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高二补课3


1.设 a、b 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( ) A.若 a∥b,a∥α ,则 b∥α B.若 α ⊥β ,a∥α ,则 a⊥β C.若 α ⊥β ,a⊥β ,则 a∥α D.若 a⊥b,a⊥α ,b⊥β ,则 α ⊥β 2.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不重合的平面,给出下列四个命题: ① ?n⊥α ;② ?m∥n;③ ?n⊥β

;④ ?n∥α .

其中正确命题的序号是( ) A.①④ B.②④ C.①③ D.②③ 3.(5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α ,n∥α ,则 m⊥n ②若 α ∥β ,β ∥γ ,m⊥α ,则 m⊥γ ③若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n ④若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α ∥β 其中正确命题的序号是() A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 4.(5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是() A. 若 α ⊥β ,m? α ,n? β ,则 m⊥n B. 若 α ∥β ,m? α ,n? β ,则 m∥n C. 若 m⊥n,m? α ,n? β ,则 α ⊥β D. 若 m⊥α ,m∥n,n∥β ,则 α ⊥β 5.(5 分)设直线 l?平面 α,过平面 α 外一点 A 与 l,α 都成 30° 角的直线有且只有() A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 6.(5 分)对于任意的直线 l 与平面 α,在平面 α 内必有直线 m,使 m 与 l() A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 互为异面直线 7.(5 分)设 m、n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则() A. 若 m⊥n,n∥α ,则 m⊥α B. 若 m∥β ,β ⊥α ,则 m⊥α C. 若 m⊥β ,n⊥β ,n⊥α ,则 m⊥α D. 若 m⊥n,n⊥β ,β ⊥α ,则 m⊥α 8.(3 分)设 a,b 是夹角为 300 的异面直线,则满足条件“a?α,b?β,且 α⊥β”的平面 α,β() A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对 9.(5 分)垂直于同一条直线的两条直线一定() A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上都有可能 10. 下列命题中,错误的是( ▲ ) A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平 面相交 B.平行于同一平面的两条直线不一定平行 C.如果平面 ? , ? 垂直,则过 ? 内一点有无数条直线与 ? 垂直. D.如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? 11. 给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 ( ▲ ) A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④ 12. a, b, c 为空间中三条直线,若 a ? b , b ? c ,则直线 a, c 的关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 13.过△ ABC 所在平面 α 外一点,作 PO⊥α,垂足为 O,连接 PA,PB,PC.若 PA=PB=PC,则点 O 是△ ABC 的 心.

14.(5 分)若 l 为一条直线,α,β,γ 为三个互不重合的平面,给出下面四个命题:①α⊥γ,β⊥γ, 则 α⊥β;②α⊥γ,β∥γ,则 α⊥β;③l∥α,l⊥β,则 α⊥β.④若 l∥α,则 l 平行于 α 内的所有直 线.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上) 15.(5 分)已知平面 α,β 和直线,给出条件: ①m∥α ;②m⊥α ; ③m?α ;④α ⊥β ;⑤α ∥β . (i)当满足条件 时,有 m∥β ; (ii)当满足条件 时,有 m⊥β .(填所选条件的序号) 16.(5 分)已知 PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面,若 PC⊥BD,平行四边形 ABCD 一定是 . 17.给出下列四个命题: P (1)若平面 ? 上有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? ; (2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线; (3)两条异面直线中的一条平行于平面 ? ,则另一条必定不平行于平面 ? ; C (4) a , b 为异面直线,则过 a 且与 b 平行的平面有且仅有一个.其中正确命题 A 的序号是_________ B ? 18.如图,△ABC 是直角三角形, ? ACB= 90 ,PA ? 平面 ABC,此图形中有 个直角三角形 19.已知点 P,直线 a, b, c 以及平面 ? , ? ,给出下列命题:①若 a , b 与 ? 成等 角,则 a ∥ b ;②若 ? ∥ ? , c ⊥ ? ,则 c⊥ ? ③若 a ⊥ b , a ⊥ ? ,则 面直线。 其中错误命题的序号是 20.在四面体 ABCD 中, 则二面角 A ? BC ? D 的大小为__________.

b ∥ ? ④若 ? ⊥ ? , a ∥ ? ,则 a ⊥ ? ⑤若 a ⊥ c , b ⊥ c ,则 a ∥ b 或 a , b 异

AB ? 1, AD ? 2 3, BC ? 3, CD ? 2, ?ABC ? ?DCB ?

?
2

,

21.平面 ∥平面 , , ,则直线 , 的位置关系是 ________。 22.(12 分)如图,已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,AD1 与 A1D 相交于点 O.(1)判断 AD1 与平面 A1B1CD 的位置关系,并证明; (2)求直线 AB1 与平面 A1B1CD 所成的角. 23. 如 图 , 四 棱 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 底 面 ABCD 是 平 行 四 边 形 , 且 A1 AB ? 1 , BC ? 2 , ?ABC ? 60 0 , E 为 BC 的中点, AA1 ? 平面 ABCD . (Ⅰ)证明:平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ; (Ⅱ)若 DE ? A1 E ,试求异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角 C -A1 D -E 的余弦值. 24. 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC, ?BCA ? 90 0 , AP=AC, 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 BC//平面 ADE B (Ⅰ)求证:DE⊥平面 PAC ;
F

D1 C1

B1

A E
C

D

(Ⅱ)当二面角 A ? DE ? P 为直二面角时,求多面体 ABCED 与 PAED 的体积 比。 25. 如图,已知 AB 是⊙ O 的直径, AB=2 , C 是⊙ O 上一点,且 AC=BC ,

PA ? 6 , PC ? 2 2 , PB ? 10 ,E 是 PC 的中点,F 是 PB 的中点.
(1)求证:EF//平面 ABC; (2)求证:EF ?平面 PAC; (3)求 PC 与平面 ABC 所成角的大小.

