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13级竞赛辅导(静电-1)


静 电 场
1

静电场

基本概念 ? ? 场强 E ? F / q0 电场线

电势 V ? W / q0 等势面 c d V ? E?? n V ? ? E ? dl a dn ? ? 通量 ? e ? ?? E ? ds ? ?? E cos ?ds 环流 ? l E ? dl ? ? l E cos

? ds ? ? 点电荷 试验电荷 电偶极子 pe ? ql

性质.关系

2

基本规律
1 q1q2 ? 真空中、点电荷 库仑定律: F ? 4?? r 2 r 0 1 高斯定律: ?? E ? ds ? ? qi 意义、应用

?0

i

环路定理:

?

l

E ? dl ? 0

意义

叠加原理: 力的叠加、场强叠加、电势叠加

3

基本方法
点电荷

点电荷组

1 E? 4 ?? 0

qi ? r ? 2 i ri

迭加法

连续带电体 E ?

?

q



典型场 均匀带电球体 无限大均匀带电平面 无限长均匀带电圆柱面 均匀带电细圆环轴线

1 dq ? r 2 4 ?? 0 r

E

高斯定理法

? E ?d S ? ?q
S

i

/ ? 0 具有对称性

对称性分析; 选Gauss面;列方程解方程 。 dV 电势分布函数 ? n 电势梯度法 E ? ? dn 数已知 或易求
4

迭加法

点电荷

典型场

qi V ? ? 点电荷组 4?? 0 i ri 1 dq 连续带电体 V ? ?q 4?? 0 r 均匀带电球面 1
均匀带电球体 无限大均匀带电平面



V

无限长均匀带电圆柱面 均匀带电细圆环轴线

场强积分法 Va ? ? E ? dl
a

c

场强分布函数 数已知 或易求
5

典 型 场 举 例:
均匀带电球面
? (r ? R) r ? 2 E ? 4??0 r 0 (r ? R) q

1 ? 2 r

均匀带电球体 q ? r (r ? R) 2 ? 4??0 r E? ? ?r (r ? R) 3? 0

E

?r
o
R

1 ? 2 r
6

r

? 无限大均匀带电平面 E ? 2? 0

??
0
r

无限长均匀带电圆柱面
? E?

? ? (r ? R) r 2??0 r
0 (r ? R)

1 ? r

qx 均匀带电 E? 3 2 2 2 细圆环轴线 4?? 0 ( R ? x )

7

(2010第一届竞赛考题)现有一半径为a的均匀带电圆 薄盘,其面电荷密度为σ,求圆盘边缘处的电势大小。 (设无穷远处电势为零) 思路1:

dq ? ? dxdy
或:dq ? ?? d? d ?

8

(2010第一届竞赛考题)现有一半径为a的均匀带电圆 薄盘,其面电荷密度为σ,求圆盘边缘处的电势大小。 (设无穷远处电势为零) Y 思路2:

P a

Q, L
x x ? dx

X

Q dq ? ? dx, ? ? L L/ 2 dq ? dx V ?? dV ? ? L/ 2 4?? 0 x 2 ? a 2 4?? 0 x 2 ? a 2 2 2 dx ? x 2 ? a 2 ? ln( x ? x ? a )
9

(2010第一届竞赛考题)现有一半径为a的均匀带电圆 薄盘,其面电荷密度为σ,求圆盘边缘处的电势大小。 (设无穷远处电势为零) 以圆盘边缘为圆心,以r为半径, dr为宽, 作圆弧。 思路3:

dq ? ? ds
2a

ds ? 2r? dr

Vp ? ? ? ? 2r? dr 0 4?? 0 r

a 2 ? r 2 ? a 2 ? 2ra cos ? ? ? arccos r 2a 2a ? r dr Vp ? arccos 2?? 0 ?0 2a

r?
P

O

10

一、电场中的导体:
1、导体的静电平衡条件。

? “静电平衡时的导 ① E内 ? 0 用电势表示: ? ② E s ? 表面 体是等势体,其表面是等势面.”

2、静电平衡时导体上的电荷分布。 孤立导体静电平衡时,其表面各处的面 电荷密度与表面的曲率有关,曲率越大处,面 电荷密度也越大。 3、导体存在时电场的分布问题。 静电平衡条件, 电荷守恒, 高斯定理。
11

? ? 二、电介质: i P ? lim 无极分子电介质 ?V ? 0 ?V 电介质: ? ? ? 有极分子电介质 P ? ? 0 (? r ? 1) E ? ? 0 ? e E ? ? ? 电极化: 位移极化 D ? ?0E ? P 转向极化
? ? ? ? ? ? D ? ? 0 E ? ? e ? 0 E ? ? 0 (1 ? ? e ) E ? ? 0 ? r E

? pi

{ {

介质中的高斯定理 ? ? D?d S ? q0

?
S

?

高斯面内自由 电荷的代数和
12

D线与E线的区别

极化强度与极化电荷的关系 ? ? 极化电荷面密度 ? p ? P ? en 分界面上的衔接条件 D2 n ? D1n ? ? D 的法向分量不连续 E 2 t ? E1t E 的切向分量连续。 折射定理: tan ?1 ? 1 当交界面上 ? ? 0 时, tan ? ? ? 2 2
V 的衔接条件: V1 ? V2 电位连续

13

Q 三、电容: C ? U 1 1 1 1 ? ? ? ? 串联: C C1 C2 Cn C ? C1 ? C2 ? ? Cn 并联:

四、电场的能量:
1 Q2 1 1 2 电容器的能量: W ? ? CU ? UQ 2 C 2 2 电场的能量密度: w ? 1 ? E 2 ? 1 DE ? 1 D 2 2 2 2?

W ? dW ? wdV ?
V

?

?

?

V

1 2 ? E dV ? ? 2
14

四、稳恒电场: 电流强度:
电流密度: 电动势:

dq I? dt
dI ? j? n dS ?

I ? nS q v
j ?? E

? ? ? ? ? E K ? dl
L
15

?? V? ? 0 ? E外 ? q r ? 2 ? 4? ?0 r ?
? ?

例:求均匀带电球面的电场中的电势分布。 设球面半径为R,总带电量为q。 ? 解: ? E内 ? 0

V外 ? ? E ? dl ? ? E外 ? dr ? ? E外dr
P

?

?

q

4?? 0

?
r

?

r = R, V ?

?E
R

?

dr q ? ( r ? R) 2 r 4?? 0 r


r

r

dr ?

q 4?? 0 R
16

r<R
V ? ? E 内?dr ? ? E外 ? dr ? ?
r R R ? ?

q 4?? 0 r
2

dr ?

q 4?? 0 R

R

? q ? 4?? R , r ? R ? 0 ?V ? ? ? q ,r ? R ? ? 4?? 0 r

V

17

? q ,r ? R ? 均匀带电球面的电 ? 4?? 0 R ?V ? ? 场中的电势分布 ? q ,r ? R ? ? 4?? 0 r 有三个均匀带电球面:

R1, Q1; R2, Q2; R3, Q3 求各区域的电势。

R1
ⅠⅡ Ⅲ Ⅳ

Ⅰ区:r < R1、 R2、R3 Q3 Q1 Q2 VⅠ= + + 4?? 0 R1 4?? 0 R2 4?? 0 R3

18

Ⅱ区:r > R3, r < R1、R2
VⅡ= 4?? 0 R1 Q1 Q1 + 4?? 0 R2 Q2 Q2 +

4?? 0 r Q3

Q3

Ⅲ区:r > R2、 R3 , r < R1
VⅢ= 4?? 0 R1 Q1 + 4?? 0 r Q2 + 4?? 0 r Q3

R1
ⅠⅡ Ⅲ Ⅳ

Ⅳ区:r > R1 、R2、 R3
VⅣ= 4?? 0 r + 4?? 0 r + 4?? 0 r

19

( 2011 第二届竞赛考题)有一不带电的半径为 R1 的接 地金属导体球,外面是一个内外半径分别为 R2、R3的 同心金属导体球壳( R1 ? R2 ? R3 )。求:(1)此金 属导体系统的电容是多少?(2)若给外球壳带上电量 Q,则内球的带电量是多少?(3)外球壳电势是多少? (4)此系统的静电能是多少? 解:电容:C ? Q ?V R2 R 2 R R1 1 球形电容器: R3

