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2016版《一点一练》高考数学(理科)专题演练:第二章 函数导数及其应用(含两年高考一年模拟)


第二章 函数导数及其应用 考点 3 函数的性质及其应用 两年高考真题演练 1.(2015· 湖南)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是( A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数,且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 2.(2015· 安徽)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A.y=cos x B.y=sin x C.y=ln x D.y=x2+1 3.(2015· 广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 ( ) 1 A.y=x+ex B.y=x+x 1 C.y=2x+2x D.y= 1+x2 4.(2015· 浙江)存在函数 f(x)满足:对任意 x∈R 都有( A.f(sin 2x)=sin x B.f(sin 2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1| 5.(2015· 福建)下列函数为奇函数的是( A.y= x B.y=|sin x| C.y=cos x D.y=ex-e-x 6 . (2014· 北京 ) 下列函数中,在区间 (0 ,+∞) 上为增函数的是 ( ) A.y= x+1 B.y=(x-1)2 ) ) ) )

C.y=2-x D.y=log0.5(x+1) 7.(2014· 陕西)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)· f(y)”的单调递 增函数是( )

1 A.f(x)=x2 B.f(x)=x3
?1?x C.f(x)=?2? D.f(x)=3x ? ?

8.(2014· 新课标全国Ⅱ)若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞) 上单调递增,则 k 的取值范围是( )

A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C.[2,+∞) D.[1,+∞) 9.(2014· 重庆)下列函数为偶函数的是( A.f(x)=x-1 B.f(x)=x2+x C.f(x)=2x-2-x D.f(x)=2x+2-x 10.(2014· 新课标全国Ⅰ)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 11.(2014· 广东)下列函数为奇函数的是( 1 A.y=2x-2x B.y=x3sin x C.y=2cos x+1 D.y=x2+2x 12.(2014· 湖南)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上 单调递增的是( ) ) ) )

1 A.f(x)=x2 B.f(x)=x2+1 C.f(x)=x3 D.f(x)=2-x 13.(2014· 江苏)已知函数 f(x)=x2+mx-1,若对于任意 x∈[m, m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值范围是________. 14. (2014· 新课标全国Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0, +∞)上单调递减, f(2)=0.若 f(x-1)>0,则 x 的取值范围是________. 15.(2014· 新课标全国Ⅱ)偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对 称,f(3)=3,则 f(-1)=________. 考点 3 函数的性质及其应用 一年模拟试题精练 1.(2015· 广东惠州模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(0, 1)上单调递减的函数为( 1 A.y=x C.y=cos x ) B.y=lg x D.y=x2 )

2.(2015· 山东临沂模拟)下列函数为偶函数的是( A.y=sin x B.y=ln( x2+1-x) C.y=ex D.y=ln x2+1

3. (2015· 山东日照模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时,f(x)=3x+m(m 为常数),则 f(-log3 5)的值为( A.4 B.-4 C.6 D.-6 4.(2015· 广东揭阳模拟)已知函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)、 f(x-1)都是奇函数,则( ) )

A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数 C.f(x+5)是偶函数 D.f(x+7)是奇函数

5. (2015· 辽宁沈阳模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x), 当-3≤x≤-1 时,f(x)=-(x+2)2,当-1<x<3 时,f(x)=x,则 f(1) +f(2)+?+f(2 012)=( A.335 B.338 C.1 678 D.2 012 6.(2015· 山东德州模拟)下列函数中,与函数 奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是( 1 A.y=-x B.y=x2+2 1 C.y=x3-3 D.y=loge|x| )

?e ,x≥0, y=??1?x 的 ? ? ,x<0 ??e?
)

x

?lg x 7. (2015· 山东潍坊模拟)若函数 f(x)=?x+?a3t2dt ? ?0
f(f(1))=1,则 a=________.

(x>0), (x≤0),若

8.(2015· 山东菏泽模拟)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足以下 1 三个条件:①对于任意 x∈R,都有 f(x+1)= ;②函数 y=f(x f(x) +1)的图象关于 y 轴对称;③对于任意的 x1,x2∈[0,1],且 x1<x2,
?3? 都有 f(x1)>f(x2).则 f?2?,f(2),f(3)从小到大排列是________. ? ?

9.(2015· 杭州七校模拟)已知函数 f(x)=x2+(x-1)· |x-a|. (1)若 a=-1,解方程 f(x)=1; (2)若函数 f(x) 在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (3)若 a<1 且不等式 f(x)≥2x-3 对一切实数 x∈R 恒成立,求 a 的取值范围.

考点 4 函数的图象及其应用 两年高考真题演练 1? ? 1.(2015· 浙江)函数 f(x)=?x-x?cos x(-π ≤x≤π 且 x≠0)的图象
? ?

可能为(

)

2.(2015· 安徽)函

数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则下列结论成立的是 ( ) A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c>0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 3.(2015· 北京)如图,

函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是 ( ) A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} 4.(2015· 安徽)

函数 f(x) = ( )

ax+b 的图象如图所示,则下列结论成立的是 (x+c)2

A.a>0,b>0,c<0 B.a<0,b>0,c>0 C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b<0,c<0

5.(2015· 新课标全国Ⅱ)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC= 1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP= x.将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的 图象大致为( )

6.(2014· 湖北)设 f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且 f(x)>0,对 任意 a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与 x 轴的交点 为(c,0),则称 c 为 a,b 关于函数 f(x)的平均数,记为 Mf(a,b).例 a+b 如,当 f(x)=1(x>0)时,可得 Mf(a,b)=c= 2 ,即 Mf(a,b)为 a,b 的算术平均数. (1)当 f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为 a,b 的几何平均数. (2)当 f(x)=________(x>0)时, Mf(a, b)为 a, b 的调和平均数 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 考点 4 函数的图象及其应用 一年模拟试题精练 1. 2ab . a+b

(2015· 贵州七校联盟)已知函数 f(x)的图象如右图所示,则 f(x)的 解析式可以是( ln|x| A.f(x)= x ) ex B.f(x)= x

1 1 C.f(x)=x2-1 D.f(x)=x-x sin x 2.(2015· 山东日照模拟)函数 f(x)= 2 的图象大致为( x +1 )

3.(2015· 山东菏泽模拟)已知函数 f(x)= 图象大致为( )

1 ,则 y=f(x)的 x-ln x-1

? ?ab,a<0, 4.(2015· 福建福州模拟)定义运算“*”为:a*b=? a+b 若函 ?2 ,a≥0. ?

数 f(x)=(x+1)*x,则该函数的图象大致是(

)

x3-3 5. (2015· 豫南豫北十校模拟)函数 f(x)= ex 的大致图象是(

)

6.(2015· 山东日照模拟)函数 f(x)=x2-2|x|的大致图象为(

)

7.(2015· 辽宁沈阳模拟)下列四个图中,函数 y= 象可能是( )

10ln|x+1| 的图 x+1

8.(2015· 安徽马鞍山模拟)函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数,例如:函数 f(x)=2x +1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数;②指数函数 f(x)=2x(x∈R)是单 函数; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数; ⑤若 f(x)为单函数,则函数 f(x)在定义域上具有单调性. 其中的真命题是________(写出所有真命题的编号).

考点 5 基本初等函数(幂函数、 指数函数、对数函数) 两年高考真题演练 1.(2015· 四川)设 a,b 都是不等于 1 的正数,则“3a>3b>3”是 “loga3<logb3”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

2.(2015· 天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x-m|-1(m 为实数) 为偶函数,记 a=f(log0.53),b=(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小 关系为( )

A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 3.(2015· 陕西)设 f(x)=ln x,0<a<b, 若 p=f( ab),q=f? 1 r=2(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是( A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q
?3x-1,x<1, ? 4.(2015· 山东)设函数 f(x)=? x 则满足 f(f(a))=2f(a) ? ?2 ,x≥1, ?a+b? ?, ? 2 ?

