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浙江省宁波市2015届高三数学下学期第二次模拟考试试题理(含解析)(新)


宁波市 2015 年高考模拟考试数学(理科)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求。 1、下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 ( )

A. y ? x ?1
【答案】D

B.

y ? ( ) x

1 2

C. y ? x ? 1

x

D. y ? ln ? x ?1?

考点:基本初等函数的单调性. 2、设 a ? R ,则“ a ? ? 3 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y- 1 ? 0 与直线 l2 : x ? a ? a ?1? y ? 4 ? 0 垂

2

直”的(



A.充分不必要条件
分也不必要条件 【答案】A 【解析】

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充

试题分析:若直线 l1 : ax ? 2 y- 1 ? 0 与直线 l2 : x ? a ? a ?1? y ? 4 ? 0 垂直,所以

a ? 2a(a ? 1) ? 0 ,得 a ? 0 或 a ? ? 3 ,所以“ a ? ? 3 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y- 1 ? 0 与直线 2 2

l2 : x ? a ? a ?1? y ? 4 ? 0 垂直”的充分不必要条件.
考点:充分必要条件的判断.

3、将一个长方体截掉一个小长方体,所得几何体的俯视图与侧视图如右图所示,则该几何体 的正视图为( )

-1-

A.
【答案】C 【解析】

B.

C.

D.

试题分析:根据俯视图和侧视图可知,该集合的直观图如下图所示:

据此可知该几何体的正视图为选项 C. 考点:空间几何体的三视图. 4、设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,下列命题正确的是 ( )

A. m ? ?,n ? ?,且? ? ?, 则m ? n C. m ? ?,n ? ?,m ? n ,则 ? ? ?

B. m / /?,n / / ?,且 ? / / ? ,则 m / / n D. m ? ?,n ? ?,m / / ?,n / / ? , 则

? / /?
【答案】A 【解析】 试题分析:选项 B 中,m 与 n 还可能异面,或相交,故不正确;选项 C 中,α 与 β 还可能平 行或相交,故不正确;选项 D 中,α 与 β 还可能相交,故不正确;据此选项 A 正确. 考点:线线、线面、面面的垂直、平行关系的判断. 5、 已知 F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点,A,B 是抛物线上的两点,AF ? BF ? 12 , 则线段 AB
2

-2-

的中点到 y 轴的距离为(

) 5

A. 4
【答案】B 【解析】

B.

C.

6

D. 11

试题分析:∵ AF ? BF ? xA ? xB ? 2 ? 12 ,∴ xA ? xB ? 10 ,∴ 的中点到 y 轴的距离为 5 ,故选 B. 考点:直线与抛物线的位置关系.

x A ? xB ? 5 ,∴线段 AB 2

6、将函数 f ? x ? ? 2sin 2 x ? ? 的图象向右平移 ? ?? ? 0? 个单位,再将图象上每一点的横

?

4

?

坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标不变) ,所得图象关于直线 x ? ? 对称,则 ? 的最小值为

2

4





A. 1 ?

8

B. 1 ?

2

C. 3 ?

4

D. 3 ?

8

【答案】D

考点:函数 y ? Asin ??x ? ? ? 的图象变换. 7、在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 是半圆 x ? 4 x ? y ? 0(2 ? x ? 4) 上的一个动点,点
2 2

C


在 线 段 )

OA

的 延 长 线 上 , 当 OA ? OC = 20

??? ? ??? ?

时 , 点

C 的 轨 迹 为

A. 椭圆一部分
【答案】C 【解析】

B.抛物线一段

C. 线段

D. 圆弧

试题分析:作出半圆 x ? 4x ? y ? 0 ? 2 ? x ? 4? 的图形,如下图,
2 2

-3-

设点 C ? a,b ? , 由于点 C 在线段 OA 的延长线上, 所以 OA 与 OC 的方向相同, 故 OC ? ?OA ,

??? ?

????

??? ?

??? ?

???? ??? ? ? ?OC ? OA ? 2a ? 2b ? 20 且 ? ? 0 ,当点 A 在点 M ? 2, ,解得 b ? 5 .当点 A 在点 2? 时, ? ? ?a ? b ???? ??? ? ? ?OC ? OA ? 2a ? ? ?2b ? ? 20 ,解得 b ? ?5 .综上可得,则点 C 的纵坐标的取 N ? 2, ? 2? 时, ? a ? ? b ? ?
5] ,故点 C 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为 A?5,5? , B ?5, ?5? . 值范围是 [?5,
考点:轨迹方程. 8、已知点(x,y)的坐标满足条件 ? x ? 2 y ? 6 ? 0 ,且 x,y 均为正整数。若 4x-y 取到最大

? ?3x ? y ? a ? 0

? ?2 x ? 2 y ? 9 ? 0


值 8,则整数 a 的最大值为(

A. 4
【答案】B 【解析】

B.