?V =

Q

4?? 0 R1 4?? 0 R2
20

-

Q

Q

?Q

解:(1)内球与球壳内表面构成球形电容器,
4?? 0 R1 R2 其电容: C1 ? R2 ? R1

球壳外表面与无限远构成球形电容器, 其电容: C2 ? 4?? 0 R3 将接地与无限远等效(电势为零),则C1 、 C2并联 故此系统的电容为: 4?? 0 R1 R2 C ? C1 ? C2 ? ? 4?? 0 R3 R2 ? R1
4?? 0 ( R1 R2 ? R2 R3 ? R1 R3 ) ? R2 ? R1
R2
C1
R1

R3

?

C2

21

(2011第二届竞赛考题)有一不带电的半径为R1的接 地金属导体球,外面是一个内外半径分别为R2、R3的 同心金属导体球壳( R1 ? R2 ? R3 )。求:(1)此金 属导体系统的电容是多少?(2)若给外球壳带上电量 Q,则内球的带电量是多少?(3)外球壳电势是多少? (4)此系统的静电能是多少?

R1

R2

R3

22

R1 R2 ?q Q?q Q VO ? ? ? ?0 ?q? R1 R3 ? R1 R2 ? R2 R3 4?? 0 R1 4?? 0 R2 4?? 0 R3
q
?q Q ? q ? 方法2:两电容器并联,两端电压相同,有 C1 C2 R1 R2 Q 将C1 、C2、代入得 q ? R1 R3 ? R1 R2 ? R2 R3
R1

(2)设内球带电量为q,则球壳内表面带电量为-q, 球壳外表面带电量为Q+q,则球心处电势为

q( R1 ? R2 ) ?R2 4?? 0r 2 dr ? 4?? 0 R1 R2 Q?q 球壳外表面与无穷远处的电势差为 4?? 0 R3 q
q( R1 ? R2 ) Q?q ? ? 4?? 0 R1 R2 4?? 0 R3

方法3:两电容器端电压相同 球壳内表面与内球的电势差为

R1 R2 ?q? Q R1 R3 ? R1 R2 ? R2 R3

23

(2011第二届竞赛考题)有一不带电的半径为R1的接 地金属导体球,外面是一个内外半径分别为R2、R3的 同心金属导体球壳( R1 ? R2 ? R3 )。求:(1)此金 属导体系统的电容是多少?(2)若给外球壳带上电量 Q,则内球的带电量是多少?(3)外球壳电势是多少? (4)此系统的静电能是多少?

R1

R2

R3

24

(3)外球壳电势为:
?q Q?q V? ? ? 4?? 0 R3 4?? 0 R3 4?? 0 R3 q
R2

(方法1):(取球壳外表面上一点)
R1

R3

(取球壳内表面上一点) (方法2):
?q Q?q V? ? ? 4?? 0 R2 4?? 0 R2 4?? 0 R3 q
R1
2

(方法3): V ? ? R

q( R1 ? R2 ) dr ? 2 4?? 0 r 4?? 0 R1 R2
q

Q( R1 ? R2 ) 将q代入 ? V ? 4?? 0 ( R1 R3 ? R1 R2 ? R2 R3 )
25

(2011第二届竞赛考题)有一不带电的半径为R1的接 地金属导体球,外面是一个内外半径分别为R2、R3的 同心金属导体球壳( R1 ? R2 ? R3 )。求:(1)此金 属导体系统的电容是多少?(2)若给外球壳带上电量 Q,则内球的带电量是多少?(3)外球壳电势是多少? (4)此系统的静电能是多少?
Q 2 ( R1 ? R2 ) 1 Q2 ? (4)系统静电能为: W ? 2 C 8?? 0 ( R1 R3 ? R1 R2 ? R2 R3 )
1 1 2 根据 W ? CU 或 W ? QU 2 2 或根据电场能量密度再积分做,均可。
26

(2012第三届竞赛考题)两无限大几何平面间距为d, 它们之间的区域分布着电荷,电荷体密度 ρ =kx(k为 大于0的系数)求:(1)电荷分布区域内电场强度E的 大小和方向;(2)两平面之间的电势差。 解:(1)在x-x+dx之间取一 薄层,电荷面密度为: O d? ? ?dx ? kxdx x 利用无限大带电平面场强公式: d ? d ? kx E? ? dE ? ? dx 2? 0 2? 0 2? 0 x kx d kx dx ? ? dx 平面内x处场强: E ? ?0 x 2? 2? 0 0
2 2 2 2 2 kx kd kx kx kd ? ?( ? )? ? 4? 0 4? 0 4? 0 2? 0 4? 0

(0 ? x ? d )
27

电场方向:

x? 2 d 2 2 d, 2

处E=0,在

x?

2 d , 电场方向向左; 2

在x?

电场方向向右。

(2)两平面间的电势差:dV ? Edx 2 2 d kx kd VO ? Vd ? ? ( ? )dx 0 2? 4? 0 0

kd 3 kd 3 kd 3 ? ? ?? 6? 0 4? 0 12? 0
28

(2013第四届竞赛考题)有一内外半径分别为1厘米、 5厘米的球形电容器,其间充满相对介电常量为?1、?2 两层均匀电介质,且?1=2.5?2,两介质分界面半径为1.5 厘米,已知电介质击穿场强为2.0×107 伏特/米。求此 电容器所能承受的最大电压是多少? 解:设电容器内球带电量为Q,外球带电量为-Q Q 由高斯定理可知 E ? ? Q , R2 4??0? r r 2

? ? Q( R2 ? R1 ) V ? ? E ? dr ? R1 4??0? r R
R2

Q , R1

Q 4??0? r R1 R2 C? ? V R2 ? R1
29

2.5 ? 0.01 ? 0.015 C1 ? 4?? 0? r ? 0.3?? 0? r 0.015 ? 0.01 同理:C 2 ? 0.086?? 0? r 两个电介质串联,总电容为
C 1C 2 C? ? 0.067??0? r C1 ? C 2 Qmax 2 Q ? E 4 ?? ? r ? max max 0 r 2 4??0? r r
Qmax Emax 4??0? r 0.0152 ? ? ? 2.7 ? 105 V C 0.067??0? r

E max
Vmax

30

2014第五届竞赛题
4. 如图所示,导体A带电量Q,带绝缘柄导体小球B、 空腔导体C均不带电。当B与A接触后,B移至与C的 内壁接触,此时C带电量为q,以后不断重复这一过 程。当最后一次B与C的内壁接触后,C带电量为Q/2。 若B再与A接触,A还有多少电量?
A B C

31

解:设导体A、B的电容为CA、CB,首次接触后 分开,A、B带电量分别为Q-q 、 q ,由于接触时 电势相同,有:

最后一次接触后分开,B从A获得的电量为q’, 此时A带电量为Q/2,有电势相等:

Q?q q ? CA CB

CB q ? ? CA Q ? q

CB q' 0.5Q q' ? ? ? CA CB C A 0.5Q q q' Qq ? ? , q' ? Q ? q 0.5Q 2(Q ? q)
32

1.两个完全相同的导体球,皆带等量的正电荷Q,现使 两球互相接近,到一定程度时,则________ (1)二球表面都将有正、负两种电荷分布; (2)二球中至少由一个表面上由正、负两种电荷分布; (3)无论接近到什么程度二球表面都不能有负电荷分布; (4)结果不能判断,要视电荷Q的大小而定。
? ? ? ? ? ? ? ?