)

的 a 取值范围是(
? ?

)

?2 ? A.?3,1? B.[0,1] ?2 ? C.?3,+∞? D.[1, +∞) ? ?

5.

(2014· 山东)已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 6.(2014· 浙江)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)= logax 的图象可能是( ) )

7.(2014· 江西)已知函数 f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若 f[g(1)] =1,则 a=( A.1 B.2 C.3 D.-1 1 1 11 8.(2014· 辽宁)已知 a=2-3,b=log23,c=log23,则( ) )

A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 1 9.(2014· 天津)函数 f(x)=log2(x2-4)的单调递增区间为( A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2) 1 10.(2014· 天津)设 a=log2 π ,b=log2π ,c=π
-2

)

,则(

)

A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 11.(2015· 浙江)若 a=log43,则 2a+2-a=________.
?1?-1 5 12.(2015· 安徽)lg2+2lg 2-?2? =________. ? ?

13.(2015· 福建)若函数 f(x)=2|x-a|(a∈R)满足 f(1+x)=f(1-x), 且 f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数 m 的最小值等于________. 14.(2015· 四川)已知函数 f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中 a∈R).对 于 不 相 等 的 实 数 x1 , x2 , 设 g(x1)-g(x2) , x1-x2 现有如下命题: ①对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m>0; ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x2,都有 n>0; ③对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n; ④对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=-n. 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号). m= f(x1)-f(x2) ,n= x1-x2

考点 5 基本初等函数(幂函数、 指数函数、对数函数) 一年模拟试题精练 1.(2015· 福建五校模拟)若 a=log2 3,b=log3 2,c=log4 6,则 下列结论正确的是( )

A.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.b<c<a 2.(2015· 山东青岛模拟)已知函数 f(x)=e|ln x|,则函数 y=f(x+1) 的大致图象为( )

?1?x 1 3.(2015· 安徽淮南模拟)设函数 y=x3与 y=?2? 的图象的交点为 ? ?

(x0,y0),则 x0 所在的区间是(

)

1? ?1 ? ?1 1? ?1 1? ? A.?2,1? B.?3,2? C.?4,3? D.?0,4? ? ? ? ? ? ? ? ?
?1 2? 4.(2015· 广东湛江模拟)已知幂函数 f(x)的图象经过点? , ?, 4? ?8

P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下 结论: f(x1) f(x2) f(x1) ①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x2)<x2f(x1);③ x > x ;④ x
1 2 1

<

f(x2) x2

其中正确结论的序号是(

)

A.①② B.①③ C.②④ D.②③ 5.(2015· 浙江协作体模拟 )?α ∈?


π? ? , x=(sin α )log π cos , 2? ?4 )

α ,y=(cos α )logπ sin α ,则 x 与 y 的大小关系为( A.x>y B.x<y C.x=y D.不确定

6.(2015· 浙江绍兴模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 1 且在区间[0, +∞)单调递增. 若实数 a 满足 f(log2 a)+f(log2 a)≤2f(1), 则 a 的最小值是( )

3 1 A.2 B.1 C.2 D.2 2x-1 7.(2015· 辽宁沈阳模拟)已知函数 f(x)= x ,则不等式 f(x-2) 2 +1 +f(x2-4)<0 的解集为( )

A.(-1,6) B.(-6,1) C.(-2,3) D.(-3,2) 8.(2015· 安徽淮南模拟)对于函数 f(x),g(x)和区间 D,如果存在 x0∈D,使得|f(x0)-g(x0)|≤1,则称 x0 是函数 f(x)与 g(x)在区间 D 上的 “相互接近点”.现给出四对函数: ①f(x)=x2,g(x)=2x-2;②f(x)= x,g(x)=x+2;③f(x)=ln x, 1 g(x)=x;④f(x)=e-x+1,g(x)=-x . 则在区间(0,+∞)上存在唯一“相互接近点”的是( A.①③ B.③④ C.①④ D.②④ 9.(2015· 安徽合肥模拟)已知函数 f(2 015)=________. 1?x ?? ? ? (x≤0), f(x)=??2? 则 ?f(x-4)(x>0), )

10.(2015· 黑龙江模拟)如果对定义在 R 上的函数 f(x),对任意两 个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则称函 数 f(x)为“H 函数”. 给出下列函数①y = ex + x ;②y = x2 ;③y = 3x - sin x ;④f(x) =
? ?ln|x|,x≠0, ? ?0,x=0. ?

以上函数是“H 函数”的所有序号为________. 11.(2015· 浙江湖州模拟)已知二次函数 f(x)=x2+bx+c(b,c∈ R). (1)若 f(-1)=f(2),且不等式 x≤f(x)≤2|x-1|+1 对 x∈[0,2]恒 成立,求函数 f(x)的解析式; (2)若 c<0,且函数 f(x)在[-1,1]上有两个零点,求 2b+c 的取 值范围.

考点 6 函数与方程及函数的应用 两年高考真题演练
? ?2-|x|,x≤2, 1.(2015· 天津)已知函数 f(x)=? 函数 g(x)=b- 2 ?(x-2) ,x>2, ?

f(2-x),其中 b∈R,若函数 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值 范围是(
?

)
?

?7 ? A.?4,+∞?

7? ? B.?-∞,4?
? ? ? ?7 ? D.?4,2? ?

7? ? C.?0,4?
? ?

2.(2015· 陕西)对二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a 为非零整数),四 位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误 的结论是( )

A.-1 是 f(x)的零点 B.1 是 f(x)的极值点 C.3 是 f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线 y=f(x)上 3.(2015· 四川)某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储藏温度 x(单 位:℃)满足函数关系 y=ekx+b (e=2.718?为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时,在 22 ℃的保鲜 时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是( A.16 小时 C.24 小时 B.20 小时 D.28 小时 )

4.(2015· 北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该 车相邻两次加油时的情况.

加油时间 2015 年 5 月 1 日 2015 年 5 月 15 日

加油量(升) 12 48

加油时的累计里程(千 米) 35 000 35 600

注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为( A.6 升 B.8 升 C.10 升 D.12 升 5.(2014· 湖南)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长 率为 p,第二年的增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长 率为( ) (p+1)(q+1)-1 B. 2 D. (p+1)(q+1)-1 )

p+q A. 2 C. pq

6.(2014· 新课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在 唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是( A.(2,+∞) C.(-∞,-2) B.(1,+∞) D.(-∞,-1) )

7.(2015· 湖南)若函数 f(x)=|2x-2|-b 有两个零点,则实数 b 的 取值范围是________. 8.(2015· 安徽)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图象只有一个交点,则 a 的值为________. 9.(2015· 湖北)a 为实数,函数 f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最 大值记为 g(a).当 a=________时,g(a)的值最小.
?2x-a,x<1, ? 10.(2015· 北京)设函数 f(x)=? ?4(x-a)(x-2a),x≥1. ?

①若 a=1,则 f(x)的最小值为________;

②若 f(x)恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是________.
3 ? ?x ,x≤a, 11.(2015· 湖南)已知函数 f(x)=? 2 若存在实数 b,使函 ? ?x ,x>a,

数 g(x)=f(x)-b 有两个零点,则 a 的取值范围是________. 12. (2014· 福建)要制作一个容积为 4 m3, 高为 1 m 的无盖长方体 容器.已知该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方 米 10 元,则该容器的最低总造价是________(单位:元).

考点 6 函数与方程及函数的应用 一年模拟试题精练 1 1 1.(2015· 黑龙江大庆)已知函数 f(x)= x-ax,若16<a<2,则 f(x) 零点所在区间为(
?1 1? A.?8,4? ? ? ?1 1? C.?4,2? ? ?

