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2016届江西省萍乡市高三(下)第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)


2016 届江西省萍乡市高三(下)第二次模拟考试 数学(理)试题
一、选择题 1.若 z (1 ? i) ? i ,则 | z | 等于( )

A.1 【答案】C

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2
<

br />【解析】试题分析: z ?

i ? ?1 ? i ? i 1? i 2 。 ? ? ,z ? 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2 2

【考点】复数概念即运算。 【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错。除了加减乘除 运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析。在 复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法 的逆运算。复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法 满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理 化;用类比的思想学习复数中的运算问题。 2.已知集合 A ? {x | x ? 1} , B ? {x | x ? 2 x ? 0} ,则 (CR A) ? B ? (
2



A. (0,1) 【答案】C

B. [0,1]

C. (0,1)

D. [0,1]

【解析】试题分析: B ? ? 0,2? , CR A ? ? ??,1 , (CR A) ? B ? ? 0,1 。 【考点】集合交并补。 3.已知 sin ? ? ? A.

?

?

3? 10 ) ,则 tan 2? ? ( ,且 ? ? (? , 2 10



3 4

B. ?

3 1 C. 4 3

D. ?

1 3
2 ) , cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ?

【答案】A 【 解 析 】 试 题 分 析 : ? ? (? ,

3? 2

3 10 , 10

2 1 2 tan ? 3 tan ? ? , tan 2? ? ?3? 。 2 8 3 1 ? tan ? 4 9
【考点】三角函数恒等变形。 4.公元 263 年左右,中国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边 形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术” ,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率 精确到小数点后两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率” 。下图是利用刘徽的“割圆 术”设计的一个程序框图,则输出的值为( ) (参考数据: sin15 ? 0.2588 ,
?

第 1 页 共 15 页

sin 7.5? ? 0.1305 )

A.6 B.12 【答案】C

C.24

D.48

1 360? 3 3 【 解 析 】 试 题 分 析 : S ? ? 6 ? sin , 判 断 为 否 , n ? 12 , ? 2 6 2
1 360? S ? ?12 ? sin ? 3 ,判断为否, n ? 24 ,此时 S ? 3.10 ,判断为是,退出循环, 2 12
输出 n ? 24 。 【考点】算法与程序框图。 5. 过点 P(1, 2) 的直线与圆 x2 ? y 2 ? 4 相切, 且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直, 则实数 a 的 值为( A.0 【答案】C 【解析】试题分析:切线斜率为 ? ) B. ?

4 3

C.

3 4

D.0 或

3 4

1 1 ,方程为 y ? 2 ? ? ? x ? 1? , x ? ay ? 2a ? 1 ? 0 , a a
3 。 4

圆心到直线距离为

2a ? 1 1? a
2

? 2 ,解得 a ?

【考点】直线与圆的位置关系。 6.已知 a 为单位向量, a ? b ? (3, 4) ,则 |1 ? a ? b | 的最大值为( A.6 【答案】B B.5 C.4 D.3

?

? ?

? ?



【 解 析 】 试 题 分 析 : 设 a ? ? cos ? ,sin ? ? , b ? ? 3 ? cos ? , 4 ? sin ? ? ,

?

?

? ? 1 ? a ? b ? 1 ? ? 3 ? cos? ? cos? ? ? 4 ? sin ? ? sin ? ? 4sin ? ? 3cos? ? 5sin ?? ? ? ? ,最
大值为 5 。 【考点】向量运算。 7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则在该几 何体中,最长的棱的长是( )

第 2 页 共 15 页

A. 4 2

B. 2 5

C.6

D. 4 3

【答案】D 【解析】试题分析:由图可知,该几何体为四棱锥,如下图所示,最长的棱长为

AB ? 16 ? 32 ? 4 3 。

【考点】三视图。

?x ? y ? 2 ? 0 y?x ? 8.已知实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 7 ? 0 ,则 z ? 的取值范围为( x ?x ?1 ? 0 ?
A. [



14 , 7] 5

B. [4, 7]

C. [

14 , 4] 5

D. [7, ??)

【答案】A 【 解 析 】 试 题 分 析 : 画 出 可 行 域 如 下 图 所 示 ,

z?

y?x y ?14 ? ? 1 ? ? ?1 ? kOA ,1 ? kOB ? ? ? , 7 ? 。 x x ?5 ?