(一-二-3)
? ?

?

?

?

?

?

?

(3)
33

解:用反证法。设此相互接近的两导体球为A和B,
在达到静电平衡时,都带有异号电荷,则A球上正电 荷所发电力就有部分终止于B球的负电荷上,因而A 球上电荷处的电势 U A? 就高于B球上负电荷处的电 势 U B? ,即 U A? ? U B? 。可这样一来,作为等势体

的B球上的正电荷所发电力线,不仅不可能终止于本
身的负电荷上,也不可能终止于A球的负电荷上,而

只能终止于无限远处。

34

因若有B上发的电力线终止于A上,则有 U B? ? U A? , 于是会导致 U A? ? U B? ? U B? ? U A?,即出现了在静电 平衡时导体球A不是等势体 ?U A? ? U A? ? 荒谬结果。这 就是说不可能有电力线终止于A球上,也即导体球A 上只有正电荷不能有负电荷。又由于A、B两导体完 全相同,且皆带等量正电荷,故同理也可用上述方法 证明导体B上也只有正电荷而无负电荷。
35

2.有一半径为R的金属球,外面包有一层相对介电常 数 ? r ? 2的均匀电介质壳,壳内、外半径分别为R和 2R,介质内均匀分布着电量为 q0 的自由电荷,金属 球接地,求介质外表面的电势。 (一-六)
思路:

首先确定金属球的带电量
考虑到金属球接地,电势为零。 介质内任意一点到金属球的电势差与其到无穷远 的电势差相等。
36

2.有一半径为R的金属球,外面包有一层相对介电常 数 ? r ? 2的均匀电介质壳,壳内、外半径分别为R和 2R,介质内均匀分布着电量为 q0 的自由电荷,金属 球接地,求介质外表面的电势。 (一-六)
解:设金属球上带电量为q, 由高斯定理可求得介质壳内电 场强度为 (? ? 2)
r

r 3 ? R3 q? q 3 3 0 q0 ? 1 ? q q0 r (2 R ) ? R E1 ? ? ? ? 2? ? 2 2 3 4?? r ? 0 r 8?? 0 ? r 7 R 7r ?
37

q ? q0 在介质外的电场强度 E2 ? 4??0 r 2
金属球接地,即表示金属球与无限远等电势,有

?
1
R

R

2R

E1dr ? ? E2dr
2R

?

q0 q ? q0 1 qr ( 2? ? )dr ? 即: 2 2 ? 8?? 0 2 R r 7R 7R 4?? 0
16 由上式可求得 q ? ? q0 21

dr ?2 R r 2
?

介质壳外表面电势为:

q ? q0 q ? q0 5q0 V ? ? E2dr ? ? dr ? ? 2 2R 2 R 4?? r 8??0 R 168?? 0 R 0
? ?
38

3. 设在Y-Z平面内放置一个边长为a的正六角形线框, 其中心位于坐标原点O。现有电量为q的电荷均匀分布 在线框上,有人得出在X轴上电场强度的表达式为

? E?

? qaxi ? 2 4 2? 4? ?0 ? a ? x ? 3 ? ?
3 2

?a

2

? x2

?

1 2

?代表X轴正向上的单位矢量。你能否举出理由 其中 i 说明此结果并不正确。 (二-三-2)
39

? E?

? qaxi ? 2 4 2? 4? ?0 ? a ? x ? 3 ? ?
3 2

?a

2

? x2

?

1 2

解:下面两条理由举出一条即可

q ①当a→0,应得到点电荷场强结果 E ? 4? ?0 x 2 而此式在a→0时给出E=0;
②当x→∞时应得到E按正比于1/x2的规律趋于零(点 电荷情形), 而此式在x→∞时却给出E按正比于1/x3的规律趋于零 (电偶极子情形)。
40

4. 有一平行板电容器,其间充有两层均匀介质,厚度 分别为l1和l2。设介质是漏电的,电阻率分别为ρ1和ρ2; 介质的介电常数分别为ε1和ε2。今在电容器两极板间接 上电池,设电流达到稳定时极板间电势差 U1-U2=U, 求两种介质分界面上所带的自由电荷密度。 (二-六) 思路:
求介质分界面上的和电场分布需 要用高斯定理。 D ? dS ? q,

?

?

因此要求出两种介质中的电场强度 题目已知电阻率,故考虑用微分形式的欧姆定律 题目已知两极板电压U,故可用场强表示之。
41

4. 有一平行板电容器,其间充有两层均匀介质,厚度 分别为l1和l2。设介质是漏电的,电阻率分别为ρ1和ρ2; 介质的介电常数分别为ε1和ε2。今在电容器两极板间接 上电池,设电流达到稳定时极板间电势差U1-U2=U,求 两种介质分界面上所带的自由电荷密度。 (二-六) 解:设介质1中的电场强度为E1,介 质2中的电场强度为E2,介质分界面 上自由电荷密度为σ。
由高斯定理或直接由电场边界条件可 以得出 ? ? ? ? ? 2 E 2 ? ?1 E1 (1 ) ? D ? dS ? ? q,

? ? D ? ?E
42

由电流的稳定恒条件和欧姆定理的微分形式得出:
1 1 E1 ? E2 ?1 ?2 ( 2)

? ? J ? ? E, ? ? 1

?

由场强和电势的关系有:

E 1 l1 ? E 2 l 2 ? U
由⑵、 ⑶解得:

(3)

?1U ? 2U E1 ? , E2 ? ?1l1 ? ? 2 l 2 ?1l1 ? ? 2 l 2

将E1、E2的结果代入⑴得:

? 2?2 ? ?1?1 ?? U ?1l1 ? ?2 l 2

43

5. 两个半径分别为R1和R2(R2>R1)的同心金属球壳,如 果外球壳带电量为Q,内球壳接地,则内球壳上带电量 是______ (三-一-6)
(A) 0 (B) -Q 解:(C)
R1 ?C ? ? Q R2
R1 ?D ?(1 ? )Q R2 R2 ?1 ?E ?(1 ? ) Q R1

Q Q? ? ?0 内球壳接地,其电位应为零。 ? R2 R1 其中Q’为内球壳上带电量。
R2 ? Q? ? ? Q R1

R1

R2

44

6. 平板电容内充满各向异性的均匀介质,设极板间的电 场强度为E,电位移矢量为D,介质的极化强度为P,对 E、D、P的方向可作判断是_______ (A) D与极板垂直,E和P是否与极板垂直不能确定 (B) E与极板垂直,D和P是否与极板垂直不能确定 (C) P与极板垂直,E与D是否与极板垂直不能确定 (D) D、E、P都与极板垂直 (E) D、E、P都与极板不垂直 (三-一-10)
45

6. 平板电容内充满各向异性的均匀介质,设极板间的电场强 度为E,电位移矢量为D,介质的极化强度为P对E ? 、D、 ?P的方向 ? 可作判断是_______ D ? ?0E ? P

(B) E与极板垂直,D和P是否与极板垂直不能确定 由于介质均匀且介质内无自由电荷,所以介质内也 没有极化体电荷,极化电荷只存在于与极板接界的介质 表面。极化面电荷与极板上的自由面电荷等效成平面面 电荷分布。 如果电荷分布是均匀的,则介质内电场也是均匀的, 并且垂直于极板,满足两个极板是等位面的条件, 由于介质是各向异性的,所以P不一定与E同向,因 而D也不一定与E同向,所以可以判断E与极板垂直,但 不能判定P、D方向。
46