26.正方形 ABCD 所在的平面与三角形 CDE 所在的平面交于 CD,且 AE⊥平面 CDE. (1)求证:AB∥平面 CDE; (2)求证:平面 ABCD⊥平面 ADE. 27.已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面 ?ABC 中, ?C ? 90 ? , BC ?

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2. (Ⅰ)求证: AO ? 平面 BCD;
(Ⅱ)求点 E 到平面 ACD 的距离.
A

C

2 , BB1 ? 2 ,

O 是 AB1 的中点,D 是 AC 的中点 , M 是 CC1 的中点 , (1)证明: OD // 平面 BB1C1C ; (2)试证: BM ? AB1

D O

A1

B E

D1

B1

C1
A

O B

D

D E

A
E C

F
P

B

C



28.在四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC , ?ABC ? ?APB ? 90 ,点 M 是线段 AB 上的一点,且 PM ? CD , AB ? BC ? 2 PB ? 2 AD ? 4 BM . (1)证明:面 PAB ? 面 ABCD ; (2)求直线 CM 与平面 PCD 所成角的正弦值. 29.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱垂直于底面, ?BAC ? 90? ,
0

34.如图,等腰梯形 ABEF 中,AB//EF,AB=2,AD=AF=1,AF⊥BF,O 为 AB 的中点,矩形 ABCD 所在平面与平面 ABEF 互相垂直. (1)求证:AF⊥平面 CBF; (2)在棱 FC 上是否存在点 M,使得 OM//平面 DAF? (3)求点 A 到平面 BDF 的距离. 35. 如 图 , PA ? 矩形ABCD所在的平面, M、N分别是AB、PC 的中点. (1)求证: MN // 平面PAD ;(2)求证: MN ? CD ;

N

D

C

A

M

B

AB ? AA1 ? 2 , AC ? 1 , M , N 分别是 A1 B1 , BC 的中点. (Ⅰ)证明: AB ? AC1 ; (Ⅱ)证明: MN ∥ 平面 ACC1 A1 ; (Ⅲ)求二面角 M ? AN ? B 的余弦值.
30.如图所示,PA⊥平面 ABC,点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上,∠CBA =30°,PA=AB=2,点 E 为线段 PB 的中点,点 M 在 AB 上,且 OM∥AC. (1)求证:平面 MOE∥平面 PAC; (2)求证:平面 PAC⊥平面 PCB; (3)设二面角 M-BP-C 的大小为 θ ,求 cosθ 的值. 31. 四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA ? 面ABCD ,垂 足为点 A , PA ? AB ? 2 ,点 M , N 分别是 PD, PB 的中点. (1)求证: PB // 平面ACM ; (2)求证: MN ? 平面PAC ; (3)求四面体 A ? MBC 的体积. 32.如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ?

36. 如图 6,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是平行四边形,且 AB ? 1 , BC ? 2 ,

?ABC ? 600 , E 为 BC 的中点, AA1 ? 平面 ABCD . ⑴证明:平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ; ⑵若 DE ? A1 E ,试求异面直线 AE 与 A1 D
所成角的余弦值. 37.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在 棱 PB 上. (Ⅰ) 求证:平面 AEC⊥平面 PDB; (Ⅱ) 当 PD= 2AB,且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的 角的大小. 38.如图, ABCD 为矩形,CF⊥平面 ABCD,DE⊥平面 ABCD,AB=4a, BC= CF=2a, P 为 AB 的中点. (1)求证:平面 PCF⊥平面 PDE; (2)求四面体 PCEF 的体积. 39.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形, E、F 分别为 PC、BD 的中点,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD= AD.

π ,斜边 AB ? 4 . Rt△ AOC 6
A D

可 以 通 过 Rt△ AOB 以 直 线 AO 为 轴 旋 转 得 到 , 且 二 面 角 B ? AO ? C 是直二面角.动点 D 的斜边 AB 上. (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)求 CD 与平面 AOB 所成角的正弦的最大值. 33.如图,在四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

(1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD.

40.(本小题满分 13 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,

AB⊥BB1,AC=BC=BB1=2,D 为 AB 的中点,且 CD⊥DA1. ( 1 ) 求证:BB1⊥平面 ABC; ( 2 ) 求二面角 C-DA1-C1 的余弦值. 41. (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 中点.

ABCD ? A1B1C1D1 中,点 O 是 BD
(1)证明:CF⊥平面 ADF; (2)求二面角 D-AF-E 的余弦值. 45.如图所示,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ABC=90°,BC=CC1,M、N 分别为 BB1、 A1C1 的中点. (Ⅰ)求证:CB1⊥平面 ABC1; (Ⅱ)求证:MN//平面 ABC1.

(Ⅰ) 求证:平面 BDD1 B1 ? 平面 C1OC ; C ? BD ? C 的正切值. (Ⅱ) 求二面角 1 42. 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , 侧 棱 与 底 面 垂 直 ,

?ABC ? 90? , AB ? BC ? BB1 ? 2 ,

M,N 分 别 是

A1B1 , AC1 的中点. (1)求证: MN ∥平面 BCC1 B1 ; (2)求证: 平面MAC1 ? 平面 ABC1 .

A1 B1
M

C1

N A B 1 C 1 1 a 1 43.啊 如图,在直角梯形 ABCP 中,AP//BC,AP⊥AB,AB=BC= AP=2,D 是 AP 的中点, E,F,G 分别为 2 a PC、PD、CB 的中点,将△PCD 沿 CD 折起,使得 PD⊥平面 ABCD. a 1 1 1 1
1

(1) 求证:平面 PCD⊥平面 PAD; (2) 求二面角 G-EF-D 的大小; (3) 求三棱椎 D-PAB 的体积. 44. 如图 4 ,四边形 ABCD 为正方形, PD⊥平面 ABCD ,∠ DPC = 30 0 , AF⊥ PC 于点 F , FE ∥ CD, 交 PD 于点 E.

