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几何概型练习及答案


几何概型
[自我认知]: 1.如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的___,____成比例,则称这样的概 率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 2.在几何概型中,事件A的概率的计算公式为__________________. 3.古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是____,但古典概型要求基本事件 有_____,几何概型要求基本事件有_______. 4.某广播电台每当整点或半点时就会报时, 某人睡完觉后想知道时间就打开收音机调到该广 播电台,问这人等待的时间不超过5min 的概率是______. 5.已知地铁列车每 10min 一班,在车站停1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率为_. 6.在线段[0,3]上任取一点,其坐标小于 1 的概率是_____________. 7.在地球上海洋占 70.9%的面积,陆地占 29.1%的面积,现在太空有一颗陨石正朝着地球的方 向飞来,将落在地球的某一角.你认为陨石落在陆地的概率约为_____________,落在我国 国土内的概率为________.(地球的面积约为 5.1 亿平方千米) [课后练习] 8.从区间 (0,1) 内任取两个数,则这两个数的和小于 A.

5 的概率是 6

(

)

3 5

B.

4 5

C.

16 25

D.

17 25

9.A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点 B,连接 A、 两点,它是一条弦,它的长度 B 大于等于半径长度的概率为 ( ) A.

1 2

B.

2 3

C.

3 2

D.

1 4

10.已知集合 A= ??9, ?7, ?5, ?3, ?1, 0, 2, 4, 6,8? ,在平面直角坐标系 x 0 y 中,点 ? x, y ? 的坐标

x ? A, y ? A ,点 ? x, y ? 正好在第二象限的概率是
A.

(

)

1 3

B.

1 4

C.

1 5

D.

2 5

11.取一根长度为3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m 的 概率有多大?

12. 在1万平方千米的海域中有 80 平方千米的大陆架贮藏着石油.假设在海域中的任意一点 钻探,钻到油层面的概率是多少?

13.在 10 立方米的沙子中藏有一个玻璃球,假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可 能的,若取出 1 立方米的沙子.求取出的沙子中含有玻璃球的概率.

14.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟, 过时即可离去,求两人能会面的概率.

15.甲、 乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可 能的,如果甲船停泊时间为 1h,乙船停泊时间为 2h,求它们中的任意一艘都不需要等待码 头空出的概率.

1.长度、面积或体积;

2.

P ? A? ?

构成事件A的区域长度(面积或体积) ; 试验的全部所构成的区域长度(面积或体积)

1 1 3.相等的、有限个、无限多个; 4. 1 5. 6. 7.29.1%, 0.019 11 3 6 8.D 9.B 10.C 11.解:设事件 A={剪得两段的长都不小于 1m}, 把绳子三等分,当剪断位置处在中间一段时,事件 A 发生.由于中间一段的长度为 1m, 所以由几何概率公式得:P(A)= 1 . 3
12.解:记“钻到油层面”为事件则 P(A)=

贮藏石油的大陆架面积 80 ? ? 0.008 所有海域大陆架面积 10000

答:钻到油层的概率是 0.008. 13.解:记事件 A 为“取 1 立方米沙子中含有玻璃球”, 则事件 A 发生对应的沙子体积与原沙子体积之比为1:10. ∵玻璃球在沙子中任何位置等可能,

∴由几何概型概率计算公式得 P(A)= 1 .
10

14.解:以 x 和 y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间, 则两人能会面的充要条件是 | x ? y |? 15 .在平面上 建立直角坐标系如图所示,则( x , y )的所有可能结 果是边长 60 的正方形,而可能会面的时间由图中的 阴影部分所表示,这是一个几何概型问题. 15.解:设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y, A 为两艘船都不需要码头空出,

? ? ?? x, y ? | x ? ? 0, 24?? ,要满足 A,则 y ? x ? 1 或 x ? y ? 2
∴A=

?? x, y ? | y ? x ? 1或x ? y ? 2, x ? ?0, 24??
1 1 2 (24 ? 1) 2 ? ? ? 24 ? 2 ? ? 2 2 ? 506.5 ? 0.87934 . 2 24 576

S ∴ PA ? A ? S?