)
? 1 1? B.?16,4? ? ? ?1 ? D.?2,1? ? ?

2 2. (2015· 青岛市模拟)函数 f(x)=ln(x+1)-x的零点所在的大致区 间是( ) B.(1,2) D.(3,4)

A.(0,1) C.(2,e)

3. (2015· 辽宁沈阳模拟)函数 f(x)=ln x+x3-9 的零点所在的区间 为( ) A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4)

4.(2015· 湖北荆门模拟)对于函数 f(x)=x2+mx+n,若 f(a)>0, f(b)>0,则函数 f(x)在区间(a,b)内( A.一定有零点 C.可能有两个零点 )

B.一定没有零点 D.至多有一个零点

5.(2015· 泰安模拟)设函数 f(x)的零点为 x1,g(x)=4x+2x-2 的 零点为 x2,若|x1-x2|≤0.25,则 f(x)可以是( A.f(x)=x2-1 C.f(x)=ln(x+1) B.f(x)=2x-4 D.f(x)=8x-2 )

6.(2015· 湖南衡阳模拟)设方程 2x+x+2=0 和方程 log2x+x+2 =0 的根分别为 p 和 q,设函数 f(x)=(x+p)· (x+q)+2,则( A.f(2)=f(0)<f(3) B.f(0)<f(2)<f(3) C.f(3)<f(2)=f(0) D.f(0)<f(3)<f(2) 7.(2015· 北京 )

海淀模拟)某堆雪在融化过程中,其体积 V(单位:m3)与融化时间 1 ?3 ? t(单位:h)近似满足函数关系:V(t)=H?10-10t? (H 为常数),其图象
? ?

如图所示 . 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 v(m3/h). 那么瞬时融化速度等于 v(m3/h)的时刻是图中的( A.t1 B .t 2 C.t3 D.t4 )

8.(2015· 北京昌平区模拟)在 2014 年 APEC 会议期间,北京某旅 行社为某旅行团包机去旅游,其中旅行社的包机费为 12 000 元,旅 行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅行团的人数在 30 人或 30 人以下,每张机票收费 800 元;若旅行团的人数多于 30 人,则给予优惠,每多 1 人,旅行团每张机票减少 20 元,但旅行团 的人数最多不超过 45 人,当旅行社获得的机票利润最大时,旅行团 的人数是( )

A.32 人 B.35 人 C.40 人 D.45 人 9.(2015· 福建福州模拟)一种药在病人血液中的含量不低于 2 克 时,它才能起到有效治疗的作用.已知每服用 m(1≤m≤4 且 m∈R) 个单位的药剂,药剂在血液中的含量 y(克)随着时间 x(小时)变化的函

? 数关系式近似为 y=m· f(x),其中 f(x)=? x 4 - ? 2,6≤x≤8.
小时?

10 ,0≤x<6, 4+x

(1)若病人一次服用 3 个单位的药剂,则有效治疗时间可达多少

(2)若病人第一次服用 2 个单位的药剂, 6 个小时后再服用 m 个单 位的药剂,要使接下来的 2 小时中能够持续有效治疗,试求 m 的最 小值.

考点 7 导数的概念、几何意义及定积分 两年高考真题演练 1 1.(2015· 陕西)设曲线 y=ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y=x(x> 0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为________. 2. (2015· 新课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则 a=________. 3.(2015· 新课标全国Ⅱ)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线 与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,则 a=________. 4.(2015· 湖南)?2(x-1)dx=________.
?0

5.(2015· 山东)曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积 为________. 6.(2015· 山东)执行下边的程序框图,输出的 T 的值为________.

7.(2014· 广东)曲线 y=-5ex+3 在点(0,-2)处的切线方程为 ______________. 8 . (2014· 广东 ) 曲线 y = e - 5x + 2 在点 (0 , 3) 处的切线方程为 ________. 9.(2014· 安徽)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (1)直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切; (2)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧, 则称直线 l 在点 P 处 “切

过”曲线 C. 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①直线 l:y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x3 ②直线 l:x=-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1)2 ③直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sin x ④直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tan x ⑤直线 l:y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=ln x 10. (2014· 新课标全国Ⅱ)已知函数 f(x)=x3-3x2+ax+2, 曲线 y =f(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2. (1)求 a; (2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交 点.

考点 7 导数的概念、几何意义及定积分 一年模拟试题精练 1.(2015· 陕西西安模拟)曲线 f(x)=x3+x-2 在 p0 处的切线平行 于直线 y=4x-1,则 p0 点的坐标为( A.(1,0) C.(1,0)和(-1,-4) )

B.(2,8) D.(2,8)和(-1,-4)

ex 2.(2015· 四川雅安模拟)曲线 f(x)= 在 x=0 处的切线方程为 x-1 ( ) A.x-y-1=0 C.2x-y-1=0 B.x+y+1=0 D.2x+y+1=0

?π ? 1 3.(2015· 山东潍坊模拟)已知 f(x)=4x2+sin? +x?,f′(x)为 f(x) ?2 ?

的导函数,f′(x)的图象是(

)

1 4.(2015· 河南洛阳模拟)曲线 y=x (x>0)在点 P(x0,y0)处的切线为 l.若直线 l 与 x,y 轴的交点分别为 A,B,则△OAB 的周长的最小值 为( ) A.4+2 2 C.2 B.2 2 D.5+2 7

5. (2015· 黑龙江绥化模拟)已知函数 f(x)=xn+1(x∈N*)的图象与直 线 x=1 交于点 P, 若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn, 则 log2 013x1+log2 013x2+?+log2 013x2 012 的值为( )

A.-1

B.1-log2 0132 012

C.-log2 0132 012 D.1 6.(2015· 山东日照模拟)定积分?4π (16-x2)dx 等于(
?0

)

128π A. 3

B.52π

64π C. 3

8π D. 3

7.(2015· 江西新余模拟)由曲线 xy=1,直线 y=x,y=3 所围成 的平面图形的面积为( 32 A. 9 C.4+ln 3 ) B.2-ln 3 D.4-ln 3

8.(2015· 广东模拟)设球的半径为时间 t 的函数 r(t),若球的体积 1 以均匀速度 2 增长,则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为 ________. 9.(2015· 山东潍坊模拟 )若函数 f(f(1))=1,则 a=________. 1 1 10.(2015· 山东日照模拟)由直线 x=2,x=2,曲线 y=x及 x 轴 所围成的图形的面积是________. 11.(2015· 福建龙岩模拟)已知函数 f(x)=ax2+x+ln x(a∈R). (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程; (2)设 a=0,求证:当 x>0 时,f(x)≤2x-1; (3)若函数 y=f(x)恰有两个零点 x1,x2(x1<x2),求实数 a 的取值范 围. (x>0), ?lg x f(x)=? ?a3t2dt(x≤0) 若 , ?x+?0

考点 8 导数的应用一(单调性与极值) 两年高考真题演练 1.(2015· 福建)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=-1,其导函数 f′(x)满足 f′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是(
?1? 1 A.f? k?<k ? ? ? 1 ? 1 C.f?k-1?< ? ? k-1 ?1? 1 B.f? k?> ? ? k-1 ? 1 ? k D.f?k-1?> ? ? k-1

)

2. (2015· 新课标全国Ⅱ)设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数, f(-1)=0,当 x>0 时,xf′(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取 值范围是( )

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 3.(2014· 湖南)若 0<x1<x2<1,则( )

A.ex2-ex1>ln x2-ln x1 B.ex2-ex1<ln x2-ln x1 C.x2ex1>x1ex2 D.x2ex1<x1ex2 4.(2014· 新课标全国Ⅱ)若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞) 上单调递增,则 k 的取值范围是( )

A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C.[2,+∞) D.[1,+∞) 5.(2014· 新课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在 唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是( A.(2,+∞) B.(1,+∞) )

C.(-∞,-2) D.(-∞,-1) 6. (2014· 新课标全国Ⅱ)函数 f(x)在 x=x0 处导数存在. 若 p: f′(x0) =0;q:x=x0 是 f(x)的极值点,则( A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 7.(2014· 江西)已知函数 f(x)=(x2+bx+b)· 1-2x(b∈R). (1)当 b=4 时,求 f(x)的极值; 1? ? (2)若 f(x)在区间?0,3?上单调递增,求 b 的取值范围.
? ?

