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高中数学必修2第一章测试(含答案)


第一章测试
(时间:120 分钟 总分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.下列说法不正确的是( )

A.圆柱的侧面展开图是一个矩形 B.圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C.平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面 D.直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 答案:D 2.直径为 10 cm 的一个大金属球,熔化后铸成若干个直径为 2 cm 的小球,如果不计损 耗,可铸成这样的小球的个数为( A.5 C.25 ) B.15 D.125

4 4 解析:设可铸 n 个小球,依体积相等,得 π×53=n× π×13,∴n=125. 3 3 答案:D 3.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括( A.一个圆台,两个圆锥 C.两个圆台,一个圆柱 答案:D 4.如图,空间几何体的三视图正确的是( ) B.两个圆台,一个圆锥 D.一个圆柱,两个圆锥 )

答案:C 5.如图,梯形 A1B1C1D1 是一平面图形 ABCD 的直观图(斜二测),若 A1D1∥O1y1, 2 A1B1∥C1D1,A1B1= C1D1=2,A1D1=1,则梯形 ABCD 的面积是( 3 )

A.10 C.5 2

B.5 D.10 2

解析:由直观图知,梯形 ABCD 是一个直角梯形,且 AB=A1B1=2,CD=C1D1=3,AD 2+3 ×2=5. =2A1D1=2,∴梯形 ABCD 的面积为 2 答案:B 6.(2010·山东烟台高三一模)如图,下列四个几何体中,它们的三视图(正视图、侧视图、 俯视图)有且仅有两个相同的是( )

A.(1)(2) C.(2)(3) 答案:C

B.(1)(3) D.(1)(4)

7.向高为 H 的容器中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系如图所示, 那么容器的形状应该是下图中的( )

解析:由函数曲线知,水的体积随水深 h 的增大,体积增长的越来越快. 答案:D 8.一个直角三角形直角边分别为 3 与 4,以其直角边为旋转轴,旋转而成的圆锥的侧 面积为( A.15π C.12π 答案:D 9.(2008·山东高考)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面 积是( ) ) B.20π D.15π 或 20π

A.9π C.11π

B.10π D.12π

解析:该几何体的上部是一个球,其表面积是 4π×12=4π;下部是一个圆柱,其表面 积是 2π×1×3+2π×12=8π,则该几何体的表面积是 4π+8π=12π. 答案:D 10.在棱长为 1 的正方体上,分别用过公共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截 去 8 个三棱锥后,剩下的几何体的体积是( 2 A. 3 4 C. 5 7 B. 6 5 D. 6 )

1 1 1 1 1 1 1 5 解析:每一个小三棱锥的体积为 × × × × = .因此,所求的体积为 1-8× = . 3 2 2 2 2 48 48 6 答案:D 11.两个球的表面积之差为 48π,它们的大圆周长之和为 12π,这两个球的半径之差为 ( ) A.4 C.2 B.3 D.1

解析:设两个球的半径分别为 R、r,且 R>r,依题意得
?4πR2-4πr2=48π ?R2-r2=12, ? ? ? ?? ∴R-r=2. ? ? ?2πR+2πr=12π ?R+r=6,

答案:C 12.(2009·山东高考)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.2π+2 3 2 3 C.2π+ 3

B.4π+2 3 2 3 D.4π+ 3

解析: 由几何体的三视图可知, 该几何体是由一个底面直径和高都是 2 的圆柱和一个底 面边长为 2,侧棱长为 2 的正四棱锥叠放而成. 1 2 3 故该几何体的体积为 V=π·12·2+ ·( 2)2· 3=2π+ ,故选 C. 3 3 答案:C 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分.把答案填在题中横线上) 13.如下图是一个正方体盒子的平面展开图,在其中的两个正方形内标有数字 1、2、3 和-3, ,要在其余正方形内分别填上-1、-2,使得按虚线折成正方体后,相对面上的两数 互为相反数,则 A 处应填________.

解析:将其平面展开图沿虚线还原成正方体,由下图,可看出 A 与 2 是相对面上的两 数,故 A 处应填-2.

