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2012年高考试题分项解析数学(理科)专题10 圆锥曲线(教师版)


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2012 年高考试题分项解析数学(理科) 专题 10 圆锥曲线(教师版)
一、选择题: 1.(2012 年高考新课标全国卷理科 4)设 F1 F 2 是椭圆 E : 点, P 为直线 x ? (
( A)

x a

2 2

/>
?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦

3a 2

上一点, ? F 2 P F1 是底角为 30 ? 的等腰三角形,则 E 的离心率为


1 2
(B)

2 3

(C )

? ?

(D )

? ?

2.(2012 年高考新课标全国卷理科 8)等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上,C 与抛物 线 y ? 16 x 的准线交于 A , B 两点, A B ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
2


(D ) ?

( A)

2

(B)

2 2

(C ) ?

3. (2012 年高考福建卷理科 8)双曲线

x

2

?

y b

2 2

? 1 的右焦点与抛物线 y

2

? 12 x 的焦点重合,

4

则该双曲线的焦点到 其渐近线的距离等于( ) A. 5 B. 4 2 C.3 D.5

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4.(2012 年高考浙江卷理科 8)如图,F1,F2 分别是双曲线 C:

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a,b>0)的 左右

焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的 两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直 平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 A. C.
2 3 3

B. D.

6 2

2

3

5.(2012 年高考山东卷理科 10)已知椭圆 C:

的离心率为

,双曲线

x? =1 的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C -y? 的方程为

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6.(2012 年高考安徽卷理科 9)过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点, O 点
2

是原点,若 A F ? 3 ,则 ? A O B 的面积为(
2 2


3 2 2

( A)

(B)

2

(C )

(D ) 2 2

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7. (2012 年高考湖南卷理科 5)已知双曲线 C : 的渐近线上,则 C 的方程为 A.
x
2

x a

2 2

-

y b

2 2

=1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C

-

y

2

=1 B.

x

2

-

y

2

=1 C.

x

2

-

y

2

=1

D.

x

2

-

y

2

=1

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20

5
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5

20

80

20

20

80

【答案】A

【解析】设双曲线 C : 又? C 的渐近线为 y ? ?

x a

2 2

-

y b

2 2

=1 的半焦距为 c ,则 2 c ? 1 0, c ? 5 .
b a ?2 ,即 a ? 2 b .

b a

x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,? 1 ?

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又 c ? a ? b ,? a ? 2 5, b ?
2 2 2

5 ,? C 的方程为

x

2

-

y

2

=1.

20

5

【考点定位】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的 思想和基本运算能力,是近年来常考题型. 8. (2012 年高考四川卷理科 8)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O , 并且经 过点 M ( 2, y 0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | O M |? ( A、 2 2 B、 2 3 C、 4 ) D、 2 5

9.(2012 年高考全国卷理科 3)椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x ? ? 4 ,则该椭 圆的方程为
x
2

A.

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

16

12

16

8

8

4

12

4

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10.(2012 年高考全国卷理科 8)已知 F1 , F 2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左右焦点,点 P 在 C
2 2

上, | P F1 |? 2 | P F 2 | ,则 cos ? F1 P F2 ? A.
1 4

B.

3 5

C.

3 4

D.

4 5

二、填空题: 1. (2012 年高考江苏卷 8)在平面直角坐标系 xO y 中,若双曲线 为 5 ,则 m 的值为 .
x
2

?

y
2

2

m

m ?4

? 1 的离心率

2.(2012 年高考北京卷理科 12)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F.且与 该撇物线相交于 A、B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60?.则△OAF 的面 积为 .

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3.(2012 年高考辽宁卷理科 15)已知 P,Q 为抛物线 x ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别
2

为 4, ? 2,过 P、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________。

4.(2012 年高考浙江卷理科 16)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:y=x 的距离等于 C2:x 2+(y+4) 2 =2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a=______________.

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2 2 2 2

5. (2012 年高考湖北卷理科 14)如图,双曲线

x a

?

y b

? 1 (a, b ? 0)

的两顶点为 A1 ,A2,虚轴

两端点为 B1,B2,两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别 为 A,B,C,D.则 (Ⅰ)双曲线的离心率 e=______; (Ⅱ)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值
S1 S2 ?

_________.

6. (2012 年高考江西卷理科 13)椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、

右焦点分别是 F1, 2。 F 若|AF1|, 1F2|, 1B|成等比数列, |F |F 则此椭圆的离心率为_______________. 【答案】
5
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5

【解析】利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知: A F1 ? a ? c , F1 F 2 ? 2 c ,
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F1 B ? a ? c . 又 已 知 A F1 , F1 F 2 , F1 B 成 等 比 数 列 , 故 ( a ? c )( a ? c ) ? ( 2 c ) , 即
2

a ? c ? 4 c ,则 a ? 5 c .故 e ?
2 2 2 2 2

c a

?