试卷答案
1.D 考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:证明题;综合法. 分析:A 选项 a∥b,a∥α ,则 b∥α ,可由线面平行的判定定理进行判断; B 选项 α ⊥β ,a∥α ,则 a⊥β ,可由面面垂直的性质定理进行判断; C 选项 α ⊥β ,a⊥β ,则 a∥α 可由线面的位置关系进行判断; D 选项 a⊥b,a⊥α ,b⊥β ,则 α ⊥β ,可由面面垂直的判定定理进行判断; 解答: 解:A 选项不正确,因为 b?α 是可能的; B 选项不正确,因为 α ⊥β ,a∥α 时,a∥β ,a?β 都是可能的; C 选项不正确,因为 α ⊥β ,a⊥β 时,可能有 a?α ; D 选项正确,可由面面垂直的判定定理证明其是正确的. 故选 D 点评:本题考查线面平行、线面垂直以及面面垂直的判断,主要考查空间立体的感知能力以及组织 相关知识进行判断证明的能力. 2.C 考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:证明题;空间位置关系与距离. 分析:对四个命题分别进行判断,即可得出结论. 解答: 解:根据线面垂直的性质定理可知①正确; α ∥β ,γ ∩α =m,γ ∩β =n,则由平面与平面平行的性质,可得 m∥n,正确. ∵m∥n,m⊥α ,∴n⊥α ,∵α ∥β ,∴n⊥β ,故正确; 根据线面垂直的性质定理可知④,不正确. 故选:C. 点评:本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系,以及空间中直线与平面之间的位置关系 和平面与平面之间的位置关系,属于基础题. 3.A 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;命题的真假判断与应用;空间中直线与直线之间的位 置关系;平面与平面之间的位置关系. 专题: 证明题;压轴题;空间位置关系与距离. 分析: 根据线面平行性质定理,结合线面垂直的定义,可得①是真命题;根据面面平行的性质结 合线面垂直的性质,可得②是真命题;在正方体中举出反例,可得平行于同一个平面的两条直线不 一定平行,垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行,可得③④不正确.由此可得本题的答案. 解答: 解:对于①,因为 n∥α ,所以经过 n 作平面 β ,使 β ∩α =l,可得 n∥l, 又因为 m⊥α ,l?α ,所以 m⊥l,结合 n∥l 得 m⊥n.由此可得①是真命题; 对于②,因为 α ∥β 且 β ∥γ ,所以 α ∥γ ,结合 m⊥α ,可得 m⊥γ ,故②是真命题; 对于③,设直线 m、n 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线, 而平面 α 是正方体下底面所在的平面, 则有 m∥α 且 n∥α 成立,但不能推出 m∥n,故③不正确; 对于④,设平面 α 、β 、γ 是位于正方体经过同一个顶点的三个面, 则有 α ⊥γ 且 β ⊥γ ,但是 α ⊥β ,推不出 α ∥β ,故④不正确. 综上所述,其中正确命题的序号是①和② 故选:A

点评: 本题给出关于空间线面位置关系的命题,要我们找出其中的真命题,着重考查了线面平 行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识,属于中档题. 4.D 考点: 命题的真假判断与应用;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关 系. 专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: 由 α ⊥β ,m? α ,n? β ,可推得 m⊥n,m∥n,或 m,n 异面;由 α ∥β ,m? α , n? β ,可得 m∥n,或 m,n 异面;由 m⊥n,m? α ,n? β ,可得 α 与 β 可能相交或平行;由 m⊥α ,m∥n,则 n⊥α ,再由 n∥β 可得 α ⊥β . 解答: 解:选项 A,若 α ⊥β ,m? α ,n? β ,则可能 m⊥n,m∥n,或 m,n 异面,故 A 错误; 选项 B,若 α ∥β ,m? α ,n? β ,则 m∥n,或 m,n 异面,故 B 错误; 选项 C,若 m⊥n,m? α ,n? β ,则 α 与 β 可能相交,也可能平行,故 C 错误; 选项 D,若 m⊥α ,m∥n,则 n⊥α ,再由 n∥β 可得 α ⊥β ,故 D 正确. 故选 D. 点评: 本题考查命题真假的判断与应用,涉及空间中直线与平面的位置关系,属基础题. 5.B 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 分析: 利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图,即可得到结果. 0 解答: 如图,和 α 成 30 角的直线一定是以 A 为顶点的圆锥的母线所在直线,当 ∠ABC=∠ACB=30°,直线 AC,AB 都满足条件 故选 B.

