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菁优网经典数列和向量难度系数0.6题及解析


2015 年 06 月 18 日
一.选择题(共 6 小题) 1. (2015?上海模拟)设 θ 为两个非零向量 , 的夹角,已知对任意实数 t,| +t |的最小 值为 1. ( ) A. 若 θ 确定,则| |唯一确定 C. 若| |确定,则 θ 唯一确定 B. D.

若 θ 确定,则| |唯一确定 若| |确定,则 θ 唯一确定
<

br />2. (2013 秋?瑞安市校级期中)设 A. B. C.

是两个非零向量,则下列结论不正确的是(





,则 ,则 与 共线

若存在一个实数 k 满足

D. 若 与 为同方向的向量,则

3. (2014?桃城区校级模拟)设向量

, 满足 ) C.



,<

>=60°,则| |的最大值等于( A.2 B.

D.1

4. (2011?安徽模拟)项数大于 3 的等差数列{an}中,各项均不为零,公差为 1,且 .则其通项公式为( A.n﹣3 B.n ) C.n+1 D.2n﹣3

5. (2005?安徽) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知平面区域 A={ (x, y) |x+y≤1, 且 x≥0, y≥0}, 则平面区域 B={(x+y,x﹣y)|(x,y)∈A}的面积为( ) A.2 B.1 C. D.

6. (2013?山东)设正实数 x,y,z 满足 x ﹣3xy+4y ﹣z=0,则当 ﹣z 的最大值为( )
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2

2

取得最小值时,x+2y

A.0

B.

C .2

D.

二.填空题(共 10 小题) 7.已知 , 是单位向量, ? =0.若向量 满足| ﹣2 ﹣ |=1,则| | 的取值范围 是 .
2

8. (2014 秋?温州校级期中) 已知 则| |的最大值是 .

?

是单位向量, ?

=0. 若向量

满足|





|=1,

9. (2009?安徽)给定两个长度为 1 的平面向量



,它们的夹角为 120°.如图所示, =x +y ,其中 x,y∈R,则 x+y

点 C 在以 O 为圆心,以 1 半径的圆弧 AB 上变动.若 的最大值是 .

10. (2014?和平区二模)如图,在△ ABC 中,∠ BAC=120°,AB=2,AC=1.D 是 BC 边上的 一点(不含端点) ,则 ? 的取值范围是 .

11. (2013 春?江都市校级期中)两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 ,则 = .

12. (2015?张家港市校级模拟)已知两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn, 若 ,则使 为整数的正整数的个数是 .

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13. (2012 秋?灌南县校级期中)设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1, 2,…) ,若数列{bn}有连续四项在集合{﹣53,﹣23,19,37,82}中,则 q= . 14. (2014 春?遂平县校级期中)一同学在电脑中打出如下若干分圈: …若将此若干个圈依次规律继续下去, 得到一系列的 圈,那么在前 120 个圈中的●的个数是 . 15. (2014 春?西陵区校级期中)一个牧羊人赶着一群羊通过 6 个关口,每过一个关口,守 关人将拿走当时羊的一半, 然后退还 1 只给牧羊人, 过完这些关口后, 牧羊人只剩下 2 只羊, 则原来牧羊人到底赶着 只羊.

16. (2013?江苏)在正项等比数列{an}中, 的最大正整数 n 的值为 .

,a6+a7=3,则满足 a1+a2+…+an>a1a2…an

三.解答题(共 3 小题) 2 2 17.已知 f(A,B)=sin 2A+cos 2B﹣ sin2A﹣cos2B+2. (1)设△ ABC 的三内角为 A、B、C,求 f(A,B)取得最小值时,C 的值; (2)当 A+B= 且 A、B∈R 时,y=f(A,B)的图象按向量 平移后得到函数 y=2cos2A 的

图象,求满足上述条件的一个向量 p. 18.如图,在矩形 ABCD 中,AB= ? = ,求 ? . ,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若

19. (选做题)设实数 x,y,z 满足 x+2y﹣3z=7,求 x +y +z 的最小值.

2

2

2

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2015 年 06 月 18 日
参考答案与试题解析

一.选择题(共 6 小题) 1. (2015?上海模拟)设 θ 为两个非零向量 , 的夹角,已知对任意实数 t,| +t |的最小 值为 1. ( ) A. 若 θ 确定,则| |唯一确定 C. 若| |确定,则 θ 唯一确定 B. D.

若 θ 确定,则| |唯一确定 若| |确定,则 θ 唯一确定

考点: 平面向量数量积的运算;零向量;数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 2 由题意可得( +t ) = +2 t+ ,令 g(t)= +2 数可知当 t=﹣ =﹣

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t+

,由二次函 sin θ=1,综
2

cosθ 时,g(t)取最小值 1.变形可得

合选项可得结论. 解答: 2 解:由题意可得( +t ) = 令 g(t)= 可得△ =4 +2 ﹣4 t+ =4

+2

t+

cos θ﹣4

2

<0

由二次函数的性质可知 g(t)>0 恒成立 ∴ 当 t=﹣ =﹣ cosθ 时,g(t)取最小值 1.