5 5

.即椭圆的离心率为

5 5

.

【考点定位】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函 数与方程,转化与化归思想.求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 a , c 的方程, 然后化为有关 a , c 的齐次式方程, 进而转化为只含有离心率 e 的方程, 从而求解方程即可. 体 现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴,短轴长及其标准方程的求解 等.

8. (2012 年高考四川卷理科 15)椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于

4

3

点 A 、 B ,当 ? F A B 的周长最大时, ? F A B 的面积是____________。

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9.(2012 年高考重庆卷理科 14)过抛物线 y ? 2 x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A , B 两点,若
2

AB ?

25 12

, AF ? BF , 则 AF =



三、解答题: 1. (2012 年高考广东卷理科 20)(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率 e=

2 3

,且椭圆

C 上的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是 否存在点 M(m,n)使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交于不 同的两点 A、B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△OAB 的面 积;若不存在,请说明理由。

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2. (2012 年高考江苏卷 19) (本小题满分 16 分) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别为 F1 ( ? c ,0) ,

? 3? F2 ( c ,0 ) .已知 (1 ,e ) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其 ? 2 ? ? ?

中 e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的离心率;
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(2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 A F1 与直线 B F 2 平行, A F2 与 B F1 交于点 P. (i)若 A F1 ? B F 2 ?
6 2

,求直线 A F1 的斜率;

(ii)求证: P F1 ? P F2 是定值.

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3.(2012 年高考北京卷理科 19)(本小题共 14 分) 已知曲线 C : ? 5 ? m ? x ? ? m ? 2 ? y ? 8 ? m ? R ? .
2 2

(1)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m ? 4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A , B (点 A 位于点 B 的上方),直线 y ? kx ? 4 与 曲线 C 交于不同的两点 M , N ,直线 y ? 1 与直线 B M 交于点 G ,求证: A ,G , N 三点共线.

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4. (2012年高考湖北卷理科21)(本小题满分13分) 设A是单位圆x +y =1上的任意一点, i是过点A与x轴垂直的直 线, D是直线i与x轴的交点, 点M在直线l上,且满足丨DM丨=m丨DA丨(m>0,且m≠1)。当点A在圆上运动时,记点M的轨迹 为曲线C。 (I)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求焦点坐标; ( Ⅱ)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的 射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存 在,求m的值;若不存在,请说明理由。
2 2

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5. (2012 年高考福建卷理科 19)(本小题满分 13 分) 如图,椭圆 E :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左

焦点为 F1 , 右焦点为 F 2 , 离心率 e ?

1 2

。 F1 过

的直线交椭圆于 A, B 两点,且 ? ABF 2 的周长 为 8。 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程。 (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交 于点 Q 。试探究: 在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求
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出点 M 的坐标;若不存在,说明理由。

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6.(2012 年高考上海卷理科 21)(6+8=14 分)海事救援船对一艘失 事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴正 方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度),则救援船恰好 在失事船正南方向 12 海里 A 处,如图.现假设:①失事船的移动 路 径可视为抛物线 y ?
12 49

②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救 x ;

2

援;③救援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7 t . (1)当 t ? 0 . 5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标.若此时两船恰好会合,求 救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

7. (2012 年高考上海卷理科 22) (4+6+6=16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知双曲线 C 1 :
2x ? y
2 2

?1.

(1)过 C 1 的左顶点引 C 1 的一条渐进线的平行线,求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的 三角形的面积; (2) 设斜率为 1 的直线 l 交 C 1 于 P 、 两点, l 与圆 x ? y ? 1 相切, 若 求证: Q OP ? OQ ;
2 2 2 2 (3)设椭圆 C 2 : 4 x ? y ? 1 ,若 M 、 N 分别是 C 1 、 C 2 上的动点,且 OM ? ON ,

求证: O 到直线 MN 的距离是定值.

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8.(2012 年高考浙江卷理科 21) (本小题满分 15 分)如图,椭 圆 C:
x a
2 2

+

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的离心率为

1 2

,其左焦点到点

P(2,1)的距离为

10

.不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于

A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.

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9.(2012 年高考山东卷理科 21)(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xO y 中,F 是抛物线 C : x 2 ? 2 p y ( p ? 0) 的焦点,M 是抛物线 C 上 位于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准
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线 的距离为 3 .
4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M ,使得直线 M Q 与抛物线 C 相切于点 M ? 若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l : y ? kx ? 1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A , B ,l 与
4