【考点】线性规划。 9.已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的图象如图所示,则 f (

5? ) ?( 6



第 3 页 共 15 页

A. ?

2 3

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

2 3

【答案】D 【解析】试题分析:? 称轴为

7? 11 ? ?? 2? ? 7? ? ? 2? 2 ? , 的对 , ? ? 关于点 ? , 0 ? 的对称点为 ? , ? ,而 12 12 ? 2 3? ? 12 ? ? 3 3?

3? 2? 5? 3? 5? 2 , , 的对称轴也为 ,故 f ( ) ? 。 4 3 6 4 6 3

【考点】三角函数图象与性质。 10.已知抛物线 y 2 ? 8x 与双曲线

x2 ? y 2 ? 1的一个交点为 M , F 为抛物线的焦点, a2
) C. 4 x ? 5 y ? 0 D. 5x ? 4 y ? 0

若 | MF |? 5 ,则该双曲线的渐近线方程为( A. 5x ? 3 y ? 0 【答案】A 【解析】试题分析:| MF |? 5 ,故 M 3,2 6 故渐近线为 5x ? 3 y ? 0 。 B. 3x ? 5 y ? 0

?

3 , ? ,代入双曲线方程, a9 ? 24 ? 1, a ? 5
2

【考点】直线与圆锥曲线位置关系。 11.老师提出的一个关于引力波的问题需要甲、乙两位同学回答,已知甲、乙两位同学 能正确回答该问题的概率分别为 0.4 与 0.5,在这个问题已被解答的条件下,甲乙两位 同学都能正确回答该问题的概率为( ) A.

1 5

B.

2 7

C.

2 9

D.

9 10

【答案】B 【解析】试题分析:这个问题已被解答的概率为 1 ? ?1 ? 0.4? ? 0.5 ? 0.7 ,两个都能正确 回答的概率为 0.4 ? 0.5 ? 0.2 ,故所求概率为

2 。 7

【考点】条件概型。 【思路点晴】事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下的发生概率.条件概率表示为

P( A | B) ,读作“在 B 条件下 A 的概率”。条件概率在概率论中占有相当重要的地位,
是概率论基础知识中的一个基本概念。在条件概率定义的基础上,进一步探讨概率的性 质、计算极其重要公式,有助于解决各种条件概率方面的问题.条件概率在题目中会有 明显的提示,如本题中“在这个问题已被解答的条件下” 。 第 4 页 共 15 页

12. 已知函数 f ( x) ? 2x ? 2 ,g ( x) ? ax( x ? 2a) 同时满足条件: ① ?x ? R, f ( x) ? 0 或

g ( x) ? 0 ;② ?x ? (??, ?4) ,使得 f ( x) g ( x) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是(
A. (?2, 0) 【答案】B B. (??, ?2) C. (?8, 0) D. (0, 2)



【 解 析 】 试 题 分 析 : 当 a ?1 时 , g? x x ? x2? , 当 x ?? 2, ??? 时 , ?? ? ,不符合题意,排除 D 。当 a ? ?1 时, g ? x? ? ? x? x ?2? ,当 f? x ? 0 ??0 , g ? ?x

x ? ? ??, ?2? , f ? x ? ? 0, g ? x ? ? 0 ,不符合题意,排除 A,C,故选 B。
【考点】函数图象与性质。 【思路点晴】本题考查指数函数、二次函数图象与性质,考查了简单的分类讨论思想, 考查了特殊值排除法这个选择题中的解题技巧。在题目已知的两个函数中 f ? x ? 是由函 数 y ? 2x 向下平移两个单位所得,所以当 x ? ? ??,1? 时, f ? x ? ? 0 , x ? ?1, ?? ? 时,

f ? x ? ? 0 ,对于函数 g ? x ? 它的两个零点是 0, 2a ,当我们选取特殊值 a ? 1, a ? ?1 时,
结合图象就能解决本题。

二、填空题 13.在 ( x ? 【答案】 15

1 6 ) 的展开式中,常数项为 x2
2



? 1? 2 【解析】试题分析:常数项为 C x ? 2 ? ,系数为 C6 ? 15 。 x ? ?
2 4 6

【考点】二项式展开式。 14.已知函数 f ( x) ? ae ? e 的导函数 f ( x) 的图象关于原点对称,则 a ?
x ?x '



【答案】 1 【解析】试题分析:依题意 f
'

? x? ? aex ? e? x 关于原点对称,a ? 1 时 f ' ? x ? 为奇函数,

符合题意。 【考点】函数导数。 15. P 是长宽高分别为 12,3,4 的长方体外接球表面上一动点,设 P 到长方体各个面所 在平面的距离为 d ,则 d 的取值范围是 。 【答案】 ?0,

? 25 ? ? 2? ?