即 g(﹣

cosθ)=﹣

+

=

sin θ=1

2

故当 θ 唯一确定时,| |唯一确定, 故选:B 点评: 本题考查平面向量数量级的运算,涉及二次函数的最值,属中档题.

2. (2013 秋?瑞安市校级期中)设

是两个非零向量,则下列结论不正确的是(



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A. B. C.



,则 ,则 与 共线

若存在一个实数 k 满足

D. 若 与 为同方向的向量,则

考点: 向量加减混合运算及其几何意义;平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线定理即可判断出. 解答: 解:A.∵ 是两个非零向量,当 , 异向时,有 B.∵ ,∴ 成立.

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,A 不成立;

C.存在一个实数 k 满足

,由向量关系定理可得: 与 共线. 正确.

D.∵ 与 为同方向的向量,∴

综上可知:只有 A 不成立. 故选 A. 点评: 本题考查了向量共线定理和模的性质,属于基础题.

3. (2014?桃城区校级模拟)设向量

, 满足 ) C.



,<

>=60°,则| |的最大值等于( A.2 B.

D.1

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用向量的数量积求出 的夹角;利用向量的运算法则作出图;结合图,判断出
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四点共圆;利用正弦定理求出外接圆的直径,求出 解答: 解:∵ ∴ 设 如图所示
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最大值.

, 的夹角为 120°, , 则 ; =

则∠ AOB=120°;∠ ACB=60° ∴ ∠ AOB+∠ ACB=180° ∴ A,O,B,C 四点共圆 ∵ ∴ ∴ 由三角形的正弦定理得外接圆的直径 2R= 当 OC 为直径时,模最大,最大为 2 故选 A

点评: 本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦 定理. 4. (2011?安徽模拟)项数大于 3 的等差数列{an}中,各项均不为零,公差为 1,且 .则其通项公式为( A.n﹣3 B.n ) C.n+1 D.2n﹣3

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 将

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变为 a1+a2+a3=a1a2a3, 用 a2 与公差 1 表示出首项与第三项,

解出 a2,再由公式求出通项即可 2 2 解答: 解:将 变为 a1+a2+a3=a1a2a3 即得 3a2=a2×(a2 ﹣d ) ,即得 a2 =3+d =4,若 a2=﹣2,则 a4=0,故 a2=2,∴ an=n 故选 B 点评: 本题考查等差数列的通项公式, 解题的关键是对题设中所给的方程进行变形以及利用 等差数列的性质用 a2 与公差表示出其余两项,求出 a2. 5. (2005?安徽) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知平面区域 A={ (x, y) |x+y≤1, 且 x≥0, y≥0}, 则平面区域 B={(x+y,x﹣y)|(x,y)∈A}的面积为( ) A.2 B.1 C. D.
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2 2

考点: 二元一次不等式(组)与平面区域;对数的运算性质. 专题: 计算题;作图题. 分析: 求平面区域 B={(x+y,x﹣y)|(x,y)∈A}的面积为可先找出 B 中点的横纵坐标满 足的关系式,故可令 x+y=s,x﹣y=t,平面区域 A={(x,y)|x+y≤1,且 x≥0,y≥0} 得出 s 和 t 的关系,画出区域求面积即可. 解答: 解:令 x+y=s,x﹣y=t, 由题意可得平面区域 B={(s,t)|s≤1,s+t≥0,s﹣t≥0}, 平面区域如图所示 S△ OAB=2×1÷2=1 故选 B.
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点评: 本题考查对集合的认识、二元一次不等式组表示的平面区域等知识,以及转化思想、 作图能力.
2 2

6. (2013?山东)设正实数 x,y,z 满足 x ﹣3xy+4y ﹣z=0,则当 ﹣z 的最大值为( A.0 ) B.

取得最小值时,x+2y

C .2

D.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 2 2 将 z=x ﹣3xy+4y 代入
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,利用基本不等式化简即可求得 x+2y﹣z 的最大值.

解答: 解:∵ x ﹣3xy+4y ﹣z=0, 2 2 ∴ z=x ﹣3xy+4y ,又 x,y,z 为正实数, ∴ = + ﹣3≥2 ﹣3=1(当且仅当 x=2y 时取“=”) ,

2

2

即 x=2y(y>0) , 2 2 ∴ x+2y﹣z=2y+2y﹣(x ﹣3xy+4y ) 2 =4y﹣2y 2 =﹣2(y﹣1) +2≤2. ∴ x+2y﹣z 的最大值为 2.
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故选:C. 点评: 2 2 本题考查基本不等式, 将 z=x ﹣3xy+4y 代入 考查配方法求最值,属于中档题.

, 求得

取得最小值时 x=2y 是关键,

点评: 本题是向量的坐标表示的应用,结合图形,利用三角函数的性质,容易求出结果. 10. (2014?和平区二模)如图,在△ ABC 中,∠ BAC=120°,AB=2,AC=1.D 是 BC 边上的 一点(不含端点) ,则 ? 的取值范围是 (﹣5,2) .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知可得 =

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.由于 B,C,D 三点共线,利用向量共 . (0<λ<1) .再利用数量积运 ,展开即可得出.