点评: 此题重点考查线线角,线面角的关系,以及空间想象能力,图形的对称性; 数形结合,重视空间想象能力和图形的对称性; 6.C 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 分类讨论. 分析: 由题意分两种情况判断①l?α ;②l?α ,再由线线的位置关系的定义判断. 解答: 对于任意的直线 l 与平面 α ,分两种情况 ①l 在平面 α 内,l 与 m 共面直线,则存在直线 m⊥l 或 m∥l; ②l 不在平面 α 内,且 l⊥α ,则平面 α 内任意一条直线都垂直于 l; 若 l 于 α 不垂直, 则它的射影在平面 α 内为一条直线,在平面 α 内必有直线 m 垂直于它的射影,则 m 与 l 垂直; 若 l∥α ,则存在直线 m⊥l. 故选 C. 点评: 本题主要考查了线线及线面的位置关系,利用线面关系的定义判断,重点考查了感知能 力. 7.C 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 根据空间线线,线面,面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论. 解答: A.若 m⊥n,n∥α ,则 m⊥α 或 m?α 或 m∥α ,故 A 错误. B.若 m∥β ,β ⊥α ,则 m⊥α 或 m?α 或 m∥α ,故 B 错误. C.若 m⊥β ,n⊥β ,n⊥α ,则 m⊥α ,正确. D.若 m⊥n,n⊥β ,β ⊥α ,则 m⊥α 或 m?α 或 m∥α ,故 D 错误. 故选:C 点评: 本题主要考查空间直线,平面之间的位置关系的判定,要求熟练掌握相应的判定定理和性 质定理. 8.D 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 综合题 . 分析: 先任意做过 a 的平面 α ,然后在 b 上任取一点 M,过 M 作 α 的垂线,可以得到面面垂直; 再结合平面 α 有无数个,即可得到结论. 解答: 任意做过 a 的平面 α ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 α 的垂线,b 与垂线确定的平面 β 垂直与 α . 故选 D. 点评: 本题主要考查立体几何中平面的基本性质及推论,同时考查学生的空间想象能力. 9.D 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 分类讨论. 分析: 根据在同一平面内两直线平行或相交,在空间内两直线平行、相交或异面判断. 解答: 分两种情况:①在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行; ②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面. 故选 D 点评: 本题主要考查在空间内两条直线的位置关系. 10.C 11.D 12.D 13.外 考点:三角形五心. 专题:证明题. 分析:点 P 为△ABC 所在平面外一点,PO⊥α ,垂足为 O,若 PA=PB=PC,可证得 △POA≌△POB≌△POC,从而证得 OA=OB=OC,符合这一性质的点 O 是△ABC 外心. 解答: 证明:点 P 为△ABC 所在平面外一点,PO⊥α ,垂足为 O,若 PA=PB=PC, 故△POA,△POB,△POC 都是直角三角形 ∵PO 是公共边,PA=PB=PC ∴△POA≌△POB≌△POC ∴OA=OB=OC 故 O 是△ABC 外心 故答案为:外. 点评:本题考查三角形五心,求解本题的关键是能够根据题设条件得出 PA,PB,PC 在底面上的射 影相等,以及熟练掌握三角形个心的定义,本题是一个判断形题,是对基本概念的考查题. 14.②③ 考点: 四种命题的真假关系;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 专题: 分析法. 分析: 若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α 与 β 可能平行与可能相交,可判断①的正误; 由两个平行的平面与第三个平面的夹角相同,可判断②的正误; 根据面面垂直的判断定理,我们判断③的正误; 若 l∥α ,则 l 与 α 内的直线平行或异面,可判断④的正误; 逐一分析后,即可得到正确的答案. 解答: ①中,若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则 α 与 β 可能平行与可能相交,故①错误; ②中,若 α ⊥γ ,β ∥γ ,则 α ⊥β ,故②正确; ③中,若 l∥α ,l⊥β ,则 α 中存在直线 a 平行 l,即 a⊥β ,由线面垂直的判定定理,得则 α ⊥β ,故③正确; ④中,若 l∥α ,则 l 与 α 内的直线平行或异面,故④的错误; 故答案:②③ 点评: 本题考查的知识点是利用空间直线与平面之间的位置关系及平面与平面之间的位置关系判 断命题的真假,处理此类问题的关键是熟练掌握线面平行或垂直的判定方法和性质. 15.(i)③⑤(ii)②⑤ 考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (i)要 m∥β 只需 m 在 β 的平行平面内,m 与平面无公共点; (ii)直线与平面垂直,只需直线垂直平面内的两条相交直线,或者直线平行平面的垂线; 解答: 若 m?α ,α ∥β ,则 m∥β ; 若 m⊥α ,α ∥β ,则 m⊥β . 故答案为:(i)③⑤(ii)②⑤ 点评: 本题考查直线与平面垂直的判定与性质,考查逻辑思维能力,是基础题. 16.菱形 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 常规题型. 分析: 根据题意,画出图形,利用线面平行的判定定理和性质定理,可知 AC⊥BD,由对角线互相 垂直的平行四边形是菱形.即可得出结论. 解答: 根据题意,画出图形如图, ∵PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面, ∴PA⊥BD,

又∵PC⊥BD,PA?平面 ABCD,PC?平面 ABCD,PA∩PC=P. ∴BD⊥平面 PAC 又∵AC?平面 PAC ∴AC⊥BD 又 ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形 ABCD 一定是 菱形. 故答案为:菱形.

点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的运用,“线线垂直”与“线面垂直”的相互 转化,还考查了直线与平面所成角,及考生的空间想象能力.

6 2 5 (Ⅲ) 6 5 1 (Ⅰ)依题意, BE ? EC ? BC ? AB ? CD 2 所以 ?ABE 是正三角形, ?AEB ? 60 0 [] 1 又 ?CED ? ? (180 0 ? 120 0 ) ? 30 0 2 所以 ?AED ? 90 0 , DE ? AE 因为 AA1 ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,所以 AA1 ? DE 因为 AA1 ? AE ? A ,又 AA1 , AE 在平面 AA1E 内
23.(Ⅰ) 略(Ⅱ) 所以 DE ? 平面 A1 AE 因为 DE ? 平面 A1 DE ,所以平面 A1 AE ? 平面 A1 DE (Ⅱ)取 BB1 的中点 F ,连接 EF 、 AF 因为 DE ? 所以 A1 A ? ,连接 B1C ,则 EF // B1C // A1 D 所以 ?AEF 是异面直线 AE 与 A1 D 所成的角