【解析】试题分析:当 P 在长方体各个顶点时,距离 d ? 0 . P 到长方体各个面所在平 面的距离,也即是半径减去或加上圆心到各个面的距离,依题意可知,圆的半径为

第 5 页 共 15 页

13 12 1 13 3 13 4 9 144 ? 9 ? 16 13 ? ? , ? ? 5, ? ? 和 ,所以距离分别为 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

13 12 25 13 3 13 4 17 ? 25 ? ? ? , ? ? 8, ? ? ,故取值范围为 ?0, ? 。 2 2 2 2 2 2 2 2 ? 2?
【考点】立体几何。 【思路点晴】 设几何体底面外接圆半径为 x , 常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形, 它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求。若长 方体长宽高分别为 a, b, c 则其体对角线长为 a ? b ? c ;长方体的外接球球心是其
2 2 2

体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面 的垂线,交点即为球心。 16 .在 ?ABC 中, AB ? 2 , cos A ? ?

2 BD ? DC ,则 cos B 的值为 3 【答案】 4
2

1 ,点 D 在 BC 边上,且满足 AD ? 2 , 8



【解析】 试题分析: 如图所示, ? 3x ? ? 4 ? b ?
2

1 x 2 ? 4 ? 2 9 x 2 ? 4 ? b2 b, cos B ? ? , 2 4x 12 x

联立解得 x ? 1 ,故 cos B ?

3 . 4

C
b

2x

D
2

x

A

2

B

【考点】解三角形。 【思路点晴】本题考查解三角形、正弦定理和余弦定理.对于解三角形的题目,我们先 将图形画出来,其中 AD ? 2 ,而题目又有条件 2 BD ? DC ,那么我们就可以设

1 BD ? x, CD ? 2 x ,由此得出完整的图形如上图所示.题目给了 cos A ? ? ,那么第一 8 个方程就用角 A 的余弦定理来表示,而题目要求的是角 B 的余弦值,那么我们就在大
小两个三角形中分别用余弦定理表示 cos B ,联立方程组就可以求解。 三、解答题 17.已知数列 {an } 满足: a1 ?

3 5 , 2an ?1 ? an ? n 。 2 2

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {an } 中所有整数项的值. 【答案】 (1) an ?

5n ? 2 ; (2) a2 ? 2 。 2n

【解析】试题分析: (1)用配凑法将已知条件化成 2n?1 an?1 ? 2n an ? 5 ,即数列 {2n an } 第 6 页 共 15 页

是 公 差 为 5 的 等 差 数 列 , 由 此 求 出 an ?

5n ? 2 5n ? 2 ; ( 2 ) 观 察 an ? ,除 n 2 2n

a1 ?

3 9 , a 2 ? 2, a 3? 外, 2n 增长速度比 5n ? 2 要快,所以后面的数值都小于1 。故整 2 8

数项只有 a2 ? 2 。 试题解析: (1) 由 2an ?1 ? an ?

5 , 得 2n?1 an?1 ?2 n an ? 即 2n?1 an?1 ? ∴数列 {2n an } 5 , 2 n an ? 5 , 2n

是 公 差 为 5 的 等 差 数 列 。 首 项 21 ? a1 ? 3 , ∴ 2n an ? 3 ? 5 ( n ? 1)? n 5?, 2∴

an ?


5n ? 2 。 2n
) 若

5n ? 2 为 整 数 , 则 n 必 为 偶 数 , 又 2n 5(n ? 1) ? 2 5n ? 2 7 ? 5n an ?1 ? an ? ? ? n ?1 , ∴ n ? 1 时 , an?1 ? an ? 0 ; n ? 2 时 , 2n ?1 2n 2 9 ? ? ? , 由 于 a2 ? 2 , a4 ? , an?1 ? an ? 0 , ∴ a1 ? a2, a2 ? a3? a4? n a? 8 7 a6 ? ? 1 ,∴ {an } 中整数项只有第 2 项,且 a2 ? 2 。 16
2

an ?

