∠PBH = = = HB 5 10 a 2

………(8 分)

(Ⅲ)在平面 ABCD 内过点 H 作 AB 的垂线交 AB 于点 G,连结 PG,则 HG 是 PG 在平面 ABCD 上的 射影,故 PG⊥AB,所以∠PGH 是二面角 P—AB—D 的平面角, ………(10 分) 由 AB=2 a , HA=

2 1 a ,∠HAB=45°,∴ HG= a , 2 2

………(11 分)

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2 a PH 2 = 2 ∴在 Rt ? PHG 中, tan ∠PGH = = 1 HG a 2
∴二面角 P—AB—D 的大小为 arctan 2 ……(12 分)

解法二(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)设 AB=2 a ,同解法一中的(Ⅱ)可得∠ADB=90°, 如图以 D 为原点,DA 所在直线为 x 轴,DB 所在直线为 y 轴,过 D 点且垂直于 平面 ABCD 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系, 则 B(0, 2a ,0) ,P( ………(5 分)

2 2 2 2 a ,0, a ) ∴ PB = (- , a , 2a ,- a) , 2 2 2 2
………(6 分)

平面 ABCD 的一个法向量为 m = (0,0,1) ,

所以, cos < PB, m >=

PB ? m | PB || m |

=

?

2 a 2 =? 6 6 3a 6 , 6 5 , 5

………(7 分)

可得 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 所以 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值为

………(8 分) ………(9 分)

(Ⅲ)易知 A( 2a ,0,0) ,则 AB =(- 2a , 2a ,0,, ) 设平面 PAB 的一个法向量为 n =( x 0 , y 0 , z 0 )则

? ? n ? AB = 0 由? ?n ? PB = 0 ?
令 x0 = 1

? ? 2ax0 + 2ay 0 = 0 ? => ? 2 2 ax0 + 2ay 0 ? az 0 = 0 ?? 2 ? 2

=>

? y 0 = x0 ? ? z 0 = x0

可得 n =(1,1,1)

……(11 分)

从而 cos < m, n >

1 3

=

3 3 ,所以二面角 P—AB—D 的大小为 arctan 3 3

……(12 分)

2 21、 (理)解:(Ⅰ)由 f ( x ) =2 ln x ? x 求导得到: f ′( x) =

2(1 ? x)(1 + x) , x 1 1 1 Q x ∈ [ , e] ,故 f ′( x) =0 在 x = 1 有唯一的极值点, f ( ) =-2- 2 e e e
f (e) =―2― e 2 , f (x) 极大值= f (1) =-1, 1 e 1 e

…………(2 分)

…………(4 分)

且知 f (e) < f ( ) ,故 f (x) =- m ,在 [ , e] 内有两个不等的实根满足:

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-2-

1 ≤- m <-1 e2

故 m 的取值范围为 ?1,2 +

? ?

1? e2 ? ?

…………(6 分)

(Ⅱ) g ′( x ) =

2 -2 x - a ,又 f ( x ) - ax =0 有两个不等的实根 x1 、 x 2 ,则 x
两式相减得到 a =

? 2 ln x1 ? x12 ? ax1 = 0 ? 2 ?2 ln x 2 ? x 2 ? ax 2 = 0
于是 g ' ( px1 + qx 2 ) =

2(ln x1 ? ln x 2 ) ? ( x1 + x 2 ) x1 ? x 2

…………(7 分)

2(ln x1 ? ln x 2 ) 2 ? 2 ( px1 + qx 2 ) -[ ? ( x1 + x 2 ) ] px1 + qx 2 x1 ? x 2



2(ln x1 ? ln x 2 ) 2 ? + ( 2 p ? 1) ( x 2 ? x1 ) px1 + qx 2 x1 ? x 2
…………(8 分)

∵ 2 p ≤1, x 2 > x1 > 0 , ∴ ( 2 p ? 1) ( x 2 ? x1 ) ≤0 要证: g ' ( px1 + qx 2 ) <0,只需证:

2(ln x1 ? ln x 2 ) 2 + <0,只需证: px1 + qx 2 x 2 ? x1

x 2 ? x1 x + ln 1 < 0 px1 + qx 2 x2



………(9 分)



x1 1? t = t ,0 < t < 1 ,只需证: u (t ) = + ln t < 0 在 0 < t < 1 上恒成立, x2 pt + q
p 2 (t ? 1)(t ? q2 ) p2
………(10 分)

又∵ u ' (t ) =

1 1 ? = t ( pt + q ) 2

t ( pt + q) 2

1 q q2 q2 ∵ p + q = 1 , q ≥ ,则 ≥ 1 ,∴ 2 ≥ 1 ,于是由 t < 1 可知 t ? 1 < 0 , t ? 2 < 0 2 p p p
故知 u ' (t ) > 0 ∴ u (t ) 在 t ∈ (0,1) 上为增函数, ………(11 分)

则 u (t ) < u (1) =0,从而知

x 2 ? x1 x + ln 1 < 0 px1 + qx 2 x2
…………(12 分)

即①成立,从而原不等式成立。 (理)20(文)21、解:(Ⅰ)由题意,点 C 到定点 F(- 所以点 C 的轨迹方程为 y 2 = ? x

1 1 ,0)和直线 x = 的距离相等, 4 4
………(4 分)

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? y 2 = ?x (Ⅱ)由方程组 ? 消去 x 后,整理得 ? y = k ( x + 1)
,B( x2 , y2 ),由韦达定理有 设 A(x1,y1) 设直线 l 与 x 轴交于点 N,则 N(-1,0) ∵

ky 2 + y ? k = 0

………(5 分)

y1 + y2 =? = ?