点评: 此题考查学生的空间想象能力及线面垂直的判定与性质.由对角线互相垂直的平行四边形 是菱形即可得出答案. 17.(2)(4) 18.4 19.①③ ④⑤ 20.60° 略 21.平行或异面 22. 考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)由正方体的性质可得 AD1⊥A1D,①A1B1⊥AD1②,结合①②根据直线与平面垂直的判定 定理可证 AD1⊥平面 A1B1CD (2)由(1)可知 AO 为平面 A1B1CD 的垂线,连接 B1O,故可得∠AB1O 即为所求的角,在直角三角形 AB1O 中求解即可 解答: (1)AD1⊥平面 A1B1CD. 证明:∵在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1B1⊥AD1, AD1⊥A1D,A1D∩A1B1=A1, ∴AD1⊥平面 A1B1CD. (2)连接 B1O.∵AD1⊥平面 A1B1CD 于点 O, ∴直线 B1O 是直线 AB1 在平面 A1B1CD 上的射影. ∴∠AB1O 为直线 AB1 与平面 A1B1CD 所成的角. 又∵AB1=2AO, ∴ ∴∠AB1O=30°. .

3 , A1 E ?
2 , BF ?

A1 A 2 ? AE 2 ,

2 , AF ? EF ? 2

1 6 ?1 ? 2 2

AE 2 ? EF 2 ? AF 2 6 ? 2 ? AE ? EF 6 (Ⅱ)解法 2:以 A 为原点,过 A 且垂直于 BC 的直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴、 AA1 所在直线为 z
所以 cos ?AEF ? 建立右手系空间直角坐标系 设 AA1 ? a ( a ? 0 ), A(0 , 0 , 0)

3 1 , , 0) 2 2 (Ⅰ)设平面 A1 AE 的一个法向量为 n1 ? (m , n , p ) ,
则 D (0 , 2 , 0) A1 (0 , 0 , a ) E (

? 3 1 m? n ?0 ?n1 ? AE ? 则? 2 2 ?n ? AA ? ap ? 0 1 ? 1
p ? 0 ,取 m ? 1 ,则 n ? ? 3 ,从而 n1 ? (1 , ? 3 , 0) , 2 同理可得平面 A1 DE 的一个法向量为 n 2 ? ( 3 , 1 , ) , a
直接计算知 n1 ? n 2 ? 0 ,所以平面 A1 AE ? 平面 A1 DE (Ⅱ)由 DE ? A1 E 即 (

3 2 1 3 1 ) ? (2 ? ) 2 ? 0 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? a 2 2 2 2 2

解得 a ?

2

AE ? (

3 1 , , 0) , A1 D ? (0 , 2 , ? 2 ) 2 2

所以异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值 cos ? ?

| AE ? A1 D |

| AE | ? | A1 D | ?? ? (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 A1 A ? 2 ,平面 A1 DE 的一个法向量为 n2 ? ( 3 , 1 ,
又 CD = ? -

?

6 6

因为在? PAC 中, PC ? 2 2 , PA ?
2 2 2

6 , AC ? 2 ,
(11 分) (12 分)

2)

所以 PC ? PA ? AC ,所以 PA ? AC. 又 AC∩BC=C,所以 PA ?平面 ABC. 所以? PCA 为 PC 与平面 ABC 所成角. 在 Rt PAC 中, tan ?PAC ?

??? ? ? ? ?

3 1 ? , ,0 ? , A1 D ? (0 , 2 , ? 2 ) 设平面 CA1 D 的法向量[] 2 2 ? ?

PA ? ? ? 3 ,所以? PCA= ,即 PC 与平面 ABC 所成角的大小为 . AC 3 3

???? ? ?? ? ? 2y ? 2z ? 0 ?? ? ? A D ? n ? ? 1 3 =0 ,令 x ? 1 ,则 y ? 3, z ? 6 n3 = ? x,y,z ? 则 ? ??? ? ?? ? 得? 3 1 CD ? n =0 ? x ? y ? 0 ? ? 3 ? ? 2 2 ?? ? 所以 n3 = 1, 3, 6

?

?

设二面角 C -A1 D -E 的平面角为 ? ,且 ? 为锐角

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n2 ? n3 4 3 2 5 则 cos ? = cos n2 ,n3 = ?? = ? ?? ? = 5 10 ? 6 n2 n3
2 5 所以二面角 C -A1 D -E 的余弦值为 5
略 24.(Ⅰ)略(Ⅱ)3 (Ⅰ)? BC//平面 ADE, BC ? 平面 PBC, 平面 PBC ? 平面 ADE=DE ? BC//ED ∵PA⊥底面 ABC,BC ? 底面 ABC ∴PA⊥BC. 又 ?BCA ? 90? ,∴AC⊥BC. ∵PA 与 AC 是平面 PAC 内的两条相交直线 ∴BC⊥平面 PAC. 又 BC//ED∴DE⊥平面 PAC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, DE⊥平面 PAC, 又∵AE ? 平面 PAC,PE ? 平面 PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 为二面角 A ? DE ? P 的平面角, ∴ ?AEP ? 90? ,即 AE⊥PC, ∵AP=AC, ∴E 是 PC 的中点,ED 是 ? PBC 的中位线。

略 26.证明:(1)正方形 ABCD 中, AB // CD , 又 AB ? 平面 CDE, CD ? 平面 CDE, 所以 AB // 平面 CDE. (2)因为 AE ? 平面CDE ,且 CD ? 平面CDE , 所以 AE ? CD , CD ? AD,且 AE ? AD ? A , AE、AD ? 平面ADE , 又 正方形ABCD中, 所以 CD ? 平面ADE , 又 CD ? 平面ABCD , 所以 平面ABCD ? 平面ADE . 略 27.证明:(1)连 B1C ,? O 为 AB1 中点, D 为 AC 中点,? OD // B1C , 又 B1C ? 平面 BB1C1C , OD ? 平面 BB1C1C ,? OD // 平面 BB1C1C (2) ? 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ? CC1 ? 平面 ABC

