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浙江省杭州学军中学2016届高三上学期第二次月考数学理试题


杭州学军中学 2015-2016 学年高三第二次月考

数学 (理科) 试卷

选择题部分(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知全集为 U ? R ,集合 M ? {x x ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? { y y ? x ? 1} , 则 M ? (CU N ) 为
2 2

(

) A. {x ? 1 ? x ? 1} B. {x ? 1 ? x ? 1} C. {x 1 ? x ? 3} D. {x 1 ? x ? 3} )

2. 已知 a, b, c, d 为实数,且 c ? d 。则“ a ? b ”是“ a ? c ? b ? d ”的( A. 充分而不必要条件 C.充要条件 3.已知函数 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

f ?x ? ? 2 sin(?x ? ? )

(? ? 0,0 ? ? ? ? ) ,
)
y 2
3
5? 24

且函数的图象如图所示,则点 (? , ? ) 的坐标是(

A

? ( 2, ) 3
2? ) 3

B

? ( 4, ) 3
?

?
24

o -2

x

C ( 2,

D ( 4,

2? ) 3

4.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如 解析式为 y ? 2 x ? 1,值域为 ?9? 的“孪生函数”就有三个,那么解析式为 y ? log2 ( x
2

2

?1) ,

值域为 ? 1,5?的“孪生函数”共有( A.6 个 B.7 个

). C.8 个 D.9 个

5.已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? , 其中?为实数,且f ? x ? ? f ?

? 2? ? 9

? 记 ? 对 x ? R恒成立。 ?
) D.

? 2? P? f ? ? 3

? ? 5? ?,Q ? f ? ? ? 6

? ? 7? ?, R ? f ? ? ? 6

? ? , 则P, Q, R的大小关系是 ( ?
C.

A. R ? P ? Q

B.

Q ? R? P

P ? Q? R

Q ? P? R

6.已知函数 y =sin x + a cos x 的图象关于 x = 线 ( )

5? 对称,则函数 y = a sin x +cos x 的图象关于直 3

A. x =

? 对称 3

B. x =

2? 对称 3

C. x =

11? 对称 6

D. x = ? 对称

7. 对 于 实 数 a , b , 定 义 运 算 “ ? ” :

??a 2 ? 2ab ? 1, ? a ?b ? ? 2 ? ?b ? ab,

a?b a?b

, 设

f ( x) ? (2 x ? 1) ? ( x ? 1) ,且关于 x 的方程为 f ( x ) ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根

x1 , x2 , x3 ,则 x1 x2 x3 的取值范围是(
A. ? ?

) C. ? 0,

? 1 ? ,0? ? 32 ?

B. ? ?

? 1 ? ,0? ? 16 ?

? ?

1 ? ? 32 ?

D. ? 0,

? 1? ? ? 16 ?

8.已知 x ? R ,符号 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,若函数 f ( x) ?

? x ? ? a 有且仅有 3 个零点,则
x
?1 2? ? ? ?5 3? ? ?

a 的取值范围是(
A. ? , ? ? ? , ? 4 5 3 2

) B. ? , ? ? ? , ? 4 5 3 2

? 3 4? ? ?

?4 3? ? ?

?3 4? ? ?

?4 3? ? ?

C. ? , ? ? ? , ? 2 3 4 2

? 1 2? ? ?

?5 3 ? ? ?

D. ? , ? ? ? , ? 2 3 4 2

9.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? 若 ?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范围为( A. ? ? , ? 6 6

1 (| x ? a 2 | ? | x ? 2a 2 | ?3a 2 ) , 2


? 1 1? ? ?

B. ? ?

? ?

6 6? , ? 6 6 ?

C. ? ? , ? ? 3 3?

? 1 1?

D. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

? 1 ( x ? 2) ? 10.定义在 R 上函数 f ( x) ? ? x ? 2 若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? mf ( x) ? m ?1 ? 0 (其中 ?1( x ? 2) ?
m ? 2) 有 n 个不同的实数根 x1 , x2 ,..., xn , 则f (? xi )的值为( )
i ?1 n

A.

