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1.1.1《 正弦定理》课件


第一章 解三角形

1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理

本节主要学习正弦定理及用正弦定理解三角形。以嫦娥奔 月的故事和如何测量恒星之间的距离引入新课。教学过程以 学生探究为主,利用直角三角形中的正弦定理探究锐角三角 形和钝角三角形中的正弦定理,引导学生借助三角形的外接 圆和三角形的面积两种方法证明正弦定理,使学生能够灵活 应用所学知识,加深对定理的理解。针对定理所解决的两类 问题给出 2 个例题和变式,通过解决问题引出三角形的解的 不同情况,强调正确应用定理的重要性。 教学过程例题与变式结合,通过例1和变式1巩固掌握已知 两角和任意边,求其他两边和一角的解三角形问题。通过例 2和变式巩固掌握已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 的解三角形问题。通过思考已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形解的情况,加深对正弦定理的理解。

问题1:在我国古代就有嫦娥 奔月的神话故事.明月高悬,我 们仰望夜空,会有无限遐想,不 禁会问,月亮离我们地球有多 远呢?科学家们是怎样测出来 的呢?

我们应该如何测的 恒星之间的距离呢?

回忆一下直角三角形的边角关系? b a sin B ? sin A ? c c
两等式间有联系吗?
B

A c a b C

a b ? ?c sin A sin B
sin C ? 1

a b c ? ? sin A sin B sin C

思考: 对一般的三角形,这个结论还能成立吗?

(1)当 ?ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
如图:作AB上的高是CD,根椐 三角形的定义,得到
C

a
B

E

b
D

CD ? a sin B, CD ? b sin A
所以 a sin B ? b sin A
得到 a b ? sin A sin B

c

A

b c 同理, 作AE ? BC .有 ? sin B sin C a b c ? ? ? sin A sin B sin C

(2)当 ?ABC 是钝角 三角形时,结论是否 还成立呢?有兴趣的 同学可以课后证明 一下。

正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即 C

a b c   ? ? ? 2R sin A sin B sin C
B

a c

b
A

定理解析: 1、对边、对角 2、A+B+C=π 3、大角对大边,大边对大角 4、R为三角形外接圆的半径

解三角形:
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他几个元素的过程叫做解三角形.

说明: 根据初中学习的三角形全等,我们知道确定一个三角需要 三个条件,所以在利用正弦定理时要求已知两边和其中一 边的对角或者两角和一边,才可以进一步确定三角形其它 的边和角.

正弦定理的应用举例 一、已知两个角和一边

变式训练一

二、已知两个边和其中一边的一个对角

变式训练二
已知下列各三角形中的两边及其一边的对角,先判断

三角形是否有解?有解的作出解答.
(1)a=7,b=8,∠A=105°;

(2)a=10,b=20,∠A=80°;
(3)b=10,c=5,∠C=60°; (4)a=2,b=6,∠A=30°.
注意:在例题当中我们会发现存在两解的情况,那么这4个变式题会不会 存在两解甚至别的情况呢? 提示:(1)大边对大角,小边对小角;(2)三角形内角和为180°.

【解析】 (1)∵ a =7,b=8, ∴ a <b,又∵∠A=105°>∠B=90°, 验证大边对大角,小边对小角 ∴本题无解.

任何角度的正弦值在[-1,1]间, 而三角形中的角度在(0°, 180°)间, 所以三角形内角的正弦在(0,1]

注意:本题验证了三角形内角和舍去了一解。一个角的正弦值在(0,1) 时,三角的的内角是在(0°,180°),这是对应这个正弦值的角度一 定有2个,但是这2个是否都符合条件却有待验证。

(4)a=2 3,b=6,a<b,∠A=30° <90° , 由正弦定理得 sin B= ∴∠B=60° 或 120° . (1)当∠B=60° 时,∠C=90° , asin C 2 3sin90° c= sin A = sin30° =4 3;
(2)当∠B=120° 时,∠C=30° , asin C 2 3sin30° c= sin A = sin30° =2 3. ∴∠B=60° , ∠C=90° , c=4 3或∠B=120° , ∠C=30° , c=2 3.

bsin A 6sin 30° 3 a = 2 3 =2,

注意:与上题不 一样,这题的两 解都是有效解。 为什么呢?

画三角形使得a=14,b=16,∠A=45°,你能画出几个? 【提示】 作 45°角为 ∠ A ,在 ∠ A 的一

边上取一点 C,使 AC= 16 ,以点 C为圆
心,以 14 为半径画弧,因为 16sin 45° =8<14,所以能作出两个三角形.

根据上面的例题和变式训练,同学一起来讨论一下什么时 候有一解?什么时候有两解?什么时候无解?甚至会不会 有其他情况?

∠A为锐角

∠A为钝角或直角

图 形

内容:
正弦定理 已知两角和一边

应用
已知两边和一对角


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