圆 Q 有两个不同的交点 D , E ,求当 1 ? k ? 2 时, | A B | 2 ? | D E | 2 的最小值.
2

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10.(2012 年高考辽宁卷理科 20) (本小题满分 12 分) 如图,椭圆 C 0 :
2 2 2

x a

2 2

+

y b

2 2

=1 ? a > b > 0 ,a,b 为 常 数 ? ,动圆

C C 1 : x + y = t1 , b < t1 < a.点 A1 , A 2 分别为 C 0 的左、 右顶点, 1

与 C 0 相交于 A , B , C , D 四点 (1)求直线 A A1 与直线 A 2 B 交点 M 的轨迹方程; (2)设动圆 C 2 : x + y = t 2 与 C 0 相交于 A ', B ',C ',D '四点,其中 b < t 2 < a , t1 ? t 2 .若矩形
2 2 2

A B C D 与矩形 A 'B 'C 'D ' 的面积相等,证明: t1 + t 2 为定值

2

2

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11.(2012 年高考新课标全国卷理科 20)(本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心,
2

F A 为半径的圆 F 交 l 于 B , D 两点;
0 (1)若 ? BFD ? 90 , ? ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;

(2)若 A , B , F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m , n 距离的比值.

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12.(2012 年高考天津卷理科 19)(本小题满分 14 分)设椭圆 顶点分别为 A , B ,点 P 在椭圆上且异于
A , B 两点, O 为坐标原点.

x a

2 2

+

y b

2 2

=1 ( a > b > 0 ) 的左、右

(Ⅰ)若直线 A P 与 B P 的斜率之积为 ?

1 2

,求椭圆的离心率;

(Ⅱ)若 | A P |= | O A | ,证明:直线 O P 的斜率 k 满足 | k |> 3 .

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13. (2012 年高考江西卷理科 20) (本题满分 13 分) 已 知 三 点 O ( 0,0 ) , A ( -2,1 ) , B ( 2,1 ) , 曲 线 C 上 任 意 一 点 M ( x , y ) 满 足
? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? M A ? M B ? O M ?( O A O )B ? 2 . ?

(1) 求曲线 C 的方程; (2)动点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切 线为 l 向:是否存 在定点 P(0,t) (t<0),使得 l 与 PA,PB 都不相交,交点分别为 D,E,且△ QAB 与△ PDE 的面积之比是常数?若存在,求 t 的值。若不存在,说明理由。

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14.(2012 年高考安徽卷理科 20)(本小题满分 13 分)

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如 图
x a
2 2

, F1 ( ? c , 0 ), F 2 ( c , 0 ) 分 别 是 椭 圆
y b
2 2

C :

?

? 1( a ? b ? 0 )

的左,右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆的上半 部分于点 P , 过点 F2 作直线 P F 2 的垂线交直线 x ?
a
2

于点 Q ;

c

(I)若点 Q 的坐标为 ( 4, 4 ) ;求椭圆 C 的方程; (II)证明:直线 P Q 与椭圆 C 只有一个交点。

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15. (2012 年高考四川卷理科 21) (本小题满分 12 分) 如图,动点 M 到两定点 A ( ? 1, 0) 、
B ( 2, 0 ) 构成 ? M A B ,且 ? M B A ? 2 ? M A B ,设动点 M 的

轨迹为 C 。 (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ? 2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交 于点 Q 、 R ,且 | P Q |? | P R | ,求
| PR | | PQ |

的取值范围.

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16. (2012 年高考四川卷理科 22) (本小题满分 14 分)
n 已知 a 为正实数, 为自然数, 抛物线 y ? ? x ?
2

a

n

与 x 轴正半轴相交于点 A , f ( n ) 设

2

为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n ) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有
f (n) ? 1 f (n) ? 1
n

?

n
3

3

n ?1
1

成立的 a 的最小值;
2 7 f (1) ? f ( n ) ? 的大小,并说明理由. 4 f (0 ) ? f (1)

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较 ?

k ?1

f (k ) ? f (2k )



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17. (2012 年高考湖南卷理科 21)(本小题满分 13 分)

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在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2:(x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上任意一点 M, M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交 于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积 为定值.

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18. (2012 年高考陕西卷理科 19) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 1 :
x
2

4

? y ? 1 ,椭圆 C 2 以 C 1 的长轴为短轴,且与 C 1 有相同的离心率.
2

(1)求椭圆 C 2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C 1 和 C 2 上, O B ? 2 O A ,求直线 A B 的方程.
??? ? ??? ?

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19.(2012 年高考全国卷理科 21)(本小题满分 12 分)(注意:在试卷上作答无效) ........
2 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1) 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ?
2

1 2

) ? r ( r ? 0 ) 有一个公共点 A ,且在
2 2

A 处两曲线的切线为同一直线 l 。

(1)求 r ; (2)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的 距离。

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20. (2012 年高考重庆卷理科 20)(本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 5 分(Ⅱ)小问 7 分) 如图,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A ,左右焦点分别为 F1 , F 2 ,线段
O F1 , O F 2 的 中 点 分 别 为 B1 , B 2 , 且 △
AB 1 B 2

是面积为 4 的直角三角形。

(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 B1 做直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB 2 ? QB 2 ,求直线 l 的方程.

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