1 4

B.

1 8

C.

1 12

D.

1 16
,单调递增区间是 .

二、填空题(本大题共 7 小题,共 28 分.) 11. 函数 f ( x) ? cos x ? sin x cos x ?1 的最小正周期是
2

12.设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ?

1 ,则使得 f ( x) ? f (3x ? 1) 成立的 x 的取值范围是 1 ? x2

13. 不 等 式 2x ?1 ? m( x 2 ?1) 对 满 足 | m |? 2 的 一 切 实 数 是 .

m

都成立,

x 的取值范围

14.已知? , ? 为锐角,sin ? ?
15.设函数 f ( x ) ?

2 10 ,sin ? ? , 则? ? 2? ? 10 10

1

? ? ?? ? cos ? ? x ? ? ? ,对任意 x ? R 都有 f ? ? ? x? ? f ? ? x? , 2 ?3 ? ?3 ?

若函数 g ( x) ? 3sin ?? x ? ? ? ? 2 ,则 g ?

?? ? ? 的值为 ?3?

16.已知定义在 R 上的单调递增奇函数 f(x), 若当 o ? ? ? 恒成立,则实数 m 的取值范围是________. 17.若实数 x , y 满足 2cos 2 ? x ? y ? 1? ?

?
2
2

时, f(cos2θ+2msin θ)+f(-2m-2)<0

? x ? 1? ? ? y ? 1?
2

? 2 xy

x ? y ?1

, 则 xy 的最小值为

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18. (本题满分 14 分)已知集合 P ? ? x

? 1 ? ? x ? 2? y ? log2 (ax2 ? 2x ? 2) 的定义域为 Q. ? 2 ?

(1)若 P ? Q ? ? ,求 a 实数的取值范围; (2)若方程 log2 (ax2 ? 2x ? 2) ? 2 在 ? , 2 ? 内有解,求实数 a 的取值的取值范围. 2

?1 ?

? ?

19.(本题 14 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ; (1)若 y ? f ( x) 在 [ ?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(2) 令 ? ? 4 , 将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位 , 再向上平移 1 个单位 , 得到函数 12

y ? g ( x) 的图像,区间 [a, b] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 20 个零点,
在所有满足上述条件的 [ a, b] 中,求 b ? a 的最小值.

20.(本题满分 15 分) 已知函数

f ( x) ? ax2 ? x ? 3 ,

(1)求 a 的范围,使 y ? f ( x) 在 [?2,2] 上不具单调性; (2)当 a ?

1 时,函数 f ( x) 在闭区间 [t , t ? 1] 上的最大值记为 g (t ) ,求 g (t ) 的函数表达式; 2

(3)第(2)题的函数 g (t ) 是否有最值,若有,请求出;若没有,请说明理由。

21.(本题满分 14 分)已知函数 ft ( x) ? cos2 x ? 2t sin x cos x ? sin 2 x (1)若 f1 ( ) ?

?

2

3 ,试求 sin 2? 的值. 4

(2)定义在 ? ? 与

7? 7? ? ? 5? ? 对称,且当 x ? 时, g ( x) 的图像 , ? 上的函数 g ( x) 的图像关于 x ? 24 24 ? 4 6 ?

y ? f 3 ( x) 的图像重合.记 M? ? {x g ( x) ? ?} 且 M? ? ? ,试求 M ? 中所有元素之和.

22.(本题 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a ? 2 ,
2

(1)若 f ( x) ? 0 的解集 A ? [0,3] ,求实数 a 的取值范围;

x) ? f( x) x ? (2) 若 g(

2 1 ?

在区间 (0,3) 内有两个零点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 求实数 a 的取值范围。

杭州学军中学 2015-2016 学年高三第二次月考

数学试卷(理科) 参考答案
一、选择题: ABDDC CAABB

二、填空题:(本大题共 7 小题,共 28 分.)

1 1 3? ?? ? 11. ? , ? k? ? 12. ( , ) , k? ? ? , k ? Z 4 2 8 8? ? ? 1 1 14. 4 15. -2 16. m>- 17. 4 2

13.