)

考点 8 导数的应用一(单调性与极值) 一年模拟试题精练 1. (2015· 江西新余模拟)如图是函数 f(x)=x2+ax+b 的部分图象, 则函数 g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是( )

?1 1? A.?4,2? ? ? ?1 ? C.?2,1? ? ?

B.(1,2) D.(2,3)

2.(2015· 河北恒台模拟)设 f0(x)=sin x,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′ (x),?,fn(x)=fn-1′(x),n∈N,则 f2 015(x)=( A.sin x C.cos x B.-sin x D.-cos x )

3.(2015· 黑龙江绥化模拟)已知函数 y=f(x-1)的图象关于直线 x =1 对称, 且当 x∈(-∞, 0)时, f(x)+xf′(x)<0 成立, 若 a=20.2f(20.2),
? 11? ? 11? b=(ln 2)f(ln 2),c=?log24?f?log24?,则 a,b,c 的大小关系是( ? ?? ?

)

A.a>b>c C.c>a>b

B.b>a>c D.a>c>b

4.(2015· 辽宁沈阳模拟)已知定义域为 R 的奇函数 y=f(x)的导函 f(x) 1 ?1? 数为 y=f′(x), 当 x≠0 时, f′(x)+ x >0, 若 a=2f?2?, b=-2f(-
? ? ? 1? ? 1? 2),c=?ln 2?f?ln 2?,则 a,b,c 的大小关系正确的是( ? ?? ?

)

A.a<c<b

B.b<c<a

C.a<b<c

D.c<a<b

5 . (2015 ·辽宁沈阳模拟 ) 对于三次函数 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d(a≠0),定义:设 f″(x)是函数 y=f(x)的导数 y=f′(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”.有 同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”; 任何一个三次函数都有 对称中心; 且“拐点”就是对称中心. ”请你根据这一发现, 函数 f(x) =x3-3x2+3x+1 对称中心为________. 6.(2015· 四川乐山模拟)已知函数 f(x)=xex,记 f0(x)=f′(x),f1(x) =f′(x0),?,fn(x)=fn-1′(x)且 x2>x1,对于下列命题: f(x1)-f(x2) ①函数 f(x)存在平行于 x 轴的切线;② >0;③f2 x1-x2
012′(x)=xe x

+2 014ex;④f(x1)+x2<f(x2)+x1.

其中正确的命题序号是 ________( 写出所有满足题目条件的序 号.) x a 3 7. (2015· 山东潍坊模拟)已知函数 f(x)=4+x-ln x-2, 其中 a∈R. 1 (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y=2x,求 a 的值. (2)讨论函数 f(x)的单调区间.

考点 9 导数的应用二(函数的最值与实际应用) 两年高考真题演练 1+x 1.(2015· 北京)已知函数 f(x)=ln . 1-x (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; x? ? (2)求证:当 x∈(0,1)时,f(x)>2?x+ 3 ?; ? ? x? ? (3)设实数 k 使得 f(x)>k?x+ 3 ?对 x∈(0,1)恒成立,求 k 的最大 ? ? 值.
3 3

2.(2015· 江苏)某山

区外围有两条相互垂直的直线型公路, 为进一步改善山区的交通 现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条 相互垂直的公路为 l1,l2,山区边界曲线为 C,计划修建的公路为 l, 如图所示,M,N 为 C 的两个端点,测得点 M 到 l1,l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l1,l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米, 以 l2,l1 所在的直线分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系 xOy,假设 曲线 C 符合函数 y= a (其中 a,b 为常数)模型. x +b
2

(1)求 a,b 的值; (2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f(t),并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.

3.(2014· 安徽)设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性. (2)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 值.

考点 9 导数的应用二(函数的最值 与实际应用) 一年模拟试题精练 1 1.(2015· 青岛模拟)已知函数 f(x)=3x3+ax2+2bx+c 有两个极值 点 x1,x2,且-1<x1<1<x2<2,则直线 bx-(a-1)y+3=0 的斜率的取 值范围是( )
? 2 3? B.?-5,2? ? ?

? 2 2? A.?-5,3? ? ? ? 2 1? C.?-5,2? ? ?

2? ?2 ? ? D.?-∞,-5?∪?3,+∞?
? ? ? ?

1 2.(2105· 江西新余模拟)设点 P 在曲线 y=2ex 上,点 Q 在曲线 y =ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( A.1-ln 2 C.1+ln 2 ) B. 2(1-ln 2) D. 2(1+ln 2)

3.(2015· 山东日照模拟)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为 b2 常数)的导函数为 f′(x), 对任意 x∈R, 不等式 f(x)≥f′(x)恒成立, 则 2 2 a +c 的最大值为________. 4.(2015· 河北石家庄模拟)已知函数 f(x)=ex-ax-1(a∈R),其 中 e 为自然对数的底数. (1)若 f′(x)=ex-a 对任意 x≥0 恒成立,求 a 的取值范围; 1 e3 e-1

(2)求证: 当 n≥2, n∈N 时, 恒有 1n+4n+7n+?+(3n-2)n< (3n)n.

5.(2015· 湖北荆州模拟)某公司经销某种品牌的产品,每件产品 的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a(3≤a≤5)元的管理费, 预计每件产品的售价为 x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2 万 件. (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系 式; (2)当每件产品售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大并求 出 L 的最大值 Q(a).

第二章 函数导数及其应用 考点 3 函数的性质及其应用 【两年高考真题演练】 1 .A [易知函数定义域为(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)

? 2 ? 1+x =-f(x),故函数 f(x)为奇函数,又 f(x)=ln =ln?-1-x-1?,由 1-x ? ?

复合函数单调性判断方法知,f(x)在(0,1)上是增函数,故选 A.] 2.A [由于 y=sin x 是奇函数;y=ln x 是非奇非偶函数;y=x2 +1 是偶函数但没有零点;只有 y=cos x 是偶函数又有零点.] 3.A [令 f(x)=x+ex,则 f(1)=1+e,f(-1)=-1+e-1,即 f(- 1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),所以 y=x+ex 既不是奇函数也不是偶函数, 而 B、C、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数,故选 A.] π π 4.D [排除法,A 中,当 x1= 2 ,x2=- 2 时,f(sin 2x1)=f(sin 2x2)=f(0),而 sin x1≠sin x2,∴A 不对;B 同上;C 中,当 x1=-1,
2 x2=1 时,f(x2 1+1)=f(x2+1)=f(2),而|x1+1|≠|x2+1|,∴C 不对,故

选 D.] 5.D [由奇函数定义易知 y=ex-e-x 为奇函数,故选 D.] 6.A [显然 y= x+1是(0,+∞)上的增函数;y=(x-1)2 在(0,
?1?x 1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;y=2-x=?2? 在 x∈R 上是减 ? ?