1 , y1 y2 =-1, ………(6 分) ? k

S ?OAB = S ?OAN + S ?OBN =

1 1 |ON|| y1 |+ |ON|| y 2 | 2 2



1 1 1 2 |ON|·| y1 ? y 2 |= ·1· ( y1 + y 2 ) ? 4 y1 y 2 = 2 2 2
10 = 1 2

1 ( )2 + 4 k

∵ S ?OAB = 10 ∴

1 ( ) 2 + 4 ,解得 k

k=±

1 6

………(8 分)

(Ⅲ)∵A、B 在抛物线 y 2 = ? x 上, 所以 x1 + x 2 = ?( y1 ? y 2 ) = ? (
2 2

1 2 2 + 2) , x1 x 2 = y1 y 2 = 1 , 2 k

………(9 分)

设点 M( x 0 , y 0 ),MA⊥MB

( y1 ? y 00 )( y 2 ? y 0 ) + ( x1 ? x0 )( x 2 ? x0 ) =0

1 1 2 2 x + y 0 + y 0 + 2 x 0 + x0 = 0 2 0 k k

x0 = 0 ? ? y0 = 0 ? 2 ? y + 2x + x 2 = 0 0 0 ? 0

? x0 = 0 ? ? y0 = 0

………(11 分)

故存在唯一的合乎题意的点 M(0,0).

………(12 分)

3 22、 (理)(Ⅰ)证明:在已知式中,当 n = 1 时, a1 = a12 ,∵ a1 >0,∴ a1 =1, ……(1 分)

当 n ≥ 2 时,

3 3 2 3 a13 + a 2 + a3 +…+ a n = S n 3 3 2 3 a13 + a 2 + a3 +…+ a n?1 = S n?1 3 a n = a n (2a1 + 2a 2 + L + 2a n ?1 + a n )





①-②得
2

………(2 分)

∵ a n >0, ∴ a n = 2a1 + 2a 2 + L + 2a n ?1 + a n ,即 a n =2 S n - a n
2

∵ a1 =1 适合上式, ………(3 分) ∴ a n =2 S n - a n ( n ∈ N + )
2

………(4 分)

(Ⅱ)解由(Ⅰ)知
2

2 a n =2 S n - a n ( n ∈ N + )



当 n ≥ 2 时, a n ?1 = 2 S n ?1 ? a n ?1



………(5 分)

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③-④得

2 2 a n - a n?1 = 2( S n ? S n ?1 ) ? a n + a n ?1 = 2 a n - a n + a n?1 = a n + a n?1 ……(6 分)

∵ a n + a n ?1 >0, ∴ a n - a n ?1 =1 ∴ 数列{ a n }是等差数列,首项为 1,公差为 1,可得 a n = n = n ,∴ bn = 3 + ( ?1)
n n ?1

………(7 分) ………(8 分)(Ⅲ)解 ∵ a n ………(9 分)

λ ? 2 a = 3 n + (?1) n ?1 λ ? 2 n ,
n

∴ bn +1 ? bn = [3

n +1

+ (?1) n λ ? 2 n +1 ] ? [3 n + (?1) n?1 λ ? 2 n ] =2· 3 n ? 3λ (?1) n ?1 ? 2 n ……(10 分)
3 (?1) n ?1 ? λ < ( ) n ?1 2
3 2
2k ?2

若 bn +1 > bn ,则



当 n =2 k ? 1 , k = 1,2,3, L 时,⑤式即为 λ < ( ) 依题意,⑥式对 k = 1,2,3, L 都成立,∴ λ <1; 当 n =2 k , k = 1,2,3, L 时,⑤式即为 λ > ?( ) 依题意,⑦式对 k = 1,2,3, L 都成立 ∴ λ >-



………(12 分)

3 2

2 k ?1



3 2

∴-

3 < λ <1,又 λ ≠0, 2
………(14 分)

∴存在整数 λ =-1,使得对任意 n ∈ N + ,都有 bn +1 > bn 。


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四川省绵阳市高中2012届高三第三次诊断性考试 数学理 (2012绵阳三诊)扫描版(word版答案)

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四川省泸州市2014届高三第三次教学质量诊断性考试数学(理)试题及答案(word)

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四川省遂宁市2009届高三第三次诊断性考试(数学理)

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四川省泸州市2013届高三第一次诊断性考试数学理试题(WORD版)

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