(

7 ?1 3 ?1 , ) 2 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 已知集合 P ? ? x
2 ? 1 ? ? x ? 2? y ? log(2ax ?2 x?2) 的定义域为 Q. ? 2 ?

(1)若 P ? Q ? ? ,求 a 实数的取值范围;
ax (2)若方程 log( 2
2

? 2 x ? 2)

?1 ? ? 2 在 ? , 2 ? 内有解,求实数 a 的取值的取值范围. ?2 ? ?1 ? ? ?

解: (1)由已知 Q={x|ax ﹣2x+2>0},若 P∩Q≠?,则说明在 ? , 2 ? 内至少有一个 x 值, 2 使不等式 ax ﹣2x+2>0,即在 ? , 2 ? 内至少有一个 x 值,使 a ? ? 2 成立, x x ?2 ?
2

2

?1

?

2

2

令u ?

2 2 ? ,则只需 a ? umin x x2

∴ a 的取值范围是 a >﹣4;………………………….(6 分) (2)∵方程 ∴ ,

∵ ∴ .………………..(14 分)

19.(本题 14 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ;

(1)若 y ? f ( x) 在 [ ?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(2) 令 ? ? 4 , 将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位 , 再向上平移 1 个单位 , 得到函数 12

y ? g ( x) 的图像,区间 [a, b] ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [a, b] 上至少含有 20 个零点,

在所有满足上述条件的 [ a, b] 中,求 b ? a 的最小值.
解:(1)因为 ? ? 0 ,根据题意有

? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 4 2 ? 0 ? ? ? …………………….(6 分) ? 4 ? 2? ? ? ? ? 2 ? 3
(2) f ( x) ? 2sin(4 x) , g ( x) ? 2sin(4( x ?

)) ? 1 ? 2sin(4 x ? ) ? 1 12 3 ? 1 1 ? 1 5 g ( x) ? 0 ? sin(4 x ? ) ? ? ? x ? k? ? 或 x ? k? ? ? , k ? Z , 3 2 2 8 2 24

?

?

即 g ( x) 的零点相离间隔依次为

? ? 和 , 3 6

故若 y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 20 个零点,则 b ? a 的最小值为

10 ?

?
6

? 9?

?
3

?

14? . ..(14 分) 3

20.(本题满分 14 分) 已知函数

f ( x) ? ax2 ? x ? 3 ,

(1)求 a 的范围,使 y ? f ( x) 在 [?2,2] 上不具单调性;

1 时,函数 f ( x) 在闭区间 [t , t ? 1] 上的最大值记为 g (t ) ,求 g (t ) 的函数表达式; 2 (3)第(2)题的函数 g (t ) 是否有最值,若有,请求出;若没有,请说明理由。
(2)当 a ? 解:(1)由题知 ?2 ? ? (2 当 a ?

1 1 1 ? 2 ,解得 a ? 或 a ? ? ………………(4 分) 2a 4 4

1 时, 2

f ( x) ?

1 2 1 7 x ? x ? 3 ? ( x ? 1) 2 ? 2 2 2

?1 2 ? 2 t ? t ? 3 ( t ? 1) ? ? 7 g (t ) ? ?? (0 ? t ? 1) ……………….(10 分) 2 ? ?1 2 7 ? 2 t ? 2 ( t ? 0) ? 7 (3)当 t ? 1 时, g (t ) ? ? 2 7 当 0 ? t ? 1 时, g (t ) ? ? 2 7 当 t ? 0 时, g (t ) ? ? 2 7 综上: g (t ) 有最小值 ? ,无最大值……………….(14 分) 2

21. (本题满分 15 分) 已知函数 ft ( x) ? cos2 x ? 2t sin x cos x ? sin 2 x

3 ,试求 sin 2? 的值. 2 4 7? 7? ? ? 5? ? (2)定义在 ? ? , 上的函数 g ( x) 的图像关于 x ? 对称,且当 x ? 时, g ( x) 的图像 ? 24 24 ? 4 6 ?
(1)若 f1 ( ) ? 与

?

y ? f 3 ( x) 的图像重合.记 M? ? {x g ( x) ? ?} 且 M? ? ? ,试求 M ? 中所有元素之和.
解: (1) ? f1 ( ) ? cos

?