【考点】等差、等比数列。 18.
? 如下图, ?ABC 是等腰直角三角形, ?ACB ? 90 , AC ? 2a , D, E 分别为 AC , AB

的中点,沿 DE 将 ?ADE 折起,使得二面角 A ? CB ? A 为 45 。
' ?

(1)求证: CD ? A E ;
'

(2)求平面 ACD 与平面 A BE 夹角的余弦值。

'

'

【答案】 (1)证明见解析; ( 2)

3 。 3

【解析】试题分析: (1)先证 DE ? 面 A' AC 、 BC ? 面 A' AC ,即 ?ACD 为二面角 ' ' A ? CB ? A 的 平 面 角 , 所 以 ?ACD ? 45? , 根 据 A' D ? CD, 则 CD ? A D, 又
' ' CD ? DE,则 CD ? 面 A' DE ,故 CD ? AE ; (2) DC, DE, DA 两两垂直,以 D 为 '

原点, DC, DE, DA 所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 .利用法向量求平面
' ' ACD 与平面 A BE 夹角的余弦值。

第 7 页 共 15 页

试题解析: (1) ?ACB ? 90? , D, E 分别为 AC, AB 的中点,∴ DE / / CB ,∴ DE ? DA 。又
'

' DE ? AC , 且 AC ? A D? D, AC, A' D ? 面 A' AC , 则 DE ? 面 A' AC , 又 ∴

DE / /CB , 则 BC ? 面 A' AC , 即 ?AC D 为 二 面 角 A' ? CB? A的平 面 角 , 所以
' ?ACD ? 45? , 又 A' D ? C D, 则 C D ? A D, 又 C D ? D E, DE ? A' D ? D ,

A' D, DE ? 面 A' DE ,则 CD ? 面 A' DE ,因为 A' E ? 面 A' DE ,故 CD ? A' E 。
(2) 由 (1) 知,DC, DE, DA' 两两垂直, 以 D 为原点,DC, DE, DA' 所在直线为 x, y, z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 A' (0,0, a), B(a, 2a,0), E(0, a,0) ,

???? ???? ?? A' B ? (a, 2a, ?a), A' E ? (0, a, ?a) 。 设 平 面 A' BE 的 法 向 量 为 m ? ( x, y, z) , 由 ?? ???? ' ? ?? ?x ? 2 y ? z ? 0 ?m ? A B ? ax ? 2ay ? ax ? 0 ' ,得 ? ,可取 m ? (?1,1,1) ,平面 ACD 的 ? ?? ???? ' y?z ? m ? A E ? ay ? az ? 0 ? ? ?? ? ? ?? ? m ? n ?1?0 ?1 ? 1 ? 1 ? 0 3 一个法向量 n ? (0,1,0) ,故 cos ? m 。所以平 , n ?? ?? ? ? ? 3 | m| n | 3 1 ?
' 面 ACD 与平面 A BE 夹角的余弦值为

'

3 。 3

【考点】空间向量与立体几何. 19.户外运动已经成为一种时尚运动,某公司为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有 关,决定从本公司全体 650 人中随机抽取 50 人进行问卷调查。 (1)通过对挑选的 50 人进行调查,得到了如下 2 ? 2 列联表: 喜欢户外运动 男员工 女员工 合计 10 50 不喜欢户外运动 5 合计

已知在这 50 人中随机挑选 1 人,此人喜欢户外运动的概率是 0.6,请将 2 ? 2 列联表补 充完整,并估计该公司男、女员工各多少人; (2)估计有多大的把握认为喜欢户外运动与性别有关,并说明你的理由; (3)若用随机数表法从 650 人中抽取员工,现规定从随机数表(见附表)第 2 行第 7 列的数开始往右读,在最先挑出的 5 人中,任取 2 人,求取到男员工人数的数学期望。 附:

P(K 2 ? k0 )
k0
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 k ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
随机数表: 第 8 页 共 15 页

84 92 63 39 33 66

42 12 01 52 21 02

17 06 63 38 12 79

53 31 76 78 59 79 34 29 54

57 24 55 06 88 16 95 56 67 19 78 64 56 07 82

77 04 74 47 67 98 10 50 71 75 52 42 07 44 38

21 76 33 50 25 12 86 73 58 07 15 51 00 13 42

83 44 99

【答案】 (1)列联表见解析, 325 , 325 ; (2)有 99.5% 的把握认为喜欢户外运动与 性别有关; (3) EX ?