5

C.

6

D. 7

试题分析:解:由约束条件 ? x ? 2 y ? 6 ? 0 作出可行域,如图,

? ?3x ? y ? a ? 0

? ?2 x ? 2 y ? 9 ? 0

-4-

2a ? 9 ? x? ? ?3x ? y ? a ? 0 2 7 ? ? 2a ?9 2 a ? 4 联立 ? , 得? , 即C? , 4 ? 4 ?2 x ? 2 y ? 9 ? 0 ? y ? 2a ? 27 ? ? 4
不是整解,∴ 4 ?

? ? 2a ? 9 2a ? 27 ? ∵C ? , ? , ? 4 ? ? ? 4

2a ? 9 2a ? 27 23 ? 17 35 ? ? ? 8 ,解得: a ? ,当 a ? 4 时, C ? , ? ,此时 4 4 6 ? 4 4?

可行域内无整解,使得目标函数 z ? 4 x ? y 取到最大值 8 ,当 a ? 5 时, C ?

? 19 37 ? , ? ,此时可 ?4 4 ?

行域内有整解 ? 4, 8? ,使得目标函数 z ? 4 x ? y 取到最大值 8 .∴整数 a 的最大值为 5 .故选:

B.
考点:简单线性规划.

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 7 小题。前 4 题每空 3 分,后 3 题每空 4 分,共 36 分. 9、已知集合 A ? {x | ( x-2) ? x ? 5? ? 0} ,B ? {x | x2-2x-3 ? 0} ,全集 U ? R ,则 A ? B = ▲ , A ? (CU B) = ▲ 【答案】 {x | ?5 ? x ? ?1}, {x | ?5 ? x ? 3} 【解析】

-5-

试题分析:

A ? {x | ( x-2) ? x ? 5? ? 0} ? {x | ?5 ? x ? 2},B ? {x | x2-2x-3 ? 0} ? {x | x ? 3或x ? ?1}
, 所以 CU B ? {x | ?1 ? x ? 3} , 所以 A ? B ? {x | ?5 ? x ? ?1} ,A ? (CU B) ? {x | ?5 ? x ? 3} 考点:集合的交集、并集、补集运算. 10、已知 tan( ? ? ? ) ? 3 ,则 tan ? 的值是 ▲__, cos 2? 的值是 ▲__

4 1 3 【答案】 , 2 5
【解析】

试题分析: tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? ? 3 ,解得 tan ? ?

4

1 ? tan ?

1 1 ? tan 2 ? 3 ? . ;所以 cos 2? ? 2 1 ? tan 2 ? 5

考点:1.同角的基本关系;2.两角和差公式. 11、已知 f ? x ? ? ?3 x ? 4 x, 0 ? x ? 1, 则 f ? 3? ? ▲ ;若关于 x 的方程 f(x)=ax+1 恰有三
2

?

f ( x ? 1) ? 1, x ? 1.

个不同的解,则实数 a 的取值范围为▲ 【答案】 【解析】 试题分析: f ?3? ? f (2) ?1 ? f (1) ? 2 ? f (0) ? 3 ? 3 ;当 1 ? x ? 2 时, 0 ? x ? 1 ? 1 ,此时

f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 1 ? ?3 ? x ? 1? ? 4 ? x ? 1? ? 1 ? ?3 x 2 ? 10 x ? 6 ,
2

当 2 ? x ? 3 时, 1 ? x ? 1 ? 2 ,则

f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 1 ? ?3 ? x ? 1? ? 10 ? x ? 1? ? 6 ? 1 ? ?3x 2 ? 16 x ? 18 ,
2

作出函数 f ? x ? 的图象如图:

-6-

若于 x 的方程 f ? x ? ? ax ? 1 恰有三个不同的解, 则等价为函数 f ? x ? 与 y ? ax ? 1 恰有三个不 同的交点, 直线 y ? ax ? 1 过定点 D ? 0, 1? , 当直线过点 A ? 2, 2? 时,此时 2 ? 2a ? 1 ,解得 a ? 直线和 f ? x ? 有 4 个交点;当直线经过点 B ? 3, 3? 时,即 3 ? 3a ? 1 ,解得 a ?