2

?
2

2

又? ? sin ? ? cos ? ?

2

2 9 ? 1 ? sin 2? ? 16

? 2sin

?

cos

?
2

? sin 2

?
2

? sin ? ? cos ? ? 7 16

3 4

? sin 2? ? ?

(6 分)

) ? g ( x) 6 ? ? ? 3? ? ? ? 7? ? ? x ? ? ? , ? ,? 2 x ? ? ?? , ? , 6 ? 3 4? ? 4 24 ? 记 M ? 中所有的元素之和为 S,由图像及对称性得 7? 7? ? 当 ? 3 ? a ? 2 时, S ? 2 ? 24 12 7? 7? ? 当 a ? 2 时, S ? 3 ? 24 8 7? 7? ? 当 2 ? a ? 2 时, S ? 4 ? 24 6 7? 7? ? 当 a ? 2 时, S ? 2 ? (15 分) 24 12 22.(本题 15 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? a ? 2 , (1)若 f ( x) ? 0 的解集 A ? [0,3] ,求实数 a 的取值范围;
x) ? f( x) x ? (2) 若 g(
2 1 ?

(2)依题意得, f 3 ( x) ? 2sin(2 x ?

?

在区间 (0,3) 内有两个零点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 求实数 a 的取值范围。
2

解: (1)若 A ? ? ,则 ?=4a ? 4(a ? 2) ? 4(a ? 2)(a ? 1) ? 0 ? ?1 ? a ? 2

(1 分)

? ??0 ? a ? ?1或a ? 2 ?0 ? a ? 3 ? 0?a?3 11 ? ? 若 A ? ?, 则 ? ?? ?2?a? . a?2?0 5 ? f (0) ? 0 ? ? ? f (3) ? 0 ? ?9 ? 6a ? a ? 2 ? 0
综合得: ?1 ? a ?
2

(4 分)

11 5
2

(5 分)

(2) g ( x) ? x ? 2ax ? a ? 2 ? x ? 1 ? ?

?2 x 2 ? 2ax ? a ? 1 ( x ? 1) ? . ( x ? 1) ? ? ?2ax ? a ? 3

(6 分)

2 ? ?2 x ? 1 ( x ? 1) 讨论:若 a ? 0 时, g ( x) ? ? 无零点; ( x ? 1) ? ?3

(7 分)

若 a ? 0 时,由于 h( x) ? ?2ax ? a ? 3 在 (0,1) 单调,所以在 (0,1) 内 h( x) 至多只有 一个零点。记 ?( x) ? 2x2 ? 2ax ? a ? 1 。 ① 若 0 ? x1 ? 1,1 ? x2 ? 3,

? a?3 ? h(0) ? h(1) ? 0 ? 3(?a ? 3) ? 0 19 ? 则? ?? ?? 19 ? 3 ? a ? . (10 分) 5 ??(1) ? ?(3) ? 0 ?(3 ? a)(19 ? 5a) ? 0 ?3 ? a ? 5 ?
经检验 a ?

19 4 19 19 . ?3 ? a ? 时 ? ( x) 的零点为 ,3 ? [1,3) ,? a ? 5 5 5 5

(11 分)

② 若 1 ? x1 ? x2 ? 3,

?? ? 4a 2 ? 8(a ? 1) ? 0 ?a ? 1 ? 3或a ? 1 ? 3 ? ? a 2?a?6 ? ? 1? ? 3 ? ? ?? ? 1 ? 3 ? a ? 3. (14 分) 则? 2 a?3 ? ? ?(1) ? 0 19 ? ? a? ? (3) ? 0 ? ? ? 5 ? 19 综合①②得,实数 a 的取值范围是 (1 ? 3, ) 。 (15 分) 5


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