函数;y=log0.5(x+1)在(-1,+∞)上是减函数.故选 A.] 7.D [根据各选项知,选项 C、D 中的指数函数满足 f(x+y)= f(x)· f(y).又 f(x)=3x 是增函数,所以 D 正确.] 1 8.D [因为 f(x)=kx-ln x,所以 f′(x)=k-x.因为 f(x)在区间(1,

1 1 +∞)上单调递增,所以当 x>1 时,f′(x)=k-x ≥0 恒成立,即 k≥x 1 在区间(1,+∞)上恒成立.因为 x>1,所以 0<x<1,所以 k≥1.故 选 D.] 9.D [函数 f(x)=x-1 和 f(x)=x2+x 既不是偶函数也不是奇函 数,排除选项 A 和选项 B;选项 C 中 f(x)=2x-2-x,则 f(-x)=2-x -2x=-(2x-2-x)=-f(x), 所以 f(x)=2x-2-x 为奇函数, 排除选项 C; 选项 D 中 f(x)=2x+2-x,则 f(-x)=2-x+2x=f(x),所以 f(x)=2x+2-x 为偶函数,故选 D.] 10.C 11.A 12.A [由偶函数的定义知,A,B 为偶函数.A 选项,f′(x) 2 =-x3在(-∞,0)恒大于 0;B 选项,f′(x)=2x 在(-∞,0)恒小于 0.故选 A.] 13.?-
? ?

2 ? ? [由题可得 f(x)<0 对于 x∈[m,m+1]恒成立,即 2 ,0?

?f(m)=2m2-1<0, ? 2 ? 解得- 2 <m<0.] 2 ?f(m+1)=2m +3m<0, ?

14.(-1,3)

[由题可知,当-2<x<2 时,f(x)>0.f(x-1)的图象

是由 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度得到的,若 f(x-1)>0,则- 1<x<3.] 15.3 [因为 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,所以 f(x)=f(4-x), f(-x)=f(4+x),又 f(-x)=f(x),所以 f(x)=f(4+x),则 f(-1)=f(4- 1)=f(3)=3.] 【一年模拟试题精练】 1. C [首先 y=cos x 是偶函数, 且在(0, π)上单减, 而(0, 1)?(0,

π),故 y=cos x 满足条件.故选 C.] 2. D [y=sin x 与 y=ln( x2+1-x)都是奇函数,y=ex 为非奇非 偶函数,y=ln x2+1为偶函数,故选 D.] 3. B [由 f(x)是定义在 R 上的奇函数得 f(0)=1+m=0?m=-1, f(-log3 5)=-f(log3 5)=-(3log3 5-1)=-4,选 B.] 4.D 5.B [f(x)为周期为 6 的周期函数,且 f(1)=1,f(2)=2,f(3)= f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,所以 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1, 则 f(1)+f(2)+?+f(2 012)=f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 012)=f(1) +f(2)+335=338,故选 B.] 6.B

?e ,x≥0, [因为函数 y=??1?x 为偶函数,且在(-∞,0)上为 ? ? ,x<0 ??e?
[∵f(f(1))=f(0)=a3=1,∴a=1.]
? ?

x

减函数,故选 B.] 7.1

?3? 8. f(3)<f?2?<f(2)

1 [由①得 f(x+2)=f(x+1+1)= =f(x), f(x+1)

所以函数 f(x)的周期为 2. ②中因为函数 y=f(x+1)的图象关于 y 轴对称,将函数 y=f(x+ 1)的图象向右平移一个单位即可得 y=f(x)的图象,所以函数 y=f(x) 的图象关于 x=1 对称. 根据③可知函数 f(x)在[0,1]上为减函数,又结合②知,函数 f(x) 在[1,2]上为增函数. 3 因为 f(3)=f(2+1)=f(1),在区间[1,2]上,1<2<2,

?3? 3 所以 f(1)<f(2)<f(2),即 f(3)<f?2?<f(2).] ? ?

9.解

2 ? ?2x -1,x≥-1, (1)当 a=-1 时,有 f(x)=? ? ?1,x<-1,

当 x≥-1 时,2x2-1=1,解得:x=1 或 x=-1, 当 x<-1 时,f(x)=1 恒成立, ∴方程的解集为:{x|x≤-1 或 x=1}.
2 ? ?2x -(a+1)x+a,x≥a, (2)f(x)=? ?(a+1)x-a,x<a, ?

?a+1≤a, 1 若 f(x)在 R 上单调递增,则有? 4 解得:a≥3. ?a+1>0,
(3)设 g(x)=f(x)-(2x-3),
2 ? ?2x -(a+3)x+a+3,x≥a, 则 g(x)=? ?(a-1)x-a+3,x<a. ?

即不等式 g(x)≥0 对一切实数 x∈R 恒成立 ∵a<1, ∴当 x<a 时,g(x)单调递减,其值域为:(a2-2a+3,+∞). ∵a2-2a+3=(a-1)2+2≥2,∴g(x)≥0 恒成立 a+3 当 x≥a 时,∵a<1,∴a< 4 ,
?a+3? (a+3)2 ?=a+3- ∴g(x)min=g? ≥0,得-3≤a≤5, 8 ? 4 ?

∵a<1,∴-3≤a<1, 综上:a 的取值范围是-3≤a<1. 考点 4 函数的图象及其应用 【两年高考真题演练】

1? ? 1.D [∵f(x)=?x- x?cos x,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,
? ?

排除 A,B;当 x→π时,f(x)<0,排除 C.故选 D.] 2.A [由已知 f(0)=d>0,可排除 D;其导函数 f′(x)=3ax2+2bx c +c 且 f′(0)=c>0,可排除 B;又 f′(x)=0 有两不等实根,且 x1x2=a> 0,所以 a>0,故选 A.] 3.C [如图,

由图知:f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}.] 4.C [由里面图可知-c>0,∴c<0,又当 x<-c 时,由图象形 状可知,a<0 且 b>0,故选 C.] π 5. B [当点 P 沿着边 BC 运动, 即 0≤x≤ 4 时, 在 Rt△POB 中, |PB|=|OB|tan∠POB=tan x,在 Rt△PAB 中,|PA|= |AB|2+|PB|2= 4+tan2x, 则 f(x)=|PA|+|PB|= 4+tan2x+tan x, 它不是关于 x 的一 次函数,图象不是线段,故排除 A 和 C;
?π? π 当点 P 与点 C 重合,即 x= 4 时,由上得 f? ?= ?4?

π 4+tan2 4 +

π π tan 4 = 5+1,又当点 P 与边 CD 的中点重合,即 x= 2 时,△PAO
?π? 与△PBO 是全等的腰长为 1 的等腰直角三角形,故 f? ? ?2? ?π? ?π? =|PA|+|PB|= 2+ 2=2 2,知 f? ?<f? ?,故又可排除 D.综 ?2? ?4?

上,选 B.]

6.(1) x f(a)=

(2)x [过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线的方程为 y-

f(a)+f(b) af(b)+bf(a) (x-a),令 y=0 得 c= . a-b f(a)+f(b) af(b)+bf(a) ? abf(a) + abf(b) = f(a)+f(b)

(1) 令几何平均数 ab =

bf(a)+af(b),可取 f(x)= x(x>0); (2) 令 调 和 平 均 数 af(b)+bf(a) ab+ba 2ab = ? = a+b f(a)+f(b) a+b

af(b)+bf(a) ,可取 f(x)=x(x>0).] f(a)+f(b) 【一年模拟试题精练】 1.A [由图形可知 f(x)为奇函数,故排除 B,C;而 D 中的函数 在(0,+∞)和(-∞,0)上均为增函数,故选 A.] 2.A [首先由 f(x)为奇函数,得图象关于原点对称,排除 C、D, 又当 0<x<π时,f(x)>0 知,选 A.] 3.A [f(x)的定义域为 x>0 且 x≠1,当 x∈(0,1)时,f(x)>0 且 为增函数,当 x∈(1,+∞)时,f(x)<0 且为减函数,故选 A.]
? ?x(x+1)(x<-1), 4.D [f(x)=(x+1)*x=? 2x+1 故选 D.] ?2 (x≥-1). ?