线定理可得存在实数 λ 使得 算可得 ? =

解答: 解:∵ 在△ ABC 中,∠ BAC=120°,AB=2,AC=1. ∴ = =﹣1. . (0<λ<1) .

∵ B,C,D 三点共线,∴ 存在实数 λ 使得 ∴ ? = = ﹣(1﹣λ) +

=7λ﹣5, ∵ 0<λ<1, ∴ ﹣5<7λ﹣5<2. ∴ ? 的取值范围是(﹣5,2) .

故答案为: (﹣5,2) . 点评: 本题考查了向量共线定理、数量积运算性质,考查了推理能力和计算能力,属于中档 题.

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11. (2013 春?江都市校级期中)两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 ,则 = .

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 令 n=13, 分别利用等差数列的求和公式表示出 A13 和 B13, 利用等差数列的性质化简, 得到其和的值分别等于各数列的第 7 项的 13 倍,进而得到 A13 与 B13 的比值等于 a7 与 b7 的比值,故把 n=13 代入已知的等式,求出 A13 与 B13 的比值,即为所求式子的 比值. 解答:
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解:令 n=13,所以 A13=

=13a7;

同理 B =

n

=13b7,



=

=

=

= .

故答案为: 点评: 此题考查了等差数列的前 n 项和公式,以及等差数列的性质,熟练掌握等差数列的性 质是解本题的关键. 分析: 设正项等比数列{an}首项为 a1,公比为 q,由题意可得关于这两个量的方程组,解之 可得数列的通项公式和 a1+a2+…+an 及 a1a2…an 的表达式,化简可得关于 n 的不等式, 解之可得 n 的范围,取上限的整数部分即可得答案. 解答: 解:设正项等比数列{an}首项为 a1,公比为 q,

由题意可得

,解之可得:a1=

,q=2,

故其通项公式为 an=

=2

n﹣6



记 Tn=a1+a2+…+an=
﹣5 ﹣4

=
n﹣6
﹣5﹣4+…+n﹣6



Sn=a1a2…an=2 ×2 …×2 由题意可得 Tn>Sn,即

=2

= ,





第 9 页(共 11 页)

化简得:2 ﹣1> 因此只须 n> 解得 <n<

n

,即 2 ﹣ ,即 n ﹣13n+10<0 ,
2

n

> 1,

由于 n 为正整数,因此 n 最大为

的整数部分,也就是 12.

故答案为:12 点评: 本题考查等比数列的求和公式和一元二次不等式的解法,属中档题. 解答: 解: (1)f(A,B)=(sin2A﹣
2 2

) +(cos2B﹣ ) +1,

由题意



∴ C=

或 C=

. ,∴ 2B=π﹣2A,cos2B=﹣cos2A. sin2A+3=2cos(2A+ )+3=2cos2(A+ )+3.

(2)∵ A+B=

∴ f(A,B)=cos2A﹣ 从而向量 =(

,﹣3) (只要写出一个符合条件的向量 p 即可) .

点评: 本题主要考查三角函数的基本性质和诱导公式的应用.三角函数部分公式比较多,要 强化记忆. 18.如图,在矩形 ABCD 中,AB= ? = ,求 ? . ,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若

考点: 向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 建立坐标系,求出相关点的坐标,然后求解数量积即可. 解答: 解:以 AB,AD 为 x,y 轴建立直角坐标系如图:
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则 B( ∵ ? =

) ,A(0,0) ,D(0,2) , ,∴ F(1,2) , ) . .

点 E 为 BC 的中点,∴ E( ? =(

)?(1,2)=2+

点评: 本题考查向量在几何中的应用,建立空间直角坐标系是解题的关键之一,考查计算能 力. 19. (选做题)设实数 x,y,z 满足 x+2y﹣3z=7,求 x +y +z 的最小值. 考点: 柯西不等式. 专题: 计算题. 2 2 2 2 2 2 2 分析: 利用柯本不等式,可得(x +y +z )[1 +2 +(﹣3) ]≥(x+2y﹣3z) ,结合已知等式和不等式 2 2 2 等号成立的条件,不难得出 x +y +z 的最小值及其相应的 x、y、z 值. 2 2 2 2 2 2 2 解答: 解:由柯西不等式,得(x +y +z )[1 +2 +(﹣3) ]≥(x+2y﹣3z) , ∵ x+2y﹣3z=7,
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2

2

2

∴ 14(x +y +z )≥49,得 x +y +z ≥ 当且仅当 x= = 时,即 x= ,y=1,z=﹣ 时,x +y +z 的最小值为 .
2 2 2

2

2

2

2

2

2

2 2 2 点评: 本题给出条件等式,求 x +y +z 的最小值,着重考查了利用柯西不等式求最值的知识,

第 11 页(共 11 页)


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