7. 对于一个绝缘导体屏蔽空腔内部的电场和电势可作如 下判断______ (A)场强不受腔外电荷的影响,但电势要受腔外电荷影响 (B)电势不受腔外电荷的影响,但场强要受腔外电荷影响 (C)场强和电势都不受腔外电荷的影响 (D)场强和电荷都受腔外电荷的影响 (三-一-11)

q +

E?0

V=C1

V=C1
47

7. 对于一个绝缘导体屏蔽空腔内部的电场和电势可作如 下判断______ (A)场强不受腔外电荷的影响,但电势要受腔外电荷影响 (B)电势不受腔外电荷的影响,但场强要受腔外电荷影响 (C)场强和电势都不受腔外电荷的影响 (D)场强和电荷都受腔外电荷的影响 (三-一-11) 解:(A) 导体外电荷在导体表面引起感应电荷,腔外电荷与表 面感应电荷的总电场在导体壳及腔内为零,所以导体 壳层使腔内电场不受腔外电荷影响,为方便选无穷远 为电势零点,不难看出腔外电荷及其在导体表面感应 的电荷在腔外的电场就改变了导体的电势,从而影响 48 了腔内电势。

8. 已知两个同心金属球壳的半径分别为a、b, (b>a)中间 充满电导率为σ的材料,σ是随外电场变化的,且σ=KE, 其中K为常数,现将两球壳维持恒定电压V,求两球壳 间的电流。(四-三-3)
思路: 已知电流密度,求电流强度。 ? ? I ? ? J ? dS

? ? 欧姆定律微分形式:J ? ?E
已知两球壳之间电压V,

? ? V ? ? E ?dl
49

8. 已知两个同心金属球壳的半径分别为a、b, (b>a)中间 充满电导率为σ的材料,σ是随外电场变化的,且σ=KE, 其中K为常数,现将两球壳维持恒定电压V,求两球壳 间的电流。(四-三-3) 解: 由 J= σE, σ=KE 得 J=KE2 在两金属球壳间作半径为r球面S, 则穿过此面的电流 I ? JS ? KE 2 4? r 2
可知 E ? 1
r 4? K
b a

I

而两金属球的电压 V ? ?

? I ? ( V )2 4? K ln b / a

r r b E ? d l ? ? Edr ?
a

b ln 4? K a
50

I

9. 一半径为R1的球体均匀带正电,体电荷密度为ρ,球 内有半径为R2的小球形空壳,空腔中心O′点与球心 O点相距为a。①求空腔内P点处的电场强度E,②画出 空腔内电力线的分布,③求空腔中心O′处的电势。 (四-三-4)
P

O

? a

O'

OP ? r , OP ' ? r ', OO ' ? a

? ? ? r ? r '? a

51

9. 一半径为R1的球体均匀带正电,体电荷密度为ρ球内 半径为R2的小球形空壳为,空腔中心O′点与球心 O点相距为a。①求空腔内P点处的电场强度E,②画出 空腔内电力线的分布,③求空腔中心O′处的电势。 (四-三-4) 解: 整个有空腔的带电体可以看成半径为 R1的均匀带正电荷(体密度为ρ)的无空 腔球体及半径为R2的均匀带负电 荷(体密度为- ρ)的球体叠加而成(带 负电荷的球体球心在O′ )。 P为空腔内任一点,①对无空腔的均匀带正电球体, 由高斯定理可知 4 3
? s?

?E

1

? dS ?

3

? r ? / ?0

52

? E1 ? r 3? 0

写成矢量式: E 1 ?

? r 3? 0

再考虑均匀带负电荷的球体(处于空腔位置)在P点产生 的场强E2,由高斯定理,同样可得 ? ?? ? E2 ? r? 3? 0 将两者叠加可得有空腔时P点的场强E ? ? ? ? ? ? ? ? ?r ? r ? ? ? a E ? E1 ? E2 ? 3? 0 3? 0

?a 即空腔内为均匀电场,其大小为 方向沿矢量a方向 3? 0
53

②空腔内电力线为一组平行于OO′的 线,方向与a相同,如图所示。

③对于任一点电势,同样应为均匀带电体密度为ρ 的大球与均匀带电体密度为-ρ的小球(小球处于空腔位 置)分别在该点产生电势的叠加。 先求半径为R的均匀带电球体,在球内任一点的电 ? ? ? 势。已知在球内的场强为 E1内 ? r (r < R1) 3? 0 由高斯定理、求得球体外的场强为 ? ?R13 ? E1外 ? r r?R 3 54 3? 0 r

所以球内距球心为r处的电势为
U1 ?

?

R1 r

r ?r r r E1内 ? dr ? ? E1外 ? dr ?
R1

?

R1

r

3 ? ?R ?r 1 dr ? ? dr 2 R 3? 0 3? 0 r
1

? R12 r 2 ? 2 ? ( ? ? R1 ) ? (3 R12 ? r 2 ) 3? 0 2 2 6? 0

同理,可求得均匀带电体密度-ρ的小球在球内距球心为 ?? r′处的电势为 2 2 ? U2 ? (3 R2 ? r ) 6? 0 对O′点,r = a, r’= 0,可得
U O? ? U1O? ? U 2O? ? ? 2 2 2 ? 3 R ? a ? 3 R ? ? ? 1 2 ? 0? 6? 0 6? 0 ? 2 2 2 ? 3 R ? 3 R ? a ? ? 1 2 6? 0

55

10. 在两平行无限大平面内是电荷体密度ρ>0的均匀带 电空间,有一质量为m,电量为q(< 0)的点电荷在 带电板的边缘自由释放。在仅考虑电场力不考虑其它 阻力的情况下,该点电荷运动到中心对称面oo′的时间 是_____ (五-二-4) 解: 电场为平面对称场, 将高斯定理用于图示 的柱面得
(s)

? E ? dS ?

q?内?

?0
d d q?内? ? ? 2 x?S (在 ? ? x ? 范围56 ) 2 2

(s)

? E ? dS ? 2 E ? S

? ?E ? x 方向沿x轴 ?0 ?q x 点电荷q(<0)所受的电力为 F ? Eq ?
?0

?0 此与弹簧振子的受力规律相同,而 ? ?q 与倔强

系数k相当。
? q? ?0m

显然点电荷q要在两平行无限大平面内作简谐振动 其圆频率为为 ? ?
?0m 2? ,周期为 T ? ? 2? , ? ? ?q

点电荷q从边缘自由释放运动到对称面OO′的时间为
T ? ? 4 2 ?0m ? ?q
57

11. 一半径R,带电量Q的导体球在距球心O点d1处放 置一已知点电荷q1,今在距球心d2处再放置一点电荷q2, 当该点电荷电量为_____时可使导体球电势为零(以无 穷远处电势为零) (五-二-5)
解:由于q1和q2的影响,导体球 上的电荷分布不均匀,但总电量 不变。导体球是等势体,球上各 点的电势与球心O的电势U0相同。 Q dQ q1 q2 U0 ? ? ? ? 0 4? ? R 4? ?0d1 4? ?0d 2 0

Q q1 q2 ? ? ? 4? ?0 R 4? ?0d1 4? ?0d 2

当U0=0时,则 Q q1 q2 ? ?d 2 ( ? ) R d1

58

12. 半径分别为R1与R2的二同心均匀带电半球面相对放 置(如图示),二半球面上的电荷密度σ1与σ2满足关 系σ1 R1= -σ2 R2,(1)试求证小球面对的圆截面S为一 等势面,(2)求等势面S上的电势值。 (五-四) 解:

59

12. 半径分别为R1与R2的二同心均匀带电半球面相对放 置(如图示),二半球面上的电荷密度σ1与σ2满足关 系σ1 R1= -σ2 R2,(1)试求证小球面对的圆截面S为一 等势面,(2)求等势面S上的电势值。 (五-四) 解: (1)过均匀带电球面的 中心O作一截面,将球分 成左右两部分,若左半球 的电荷在截面上任一点激 发的电场强度E左, 由对称性知,右半球的电荷在截面上同一点激发 的电 场强度E右必如图示。因均匀带电球面内任一点的总电 场强度为零。 60

而图中的E左+E右≠0,显然矛盾,这个矛盾只有当E左和 E右都垂直于截面时才能消除,这就断定了均匀带电半 球在截面上激发的电场强度必垂直于截面。
在本题中,左右两个均匀带电的半球在圆截面S上激发 的电场强度都垂直于S,当然S上的总电场强度也必 垂直于S,故S为一等势面。 (2)既然S为等势面,那S上各点的电势必与O点的 电势U0相等,而

2?R ?1 2?R ?1 1 ?R1?1 ? R2? 2 ? ? 0 U0 ? ? ? 4??0 R1 4??0 R2 2? 0
2 1 2 2

∴S面上的电势为零。
61

13. 内外半径分别为R1和R2的金属球壳带有电量Q,则 球心处的电势为___。若再在球壳腔内绝缘的放置一电 量为q0的点电荷,点电荷离球心的距离为r0,则球心处 的电势为___;若又在球外离球心的距离为R处,放置一电 量为q的点电荷,则球心处的电势为___(五’-一- 9)

图a

图b

图c

解:金属球壳带有电量为Q时,其电量分布在外表面, 且均匀分布如图(a)。
62

根据均匀带电球面场分布,球体为等势体,故球心O 处电势与球面等势 Q U0 ? 4??0 R2
当球壳腔内绝缘放置q 0时,导体球壳电量分布如图(b) 利用电势叠加原理则O点电势为q 0,-q0,Q+q0产生电 势的叠加。 q0 ?q0 Q ? q0 U0 ? ? ? 4?? 0 r0 4?? 0 R1 4?? 0 R2 球壳外再放置q,如图c,O点电势加上q作用的结果,

?q0 Q ? q0 q ?U 0 ? ? ? ? 4?? 0 r0 4?? 0 R1 4?? 0 R2 4?? 0 r q0
63

14. 一平行板电容器中有两层具有一定导电性的电介质A 和B,它们的相对介电常数、电导率和厚度分别 ? A、 d A、 ? B、 ? B、 d B ;且 d A ? d B ? d ,d为平板电容器 为? A 、 的两块极板之间的距离.现将此电容器接至电压为V的电 源上(与介质A接触的极板接电源正极),设极板面积为S, 忽略边缘效应,试求稳定时 (1)电容器所损耗的功率P; (2)电介质A和B中的电场能量 W A 和 W B ; (3)电介质A和B交界面上的自由电荷面密度?自和束缚 电荷密度 ? 束 . (八-四) 解: (1)极间电阻 损耗功率
dA dB R? ? ? A S ?, BS
2

2 S ? ? V A B P?V ? R ? B d A ? ? Ad B

64

(2)由电介质A、B中电流密度相等,有 ? A E A ? ? B EB (1) E Ad A ? E B d B ? V 解得电场强度
? BV EA ? ? B d A ? ? Ad B

(2)

? AV EB ? ? B d A ? ? Ad B

2 2 ? ? ? V Sd A 1 2 0 A B 电场能量 W A ? ? 0? A E A Sd A ? 2 2( ? B d A ? ? Ad B )2 2 2 ? 0? B ? AV Sd B WB ? 2( ? B d A ? ? Ad B )2

(3)由D的高斯定理, ? 0 (? B EB ? ? A E A ) ? ?自 由E的高斯定理,有
?0 ( EB ? E A ) ? ?自 ? ?束

? 0 ( ? A? B ? ? B ? A )V ? ?自 ? ? B d A ? ? Ad B ? 0V [ ? B (? A ? 1) ? ? A (? B ? 1)] ?束 ? ? B d A ? ? Ad B
65

15.在半径为R的金属球内偏心地挖出一个半径为r的球 形空腔。在距空腔中心O点d处放一点电荷q,金属球带 电为-q,则O点的电势为 (九-一-3)
q q (A) 4?? d ? 4?? R . 0 0

(B)

q

4??0d

?

q

4??0 r

.

(C) 0. (D) 因q偏离球心而难以求解 解:据静电平衡条件,金属球内表面带 电量为-q,(金属球内表面电荷并不均匀 dS 分布),设dS面积上电荷面密度为 ? . 据电势叠加原理: q ?dS U0 ? ? ?? 4? ?0d S 4? ?0 r
q 1 q q ? ? ?dS ? ? ?? 4? ?0d 4? ?0 r S 4? ?0d 4? ?0 r

金属球外表面 带电量为零。 66

16 .静电天平装置如图.一空气平行板电容器两极板面积 都是S,相距为d,(d<<极板线度)下极板固定,上极板接 天平一头。当电容器不带电时,天平正好平衡,若电容 器两极板加有电压U,则天平另一头需加上质量为m的砝 码,天平才能达到平衡,求所加电压U= (九-二-3)
解:两极板相互作用力 F ? QE ?, E’为一个板在另一板处所产生的 场强. ? 1 1U E? ? ? E? 2? 0 2 2d (E为两板电荷在两板间产生的合场强) ?0S CU 2 ? 0 SU 2 ( C ? ) ? ? F ? QE'=CUE ? ? d 2d 2d 2
又 F ? mg
U? 2d 2 mg ?0S
67

17.无限大带电导体板两侧面上的电荷面密度为 ? 0 , 现在导体板两侧分别充以介电常数 ? 1 与 ? 2 ( ? 1 ? ? 2 ) 的均匀电介质,则导体两侧电场强度的大 小 E1 ? , E2 ? 。 (九-二-4) 解:充入电介质后,导体板两侧自由电 ? ? E1 E2 荷分布改变,设自由电荷面密度分别为 ? 01 与? 02, D1 ? ? 01 , D2 ? ? 02 对板外电场,将自由电荷、束缚电荷一 ? 01 ? 02 并考虑,它犹如一个均匀带电的大平面, E1 ? E2. 面两侧的电场强弱相同,即 D1 D2 ? 01 ? 02 2? 0?1 或 ? , ? (1) 由(1)(2)得:? 01 ? ?1 ? 2 ?1 ?2 ?1 ? ? 2 2? 0 电荷守恒定律: D1 ? 01 ? E1 ? E2 ? E1 ? ? ?1 68 ? ?2 ?1 ?1 ?01 ? ?02 ? ?0 (2)

18. 三等长绝缘棒连成正三角形,每根棒上均匀分布等量 同号电荷,测得图中P、Q两点(均为相应正三角形的重 心)的电势分别为 U P 和 U Q .若撤去BC棒,则P、Q两点的 ? ? 电势为 U ? ; . (十-一-3) UQ P ? 解:设AB、BC、CA三棒对P点的电 势贡献及AC对Q点的电势贡献皆为 U1 ,AB、BC棒对Q点的电势贡献皆 为U2.由电势叠加原理,有 UQ ? U1 ? 2U2 U P ? 3U1
1 1 1 解得:U 1 ? U P , U 2 ? U Q ? U P . 3 2 6 1 2 撤去BC棒后应有 U ? UP P ? U P ? U1 ? U P ? U P ? 3 3 1 1 1 1 ? UQ ? UQ ? U 2 ? UQ ? ( UQ ? U P ) ? UQ ? U P 2 6 2 6