3 3 5.C [由解析式可以得到当 x∈(-∞, 3)时,f(x)<0,x∈( 3, +∞)时,f(x)>0,故选 C.] 6. C [由函数 f(x)=x2-2|x|为偶函数, 排除答案 B 与 D; 又由 f(0) =-1<0,知选 C.] 7.C [y= 10ln|x+1| 10ln|x| 由函数 y= x 向左平移一个单位,而 y x+1

10ln|x+1| 10ln|x| = x 为奇函数,所以 y= 关于(-1,0)对称,故排除 A, x+1

D,当 x>0 时,y= 8. ②③④

10ln(x+1) >0 恒成立,故选 C.] x+1

[根据题意可以得到函数为单调函数, 或为常数函数,

所以②③④正确.] 考点 5 基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数) 【两年高考真题演练】 1.B [若 3a>3b>3,则 a>b>1,从而有 loga3<logb3 成立; 1 若 loga3<logb3,不一定有 a>b>1,比如 a=3,b=3,选 B.] 2.C [因为函数 f(x)=2|x-m|-1 为偶函数可知,m=0, 所以 f(x)=2|x|-1,当 x>0 时,f(x)为增函数,log0.53=-log23, ∴log25>|-log0.53|>0, ∴b=f(log25)>a=f(log0.53)>c=f(2m),故选 C.] 3.C [∵0<a<b, a+b ∴ 2 > ab, 又∵f(x)=ln x 在(0,+∞)上为增函数,故 f? 即 q>p. 1 1 又 r=2(f(a)+f(b))=2(ln a+ln b) 1 1 1 =2ln a+2ln b=ln(ab)2 =f( ab)=p. 故 p=r<q.选 C.] 4.C [当 a=2 时,f(a)=f(2)=22=4>1,f(f(a))=2f(a),
?2? 2 2 ∴a=2 满足题意,排除 A,B 选项;当 a=3时,f(a)=f?3?=3×3 ? ? ?a+b? ?>f( ab), ? 2 ?

2 -1=1,f(f(a))=2f(a),∴a=3满足题意,排除 D 选项,故答案为 C.] 5.D [由对数函数的性质得 0<a<1,因为函数 y=loga(x+c) 的图象在 c>0 时是由函数 y=logax 的图象向左平移 c 个单位得到的, 所以根据题中图象可知 0<c<1.] 6.D [当 a>1 时,函数 f(x)=xa(x>0)单调递增,函数 g(x)=logax 单调递增,且过点(1,0),由幂函数的图象性质可知 C 错;当 0<a<1 时,函数 f(x)=xa(x>0)单调递增,函数 g(x)=logax 单调递减,且过点 (1,0),排除 A,因此选 D.] 7.A [因为 f[g(1)]=1,且 f(x)=5|x|,所以 g(1)=0,即 a·12-1 =0,解得 a=1.] 1 1 1 8.C [a=2-3∈(0,1),b=log23∈(-∞,0),c=log13=log23 2 ∈(1,+∞),所以 c>a>b.] 9.D [函数 y=f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函 数 y=f(x)是由 y=log1t 与 t=g(x)=x2-4 复合而成, 又 y=log1t 在(0, 2 2 +∞)上单调递减,g(x)在(-∞,-2)上单调递减,所以函数 y=f(x) 在(-∞,-2)上单调递增.选 D.] 10.C [利用中间量比较大小.因为 a=log2π∈(1,2),b=log1 2 π<0,c=π-2∈(0,1),所以 a>c>b.] 4 11.3 3 4 + 3 =3 3 3.] 3 [2a+2-a=2log43+2-log43=2log 2 3+2log2 3 = 3

?1?-1 ?5 ? 5 5 12. -1 [lg 2+2lg 2-?2? =lg 2+lg 22-2=lg ?2×4?-2= ? ? ? ?

1-2=-1.] 13.1 [∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴 x=1,∴a=1,f(x) =2|x-1|, ∴f(x)的增区间为[1,+∞),∵[m,+∞)?[1,+∞),∴m≥1. ∴m 的最小值为 1.] 14. ①④ [设 A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)), C(x1, g(x1)), D(x2, g(x2)),

对于①从 y=2x 的图象可看出,m=kAB>0 恒成立,故正确; 对于②直线 CD 的斜率可为负,即 n<0,故不正确; 对于③由 m=n 得 f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2), 即 f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2), 令 h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax, 则 h′(x)=2x·ln 2-2x-a,由 h′(x)=0,∴2x·ln 2=2x+a,(*) 结合图象知, 当 a 很小时, 方程(*)无解, ∴函数 h(x)不一定有极值点, 就不一定存在 x1,x2 使 f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2),不一定存在 x1,x2 使得 m=n; 对于④由 m=-n,得 f(x1)-f(x2)=g(x2)-g(x1), 即 f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2),

令 F(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax,则 F′(x)=2xln 2+2x+a, 由 F′(x)=0,得 2xln 2=-2x-a, 结合如图所示图象可知,该方程有解, 即 F(x)必有极值点,∴存在 x1,x2 使 F(x1)=F(x2),使 m=-n. 故①④正确.] 【一年模拟试题精练】

1.D [b=log3 2∈(0,1),而 a>c>1,故选 D.] 2. D [f(x)=e
|ln x|

?x(x≥1), =?1 而函数 y=f(x+1)的图象由函 ( 0< x <1 ), ?x

数 f(x)=e|ln x|向左平移了一个单位,故选 D.] 1 ?1?x 3. B [构造函数 f(x)=x3-?2? , 从而转化为函数的零点的问题,
? ? ?1? ?1? ?1 1? 因为 f?2?· f?3?<0,所以在?3,2?存在零点,故选 B.] ? ? ? ? ? ?

4.D 5.C 6.C 2x-1 7.D [因为函数 f(x)= x 为奇函数且增函数,所以不等式 f(x 2 +1 -2)+f(x2-4)<0 可化为 f(x2-4)<f(2-x),所以 x2-4<2- x,则- 3<x<2,故选 D.] 8.A 9. 2 [由题意知当 x>0 时, f(x)为周期函数且周期为 4, 故 f(2 015)
? ?

?1?-1 =f(-1)=?2? =2.]

10.②③

[∵对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1)+

x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,∴不等式等价为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 恒成立,即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数.①函数 y=ex+x 在定义 域上为增函数,满足条件. ②函数 y=x2 在定义域上不单调,不满足条件. ③y=3x-sin x,y′=3-cos x>0,函数单调递增,满足条件.
? ?ln|x|,x≠0, ④f(x)=? 当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函 ?x,x=0. ?

数单调递减,不满足条件.综上满足“H 函数”的函数为②③,故答 案为:②③.]

11.解

(1)因为 f(-1)=f(2),所以 b=-1,

因为当 x∈[0,2], 都有 x≤f(x)≤2|x-1|+1,所以有 f(1)=1, 即 c=1,所以 f(x)=x2-x+1; (2)法一 因为 f(x)在[-1,1]上有两个零点,且 c<0,

f(-1)≥0, ?-b+c+1≥0, ? ? ? 所以有?f(1)≥0, ??b+c+1≥0, ? ? ?c<0, ?c<0,

通过线性规划可得-2<2b+c<2. 法二 设 f(x)的两个零点分别为 x1,x2,

所以 f(x)=(x-x1)(x-x2), 不妨设 x1∈[-1,0),x2∈(0,1]. 因为 f(2)=(2-x1)(2-x2),且 2-x1∈(2,3],2-x2∈[1,2), 所以 f(2)∈(2,6),所以-2<2b+c<2. 考点 6 函数与方程及函数的应用 【两年高考真题演练】 1.D [

记 h(x)=-f(2-x)在同一坐标系中作出 f(x)与 h(x)的图象如图,

直线 AB : y = x - 4 ,当直线 l∥AB 且与 f(x) 的图象相切时 ,由
? ?y=x+b′, ? 2 ? ?y=(x-2) ,

9 9 7 解得 b′=-4,-4-(-4)=4, 7 所以曲线 h(x)向上平移4个单位后, 所得图象与 f(x)的图象有四个 7 公共点,平移 2 个单位后,两图象有无数个公共点,因此,当4<b <2 时,f(x)与 g(x)的图象有四个不同的交点,即 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点.选 D.] 2.A [A 正确等价于 a-b+c=0,① B 正确等价于 b=-2a,② 4ac-b2 C 正确等价于 4a =3,③ D 正确等价于 4a+2b+c=8.④ 下面分情况验证, a=5, ? ? 错,由②、③、④组成的方程组的解为?b=-10,符合题 ? ?c=8.