60

15 15 14 题图 60

几何概型巩固练习 重难点: 掌握几何概型中概率的计算公式并能将实际问题转化为几何概型, 并正确应用几何 概型的概率计算公式解决问题. 考纲要求:①了解几何概型的意义,并能正确应用几何概型的概率计算公式解决问题. ②了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. 经典例题:如图, ?AOB ? 60 , OA ? 2 , OB ? 5 ,在线段 OB 上任取一点 C ,
?

试求:(1) ?AOC 为钝角三角形的概率; (2) ?AOC 为锐角三角形的概率.

A

当堂练习: 1.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g的概率为0.3,质量小于4.85g的概率为 0.32,那么质量在[4.8,4.85](g)范围内的概率是( B ) A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68 2.在长为10 cm的线段AB上任取一点P,并以线段AP为边作正方形,这个正方形的面积介于 2 2 25 cm 与49 cm 之间的概率为( B ) 3 1 2 4 A. B. C. D. 10 5 5 5 3.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y,构成数对 (x,y),则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为( C ) 1 2 3 1 A. B. C. D. 16 16 16 4 1 甲 4 3 2 乙 1 4 2 3

4.如图,是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体,现用红、蓝两种颜色为其 涂色,每个图形只能涂一种颜色,则三个形状颜色不全相同的概率为( A ) 3 3 1 1 A. B. C. D. 4 4 8 8 5.两人相约7点到8点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时离去.则 求两人会面的 概率为( C ) 1 4 5 7 A. B. C. D. 9 9 10 3 6如图, 某人向圆内投镖, 如果他每次都投入圆内, 那么他投中正方形区域的概率为 ( A 2 1 2 1 A. B. C. D. 3 ? ? 3 )

7.如图,有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为 45 ,若向圆内投镖,如果某人每次都投入 圆内,那么他投中阴影部分的概率为( A ) 1 1 1 A. B. C. 4 2 8

?

D.

3 4

8.现有 100ml 的蒸馏水,假定里面有一个细菌,现从中抽取 20ml 的蒸馏水,则抽到细菌的 概率为 ( B ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 100 5 20 10 9.一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口,已知该港口每天涨潮的时间为早晨 5 : 00 至 7 : 00 和下午 5 : 00 至 6 : 00 ,则该船在一昼夜内可以进港的概率是( C )
1 1
1

1

A. 4

B. 8

C. 10

D. 12 )

10.在区间 [0,10] 中任意取一个数,则它与 4 之和大于 10 的概率是( C
1
2

3

2

A. 5

B. 5

C. 5

D. 7 )

11.若过正三角形 ABC 的顶点 A 任作一条直线 L ,则 L 与线段 BC 相交的概率为( C
1
1

1

1

A. 2

B. 3

C. 6

D. 12

12.在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,则发现草履 虫的概率是( B ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 13.平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上,求 硬币不与任何一条平行线相碰的概率( c )

r A. a
1 11

r B. 2 a

a?r a C.

a?r D. 2a

14.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min.则乘客到达站台立即乘上车的概率为 .

15.随机向边长为2的正方形ABCD中投一点P,则点P与A的距离不小于1且与 ?CPD 为锐角的 概率是__________________. 5 16.在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于 的概率是 . 6 17.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去上班的时间为早上7:00~8:00之间,你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为 _______. 18.飞镖随机地掷在下面的靶子上. (1)在靶子1中,飞镖投到区域A、B、C的概率是多少? (2)在靶子1中,飞镖投在区域A或B中的概率是多少?在靶子2中,飞镖没有投在区域C 中的概率是多少?

C A C B

B

A

19.一只海豚在水池中游弋,水池为长 30m ,宽 20m 的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不 超过 2m 的概率.

20.在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段,求这三段可以构成三角形的概率.