1 ,此时 2

2 ,当直线 3

y ? ax ? 1 与 f ? x ? ? ?3x2 ? 4x 相切时,即 ?3x2 ? 4 x ? ax ? 1 ,由判别式
? ? ? a ? 4 ? ? 12 ? 0 ,解得 a ? 4 ? 2 3 (舍去)或 a ? 4 ? 2 3 ,此时直线和 f ? x ? 有 4
2

个交点;当直线过点 C ?11 , ? 时,此时 a ? 0 ,如图直线和 f ? x ? 有 2 个交点,综上要使两个函 数的图象恰有三个不同的交点, 则直线满足在 DC 和 DA 之间, 或在切线和 DB 之间, 即0 ? a ? 或4?2 3 ? a ?

1 , 2

2 2? ? 1? ? .即 ? 0, ? ? ? 4 ? 2 3, ? . 3 3? ? 2? ?

考点:分段函数的应用. 12、 设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 1 ,a2 ? 3,Sk ?2 ? Sk-2Sk ?1 ? 2 对任意正整数 k 成立, 则 an = ▲ ,

Sn ? ▲ .
【答案】 an ? 2n ?1, Sn ? n 【解析】 试题分析:? Sk ?2 ? Sk-2Sk ?1 ? 2 ? Sk ?2 ? Sk ?1 ? Sk-Sk ?1 ? 2 ? ak ?2 ? ak ?1 ? 2 ,所以数列
2

-7-

?an ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,所以
an ? 1 ? 2 ? n ? 1? ? 2n ? 1, Sn ? n ? n ? n ? 1? ? 2 ? n2 . 2

考点:1.数列的通项公式;2.等差数列的前 n 项和. 13、设 P 为双曲线

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 在第一象限的一个动点,过点 P 向两条渐近线作 a 2 b2

垂线,垂足分别为 A,B ,若 A,B 始终在第一或第二象限内,则该双曲线离心率 e 的取值范 围为 ▲ 。 【答案】 (1 ,2] 【解析】 试题分析:此题的渐近线斜率为 y ? ?

b b x ,若垂足始终在第一或第二象限,则斜率为 的这 a a
a b b2 ? 1 ,得 0 ? ? 1 ,所以离心率 e ? 1 ? 2 ,得 b a a

条渐进线,倾斜角应大于等 45°.即

e ? (1 ,2]
考点:双曲线的离心率. 14、已知 a ? b , c ? a ? 2b ,若 | c |? 10 ,则 c 与 a ? b 夹角的余弦值的最小值等于 ▲

?

?

?

?

?

?

?

? ?

【答案】 【解析】

2 2 3

试题分析:设 c 与 a ? b 夹角 ? ,? a ? b,| c |? 10 ? a ? 4b ? 10 ,

?

? ?

?

? ?

?2

?2

? ? ? ?2 ?2 c? a ?b a 2 ? 2b 10 ? 2b cos ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2 ? ? 2 ,将该式变成: c ? a?b 10 ? a ? b 10 ? 10 ? 3b ?4 ? ?2 2 4b ? ? 30 cos 2 ? ? 40 ? b ? 100 ? 100 cos 2 ? ? 0 ;将该式看成关于 b 的一元二次方程,该方

?

?

程有解; ∴ ? ? 30 cos ? ? 40
2

?

?

2

? 16 ?100 ? 100 cos 2 ? ? ? 0 ;解得 cos ? ?

2 2 2 2 ,或 cos ? ? ? 3 3

(舍去) ;

-8-

∴ c 与 a ? b 夹角的余弦值的最小值为 考点:平面向量的数量积.

?

? ?

2 2 . 3

15 、 若 对 任 意 ? ? R , 直 线 l : x cos ? ? y sin ? ? 2sin

?4 ?? ? ? 6?

与 圆

C:

?

? x

?m? ?
2

? y 3

?

2

均无公共点,则实数 m ?1 m 的取值范围是 ▲

【答案】 ? 【解析】

1 5 ?m? 2 2

?? ? | m cos ? ? 3m sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 4 | 6? ? 试题分析:由题意,圆心到直线的距离 d ? ?1, 2 2 cos ? ? sin ?
所以 | ? 2m ? 2 ? sin ? ? ?

? ?

