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8.1.2平面直角坐标系中的距离公式和中点公式



直线

直线 圆

8.1.2平面直角坐标系中的 距离公式和中点公式

1.数轴上的距离公式
一般地,如果 A(x1),B(x2) ,则这两点的距离公式为 |AB|=|x2-x1|.

2.数轴上的中点公式
一般地,在数轴上,A(x1),B(x2) 的中点坐标 x 满足关系式
x1 ? x2 . x= 2

如图所示.设 A(x1,y1),B(x2,y2) .
y B2 B

过 A,B 分别向 x 轴作垂线
AA1,BB1,垂足分别为 A1,B1 ; 过 A,B 分别向 y 轴作垂线

A A1 O

A2

C B1 x

AA2,BB2,垂足分别为 A2,B2 ;
其中直线 BB1 和 AA2 相交于 点C.

如图所示.设 A(x1,y1),B(x2,y2) .
y B2 B

(1)以上四个垂足 A1,B1,A2,B2 的坐标分别是多少? (2)|AC| 与 |A1B1| 关系如何?

A A1 O

A2

如何求 |A1B1| ?
C B1

(3)|BC| 等于多少?
x (4)在直角三角形中,如何求 |AB| ?

(5)你能表示出 |AB| 吗?

平面上两点间的距离公式
y B(x2,y2)

设点 A(x1,y1),B(x2,y2) ,则

| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2.
A(x2 ,y2)
O x

求两点之间的距离的计算步骤:
S1 给两点的坐标赋值: x1=?,y1=?,x2=?,y2=?

http://52999.uz.taobao.com 卷 S2 计算两个坐标的差,并赋值给另外两个变量,即
dx=x2-x1,dy=y2-y1; S3 S4
2 2 计算 d= d x ? dy

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给出两点的距离d.

例1

已知 A(2,-4),B(-2,3) ,求 |AB| .

解: 因为 x1=2,x2=-2,y1=-4,y2=3, 所以 dx=x2-x1=-2-2=-4, dy=y2-y1=3-(-4)=7. 因此
2 2 | AB |? d x ? dy ? (?4) 2 ? 7 2 ? 65 .

求两点之间的距离:
(1)A(6,2),B(-2,5); (2)C(2,-4),D(7,2).

如图所示.设 M(x,y) 是 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 的中点.
y
B2 M2 A A2 B1 M B

过 A,B,M 分别向 x 轴作垂线
AA1,BB1, MM1,垂足分别为 A1, B1 ,M1 ;

过 A,B,M 分别向 y 轴作垂线
x

A1 O M1

AA2,BB2, MM2,垂足分别为A2, B2 ,M2 .

如图所示.设 M(x,y) 是 A(x1,y1),B(x2,y2) 的中点.
y
B2 M2 A M B

(1)你能说出垂足A1,A2,B1,B2, M1,M2的坐标吗?

(2)点M是AB中点,M1是A1,B1的
中点吗?它们的坐标有怎样的关系? (3)M2是A2,B2的中点吗?它们的
B1

A2

A1 O M1

x

坐标有怎样的关系? (4)你能写出点 M 的坐标吗?

中点公式

在坐标平面内,两点 A(x1,y1),B(x2,y2)

的中点 M(x,y) 的坐标之间满足:

x1 ? x2 x? , 2

y1 ? y2 y? . 2

例2

求证:任意一点 P(x,y) 与点 P? (-x,-y) 关于坐标原点成中心对称. 证明 设 P 与P? 的对称中心为(x0,y0),则

x ? ( ? x) x0 ? ? 0, 2 y ? (? y ) y0 ? ? 0. 2
所以坐标原点为 P 与 P? 的对称中心.

求下列各点关于坐标原点的对称点: A(2,3),B(-3,5),C(-2,-4),D(3,-5).

例3

已知坐标平面内的任意一点 P(a,b), 分别求它关于 x 轴的对称点 P?, 关于 y 轴的对称点 P?? 的坐标.
( 1 )如果点 P与 ? 关于 x 轴对 ( 3 )你能求出 P?P 的纵坐标 称, PP?与 x 轴垂直吗?P? 的横 吗?怎么求的? 坐标是多少 ?
P(a,b) M O P? x

y P??

(4)由以上分析,点P? 的坐 标是多少? ( 2)PP?与 x 轴的交点 M 是线 段 PP? 的中点吗?点 M 的纵坐 标是多少? (5)你能求出P?? 的坐标吗?

求下列各点关于 x 轴和 y 轴的对称点的坐标:

A(2,3),B(-3,5),C(-2,-4),D(3,-5).

例4 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(-3,0),
B(2,-2),C(5,2),求顶点 D 的坐标. 解:因为平行四边形的两条对角线的中点相同, 所以它们的坐标也相同.

设点 D 的坐标为 (x,y) ,则
?x ? 2 ?3? 5 ? 2 ? 2 ?1 ? y?2 0?2 ? ? ?1 2 ? 2

解得

?x ? 0 ? ?y ? 4

所以顶点 D 的坐标为 (0,4) .

已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,0),B(2,-4),C(6,2),

求顶点 D 的坐标.

1.直角坐标系中两点间的距离公式. 2.直角坐标系中两点的中点公式. 3.点的对称.

必做题:P 70 练习 A 第 1 题,第 2 题; 选做题:P 70 练习 B 第 3 题.



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