21.利用随机模拟方法计算曲线 y ?

1 x

, x ? 1, x ? 2 和 y ? 0 所围成的图形的面积.

§3.2 几何概型 经典例题:解:如图,由平面几何知识: 当 AD ? OB 时, OD ? 1 ; 当 OA ? AE 时, OE ? 4 , BE ? 1 . (1)当且仅当点 C 在线段 OD 或 BE 上时, ?AOC 为钝角三角形 记" ?AOC 为钝角三角形"为事件 M ,则 P( M ) ?

OD ? EB 1 ? 1 ? ? 0.4 OB 5

即 ?AOC 为钝角三角形的概率为 0.4 . (2)当且仅当点 C 在线段 DE 上时, ?AOC 为锐角三角, 记" ?AOC 为锐角三角"为事件 N ,则 P( N ) ? 即 ?AOC 为锐角三角形的概率为 0.6 . 当堂练习: 1.B; 2.B; 3.C; 4.A; 5.C; 6.A; 7.A; 8.B; 9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 13.B; 14.
1 11

DE 3 ? ? 0.6 OB 5

; 15.

arcsin

4

5 ; 16. 25 ; 17. 87.5%; ? 72 2

18.(1)都是

1 2 3 ;(2) ; 。 3 3 4 26 ?16 ? 0.308 。 30 ? 20

19.解:由已知可得,海豚的活动范围在 26×16 ㎡的区域外, 所以海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率为 P ? 1 ?

20.解:设构成三角形的事件为 A,长度为 10 的线段被分成三段的长度分别为 x,y, 10-(x+y),



?0 ? x ? 10 ?0 ? x ? 10 ? ? ,即 ?0 ? y ? 10 . ?0 ? y ? 10 ?0 ? 10 ? ( x ? y ) ? 10 ?0 ? x ? y ? 10 ? ?

y 10

由一个三角形两边之和大于第三边,有

x ? y ? 10 ? ( x ? y) ,即 5 ? x ? y ? 10 .
又由三角形两边之差小于第三边,有 5

x ? 5 ,即 0 ? x ? 5 ,同理 0 ? y ? 5 .
?0 ? x ? 5 ? ∴ 构造三角形的条件为 ?0 ? y ? 5 . ?5 ? x ? y ? 10 ?
O 5 10 x

∴ 满足条件的点 P(x,y)组成的图形是如图所示中的阴影区域(不包括区域的边界). 1 25 1 S?阴影= ·2= , S ?OAB= · 2=50 . 5 10 2 2 2 ∴ P( A)=

S?阴影 1 = . S?OMN 4

21. 解:(1)利用计算器或计算机产生两组 0 到 1 区间上的随机数, a1 ? RAND ,

b ? RAND ;

(2)进行平移变换: a ? a1 ? 1 ;(其中 a, b 分别为随机点的横坐标和纵坐标) (3)数出落在阴影内的点数 N1 ,用几何概型公式计算阴影部分的面积. 例如,做 1000 次试验,即 N ? 1000 ,模拟得到 N1 ? 689 , 所以

S N1 ? ? 0.689 ,即 S ? 0.689 . 1 N
几何概型例题分析

[例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等 另一人15分钟,若另一人仍不到则可以离去,试求这人能相见的概率。 解:设x为甲到达时间, y 为乙到达时间.建立坐标系,如图 | x ? y |? 15 时可相见,即阴

影部分 P ?

60 2 ? 45 2 7 ? 2 16 60

[例2] 设A为圆周上一定点,在圆周上等可能任取一点与A连接,求弦长超过半径 2 倍的概 率。
?

解: | AB |?| AC |?

2R . ∴ P ?

BCD
圆周

?