6 。 5

【解析】试题分析: ( 1 )先填写好表格,依题意, 50 人中喜欢户外运动的人为

50? 0.6? 30 人,所以该公司男员工人数为
2

25 ? 650 ? 325 ,则女员工 325 人; (2)计 50

50(20 ?15 ? 10 ? 5) 2 ? 8.333 ? 7.879 ,所以有 99.5% 的把握认为喜欢户外运 算K ? 30 ? 20 ? 25 ? 25
动与性别有关; (3)依题意可知 X 为超几何分布,利用超几何分布计算分布列和数学 期望。 试题解析: (1)依题意,50 人中喜欢户外运动的人为 50 ? 0.6 ? 30 人, 2 ? 2 列联表补 充如下: 喜欢户外运动 男员工 女员工 合计 20 10 30 不喜欢户外运动 5 15 20 合计 25 25 50

所以该公司男员工人数为 (2)∵ K ?
2

25 ? 650 ? 325 ,则女员工 325 人。 50

50(20 ?15 ?10 ?5) 2 ? 8.333 ? 7.879 ,∴有 99.5%的把握认为喜欢户外 30 ? 20 ? 25 ? 25

运动与性别有关。 (3)最先挑出的 5 人的编号为:199,507,175,128,580,其中有男员工 3 人,女员 工 2 人,设从中任取 2 人是男员工的随机变量为 X , X 的取值为 0,1,2,则

P( X ? 0) ?
其分布列为 X P

1 1 2 C3 C2 3 C32 3 C2 1 , , ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? 。 C52 10 C52 5 C52 10

0

1

2

1 10

3 5

3 10

故数学期望 EX ? 0 ?

1 3 3 6 3 6 ? 1? ? 2 ? ? 或 EX ? 2 ? ? 。 10 5 10 5 5 5

【考点】1.独立性检验;2.超几何分布。 20.已知离心率为 最大值为 3。

1 x2 y 2 的椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,右焦点到椭圆上的点的距离的 2 a b

第 9 页 共 15 页

(1)求椭圆 C 的方程; (2) 设点 A, B 是椭圆 C 上两个动点, 直线 OA, OB 与椭圆 C 的另一交点分别为 A1 , B1 , 且直线 OA, OB 的斜率之积等于 ? 理由。 【答案】 (1)

3 S 是否为定值?请说明 ,问四边形 ABA 1B 1 的面积 4

x2 y 2 S 为定值 4 3 。 ? ? 1; (2)四边形 ABA 1B 1 的面积 4 3
c 1 ? , ∴a ? 2 ∴ b2 ? 3 , , c? 1 , a 2

【解析】 试题分析: ( 1) 由题意知:a ? c ? 3 , 又e ?

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1; (2)当直线 AB 的斜率不存在时,设点 A( x, y) , 4 3

可得 | x |? 2 , | y |?

6 , ∴ S ? 4| x y| 4 ?3 2

。 当直线 AB 的斜率存在时, 设直线 AB

的方程为 y ? kx ? m ,联立椭圆得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 ,写出根与系数 关系,根据 kOA kOB ? ?

3 化简得 2m2 ? 3 ? 4k 2 .利用弦长公式和点到直线距离公式,计 4

算 S ? 4S?OAB ? 2 | AB | ?d ? 2 | m || x1 ? x2 |? 4 3 。 试题解析: (1)由题意知: a ? c ? 3 ,又 e ?

c 1 ? ,∴ a ? 2, c ? 1 ,∴ b2 ? 3 ,所以椭圆 C 的 a 2

方程为

x2 y 2 ? ? 1。 4 3

(2) (1)当直线 AB 的斜率不存在时,设点 A( x, y) ,可得 | x |? 2 , | y |?