AC ? 平面 ABC ,? CC1 ? AC 又 AC ? BC , CC1 , BC ? 平 面 BB1C1C ? AC ? 平 面 BB1C1C , BM ? ? AC ? BM CM CB 2 在 Rt ?BCM 与 Rt?B1 BC 中, ? ? BC BB1 2 ? Rt ?BCM ∽ Rt?B1 BC ? ?CBM ? ?BB1C ? ?BB1C ? ?B1 BM ? ?CBM ? ?MBB1 ? 90? ? BM ? B1C AC, B1C ? 平面 AB1C ? BM ? 平面 AB1C , AB1 ? 平面 AB1C ? BM ? AB1

平 面 BB1C1C

?

V A? BCED S BCED 3 ? ? V A? PDE S PED 1

略 25.证明:(1)在? PBC 中,E 是 PC 的中点,F 是 PB 的中点,所以 EF//BC. (2 分) 又 BC ?平面 ABC,EF ?平面 ABC,所以 EF//平面 ABC. (4 分) (2)因为 AB 是⊙O 的直径,所以 BC ? AC. (5 分) 在 Rt ? ABC 中,AB=2,AC=BC,所以 AC ? BC ?

略 28.解:(1)由 AB ? 2 PB ? 4 BM ,得 PM ? AB , 又因为 PM ? CD ,且 AB ? CD ,所以 PM ? 面 ABCD , 且 PM ? 面 PAB .所以,面 PAB ? 面 ABCD 。 (2)过点 M 作 MH ? CD ,连结 HP , 因为 PM ? CD ,且 PM ? MH ? M , 所以 CD ? 平面 PMH ,又由 CD ? 平面 PCD , 所 以 平 面 PMH ? 平 面 PC D , 平 面 PMH ? 平 面 PCD ? PH , 过 点 M 作 MN ? PH , 即 有 MN ? 平面 PCD ,所以 ?MCN 为直线 CM 与平面 PCD 所成角. 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 设 AB ? 2t , 则 CM ?

2. (6 分) 因为在? PCB 中, PB ? 10 , PC ? 2 2 , BC ? 2 , 2 2 2 所以 PB ? PC ? BC ,所以 BC ? PC. (7 分)
又 PC∩AC=C,所以 BC ?平面 PAC. (8 分) 由(1)知 EF//BC,所以 EF ?平面 PAC. (9 分) (3)解:由(2)知 BC ?平面 PAC,PA ?平面 PAC,所以 PA ? BC. (10 分)

17 3 7 5 t , PM ? t , MH ? t ,∴ 2 10 2

PH ?

4 5 7 3 t , MN ? t 5 16

从而 sin ?MCN ?

MN 7 51 7 51 ,即直线 CM 与平面 PCD 所成角的正弦值为 . ? CM 136 136

略 29.(1)证明 BA ? 平面A1 ACC1 (2) 取 AB 中点 D ,证明平面 MND ‖ 平面A1 ACC1 (3)二面角的余弦值为 略

21 21

略 31.证明:(1)连接 AC,BD,记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 MO. ∵点 O,M 分别是 BD,PD 的中点 ∴MO//PB, 又 PB ? 面 ACM,MO ? 面 ACM ∴PB//面 ACM. (2)∵PA⊥面 ABCD ∴PA⊥BD ∵底面 ABCD 是正方形 ∴AC⊥BD 又∵PA∩AC=A ∴BD⊥面 PAC 在⊿PBD 中,点 M,N 分别是 PD,PB 的中点∴MN//BD ∴MN⊥面 PAC (3)∵ V A? MBC ? V M ? ABC ? ∴ V A? MBC

1 1 ? S ΔABC ? h ,且 h ? PA 3 2 1 1 1 2 ? ? ( ? AB ? AD ) ? ( ? PA) ? 3 2 2 3

略 32.(I)证明:由题意, CO ? AO , BO ? AO , ??BOC 是二面角 B ? AO ? C 的平面角,又? 二面角 B ? AO ? C 是直二面角, ? CO ? BO ,又? AO ? BO ? O ,? CO ? 平面 AOB , 又 CO ? 平面 COD .? 平面 COD ? 平面 AOB . (II)解:由(I)知, CO ? 平面 AOB ,

??CDO 是 CD 与平面 AOB 所成的角,且 sin ?CDO ?
大,这时, OD ? AB ,垂足为 D , OD ? 3 ,

OC 2 ? .当 OD 最小时, ?CDO 最 CD CD

Rt?COD中,CD= CO2 ? OD2 ? 7 ,

?sin ?CDO ?

CO 2 2 7 ? ? CD 7 7
2 7 . 7

? CD 与平面 AOB 所成角的正弦值的最大值为
略 33.解::⑴.证明:连结 OC

? BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. ? BO ? DO, BC ? CD , CO ? BD .
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3.

而 AC ? 2 ,

? AO2 ? CO2 ? AC 2 ,
∴ AO ? 平面 BCD .

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC.
? BD ? OC ? O,
(Ⅱ)方法一。解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h . 30.