??

?? ? ? ? 4 |? 1 ? ? 2m ? 2 ? sin ? ? ? ? ? 4 ? 1 或 6? 6? ?

? 2m ? 2? sin ? ?? ?
?
所以 ?

??

? ? 4 ? ?1 , 6?

1 5 ?m? . 2 2

考点:1.直线与圆的位置关系; 2.三角函数的性质. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16、 (本题满分 15 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c , tan (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)已知 ?ABC 不是 钝角三角形,且 c ? 2 3 , sin C ? sin(B ? A) ? 2 sin 2 A, 求 ?ABC 的 .. 面积. 【答案】 (Ⅰ) C ? 【解析】 试 题 分 析 : 由 tan

A? B C 4 3 ? tan ? . 2 2 3

?
3

或C ?

2? ;(Ⅱ) 2 3 . 3

A? B C 4 3 ? tan ? ,利用同角基本关系和三角函数诱导公式可得 2 2 3

-9-

cos

C C sin 3 2 ? 2 ? 4 3 ,化简可得 sin C? C C 2 3 sin cos 2 2

,即可求出结果.(Ⅱ)由题意得

A cos A, 分 cos A ? 0 和 cos A ? 0 两 sin C ? sin(B ? A) ? 2 sin 2 A, 可 得 sinB cosA ? 2 sin
种情况讨论,然后再利用三角函数的面积公式即可取出结果. 试题解析:

C C cos sin A? B C 4 3 2 ? 2 ?4 3 解: (Ⅰ)由 tan ,得 ? tan ? C C 2 2 3 3 sin cos 2 2
? sin 1 C C cos 2 2 ? 4 3 3

? sin C ?

3 2

又 C ? ? 0, ? ? ? C ?

?
3

或C ?

2? . 3

(Ⅱ)由题意得 sin ? B ? A? ? sin ? B ? A? ? 4sin A cos A 即 sin B cos A ? 2sin A cos A 当 cos A ? 0 时, A ?

?
2

,C ?

?
3

,B ?

?
6

c ? 2 3b ? 2, S?ABC ? 2 3
当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ? 由正弦定理得 b ? 2a 由题意, C ?

?
2

?
3

,所以 c ? a ? b ? ab ? 3a ,
2 2 2 2

解得 a ? 2, b ? 4 ,所以 B ?

?
2

, S?ABC ? 2 3

综上, ?ABC 的面积为 2 3 . 考点:1.同角的基本关系、诱导公式;2.正弦定理. 17、 (本题满分 15 分) 如图,正四棱锥 S-ABCD 中, SA ? AB , E,F,G 分别为 BC,SC,CD 的中点,设 P 为 线段 FG 上任意一点。
- 10 -

(Ⅰ)求证: PE ? AC ; (Ⅱ)当直线 CP 与平面 EFG 所成的角取得最大值时,求二面角 P-BD-S 的平面角的余弦 值.
S F P D G E A B C

【答案】 (Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) 【解析】

5 . 5

, ? SO ? AC ,又 试题分析: (Ⅰ)设 AC 交 BD 于 O ,由题意可知 SO ? 底面 ABCD ? BD ? AC,可得 AC ? 面SBD 然后再利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明结果;
(Ⅱ)方法一:设 AB ? 2 ,如图建立空间直角坐标系,利用空间向量在立体几何的中应用, 即可求出结果.方法二:不妨设 AB ? 4 ,取 GE 中点 K ,则 CK ? 平面 GEF ,点 C 到平面

GEF 的距离为 CK ? 2 ,设 CP 与平面 EFG 所称角为 ? ,则 sin ? ?

CK 2 ? ,当 CP 最 CP CP

小时,? 最大, 此时 CP ? GF,P 为 GF 中点.过 P 作 PH ? 平面 SBD , 所以 P 到平面 SBD 的距离为 F 到平面 SBD 的距离,即 C 到平面 SBD 的距离的一般, PH ? 2,HI 的长即为 F 到平面 ABCD 的距离的一半,即 HI ?

2 . 所以, tan?PIH ? 2 ,即可求出结果. 2

试题解析: (Ⅰ)证:设 AC 交 BD 于 O , ∵ S-ABCD 为正四棱锥, ∴ SO ? 底面 ABCD,

? SO ? AC
又? BD ? AC ,
∴AC ? 面SBD ? AC ? SD ? ? ? AC ? GF ? SD ? FG ? ? AC ? 面GEF AC ? GE ? ?