答案:-2 14. 过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面, 它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之 比为________. 解析:从上到下三个圆锥的高之比为 1:2:3,∴侧面积之比为 1:4:9,∴三部分面积之比 为 1:3:5. 答案:1:3:5 15.用相同的单位正方体搭一个几何体(如下图),其正视图(从正面看到的图形)、俯视 图(从上面看到的图形)和左视图(从左面看到的图形)分别如下:

则该几何体的体积为________. 解析:由几何体的三视图知,该几何体由 6 个单位正方体构成. 答案:6 16.已知一个圆台的下底面半径为 r,高为 h,当圆台的上底半径 r′变化时,圆台体积 的变化范围是________. 解析:当 r′→0 时,圆台趋近于圆锥.而 V
圆锥

1 = πr2h,当 r′→r 时,圆台趋近于圆 3

1 2 2 柱,而圆柱 V 圆柱=πr2h.因此,当 r′变化时,圆台的体积的变化范围是?3πr h,πr h?. ? ? 1 2 2 答案:?3πr h,πr h? ? ? 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(10 分)如下图所示,在边长为 4 的正三角形 ABC 中,E、F 依次是 AB、AC 的中点, AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D、H、G 为垂足,若将△ABC 绕 AD 旋转 180°,求阴影部 分形成的几何体的表面积.

解:几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的, ∵S 锥表=πR2+πRl=4π+8π=12π, S 柱侧=2πrl=2π·DG·FG=2 3π, ∴所求几何体的表面积为 S=S 锥表+S 柱侧=12π+2 3π=2(6+ 3)π. 18.(12 分)一个正三棱柱的三视图如下图所示,求这个正三棱柱的表面积.

解: 由三视图知正三棱柱的高为 2 mm, 由侧视图知正三棱柱的底面正三角形的高为 2 3 mm.设底面边长为 a,由三角形的面积相等得 ∴a=4. ∴正三棱柱的表面积 S=S 侧+2S 底 1 =3×4×2+2× ×4×2 3=8(3+ 3)(mm)2. 2 19.(12 分)已知圆台的上底面半径为 r,下底面半径为 R,母线长为 l,试证明圆台的侧 面积公式为:S 圆台侧面积=π(r+R)l,表面积公式为 S=π(R2+r2+Rl+rl). 证明:把圆台还原成圆锥,并作出轴截面,如下图: 3 a=2 3, 2

设 AB=x,BC=l,∵△ABF∽△ACG. r x rl ∴ = ,∴x= . R x+l R-r ∴S 圆台侧=S 扇形 ACD-S 扇形 ABE

1 1 = ·2πR(x+l)- ·2πr·x 2 2 rl =πRl+π(R-r)· R-r =π(R+r)l ∴S 圆台表面积=π(R+r)l+πR2+πr2 =π(Rl+rl+R2+r2). 20.(12 分)侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱.已知底面是菱形的直棱柱,它的体对角线分 别为 9 和 15,高是 5,求这个棱柱的侧面积. 解:设底面两条对角线的长分别为 a,b,则有 a2+52=92,b2+52=152,∴a= 56,b =10 2. ∴菱形的边长 x=

?a?2+?b?2=8. ?2? ?2?

∴S 侧=4x×5=4×8×5=160. 21.(12 分)如图,BD 是正方形 ABCD 的对角线,B D 的圆心是 A,半径为 AB,正方形 ABCD 以 AB 为轴旋转一周,求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比.

解: 把题图中Ⅰ、 Ⅲ部分分别绕直线 AB 旋转所得旋转体体积分别记为 VⅠ、 Ⅱ、 Ⅲ, Ⅱ、 V V 并设正方形的边长为 a.因此, 1 π 14 π VⅠ= πa2·a= a3,VⅡ= · πa3-VⅠ= a3, 3 3 23 3 π VⅢ=πa2·a-VⅠ-VⅡ= a3, 3 ∴VⅠ:VⅡ:VⅢ=1:1:1. 22.(12 分)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m).

(1)试画出它的直观图;

(2)求它的表面积和体积. 解:(1)直观图如图所示.

(2)由三视图可知该几何体是长方体被截取一个角,且该几何体的体积是以 A1A、A1D1、 3 A1B1 为棱的长方体的体积的 . 4 在直角梯形 AA1B1B 中,作 BE⊥A1B1,则 AA1EB 是正方形, ∴AA1=BE=1. 在 Rt△BEB1 中,BE=1,EB1=1,∴BB1= 2. ∴几何体的表面积 S=S 正方形 AD1+2S 梯形 AA1B1B+S 矩形 BB1C1C+S 矩形 A1B1C1D1 1 =1+2× (1+2)×1+1× 2+1+1×2 2 =7+ 2(m2). 3 3 ∴几何体的体积 V1= ×1×2×1= (m3). 4 2 3 ∴该几何体的表面积为(7+ 2) m2,体积为 m3. 2
正方形 ABCD

+S



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