?R 1 ? 2?R 2
1 的概率。 2

[例3] 将长为1的棒任意地折成三段,求三段的长度都不超过

解:设第一段的长度为x,第二段的长度为y,第三段的长度为 1 ? x ? y ,则基本事件 组所对应的几何区域可表示为

? ? {( x, y) | 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1,0 ? x ? y ? 1} ,即图中黄色区域,此区域面积为

1 。 2

1 ”所对应的几何区域可表示为 2 1 1 1 A ? {( x, y) | ( x, y) ? ? , x ? , y ? ,1 ? x ? y ? } 2 2 2 1 1 2 1 即图中最中间三角形区域,此区域面积为 ? ( ) ? 2 2 8 1 1 1 此时事件“三段的长度都不超过 ”的概率为 P ? 8 ? 1 4 2 2
事件“三段的长度都不超过

[例4] 两对讲机持有者张三、李四,为卡尔货运公司工作,他们对讲机的接收范围是25km, 下午3:00张三在基地正东30km内部处,向基地行驶,李四在基地正北40km内部处,

向基地行驶,试问下午3:00,他们可以交谈的概率。 解:设 x, y 为张三、李四与基地的距离 x ? [0,30] , y ? [0,40] ,以基地为原点建立坐 标系.他们构成实数对 ( x, y ) ,表示区域总面积为1200,可以交谈即 x ? y ? 25
2 2

1 ? 25 2 25? 4 故P ? ? 1200 192
[例5] 在区间 [?1,1] 上任取两数 a, b , 运用随机模拟方法求二次方程 x ? ax ? b ? 0 两根均
2

为正数的概率。

?? ? a 2 ? 4b ? 0 ? ? x1 ? x 2 ? ?a ? 0 ?x ? x ? b ? 0 ? 1 2
解:(1)利用计算器产生 0至1区间两组随机数 a1 ,b1 (2)变换

a ? a1 ? 2 ? 1 , b ? b1 ? 2 ? 1

(3)从中数出满足条件 (4) P ?

b?

1 2 a 且 a ? 0 且 b ? 0 的数m 4

m (n为总组数) n

[例 6] 在单位圆的圆周上随机取三点 A、B、C,求 ?B 是锐角三角形的概率。 AC 解法 1:记 ?B 的三内角分别为 ? , ? , ?? ? ,事件 A 表示“ ?B 是锐角三角 AC AC ? ? 形”,则试验的全部结果组成集合

?0 ? ? 。 ?| , , { ? 0 ? () , ? }
因为 ?B 是锐角三角形的条件是 AC

?? ? ?? ? ? ?
?
?

0???? 且 ? ? ? ? , 2 2
所以事件 A 构成集合

A ,) ? ,? ? ? | { ( ? 0, } 2 2

?? ? ? ? ?? ?

由图 2 可知,所求概率为

1 ? 2 ( ) A 面 的积 2 2 1 PA ( )? ? ? 。 4 ?面 的积 1? 2 2
解法 2:如图 3 所示建立平面直角坐标系,A、B、 C1 、 C2 为单位圆与坐标轴的交点, 当 ?B 为锐角三角形,记为事件 A。则当 C 点在劣弧 CC 上运动时, ?B 即为锐角三 AC AC 1 2 角形,即事件 A 发生,所以

1 ? 2? 1 P( A) ? 4 ? 2? 4
解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形, 利用图形的几何度量来求随机事件 的概率。 [例 7]将长为 L 的木棒随机的折成 3 段,求 3 段构成三角形的概率. 解:设 M ? “3 段构成三角形”. x,y 分别表示其中两段的长度,则第三段的长度为

0 0 L ? x ? y . ? ? ?( x,y )|0 ? x ? L, ? y ? L, ? x ? y ? L? .
由题意, x,y,L ? x ? y 要构成三角形,须有 x ? y ? L ? x ? y ,即 x ? y ?

1 ; 2

x ? ( L ? x ? y) ? y ,即 y ?
即x?

L ; y ? ( L ? x ? y) ? x , 2

L . 2
? ? L L L? ,y ? ,x ? ? . 2 2 2?