69

19. 真空中,在半径为R的接地金属球外,与球心O相距 为a(a>R)处,置一点电荷q,不计接地导线上电荷的影响, q? (十一-一-11) 则金属球表面上的电荷总量为 =____.
解:因为金属球处于静 电平衡,所以是等势体, 即U球心=U球=0

q dq? q q? U 球心 ? ?? ? ? ?0 4??0a 4??0 R 4??0a 4??0 R

R q? ? ? q a
70

20. 两个固定的均匀带电球面A、B的球心距离d远大于 A、B的半径,A的带电量为4Q(Q>0),B的带电量为Q. 由两球心确定的直线记为MN,在MN与球面相交处均 开出一个足够小的孔,随小孔挖去的电荷量可不计. 将 一带负电的质点P静止地放在A球面的左侧某处,假设 P被释放后恰能穿经三个小孔越过 B球面的球心,试确 定开始时P与A球面球心的距离x。 (十一-三-15)
4Q
M P

Q
N

x
A

d

B
71

解:P能达到B球心 的必要条件是能到达 P A、B之间的库仑力 x 平衡点S,对力平衡 点S有:
4Q Q ? 2 4? ?0 r1 4? ?0 r22 (1)

S

r1
A

d

r2

B

r1 ? r2 ? d (2)

如果质点P从静止开始,达到S时,也刚好静止, 则P在出发点和S点,应有相同的静电势能,即: 4Q( ?q ) Q( ?q ) 4Q( ?q ) Q( ?q ) ? ? ? ( 3) 4? ?0 x 4? ?0 ( x ? d ) 4? ?0 r1 4? ?0 r2
2 2 1 由三式解得:x ? ( 10 ? 1)d , r1 ? d,r2 ? d 9 3 3

72

如果P点在B球心处的电势能WB小于在S处的电势能WS, 则P点到达B球心时将具有一定的动能,可以越过B球球 心。 4Q( ? q ) Q( ? q ) ? Qq 4 1 WB ? ? ? ( ? ) 4? ?0d 4? ?0 RB 4? ?0 d RB

4Q( ? q ) Q( ? q ) ? Qq 4 1 ? Qq 9 WS ? ? ? ( ? )? ? 4? ?0 r1 4? ?0 r2 4? ?0 r1 r2 4? ?0 d
4 1 9 ? ? 因RB<< d,故有 d RB d 即 WB<WS,故质点P必能越过B球心。
73

24. 真空中边长为2a的立方体形导体带有电量Q,静电 平衡时全空间的电场总能量记为W1;真空中半径为a 的球形导体带有电量Q,静电平衡时全空间的电场总 能量记为W2,则W1、W2间的大小关系为W1___W2 ( 填 >、=、< )。 (十二-一-4 ) 1 解:带电导体的静电场能量:Wc ? 2 Q U Q相同时,只需比较U的高低。 导体为等势体,选择其几何对称中心 O 计算电势。由 dq 点电荷电势叠加,有 U10 ? ? 4?? 0 r Q Q U 20 ? 因导体电荷分布在表面,对导体球,r =a, 4??0 a
对边长为2a的立方体,处处有r≥a,而总量等于Q 的电荷不可能只分布在立方体与球相切的四个切点上, 74 故必有U10<U20,即W1<W2。

25. 球形电容器的两个极为两个同心金属球壳,极间充 满均为各向同性的线性介质,其相对介电常量为?r,当 电极带电后,其极上电荷量将因介质漏电而逐渐减少。 设介质的电阻率为ρ,t = 0时,内、外电极上电量分别 为±Q0,求电极上电量随时间减少的规律Q(t)以及两极间 与球心相距为r的任一点处的传导电流密度J(r,t). (十二-一-4 ) 解:方法一:取包围内电极,位于内外电极之间的 任一闭合面,由电流连续性方程,有 dQ ? J ? dS = ? dt (1) D
1 J ? E, ?
E?

? 0? r
1 (2)
75

dQ 介质均匀,ρ、?r处处相同, ? ? ? ? S D ? dS ? ? dt 0 r

由高斯定理,

?

S

D ? dS ? Q (3)

dQ D ? dS ? ? ? S ? 0? r ? dt

1

(2)

将③式代入方程②,分离变量后得微分方程 dQ 1 ?? dt (4) Q ? 0? r ? 代入初始条件,求出方程④的解为 Q ? Q0e 因J、 E呈球对称,沿径向,有 J ? I r , ? 4? r 2 ? I ? - dQ/dt 极间任一处传导电流密度为:

?

1 t ? 0? r ?

J?

1 4?? 0? r ? r
2

Q0 e

?

1

? 0? r ?

t

? r
76

方法二:设两电极间电阻为R,电容量为C,由欧姆 定律I=U/R,又U=Q/C及I=-dQ/dt,可得微分方程

电流沿径向呈球对称,总电阻可看作半径为r→r+dr 的无 r 限多个薄球壳电阻串联,故总电阻 ?dr ? r ?r
R?

r2 r1 球形电容器电容为 C ? 4??0? r r2 ? r1

dQ 1 ? ? Q (1) dt RC

将R、C值代入方程①并分离变量,
dQ 1 ?? dt Q ? 0? r ?
1

? 4?r
r1

2

2

?

2

1

4? r1 r2

解得:Q ? Q0e

?

1 t ? 0? r ?

?J ?

1

4?? 0? r ? r

Qe 2

?

? 0? r ?

t

? r
77

26. 在xoy面上倒扣着半径为R的半球面上电荷均匀分布, 面电荷密度为 σ,A点的坐标为(0,R/2),B点的坐 标为(3R/2,0)电势差UAB为____. (十三-一-4 ) 解: 由于电荷分布关于Z轴旋转对称, 所以场关于Z轴旋转对称。B、 C两点电势相同,其中C在y轴 上,坐标(0,3/2R)。 补上下半球面成为完整球面,对原来场E上,补充的下 半球面场为E下,整个球面场为E总。由对称性y轴上的 E总沿y方向,E上、E下关于xy平面对称。 ∴ y轴上,场在y轴上分量E上y、E下y相等,且等于E总/2, 即 E上y =E下y =E总/2,
78

U AB ? U A ? U B ? U A ? U C 1 1 ? ? E 上 ? dr ? ? E 上y dy ? ? E总 dy ? (U ' A ?U 'C ) 2A 2 A A
C C C

U’A、U’C为整球面场中A、C的电势。 由均匀球面电势关系,U ' A ? U ' D ? Q ? ?R 4??0 R ? 0 Q 2?R 2 U 'C ? ? Q ? 4?R ? 3 3? 0 4? ? R
0

2

?U AB

1 ?R 2 ?R ? ? (1 ? ) ? 2 ?0 3 6? 0
79

27. 厚度为b的无限大的平板内分布有均匀电荷密度ρ(>0) 的自由电荷,在板外两侧分别充有电常数为?1与?2的电 介质, 1)求板内外的电场分布;2)板外的A点与B点分 别距左右两板壁为l , 求电势差UAB . (十三-二-11)

解:假设板内存在一E=D=0的平面MM’距左侧面为d1 距右侧面为d2,根据对称性,E,D的方向垂直板面, 以MM’作底面作垂直板面的高斯面,求得电位移矢量 与电场强度: 80

? 板内: D内 ? ? xn ? , D2 ? ? d 2 n ? 板外: D1 ? ? ? d1n ? ? / ?0 板内: E内 ? ?xn ? / ?1 , E2 ? ? d2n ? / ?2 板外:E1 ? ? ?d1n ? 方向由左指向右) (n E1=-E2, 得 d1/?1=d2/?2, ? 1b d ? , 1 与d1+d2=b联立得: ? ??
1 2