6 ,∴ 2

S ? 4 | xy |? 4 3 。
( 2 ) 当 直 线 AB 的 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 AB 的 方 程 为 y ? kx ? m , 联 立 椭 圆 得 有 )? ? 0 , (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 , 设 A( 1 x , 1y ) , B 2 ( x , 2,y

x1 ? x2 ? ?

8km 3 4m 2 ? 12 x x ? , 。∵ kO Ak O B ? ? ,得 3x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 ,∴ 1 2 2 2 3 ? 4k 4 3 ? 4k
第 10 页 共 15 页

(3 ? 4k 2 ) x1x2 ? 4km( x1 ? x2 ) ? 4m2 ? 0 ,化简得: 2m2 ? 3 ? 4k 2 。
2 ∵ | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 | , 原 点 O 到 直 线 AB 的 距 离 d ?

|m| 1? k 2

, ∴

S ? 4S?OAB ? 2 | AB | ?d ? 2 | m || x1 ? x2 |
? 2 |m | x1(? x
2 2

?) x x14 ?2 ?

3m2 8 2? 3 ? 4k

S 为定值 综上, 四边形 ABA 4 3 1B 1 的面积

4 3。
【考点】直线与圆锥曲线位置关系。 【方法点晴】第一问是方程的思想,已知椭圆的离心率,也就是知道

c ,那么我们只需 a

要再有一个条件,就可以求出椭圆的方程,本题中另一个已知条件是“右焦点到椭圆上 的点的距离的最大值” ,这个距离的最大值为 a ? c ,在解题中我们可以直接运用。第二 问是设而不求的方法,先设出直线 AB 的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,利用根 与系数关系计算面积,化简得到面积为 4 3 。 21.已知函数 f ( x ) ? x ?

a 2 , g ( x) ? ln( x ? 1) 。 x e

(1)若在 x ? 0 处 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 图象的切线平行,求 a 的值; (2)设函数 h( x) ? ?

? f ( x) ? a, x ? a ,讨论函数 h( x) 零点的个数。 ? g ( x) ? a, x ? a

【答案】 (1)a ? 1 ; (2)a ? 0 时,h( x) 没有零点;a ? 0 时,h( x) 有 1 个零点;0 ? a ? 1 时, h( x) 有 3 个零点; a ? 1 时, h( x) 有 2 个零点; a ? 1 时, h( x) 有 3 个零点。 【解析】试题分析: (1) f ( x) ? 1 ?
'

a 2x ' , g ( x) ? 2 ,切线平行,即斜率相等,把 x e x ?1

零代入可计算得 a ? 1 ; (2) 对 a 分成 a ? 0, a ? 0, a ? 0 三类进行分类讨论.当 a ? 0 时,

f ' ( x) ? 1 ?

a ?0 , ex

f ( x) 在 (??, a ] 单 增 ,

f (a) ? a ?

a ?a?0 , ea

g ( x) ? ln( x2 ? 1) ? 0 ? a ,故 a ? 0 时, h( x) 没有零点. 当 a ? 0 时,显然 h( x) ? 0 有
唯一的零点 x ? 0 .当 a ? 0 时,又分成 0 ? a ? 1, a ? 1, a ? 1三类进行讨论。 试题解析: (1) g (0) ? f (0) , f ( x) ? 1 ?
'

所以 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 。

a 2x ' ' ' , g ( x) ? 2 ,由 g (0) ? 0 ,得 f (0) ?1 ? a , x e x ?1 a ? ex 0 f ( x) 在 (??, a ] 单 增 , ,

' ? ? 1 ( 2 )( 1 ) 当 a ? 0 时 , f ( x )

第 11 页 共 15 页

f (a) ? a ?

a ? a ? 0 g ( x) ? ln( x2 ? 1) ? 0 ? a ,故 a ? 0 时, h( x) 没有零点。 a e

(2)当 a ? 0 时,显然 h( x) ? 0 有唯一的零点 x ? 0 。
' (3) 当 a ? 0 时, 设 t (a) ? ln a ? a ? 1 ,t ( a ) ?