?VE ? ACD ? VA?CDE



1 1 ? h ? S?ACD ? ? AO ? S ?CDE 3 3

在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2 ,

1 2 7 1 3 2 3 ? S?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( )2 ? S?CDE ? ? ?2 ? 2 2 2 ,而 AO ? 1 , 2 4 2 . 3 1 ? AO ? S ?CDE 2 ? 21 h? ? S ?ACD 7 21 7 2 ∴ , ∴点 E 到平面 ACD 的距离为 7 (Ⅱ)方法二。解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0), D(?1,0,0),
??? ? ??? ? 1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? (?1, 0,1), CD ? (?1, ? 3, 0). 2 2
z A 34. 略

D O x B E C y

? n 设平面 ACD 的法向量为 ? ( x, y, z ), 则 ? ???? ? ?n ? AD ? ( x, y, z ) ? (?1, 0, ?1) ? 0 ? ? ???? ? ?n ? AC ? ( x, y, z ) ? (0, 3, ?1) ? 0 ,
? ?x ? z ? 0 ? ? 3y ? z ? 0 , ∴? ? y ? 1, n 令 得 ? (? 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量.

??? ? 1 3 EC ? (? , , 0), 2 2 又 ∴点 E 到平面 ACD 的距离


??? ? ? EC ? n 3 21 h? ? ? ? 7 7 n



因为 DE ? 3 , A1 E ?

A1 A 2 ? AE 2 ,所以 A1 A ? 2 ??11 分,

1 6 2 , AF ? EF ? ??12 分, ?1 ? 2 2 2 AE 2 ? EF 2 ? AF 2 6 所以 cos?AEF ? ??14 分(列式计算各 1 分). ? 2 ? AE ? EF 6
BF ?


35. 略

AE 2 ? EF 2 ? AF 2 6 ? 2 ? AE ? EF 6 1 解 析 : 解 : ⑴ 依 题 意 , BE ? EC ? BC ? AB ? CD ? ? 1 分 , 所 以 ?ABE 是 正 三 角 形 , 2 1 ?AEB ? 600 ??2 分,又 ?CED ? ? (180 0 ? 120 0 ) ? 30 0 ??3 分, 2 0 所以 ?AED ? 90 , DE ? AE ?? 4 分,因为 AA1 ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,所以 AA1 ? DE ??5 分,因为 AA1 ? AE ? A ,所以 DE ? 平面 A1 AE ??6 分, 因为 DE ? 平面 A1 DE ,所以平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ??7 分. ⑵取 BB1 的中点 F ,连接 EF 、 AF ?? 8 分,连接 B1C ,则 EF // B1C // A1 D ?? 9 分,所以 ? AEF 是异面直线 AE 与 A1 D 所成的角??10 分。
36.(I)略(II) cos?AEF ?

37. 略 38.解:(1)因为 ABCD 为矩形,AB=2BC, P 为 AB 的中点, 所以三角形 PBC 为等腰直角三角形,∠BPC=45°. 同理可证∠APD=45°. 所以∠DPC=90°,即 PC⊥PD. 又 DE⊥平面 ABCD,PC 在平面 ABCD 内,所以 PC⊥DE. 因为 DE∩PD=D ,所以 PC ⊥PDE . 又因为 PC 在平面 PCF 内,所以平面 PCF⊥平面 PDE. ( 2 ) 因 为 CF ⊥ 平 面 ABCD , 所 以 DE ∥ CF . 又

DE DC



平 面 ⊥

ABCD CF

, ,

所 在 PQ 因 所 亦

以 平

△ CEF ABCD 内 ∥ 为 BC 以 BC ⊥ 平 即 P 到

S 面

= DC?CF = ×4a×2a = 4a2 . , 过 P 作 PQ ⊥ CD 于 Q , 则 BC , PQ=BC=2a . ⊥ CD , BC ⊥ CF , 面 CEF , 即 PQ ⊥ 平 面 CEF , 平 面 CEF 的 距 离 为 PQ=2a

1 2

1 2

1 1 8 VPCEF=VP? CEF= 3 PQ?S△CEF= 3 ?4a2?2a= 3 a3.
略 39.证明:(1)连结 AC,则 F 是 AC 的中点,E 为 PC 的中点, 故在△CPA 中,EF∥PA,…(2 分) ∵PA?平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD…(6 分) (2)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD⊥AD, 所以,CD⊥平面 PAD,∵PA?平面 PAD,∴CD⊥PA 又 ,所以△PAD 是等腰直角三角形,且 ,即 PA⊥PD 41.

又 CD∩PD=D,∴PA⊥平面 PCD,又 PA?平面 PAB, ∴平面 PAB⊥平面 PCD…(12 分)

ABCD ? A1B1C1D1 中, 点 O 是 BD 中点 , BC1 ? DC1 , BC ? DC , 又 C O ? BD, CO ? BD ∴ 1 ------------------- 2 分
(Ⅰ) ∵在正方体

?C1O ? CO ? O, C1O ? 平面C1OC, CO ? 平面C1OC,

? BD ? 平面C1OC
略 40. (1)证明:∵AC=BC,D 为 AB 的中点,∴CD⊥AB,???????????2 分 又 CD⊥DA1,AB∩A1D=D,∴CD⊥平面 AA1B1B,∴CD⊥BB1,???????????4 分 又 BB1⊥AB,AB∩CD=D,∴BB1⊥平面 ABC.???????????6 分 以 C 为原点,分别以 空间直角坐标系(如图所示), 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知