1分

又∵ PE ? 面GEF ,∴ PE ? AC . (Ⅱ)解:设 AB ? 2 ,如图建立空间直角坐标系,

4分

- 11 -

z S

F P D O A G E B y C x

0, 0 ? ,G ? 0, 1, 0 ?,S 0, 0,2 ,F ? , , 则 B ?1, ?1, 0 ? C ?1,1, 0 ? , D ? ?1,1, 0 ? , E ?1,
???? 1 1 2 ? , ) ∴ GF ? ( , 2 2 2 ??? ? ???? ? ? 2 ? , ?) , 设 GP ? ? GF ? ( , 2 2 2

?

?

?1 1 ?2 2 ?

2? ? 2 ? ?

? ? 2 1? , ?) 故点 P ( , 2 2 2
??? ? ? ? 2 2 ? , ?) ∴ CP ? ( ? 1, 2 2 2

因为 AC ? 平面 GEF ,所以取平面 GEF 得一个法向量 n ? 设 CP 与平面 EFG 所成角为 ? ,

?

?1,1,0?

??? ? ? 则 sin ? ? cos ? CP, n ? ?

|

?
2

?1?

?
2

|

? ? 1 2 ? ( ? 1)2 ? (? )2 ? ? 2 2 2 2

?

2 2

1

? ? ? ?1
2

∵点 P 在线段 FG 上,∴ 0 ≤ ? ≤ 1 ,即 ? ?

1 时,sin ? 取最大值,也即 ? 最大,此时点 P 为 2

?1 3 2? GF 中点,即 P ? , , ?4 4 4 ? ?. ? ?
设二面角 P-BE-F 的大小为 ? ,由图中可知 ? 为锐角 面 BDS 的一个法向量 n ?

?

?1,1,0? ,
- 12 -

设平面 PBD 的一个法向量为 m ? ? a, b, c ? ,则 BD ? (?2, 2,0), BP ? (? , ,

??

??? ?

??? ?

3 7 2 ) 4 4 4

由 m ? BD ? ?2a ? 2b ? 0,, m ? BP ? ?

?? ??? ?

?? ??? ?

3 7 2 a? b? c?0 4 4 4

取 c ? 2 2 ,则 a ? b ? ?1 ,即 m ? ?1, ?1, 2 2

??

?

?

? ?? ? ?? n?m 5 所以 cos ? ? cos ? n, m ? ? ? ?? ? , 5 n?m

∴二面角 P-BE-F 的余弦值为

5 . 5

方法二:

不妨设 AB ? 4 , 取 GE 中点 K , 则 CK ? 平面 GEF , 点 C 到平面 GEF 的距离为 CK ? 2 , 设 CP 与平面 EFG 所称角为 ? ,则 sin ? ?

CK 2 ? CP CP

当 CP 最小时, ? 最大,此时 CP ? GF,P 为 GF 中点. 过 P 作 PH ? 平面 SBD ,所以 P 到平面 SBD 的距离为 F 到平面 SBD 的距离,即 C 到平面

SBD 的距离的一般, PH ? 2,HI 的长即为 F 到平面 ABCD 的距离的一半,即 HI ?

2 . 2

所以, tan?PIH ? 2 ,从而 cos ?PIH ?

5 5 ,即二面角 P-BE-F 的余弦值为 . 5 5

考点:1.线面垂直的判断和性质定理;2.二面角的求法. 18、 (本题满分 15 分)
2 y 如图, F 是椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,椭圆的离心率为 1 , A,B 为椭圆的左顶 2

a

b

2

- 13 -

BC ? BF,?BCF 的外接圆 M 恰好与直线 l1 : x ? 3 y ? 3 ? 0 相 点和上顶点, 点 C 在 x 轴上,
切. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 C 的直线 l2 与已知椭圆交于 P,Q 两点,且 FP ? FQ ? 4 ,求直线 l2 的方程.

??? ? ??? ?

x2 y 2 3 ? ? 1 ;(Ⅱ) y ? ? 【答案】 (Ⅰ) ? x ? 3? . 4 3 3

试题解析:解: (Ⅰ)因为椭圆的离心率为 e ?

0 ?,B 0,3c . 得 F ? ?c,
所 以 直 线 BF 的 斜 率 k ? 3 ,直线 BC 的方程为 y ? ?

?