1? a , 令 t ' (a ) ?0 有 0 ? a ? 1 ,故 t (a) a

在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减,所以, t ( a) ? t (1),即 ln a ? a ? 1 。

f ' ( x) ? 1 ?

a ? 0 ,x ? ln a ? a ? 1 ? a , ∴ f ( x ) 在 (??, ln a] 上单调递减, 在 (ln a, a] ex

上单调递增,∴ f ( x)min ? f (ln a) ? ln a ? 1,

ln a ? 1 ? a (当且仅当 a ? 1 等号成立) , f (a) ? a ?

a ?a ea

∴ f ( x) ? a 有两个根(当 a ? 1 时只有一个根 x ? ln a ? 0 ) ,

g ( x) ? ln( x2 ? 1) 在 (a, ??) 单 增 , 令 s(a) ? g (a) ? a ? ln(a2 ? 1) ? a ,
s ' (a) ? 2a ? 1 ? 0 , s(a) 为 减 函 数 , 故 s( a) ? s( 0) , ∴ ln( ? 0 a2 ? 1) ? a ,∴ 2 a ?1 g ( x) ? a 只有一个根。

∴ 0 ? a ? 1 时 h( x) 有 3 个零点; a ? 1 时 h( x) 有 2 个零点; a ? 1 时, h( x) 有 3 个零 点。综合以上讨论: a ? 0 时, h( x) 没有零点; a ? 0 时 h( x) 有 1 个零点; 0 ? a ? 1 时

h( x) 有 3 个零点; a ? 1 时 h( x) 有 2 个零点; a ? 1 时, h( x) 有 3 个零点。
【考点】1.函数导数与不等式;2.函数零点问题。 【方法点晴】 有关切线的问题, 主要突破口就在斜率和切点, 本题中, 已知条件 “在 x ? 0 处 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 图象的切线平行”翻译过来也就是说在 x ? 0 处,这两个函数 的导数相等,这样我们分别求出这两个函数的导数,列出方程,就可以求解出 a ? 1 . 注意到第一问的结论不能用在第二问,但是第二问在分类讨论的时候,有一种情况就是

a ? 1。
22.选修 4-1:几何证明选讲 如下图,已知 PA 与圆 O 相切, A 为切点, PBC 为割线,弦 CD / / AP , AD, BC 相
2 交于 E 点, F 为 CE 上一点,且 DE ? EF ? EC 。

第 12 页 共 15 页

(1)求证: A, P, D, F 四点共圆; (2)若 AE ? ED ? 24 , DE ? EB ? 4 ,求 PA 的长。 【答案】 (1)证明见解析; (2) PA ? 5 3 。 【解析】试题分析: (1)要证明四点共圆,也就是证同弦所对的圆周角相等,本题中也

E D F通 过 证 明 ?DEF ∽ ?CED , 可 有 ?E D F ? ? E C D 即 是 证 ?P ? ? ,又 CD / / PA , ∴ ?E C D? ? P EDF , 故 ?P ? ? ;( 2 ) 由 相 交 弦 定 理 得 :

BE ? EC ? AE ? ED ? 24 , EC ? 6 , 由D E

2

E ? F E C?

PE ? EF ? AE ? ED ? 24 , ,

有 PE ? 9 , PC ? PE ? EC ? 15 ,由切割线定理得: PA2 ? PB ? PC ? 5 ?15 ? 75 ,

PA ? 5 3 。
试题解析:

DE EF CED ,∴ ?DEF ∽ ?CED 。 ? ,又 ?DEF ?? CE ED E D F, 所 以 ∴ ?EDF ? ?ECD 。 又 CD / / PA , ∴ ?E C D ? ? P, 故 ?P ? ?
2 EC (1)∵ DE ?EF ?

,∴

A, P, D, F 四点共圆。
( 2 ) 由 相 交 弦 定 理 得 : BE ? EC ? AE ? ED ? 24 , ∵ BE ? 4 , ∴ EC ? 6 。 ∵

DE 2 8 ? 。又 PE ? EF ? AE ? ED ? 24 ,∴ PE ? 9 。∴ DE ? EF? EC ,∴ EF ? EC 3
2

PC ? PE ? EC ? 15 。
2 由切割线定理得: PA ? PB ? PC ? 5 ?15 ? 75 ,所以 PA ? 5 3 为所求。

【考点】几何证明选讲. 23.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,由曲线

1 ? ' ?x ? x ? 2 得到曲线 C2 。 C1 : y ? x 上的点 ( x, y ) 按坐标变换 ? ' ?y ? 2y ?
2

(1)求曲线 C2 的极坐标方程; (2)若射线 ? ?