------------------ 5 分

∵ BD ? 平面 BDD1 B1 , ∴平面 BDD1 B1 ? 平面 C1OC .-------------- 6 分

?C1OC 是二面角 C1 ? BD ? C 的平面角 ---------------9 分 2 C1 C ? 1, OC ? 2 则 CC tan ?C1OC ? 1 ? 2 Rt ?C1OC 中, OC ∴在 C ? BD ? C 的正切值为 2 . ---------------12 分 故二面角 1
42. ( Ⅰ ) 证 明 : 连 又 ∵ MN 不 属 于 ( Ⅱ ) 解 : ∵ ∴ 四 边 ∴ BC 1 ⊥ 连 接 A1M ∴ A 1 M=CM , 又 ∵ B1C 与 接 BC 1 , AC 1 , ∵ M , N 是 AB , A 1 C 的 中 点 ∴ MN ∥ BC 1 平 面 BCC 1 B 1 , ∴ MN ∥ 平 面 BCC 1 B 1 . ( 4 分 三 棱 柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中 , 侧 棱 与 底 面 垂 直 形 BCC 1 B 1 是 正 方 形 B1C . ∴ MN ⊥ B1C , CM , △ AMA 1 ≌ △ BMC N 是 A1C 的 中 点 , ∴ MN ⊥ A 1 C A1C 相 交 于 点 C . ) , . . . . ,

则 C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,0,2),C1(0,2,0),A1(0,2,2),D(1,0,1).???????7 分 设 n1=(x1,y1,z1)是平面 DCA1 的法向量,

∴ MN ⊥平面 A 1 B 1 C .( 12 分)

解 : (1)证明 : PD ? 平面ABCD, PD ? PCD, ? 平面PCD ? 平面ABCD, 平面PCD ? 平面ABCD ? CD, A D ? 平面ABCD, AD ? CD, ? AD ? 平面PCD, CF ? 平面PCD,? CF ? AD, 又AF ? PC ,? CF ? AF , AD, AF ? 平面ADF , AD ? AF ? A, ? CF ? 平面ADF . (2)解法一 : 过 E 作 EG/ / CF 交 DF 于 G,? CF ? 平面ADF ,? EG ? 平面ADF , 过 G 作 GH ? AF 于 H, 连 EH, 则?EHG为二面角D ? AF ? E的平面角, 设 CD ? 2,? ?DPC ? 300 , 1 ??CDF ? 300 , 从而CF = CD =1, 2 1 DE CF DE 2 3 3 CP ? 4,? EF∥DC ,? ? ,即 = ,? DE ? , 还易求得EF= , DF ? 3, DP CP 2 2 2 3 2 3 3 ? DE ? EF 2 2 ? 3 . 易得AE ? 19 , AF ? 7, EF ? 3 , 从而 EG ? ? DF 4 2 2 3 19 3 ? AE ? EF 3 19 3 19 2 3 2 6 3 ? EH ? ? 2 2? , 故HG ? ( ) ?( ) ? , AF 4 7 4 7 4 7 4 7

A1 B1
M

C1

N A B 1 略a 啊 a a 1 1 1 1
1 1

C
1

43.

??? ? ???? ??? ? (2) 如图以 D 为原点,以 DA, DC, DP 为方向向量建立空间直角坐标系 D-xyz.
则有关点及向量的坐标为: ????????????4 分

? cos ?EHG ?

GH 6 3 4 7 2 57 ? ? ? . EH 4 7 3 19 19

VD ? PAB ? VP ? DAB
略 44.

G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1) ???? ??? ? EF =(0,-1,0), EG =(1,1,-1)??5 分 ? 设平面 EFG 的法向量为 n =(x,y,z) ? ??? ? ? ?x ? z ?n?EF ? 0 ?? y ? 0 ?? ?? . ∴ ? ? ??? ? ? ?n?EG ? 0 ? x ? y ? z ? 0 ? y ? 0 ? 取 n =(1,0,1) ????????????????????????6 分 ??? ? 平面 PCD 的一个法向量, DA =(1,0,0)?????????????7 分 ??? ?? ??? ? ? DA?n 2 2 ? ? ? ∴cos DA, n ? ??? ????????????8 分 ? 2 | DA |? |n| 2 2 结合图知二面角 G-EF-D 的平面角为 45°???????????9 分 1 1 4 1 ? S? ABD ?PD= ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ??????12 分 3 2 3 3

解法二 : 分别以DP, DC , DA为x, y, z轴建立空间直角坐标系, 设DC ? 2, ??? ? ??? ? ???? ??? ? 1 则A(0, 0, 2), C(0, 2, 0), P(2 3, 0, 0), 设CF ? ? CP, 则F (2 3? , 2 ? 2? , 0),? DF ? CF , 可得? ? 4 ?? 1 ??? ? 3 3 3 从而F ( , , 0) , 易得E ( , 0, 0), 取面 ADF的一个法向量为n1 ? CP ? ( 3, ?1, 0), 2 2 2 2 ?? ? ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? 设面 AEF的一个法向量为n2 ? (x, y, z), 利用n2 ? AE ? 0, 且n2 ? AF ? 0, ?? ?? ? ?? ? n1 ? n2 4 3 2 57 ? ? 得n2可以是(4, 0, 3), 从而所求二面角的余弦值为 ?? ??? ? . 19 | n1 | ?| n2 | 2 ? 19
45. 解:(Ⅰ)在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 侧面 BB1C1C⊥底面 ABC,且侧面 BB1C1C∩底面 ABC=BC, ∵∠ABC=90°,即 AB⊥BC, ∴AB⊥平面 BB1C1 ??????2 分 ∵CB1 ? 平面 BB1C1C,∴AB⊥CB1. ????? 4 分 ∵ BC ? CC1 , CC1 ? BC ,∴ BCC1 B1 是正方形, ∴ CB1 ? BC1 ,∴CB1⊥平面 ABC1. ????? 6 分 (Ⅱ)取 AC1 的中点 F,连 BF、NF. ??????7 分 在△AA1C1 中,N、F 是中点,∴NF ? //

1 1 // BM,???8 分 AA1,又∵BM ? // AA1,∴EF ? 2 2

故四边形 BMNF 是平行四边形,∴MN//BF,????10 分 而 EF ? 面 ABC1,MN ? 平面 ABC1,∴MN//面 ABC1?12 分 略


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