?

c 1 ? ,得 b ? 3c a 2

3 x ? 3c , 3

- 14 -

得到 C ? 3c, 0? ,
2 2 所以圆 M 的方程为 ? x ? c ? ? y ? 4c 2

由圆 M 恰好与直线 l1:x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,

?

1? c ? 3 ? 0 ? 3 1? 3

? 2c,

得 c ? 1, ∴所求的椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 F ? ?1 , 0?,C ?3, 0? 直线 l2 : y ? k ( x ? 3)

? y ? k ( x ? 3) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 消去 y 得 ? 3 ? 4k ? x ? 24k x ? 36k ? 12 ? 0 . ?1 ? ? ?4 3
24k 2 36k 2 ? 12 , x1 x2 ? 设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
? ? ? 24k 2 ? ? 4 ? 4k 2 ? 3?? 36k 2 ? 12 ? ? ?48 ? 5k 2 ? 3? ? 0
2

所以 k ?
2

??? ? ??? ? FP ? FQ ? ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? y1 y2
? ? k 2 ? 1? x1 x2 ? ?1 ? 3k 2 ? ? x1 ? x2 ? ? 9k 2 ? 1

3 , 5

? ? k 2 ? 1? ?

36k 2 ? 12 24k 2 2 ? 1 ? 3 k ? 9k 2 ? 1 ? ? 2 2 4k ? 3 4k ? 3

79k 2 ? 9 ?4 4k 2 ? 3
2

所以 k ?

1 3 ? . 3 5

满足从而 k ? ?

3 3 3 ? x ? 3? . 3
- 15 -

直线 l2 的方程为 y ? ?

考点:1.椭圆的标准方程;2.直线与椭圆的位置关系. 19. (本题满分 15 分) 已知 m 为实数,且 m ? ?

9 4 1 n ,数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 S n ? an ? ? 3 ? m 2 3 2

(Ⅰ)求证:数列 an ? 3n?1 为等比数列,并求出公比 q ; (Ⅱ)若 an ? 15对任意正整数 n 成立,求证:当 m 取到最小整数时,对于 n ? 4,n ? N,都 有 1 ? ... ? 1 ? ? 8 .

?

?

S4

Sn

135

【答案】 (Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (I)当 n ? 2 时,a an ? S n ? S n ?1 ?

4 1 ? an ? an?1 ? ? ? ? 3n ? 3n?1 ? , 3 2

n ?1 n 化为 an ? 4an?1 ? 3n , 变形为 an ? 3 ? 4 an ?1 ? 3

?

?

n ?1 , 即可证明数列 an ? 3 为等比数列,

?

?

公比 q ? 4 ; (II)由(I)可得: an ? 3
n ?1

27 3 ?15 27 ? ? ? , ? ? 3m ? ? ? 4n ?1 ,由 an ? 15 ,可得 3m ? 2 4n ?1 2 ? ?
n

n ?1

31 ?5 3? 3n ?1 ? 15 令 bn ? , 则 b ? b ? n ? 1 n 4n ?1 4n

?, ?b ? b
1

2

可得 m ? ? ? b3 ? b4 ? b5 ? ,

25 . ∴m 8

n ?1 取 到 最 小 整 数 为 ?3 , 此 时 an ? 3 ? ,S n ?

3 n ?1 n ?3 ? 4 ? 2? , 当 n ? 4 时 , 2 13 n 3 3 n 5 3n ?1 ? 4n ? ? ?4 ? 0 , 则 Sn ? 0 , 当 n ? 5 时,S n ? 4 S n ?1 ? ? 6 ? 3 ? ? ? 6 ? 3 ? ? 0 , 256 2 2

9 8

∴ Sn ? 4Sn?1 ,则

1 1 1 1 1 ?1? 1 ?1? ,∴ ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? Sn 4Sn ?1 Sn 4 Sn?1 ? 4 ? S4 ?4?

4

n ?1

?

1 ,然后利用等 S4

比数列前 n 项和公式即可求出结果. 试题解析: (I)证明:当 n ? 2 时,a an ? S n ? S n ?1 ? 化为 an ? 4an?1 ? 3 ,
n
n ?1 n 变形为 an ? 3 ? 4 an ?1 ? 3

4 1 ? an ? an?1 ? ? ? ? 3n ? 3n?1 ? , 3 2

?

?



又 a1 ? ?3m ? ,a1 ? 9 ? ?3m ?

9 2

27 ?0 , 2

n ?1 ∴数列 an ? 3 为等比数列,公比 q ? 4 ;

?