若 A 意;

若 B 错,由①、③、④组成的方程组消元转化为关于 a 的方程 后无实数解; 若 C 错,由①、②、④组成方程组,经验证 a 无整数解; 3 若 D 错,由①、②、③组成的方程组 a 的解为-4也不是整数. 综上,故选 A.]

3.C

?192=eb, ? 48 1 1 [由题意知? ∴e22k=192=4,∴e11k=2,∴x= 22k+b ?48=e , ? ? ?

?1?3 33 时,y=e33k+b=(e11k)3·eb=?2? ×192=24.]

4.B [由表知:汽车行驶路程为 35 600-3 500=600 千米,耗 油量为 48 升,∴每 100 千米耗油量 8 升.] 5.D [设年平均增长率为 x,原生产总值为 a,则 a(1+p)(1+ q)=a(1+x)2,解得 x= (1+p)(1+q)-1,故选 D.] 6.C

7.(0,2)

[令 y=|2x-2|,作出其图象如图:

由图形知,当 0<b<2 时, f(x)=|2x-2|-b 有两个零点.] 1 8. -2 [∵|x-a|≥0 恒成立, ∴要使 y=2a 与 y=|x-a|-1 只有 1 一个交点,必有 2a=-1,解得 a=-2.] 9.2 2-2 [①当 a≤0 时,f(x)=|x2-ax|在[0,1]上是增函数,

所以 g(a)=f(1)=1-a,此时 g(a)min=1; ②当 0<a<2 时,作出函数 f(x)=|x2-ax|的大致图象如图:

a? ? ?a ? 由图易知,f(x)=|x2-ax|在?0,2?上是增函数,在?2,a?上是减函
? ? ? ? ?a? 数,在[a,1]上是增函数,此时,只需比较 f?2?与 f(1)的大小即可. ? ? ??a?2 ?a? a2 a? ? ? ? ? 由 f 2 =f(1),得 ? ? -a· =|1-a|,得 4 =|1-a|,解得 a=2 2 ? ? 2? ??2?

-2 或 a=-2 2-2(舍)或 a=2(舍去).
?a? (ⅰ)当 0<a≤2 2-2 时,f?2?≤f(1),所以 g(a)=f(1)=1-a,此 ? ?

时 g(a)min=3-2 2;
?a? ?a? a (ⅱ)当 2 2-2<a<2 时,f?2?>f(1),所以 g(a)=f?2?= 4 ,此时 3- ? ? ? ?
2

2 2<g(a)<1; ③当 a≥2 时,f(x)=|x2-ax|在[0,1]上是增函数,所以 g(a)=f(1) =a-1,此时 g(a)min=1. 综上,当 a=2 2-2 时,g(a)min=3-2 2.] 10 . ① - 1
?1 ? ② ?2,1? ∪ [2 , + ∞) ? ?

[① 当 a = 1 时 , f(x) =

?2x-1,x<1, ? ? ? ?4(x-1)(x-2),x≥1.

当 x<1 时,2x-1>-1.
?3? 3 当 x≥1 时,且当 x=2时,f(x)min=f?2?=-1, ? ?

∴f(x)最小值为-1. ②1°当 a≤0 时,2x-a>0, 由 4(x-a)(x-2a)=0 得 x=a 或 x=2a.a?[1,+∞), 2a?[1,+∞), ∴此时 f(x)无零点.

?a<1, ? 1 2°当 0<a<1 时,若有 2 个零点,只须? ∴2≤a<1. ?2a≥1, ?

3°当 1≤a<2 时,x<1,2x=a,x=log2a∈[0,1), x≥1 时,由 f(x)=0,得 x=a 或 2a,a∈[1,+∞). 2a∈[1,+∞),有 3 个零点,不合题意. 4°当 a≥2 时,x<1,则 2x-a<0, x≥1 时,由 f(x)=0,得 x=a 或 2a,a,2a∈[1,+∞), 1 此时恰有 2 个零点,综上2≤a<1 或 a≥2.] 11 . ( - ∞ , 0)∪(1 , + ∞)
?x3 ? ? 2 ? ?x

[ 若 0≤a≤1 时 , 函 数 f(x) =

(x≤a), (x>a)

在 R 上递增,若 a>1 或 a<0 时,

由图象知 y=f(x)-b 存在 b 使之有两个零点, 故 a∈(-∞, 0)∪(1, +∞).] 12.160 【一年模拟试题精练】
?1? ?1? 1.C [根据零点存在性定理,f?4?·f?2?<0,故选 C.] ? ? ? ?

2. B [利用零点存在性定理得到 f(1)· f(2)=(ln 2-2)· (ln 3-1)<0, 故选 B.] 3.C [利用零点存在性定理得到 f(3)· f(2)<0,故选 C.] 4.C [利用排除法,f(a)· f(b)<0 是函数 f(x)在区间(a,b)内有零 点的充分不必要条件,故选 C.]
?1? ?1? 1 5. D [因为 g(x)=4x+2x-2, 而 g?4?= 2+2-2<0, g?2?=1>0, ? ? ? ? ?1 1? 1 故 x2∈?4,2?,而函数 f(x)=8x-2 的零点为4,故选 D.] ? ?

6.A [∵方程 2x+x+2=0 和方程 log2 x+x+2=0 的根分别为

函数 y=2x, y=log2 x 与直线 y=-x-2 的交点横坐标, 而函数 y=2x, y=log2 x 互为反函数,其图象关于 y=x 对称, 又直线 y=-x-2 与直线 y=x 垂直, 且两直线的交点坐标为(-1, -1),∴p+q=-2,则 f(x)=x2+(p+q)x+pq+2=x2-2x+pq+2, ∵该二次函数的对称轴为 x=1, ∴f(2)=f(0)<f(3).故选 A.] V(100)-V(0) 7.C [平均融化速度为 v= ,反映的是 V(t) 100-0 图象与坐标交点连线的斜率,观察可知 t3 处瞬时速度(即切线的斜率) 为平均速速一致,故选 C.]

8.B [设旅行团的人数为 x 人,每张机票收费为 m 元,旅行社 获得的机票利润为 y, 当 1≤x≤30 且 x∈N 时,m=800,ymax=800×30-12 000=12 000, 当 30<x≤45 且 x∈N 时,m=800-20(x-30)=1 400-20x, 则 y=(1 400-20x)x-12 000=-20x2+1 400x-12 000,对应的 抛物线开口向下, 1 400 因为 x∈N,所以当 x=- =35,函数取得最大值. 2×(-20) 所以当旅行团人数为 35 人时,旅行社可获得最大利润.故选 B.]

9.解

法一

? (1)因为 m=3,所以 y=? 3x 12 - ? 2 ,6≤x≤8.