?
3

( ? ? 0) 和 ? ? ? 与曲线 C2 的交点分别为点 A, B ,求 | AB | 。
2

【答案】 (1) ? sin
2

(2) | AB |? ? ? 2? cos? ? 1;

21 。 2

1 ? 1 x ? x' ? ? ' ? 2 ? ?x ? x ? 2' ' 2, 【解析】 试题分析: (1) 即? , 代入 C1 : y 2 ? ? x , 得 y ? 2x ?1 , ? ? y ? 2 y' ? y' ? 2 y ? ? ? 2

第 13 页 共 15 页

即曲线 C2 的方程为 y 2 ? 2 x ? 1 .由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,所以 C2 的极坐标方程为

1 ? , 将 ? ? (? ? 0 )代 入 1? c o? s 3 1 ? 1 1 ? ? ? 代入 ? ? ?? , 得? ?2, 即 | OA| ? , 得? ? , 2 ,A(2, ) , 1? c o? s 3 1 ? cos ? 2
(2)由(1)得 ? ? ? 2 sin 2 ? ? 2? cos? ? 1 ; 即 | OB |?

1 1 1 ? 21 2 , B ( , ? ) ,所以 | AB |? 2 ? ? 2cos(? ? ) ? 。 2 2 4 3 2

试题解析:

1 ? 1 x ? x' ? ? ' ? 2 ? ?x ? x ? (1) ? ,代入 C1 : y 2 ? ? x ,得 y '2 ? 2 x' ? 1 ,即曲线 C2 的 2 ,即 ? ? y ? 2 y' ? y' ? 2 y ? ? ? 2
方 程 为 y ? 2x ? 1 。 由 x ? ? c o ? s y, ? ?
2

, 所 以 C2 的 极 坐 标 方 程 为 s ?i n

1 。 (未化简,保留上式也可) 1 ? cos ? ? 1 ? (2)将 ? ? ( ? ? 0) 代入 ? ? ,得 ? ? 2 ,即 | OA| ?2 , A(2, ) ,? ? ? 代 3 1 ? cos ? 3 1 1 1 1 入 ?? , 得 ?? , 即 | OB |? , B( , ? ) 。 所 以 1 ? cos ? 2 2 2

? 2 sin 2 ? ? 2? cos? ? 1,即 ? ?

1 ? 21 。 | AB |? 22 ? ? 2cos(? ? ) ? 4 3 2
【考点】坐标系与参数方程。 24.选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? a | 。 (1)当 a ? 2 时,解不等式 f ( x) ? 2 ; (2)若 y ? 0 ,证明: f ( x) ? a y ?
2

1 。 y

【答案】 (1) {x | x ? 1} ; (2)证明见解析。 【解析】试题分析: (1)当 a ? 2 时,利用零点分段法去绝对值,化简得

?4, x ? 2 ? f ( x) ? ?2 x ? 2, ?2 ? x ? 2 ,分别令它们大于等于 2 ,解得 x ? 1 ; (2)利用绝对值不 ??4, x ? ?2 ?
等 式 , f ( x) ?

|x ?

a? |

|x ?

a? | | x ( ?

a?)

x ( ?

, a ? )由 | 于 2 a y | ?0 | , 则

a2 y ?

1 1 ? 2 a 2 ? 2 | a | ,所以 f ( x) ? a 2 y ? 。 y y

试题解析:

第 14 页 共 15 页

?4, x ? 2 ? (1)由已知可得: f ( x ) ? ? 2 x ? 2, ?2 ? x ? 2 由 x ? 2 时, 4 ? 2 成立; ?2 ? x ? 2 时, ??4, x ? ?2 ?

2 x ? 2 ,即 x ? 1 ,所以 1 ? x ? 2 。所以 f ( x) ? 2 的解集为 {x | x ? 1} 。
( 2 ) ∵ f ( x)? | x ?

a| ? |x ? a? | | ( x ? a? )

。| 由 2 于 ( x ? a? ) a | y |? 0 , 则

a2 y ?

1 1 ? 2 a 2 ? 2 | a | 。所以 f ( x) ? a 2 y ? 。 y y

【考点】不等式选讲。

第 15 页 共 15 页


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