?

- 16 -

(II)证明:由(I)可得: an ? 3n ?1 ? ? ?3m ?

? ?

27 ? n?1 ?? 4 , 2 ?

化为 an ? 3n ?1 ? ? 3m ?

? ?

27 ? n ?1 ?? 4 , 2 ?
27 3n ?1 ? 15 ? , 2 4n ?1

由 an ? 15 ,可得 3m ?

n 3n ?1 ? 15 3n? 2 ? 15 3n?1 ? 15 3 ?15 ? 3 ? 令 bn ? ,则 bn?1 ? bn ? , ? ? 4n ?1 4n 4n?1 4n

?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? ,
27 33 25 ? ? bn ?max ? b3 ? ,解得 m ? ? . 2 8 8 9 3 n ?1 n n ?1 ∴ m 取到最小整数为 ?3 ,此时 an ? 3 ? ,S n ? ? 3 ? 4 ? 2 ? , 8 2 ? 3m ?
当 n ? 4 时, 3 当
n ?1

?? 3 ? n 1 ? ?? 3 ? 4 1 ? 13 n ? 4 n ? 3 ? 4 n ?? ? ? ? ? 3 ? 4 n ?? ? ? ? ? ? ? 4 ? 0 ,则 Sn ? 0 , 4 3 4 3 256 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
n?5
时 ,

Sn ? 4Sn ?1 ?

3 ? 2

n ?1

?

?

??

? ??

? 3

?

?n ? ?

? ?? ? ?3 2

?1 4 ? ? ,

n

2

3 2

∴ Sn ? 4Sn?1 ,则

1 1 , ? Sn 4Sn ?1
4 n ?1

1 1 1 ?1? 1 ?1? ∴ ? ? ? ? ? ? ??? ? ? Sn 4 Sn?1 ? 4 ? S4 ?4?


?
2

1 , S4
n?4

1 1 1 1 1 1 ?1? 1 ?1? ? ??? > ? ? ? ? ? ? ??? ? ? S4 S5 Sn S4 4 S4 ? 4 ? S4 ?4?
n ?3

?

1 S4

?1? 1? ? ? 2 n?4 2 1 ?1? 2 4 ?1? ? ? [1 ? ? ? ? ??? ? ? ] ? ? ? ? ? 1 45 4 ?4? 45 ?4? 1? 4

??

8 . 135

考点:1.等比数列的定义和性质;2.数列与不等式的综合应用. . 20、 (本题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? x | x ? a | ?b,a,b ? R .
- 17 -

(Ⅰ)当 a ? 0 时,讨论函数 f ? x ? 的零点个数; (Ⅱ)若对于给定的实数 a ? ?1 ? a ? 0? ,存在实数 b ,使不等式 x ?

1 1 ? f ( x) ? x ? 对于任 2 2

意 x ?[2a ? 1,2a ? 1] 恒成立。试将最大实数 b 表示为关于 a 的函数 m ? a ? ,并求 m ? a ? 的取值 范围. 【答案】 (Ⅰ) 当 b ? 0 或 a ? 4b ? 0 时, 函数 f ? x ? 有一个零点, 当 b ? 0 或 a ? 4b ? 0 时,
2 2

a2 ? b ? 0 时,函数 f ? x ? 有三个零点;(Ⅱ) ?11814 函数 f ? x ? 有 2 个零点,当 ? , ?. 4
【解析】
2 ? x?a ? x ? ax ? b, 试题分析:解: (Ⅰ) f ? x ? ? ? 2 ,由于 a ? 0 ,对 b 分, b ? 0 ; b ? 0 和 x?a ? ?? x ? ax ? b,

?

2 ? a2 ? x ? ? a ? 1? x ? b,x ? a ? b ? 0 进行讨论; (Ⅱ)首先记 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? ? 2 4 ? ?? x ? ? a ? 1? x ? b,x ? a

, 原

问题等价于: 当 2a ? 1 ? x ? 2a ? 1 时, 即 g ? x ? max ? g ? x ?max ? g ? x ?min ? 1,最大实数 b , 的 b 的值,利用二次函数在闭区间上的讨论方法,即可求出结果.
2 ? x?a ? x ? ax ? b, 试题解析:解: (Ⅰ) f ? x ? ? ? 2 , x?a ? ?? x ? ax ? b,