故 M ? ?( x,y ) | x ? y ? 如 图 1

所 示 , 可 知 所 求 概 率 为
2

1 ?L? · M 的面积 2 ? 2 ? 1 P( M ) ? ? ?2 ? ? . L ?的面积 4 2
1] [例 8]在区间 [0, 上任取三个实数 x y,z ,事件 A ? {( x,y,z )| x ? y ? z ? 1} . ,
2 2 2

(1)构造出此随机事件对应的几何图形; (2)利用该图形求事件 A 的概率. 解:(1)如图 2 所示,构造单位正方体为事件空间 ? ,正方体以 O 为球心,以 1 为半径 在第一卦限的

1 球即为事件 A . 8

1 4 3 ? π1 · π (2) P( A) ? 8 33 ? 1 6
A

B

P D 例9图 C

[例 9] 例 5、如图所示,在矩形 ABCD 中,AB=5,AC=7.现在向该矩形内随机投一点 P, 求 ?APB ? 90 时的概率。
0

解:由于是向该矩形内随机投一点 P,点 P 落在矩形内的机会是均等的,故可以认为矩 形 ABCD 是区域 ? .要使得 ?APB ? 90 ,须满足点 P 落在以线段 AB 为直径的半圆内,以
0

线段 AB 为直径的半圆可看作区域 A.记“点 P 落在以线段 AB 为直径的半圆内”为事件 A, 于是求 ?APB ? 90 时的概率,转化为求以线段 AB 为直径的半圆的面积与矩形 ABCD 的
0

面积的比,依题意得, ? A ?

25? 5? 概率为 P( A) ? 8 ? . 35 56

1 5 25? ,矩形 ABCD 的面积为 ? ? ? 35 ,故所求的 ? ? ( )2 ? 2 2 8

点评:挖掘出点 P 必须落在以线段 AB 为直径的半圆内是解答本题的关键。 [课后习题] 1.一枚硬币连掷 3 次,至少出现两次正面的概率是( ) 答案:B )

1 A. 4

1 B. 2

3 C. 8
C. 1 ?

2 D. 3

2.在正方形 ABCD 内任取一点 P ,则使 ?APB ? 90°的概率是( A.

π 8


B.

π 4

π 8

D. 1 ?

π 4

答案:C

3.已知地铁列车每 10min 到站一次,且在车站停 1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率 是( A.

1 10

B.

1 6

C.

11 60

D.

1 11

答案:D

4.在两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于 2m

的概率是(

) B.

1 A. 2

1 3


C.

1 4

D.

1 5

答案:B

5.在腰长为 2 的等腰直角三角形内任取一点,使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大 于 1 的概率是(

π A. 16

π B. 8

C.

π 4

D.

π 2

答案:B . 答案:

6.在线段 [0, 上任取一点,则此点坐标小于 1 的概率是 3]

1 3

7. 1 万平方千米的海域中有 40 平方千米的大陆架贮藏着石油, 在 假如在海域中任意一点钻 探,钻到油层面的概率是 . 答案:

1 250

8.从 1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出 10ml,则其含有麦锈 病的种子的概率是 . 答案:0.01

9.将数 2.5 随机地(均匀地)分成两个非负实数,例如 2.143 和 0.357 或者 3 和 2.5- 3 , 然后对每一个数取与它最接近的整数,如在上述第一个例子中是取 2 和 0,在第二个例子中 取 2 和 1.那么这两个整数之和等于 3 的概率是多少?(答案:

2 ) 5

11.在等腰直角三角形 ABC 中,在斜边 AB 上任取一点 M, AM 小于 AC 的概率。 求 (答案:

3 ) 4 p 1 3 ? ? 0 有实根的概率。(答案: ) 5 4 2 x y 19 13.在集合 {( x, y) | 0 ? x ? 5,0 ? y ? 4} 内任取一个元素,能使代数式 ? ? ? 0 的概 4 3 12 3 率是多少?(答案: ) 10
12.设 p 在[0,5]上随机地取值,求方程 x ? px ?
2



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