? 2b d2 ? ?1 ? ? 2

因板左侧至A点的电势差与板右侧至B点的电势差相等, 所以 A点与B点的电势差仅需计算板左侧至板右侧的 电势差UA’B’,即 2 B' ? d2 ? d12 ? ? b2 ? ? 2 ? ? 1 ? U AB ? U A`B ` ? ? E ? dl ? ? ? ? ? ? ? A' 2 ? 2 ? ? ? ? 0 0 ? 1 2? ? ?
81

28. 有两个半径分别为5cm和8cm的薄铜球壳同心放置,已 知内球壳的电势为2700V,外球壳带电量为8.0×10-9C, 现用导线把两球壳联接在一起,则内球壳电势为 V. (真空介电常量 ?0=8.85×10-12C2/N· m2) (十四-一-7) 解:令内球壳带电量Q’, 外球壳的电势为u’,
Q' Q ?u ? ? 4??0 R1 4??0 R2
? Q' ? 4??0 R1 ( u ? Q 4??0 R2 )

Q ? Q' 1 Q u' ? ? [Q ? 4??0 R1 ( u ? )] 4??0 R2 4??0 R2 4??0 R2 Q

用导线把两球壳联接后,电 荷全部都跑到外球壳上去 了, 内外球壳的电势u’相等。

R1 R1Q / R2 ( R2 ? R1 )Q R1 ? ? u? ? ? u ? ... ? 2025 (V ) 82 4??0 R2 R2 4??0 R2 4??0 R2 R2

29. 板间距为2d 的大平行板电容器水平放置,电容器 的右半部分充满相对介电常数为?r的固态电介质,左 半部分空间的正中位置有一带电小球P,电容器充电后 P恰好处于平衡状态,拆去充电电源,将固态电介质快 速抽出,略去静电平衡经历的时间,不计带电小球P对 电容器极板电荷分布的影响,则P将经t =_____ 时间与 电容器的一个极板相碰. (十四-一-8)

解:令小球的质量为m,电量为Q.电容器极板的面积为S, 电量为Q’.初电场强度为E0,末电场强度为E,初电容为 83 C0,末电容为C。欲求t,需求E.

C0 ?

Q' ? 2dE0

?0S / 2
2d

?

? 0? r S / 2
2d

?

? 0 S (1 ? ? r )
4d

Q Q C? ? U Ed

?0S Q' C? ? 2dE 2d

?QE0 ? mg

切断电源, 1? ?r ?E ? E0 电量不变 2 1 ? ? r mg mg ?E ? ? E0 ? 2 Q Q

抽出电介质后,小球P受的合力为 (1 ? ? r )mg (? r ? 1)mg F ? QE ? mg ? ? mg ? 2 2
F (? r ? 1) g 小球的加速度为: a ? ? m 2

1 2 ? d ? at 2

?t ?

2d 4d ? a (? r ? 1) g

84

30. 一直流电源与一大平行板电容器相连,其中相对介 电常数为 εr 的固态介质的厚度恰为两极板间距的二分 之一,两极板都处于水平位置,假设此时图中带电小 球P恰好能处于静止状态。现将电容器中的固态介质 块抽去,稳定后试求带电小球P在竖直方向上运动的 加速度a的方向和大小. (十六-13) 解:P必为负电荷,其电量记为-q,质 量记为m, 将两极板间距记为2d. 开始时,介质外的场强记为 E1 ,有 1 εr ? 1 U ?r ? 1 U ? E1d ? E1d ? E1d ? ? E1 εr εr d ?r 抽去介质后,场强记为E2,有 E2 ? 2d ? U U ?r ? 1 E2 ? ? E1 ? E1 (场减弱 ) 85 2d 2? r

开始时P受力平衡,有 E1q ? mg 抽掉介质后,P受的合力向下,有

mg ? E2q ? ma

?r ?1 ? r ?1 ? r ?1 即:E1q ? E1q ? E1q ? mg ? ma 2? r 2? r 2? r
εr ? 1 g P的加速度向下,有 a ? 2ε r
86

31. 图中圆代表半径为2a的球面,虚线P1OP2与P3OP4代 表两条相互垂直的直径,在直径P1OP2上有两个固定的 点电荷Q与-Q,各自与球心O的距离均为a,设周围无其 它物体,今将点电荷q从P1点沿 P1 P3 P2 半圆移动到P2点, 电场力做功___,将q从P3点沿 P3 P2 P4 半圆移到P4点电场 力做功___.再请回答,球面上场强是否处处为零? 答:___,球面上场强是否处处不为零?答:____. (十五-8) 解: P1、P2、P3、P4各点的电势分别为
U P1 ? UP2 Q 4?? 0a ? Q 4??0 3a ? Q 6??0a

?Q Q ?Q ? ? ? 4?? 0a 4??0 3a 6??0a

87

UP3 ? UP4 ?

Q 4πε0 a 2 ? 4a 2

?

Q 4πε0 a 2 ? 4a 2

?0

将点电荷q从P1点沿 P1 P3 P2 半圆移到P2点,电场力作 qQ 的功为 q(U P 1 ? U P 2 ) ? 3??0a 将点电荷q从P3点沿 P3 P2 P4 半圆移到P4点,电场力作 的功为 q(U ? U ) ? 0
P3 P4

电场对P1P2轴呈旋转对称性,故将圆上各点的电 场绕P1P2轴旋转便是球面上的电场,因圆上各点的场 强皆不为零,故球面上各点的场强也必皆不为零,显 然,第三空的答案为“否”,第四空的答案为“是”。
88

32. 半径为r的金属球远离其他物体,通过理想细导线和 电阻为R的电阻器与大地连接。电子束从远处以速度v 射向金属球面,稳定后每秒钟落到球上的电子数为n, 不计电子的重力势能,试求金属球每秒钟自身释放的 热量Q和金属球上的电量q.(电子质量记为m,电子电 荷量绝对值记为e) (十五-16) 解:稳定后流经电阻R的电流为 I=ne R上的损耗功率为 P=I2R=n2e2R 单位时间n个电子带给金属球的动能为 Ek=nmv2/2 金属球自身释放的热量便为 Q=Ek-P=n(mv2/2-ne2R) 金属球的电势为 U= -IR= -neR U与球面电荷q的关系为 U=q/4??0r 89 即得 q = - 4??0rneR

讨论:仅当电子的动能能够克服球的斥力所作的功, 电子才会落到球上,这要求mv2/2≥-eU

即有 n≤mv2/2e2R
事实上从热量的表达式也可得到Q≥0的条件为上述不 等式,如果n>mv2/2e2R,球电势U的绝对值将增大, 球上电荷对外部电子的排斥将增大,落到球上的电 子数将会减少,直到n=mv2/2e2R为止。

90

33. 带电导体球O和无限大均匀带电平面如图放置,P为 导体球表面附近一点,若无限大带电平面的面电荷密度 为 σ1 ,P点附近导体球表面的面电荷密度为 σ 2,则P点 电场强度的大小等于 (十六-6 )

?2 解: E ? ?0

?1 ?2
P

O

91

34. 半径为R的半球面A的球心 O’位于O-z轴上距O点R处, 半球面横截面与O-xy面平行,坐标原点O处有一电量为q 的点电荷,则半球面A的电通量 . (十七-7) 解:

以 2 R为半径作一球面, 它被半径为R的半球面 截下一球帽,球帽的高 ( 2R ? R) 度为 ,球帽的 面积为:
S ? 2π 2R( 2R ? R) ? 2π(2 ? 2 )R2 S ? π( 2 ? 2 ) 球帽对点电荷q张的立体角为: Ω ? 2 ( 2 R) 已知点电荷q在 4 π立体角内的电通量为q / ? 0 ,故在球帽 上的电通量为: ? (球帽) ? q ? ? q (2 ? 2 ) e 92 ? 0 4? 4? 0

35. 近代量子量子理论认为,电子在核外的位置虽然 是不确定的,但在给定的量子态下,位置的概率分布 是确定的,据此,可以将氢原子基态的电子模型化为 电荷连续分布的球对称电子云,电荷密度为

qe ? 2?a0 q 为电子电量绝对值,按照这一模 e ??? 3e ?a0 型,在半径r=a 的球体内电子云
0

总电量为____,氢原子在距中心r=a0处的电场强度方向 __,其绝对值为___. 参考公式:
?a ? 2 2x 2 ? e 2 ?x x ? ? 2 ??c ? x e dx ? ? ? ? ? ? ?