1 时 2

∵a ? 0,
2 2 ∴当 b ? 0 时, x ? ax ? b ? 0 在 x ? a 上无解, ? x ? ax ? b ? 0 在 x ? a 上恰有一解, 2 2 当 b ? 0 时, x ? ax ? b ? 0 在 x ? a 上恰有一解, ? x ? ax ? b ? 0 在 x ? a 上恰有一解,此

时函数 f ? x ? 有 2 个零点,
2 当 b ? 0 时, x ? ax ? b ? 0 在 x ? a 上恰有一解,

若 ? ? a ? 4b ? 0 ,则 ? x ? ax ? b ? 0 在 x ? a 上无解,
2 2

若 ? ? a ? 4b ? 0 ,则 ? x ? ax ? b ? 0 在 x ? a 上恰有一解,
2 2

若 ? ? a ? 4b ? 0 ,则 ? x ? ax ? b ? 0 在 x ? a 上恰有两个不同的解,
2 2

综上,在 a ? 0 的条件下,

- 18 -

当 b ? 0 或 a ? 4b ? 0 时,函数 f ? x ? 有一个零点,
2

当 b ? 0 或 a ? 4b ? 0 时,函数 f ? x ? 有 2 个零点,
2

当?

a2 ? b ? 0 时,函数 f ? x ? 有三个零点. 4
2 ? ? x ? ? a ? 1? x ? b,x ? a 2 ? ?? x ? ? a ? 1? x ? b,x ? a

(Ⅱ)首先记 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? ?



原问题等价于: 当 2a ? 1 ? x ? 2a ? 1时,g ? x ?max ? g ? x ?min ? 1,最大实数 b , 即 g ? x ? max ? 时的 b 的值, 令 T ? g ? x ?max ? g ? x ?min ,

1 2

a ?1 a ?1 a ? 1 , ? . 2 2 2 1 a ?1 a ?1 a ?1 ? a ? 2a ? 1 ? (1)当 ?1 ? a ? ? 时, 2a ? 1 ? ,∴ g ? x ? 在 [2a ? 1, ] 上为 3 2 2 2 a ?1 , 2a ? 1] 上为减函数, 增函数,在 [ 2 2a ? 1 ? 由已知可得 2a ? 1 ? a,
∴ g ? x ?max ? g ?

? a ? 1 ? ? a ? 1? ?b, ?? 4 ? 2 ?
2

g ? x ?min ? min{g ? 2a ?1?,g ? 2a ?1?} ? g ? 2a ?1? ? ?2a2 ? a ? b

? a ?1? ∴T ?
4
解得 ?

2

? b ? ? ?2a 2 ? a ? b ? ?

9a 2 ? 6a ? 1 ? 1, 4

1 ? a ? 1 ,从而无解. 3 1 a ?1 a ?1 ?a? ? 2a ? 1, (2)当 ? ? a ? 0 时, 2a ? 1 ? 3 2 2 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 , ] 上为减函数,在 [ , 2a ? 1] 上为增函 ∴ g ? x ? 在 [2a ? 1, ] 上为增函数,在 [ 2 2 2 2
数, ∴当 2a ? 1 ? x ? 2a ? 1, ∴
2

? a ?1 ? g ? x ?max ? max{g ? ?,g ? 2a ? 1?} ? 2 ?

? a ? 1 ? ? a ? 1? ? a ?1 ? ? {g ? ? b,g ? x ?min ? min{g ? 2a ? 1?,g ? ?? ?} 4 ? 2 ? ? 2 ?
- 19 -

1 1 ? ?2a 2 ? a ? b, ? ?a?? ? 3 7 ? , ?? 2 1 ?b ? ? a ? 1? , ? ?a?0 ? 4 7 ?
? 9a 2 ? 6a ? 1 1 1 , ? ?a?? ? ? 4 3 7 ∴T ? ? , 2 ? a ? 1, ? 1 ? a ? 0 ? 7 ? 2
由 T ? 1 ,解得 ?

1 ? a ? 0, 3

此时最大的 b 满足 g ?

? a ?1 ? 1 ?? , ? 2 ? 2
2

从而 bmax

1 ? a ? 1? ?a 2 ? 2a ? 1 , ? m?a? ? ? ? 2 4 4
?a 2 ? 2a ? 1 ? 1 ? , ? ? ? a ? 0? , 4 ? 3 ?

∴ m?a? ?

解得 m ? a ? 的取值范围是 ?11814 ,? . 考点:1.分段函数;2.二次函数的性质.

- 20 -


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