(十八-5)
93

解:在半径r = a0的球内,电子云的总电量为

?

a0

0

qe ? 4?r dr ? ?4? 3 ?a0
2 2 r a0

?

a0

0

r 2 e dr
2 0

2r a0

4qe ?? 3 a0 4qe ?? 3 a0

?e ? 2 a ? r ? a0 r ? ? ? 2 ? ? 2 a0 ?

? ? ? ? ? c? ? ?0

a0

2 ? ? ? ? ? ? a0 0 ? a0 a a ? ? ?? ? 2 2 0 ?2 0 ? ? ? ? ? e ? a0 ? a0 ? ? ? c ? ? ? ? e ? ? c ? ? ? 2? ? ? 2 ? 2 ? ?? ? ? ?? 2 ? 3 3 ? 4qe ? 5a0 a ? 5 ? ?2 0 ?? 3 ? ? e ? ? ? qe ? 2 ? 1 ? ? ? a0 ? 4 4 ? ?e ?
94

氢原子核的电量为qe,半径为a0的球面包围的电

量与球面内的电子云的电量之和为正值,因此该球面
上的电场强度E的方向沿径向朝外。 将高斯定理应用于r=a0的球面上得

1 ? ? 5 ? ? 5qe 4? a E ? ? qe ? qe ? e 2 ? 1 ? ? ? ? ?0? ? ?? 0 5qe ?E ? 2 2 4? a0 ? 0 e
2 0

95

36. 在每边长为a的正六边形各顶点处有固定的点电荷, 它们的电量相间为Q或-Q。(1)试求因点电荷间静电作用 而使系统具有的电势能W, (2)若用外力将其中相邻的两 个点电荷一起(即始终保持它们的间距不变)缓慢的移 动到无穷远处,其余固定的点电荷位置不变,试求外力 做功量A。(十八-12)

解: 其他点电荷在Q处的电势为

图1

?Q Q ?Q Q 2 5 U? ? 2 ? ? ? ? ( ? ) 4??0a 4??0 3a 4??0 2a 4??0a 3 2 96

同理,其它点电荷在-Q处的电势为
U? ? 2 ? Q 4??0a ? ?Q

系统的电势能为:

4??0 3a

?

Q 4??0 2a

? ?U ?

(2)用功能原理知,外力做的功应等于系统电势能的 增量,系统的初态如图1所示;把图1中相邻的两个点 电荷移动到无穷远处,便是末态,系统的初电势能便 是上面的W,下面分析系统的末电势能。图2中2、3、 4号点电荷处的电势为
?Q Q ?Q Q 3 1 U1 ? ? ? ? (? ? ) 4??0 2a 4??0 3a 4??0a 4??0a 2 3
97

1 1 W ? ? QiU i ? [3QU ? ? 3( ?Q )U ? ] 2 2 3Q 2 2 5 ? 3QU ? ? ( ? ) 4? ?0 a 3 2

图2

1、4、3号点电荷在2号点电荷处的电势为
U2 ? Q 4??0 2a ? ?Q 4??0 3 1 ? ? ( ? ) 3a 4??0a 4??0a 2 3 Q Q

2、1、4号点电荷在3号点电荷处的电势为
?Q Q Q Q 1 U3 ? ? ? ? (?2 ? ) 4??0a 4??0 3a 4??0a 4??0a 3

1、2、3号点电荷在4号点电荷处的电势为
U4 ? Q 4??0a ? ?Q 4??0 1 ? ? (2 ? ) 3a 4??0a 4??0a 3 Q Q

图 2 98

图3 图2

图2中这四个点电荷的电势能为
1 Q2 7 2 W1 ? (QU1 ? QU2 ? QU3 ? QU4 ) ? (? ? ) 2 4??0a 2 3 ? Q2 图3中两个点电荷的电势能为 W2 ? 4? ?0 a

4 外力所做的功为 A ? (W1 ? W2 ) ? W ? (3 ? ) 4??0a 3 99

Q2

37. 电量为q的实验电荷在电量为Q的静止点电荷周围电 场中,沿半径R的四分之三圆轨道由A点移动到B点的 全过程中,电场力做功为_____,从B再移动到无穷远 处的全过程中,电场力做功为_____. (十九-7 ) 解:在q沿圆 形轨道从A点 移动到B点的 全过程中, q受的电力qE 始终与路径垂直,故电力做功为零。 在q从B点再移动到无穷远处的全过程中, q受的电力 qE始终与位移dr同向,故电力做功为: ? ? ? qQ qQ A ? ? qE ? dr ? ? qEdr ? ? dr ? 2 R R R 4?? r 4??0 R 100 0

38. 电荷Q 均匀地分布在半径为R的球面上,与球心O 相距R/2处有一静止的点电荷q,球心O处电势为___, 过O点的等势面面积为____. 解:球心O处的电势为 O q dQ q Q q Q ? 2q UO ? ? ? ? ? ? R 4 ?? 0 R 2 ?? 0 R 4 ?? 0 R 4 ?? 0 R O 4 ?? 0 2 Q在球面内不激发电场,故单对Q而言,球面内为等势 区,因此,球面内的等势面仅由q决定;而q的等势面 为以q为中心的球面族,故过O点的等势面面积为 R 2 S ? 4? ( ) ? ? R 2 2 101

Q

14. 某质子加速器使每个质子获得动能 E ? 2k eV,很细 的质子束射向一个远离加速器、半径为r的金属球,从 球心到质子束延长线的垂直距离为 d ? r 2 .假定质子与 金属球相碰后将其电荷全部交给金属球,经足够长时间 后,金属球的最高电势(无穷远处电势为零)为 (七-一-4) (A)2000V. (B)1500V. (C)1000V. (D)3000V.

102

解:金属球达到最高电势时,质子轨迹刚好与金属球 相切,质子所受力为有心力,它对球心O的角动量守 恒,即 mv0d ? mvr (1)
质子是在带电金属球的保守场中运动,它的能量守恒, 即 1 E ? eU ? mv 2 ( 2) 2
1 2 E ? mv0 2 ( 3)

由(1)、(2)、(3)式联立解得
d2 E 1 2keV U ? (1 ? 2 ) ? (1 ? ) ? 1500 V r e 4 e
103

15. 电动势均为 ? 的n个电池串联,从中抽出0、1、2、3、 (n-1)、n共(n+1)个抽头,现将一电容C的一端与0端 相接,另一端依次与1、2、 、n端相接,在此充电过程 中,电源所作的总功A和电容器中总的电能W分别为 A= .W= (八-二-6)

?

?

解:接过第k个抽头时,电容器 上电压为 k? ,电量为 Ck? .现接 第(k+1)个抽头再充电,电量变 为 C ( k ? 1)? ,新增电量 C ? . 这次充电电压是 (k ? 1)? ,充电过程中这第(k+1)个电池 作功 ( k ? 1)?C? ,将各次充电作的功相加,得电流所作 n ?1 1 2 的总功为 A ? ? ( k ? 1)C? ? n( n ? 1)C? 2 2 k ?0 1 2 2 最后电容器上电压为 n? ,故总能量为 W ? 2 Cn ? 104


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