30 ,0≤x<6, 4+x

30 当 0≤x<6 时,由 ≥2,解得 x≤11,此时 0≤x<6; 4 +x 3x 20 20 当 6≤x≤8 时,由 12- 2 ≥2,解得 x≤ 3 ,此时 6≤x≤ 3 . 20 综上所述,0≤x≤ 3 . 20 故若用一次服用 3 个单位的药剂,则有效治疗的时间可达 3 小 时. 1 (2)当 6≤x≤8 时, y=2×(4-2x)+m[ 10 10m ]=8-x+ , 4+(x-6) x-2

10m 因为 8-x+ ≥2 对 6≤x≤8 恒成立, x-2 x2-8x+12 即 m≥ 对 6≤x≤8 恒成立, 10
?x2-8x+12? ? 等价于 m≥? ,(6≤x≤8). 10 ? ?max

x2-8x+12 (x-4)2-4 令 g(x)= ,则函数 g(x)= 在[6,8]上是单 10 10 调递增函数, x2-8x+12 6 当 x=8 时,函数 g(x)= 取得最大值为 10 5. 6 6 所以 m≥5,所以所求的 m 的最小值为5. 法二 (1)同法一;
? ?

1 ? ? (2)当 6≤x≤8 时, y=2×?4-2x?+m[

10 10m ]=8-x+ , 4+(x-6) x-2

10m 注意到 y1=8-x 及 y2= (1≤m≤4 且 m∈R)均关于 x 在[6, x-2 8]上单调递减, 10m 则 y=8-x+ 关于 x 在[6,8]上单调递减, x -2 10m 5m 5m 6 故 y≥8-8+ = 3 ,由 3 ≥2,得 m≥5, 8-2 6 所以所求的 m 的最小值为5. 考点 7 导数的概念、几何意义及定积分 【两年高考真题演练】
?1? 1 1.(1,1) [∵(ex)′|x=0=e0=1,设 P(x0,y0),有? x?′|x=x0=-x2 ? ?
0

=-1,又∵x0>0,∴x0=1,故 P 的坐标为(1,1).] 2.1 [f′(x)=3ax2+1,f′(1)=1+3a,f(1)=a+2.

(1,f(1))处的切线方程为 y-(a+2)=(1+3a)(x-1). 将(2,7)代入切线方程,得 7-(a+2)=(1+3a),解得 a=1.] 3.8 1 [由 y=x+ln x,得 y′=1+x,得曲线在点(1,1)的切线的

斜率为 k=y′|x=1=2,所以切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1, 此切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1 相切,消去 y 得 ax2+ax+2=0, 得 a≠0 且 Δ=a2-8a=0,解得 a=8.] 4.0 1 5.6 [
? 1 ??2 1 [?2(x-1)dx=? 2x2-x?? 0=2×22-2=0.] ?? ? ?
0

?y=x2, ? 曲线 y=x 与直线 y=x 所围成的封闭图形如图,由? 得 ?y=x, ?
2

A(1,1), 面积 S=?1xdx-?1x2dx
?0 ?0

1 ? 1 2?1 1 1 1 =2x2?1 0- x ? 0= - = .] 3 2 3 6
? ?

1 ?1 11 1 3 6. 6 [当 n=1 时,T=1+?1x1dx=1+ 2x2? 0=1+2=2; ? ?
0

1 ?1 3 1 11 3 3 当 n=2 时,T=2+?1x2dx=2+ 3x3? 0=2+3= 6 ; ? ?
0

11 当 n=3 时,结束循环,输出 T= 6 .] 7.5x+y+2=0 8.5x+y-3=0 9.①③④ 10.(1)解 f′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a.

曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为 y=ax+2. 2 由题设得-a=-2,所以 a=1. (2)证明 由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2.

设 g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4. 由题设知 1-k>0. 当 x≤0 时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)上单调递增,g(-1) =k-1<0,g(0)=4,所以 g(x)=0 在(-∞,0]上有唯一实根. 当 x>0 时,令 h(x)=x3-3x2+4,则 g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x). h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+ ∞)上单调递增,所以 g(x)>h(x)≥h(2)=0.

所以 g(x)=0 在(0,+∞)上没有实根. 综上,g(x)=0 在 R 上有唯一实根,即曲线 y=f(x)与直线 y=kx -2 只有一个交点. 【一年模拟试题精练】
2 1.C [设 p0(x0,y0),则 3x2 0+1=4,所以 x0=1,所以 p0 点的坐

标为(1,0)和(-1,-4).故选 C.] ex(x-2) 2.D [因为 f′(x)= ,所以 f′(0)=-2,故在 x=0 处的 (x-1)2 切线方程为 2x+y+1=0,故选 D.]
?π ? 1 1 1 3.A [因为 f(x)=4x2+sin? +x?=4x2+cos x,所以 f′(x)=2x- ?2 ? ?π? sin x 为奇函数,且 f′?6?<0,故选 A.] ? ?

4.A 5.A [f′(x)=(n+1)xn,f(1)=1,∴P(1,1),k=f′(1)=n+1, n ∴切线方程为 y-1=(n+1)(x-1)与 x 轴相交,∴xn= , n+1 ∴log2
?
013x1+log2 013x2+ ?+log2 013x2 012= log2 013(x1x2?x2 012)=

2 012? ?1 2 1 log2 013?2×3×?×2 013?=log2 0132 013=-1.]
?

6.A [?4π(16-x2)dx
?0

64π 128π 1 ?4 ? =π?16x-3x3?|0=64π- 3 = 3 ,故选 A.] ? ? 7.D 8.1 [设球的体积以均匀速度 c 增长,由题意可知球的体积为 c =4πR(t),则球 R(t)R′(t)

4 V(t)=3πR3(t),则 c=4πR2(t)R′(t),则

2c 的表面积的增长速度为 V 表=S′(t)=(4πR2(t))′=8πR(t)R′(t)= R(t) 即球的表面积的增长速度与球的半径的乘积为 V 表· R(t)=2c=1.] 9 . 1 [ 由 题 意 知 f(x) =

?lg x ?x+?a3t2dt ? ?0

(x>0) (x≤0) =

? ?lg x(x>0), ? 所以 f(1)=0,f(f(1))=f(0)=a3=1,所以 a=1.] 3 ?x+a (x≤0), ?

1 10.2ln 2 [由定积分的几何意义,得围成的面积∫21xdx= 2

?2 1 ln x?1=ln 2-ln2=ln 4=2ln 2.] ?2
11.(1)解 1 当 a=1 时,f(x)=x2+x+ln x,f′(x)=2x+1+x,

∴f(1)=2,f′(1)=4, 函数 f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 y-2=4(x-1) 即 4x-y-2=0. (2)证明 当 a=0 时,设 g(x)=f(x)-(2x-1)=ln x-x+1(x>0),

1-x 1 则 g′(x)=x-1= x , 当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0. 因此,函数 g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上是单调递减 得 g(x)≤gmax(x)=g(1)=0,即 f(x)≤2x-1. (3) 解 2ax2+x+1 . x 当 a≥0 时 f′(x)>0,则 f(x)在(0,+∞)上是单调递增, 1 由 f(x) = ax2 + x + ln x(x>0) 得 f′(x) = 2ax + 1 + x =

因此函数 f(x)至多只有一个零点,不符合题意. -1- 1-8a 当 a<0 时,由 2ax2+x+1=0 得 x3= >0, 4a 因此,f(x)在(0,x3)上是单调递增,在(x3,+∞)上是单调递减, 所以 fmax(x)=f(x3). 一方面,当 x 从右边趋近于 0 时,f(x)→-∞; 当 x→+∞时, f(x) = ax2 + x + ln x ≤ ax2 + x + x - 1 = ax2 + 2x - 1(a<0), 因此,f(x)→-∞, x3+1 2 另一方面,由 f′(x3)=0 得 2ax2 3+x3+1=0,即 ax3=- 2 , x3+1 x3-1+2ln x3 因此,f(x3)=ax2 + x , 3+x3+ln x3=- 3+ln x3= 2 2 很明显 f(x3)在(0,+∞)上是单调递增且 f(1)=0, 根据题意得 f(x3)>0=f(1), ∴x3>1 即方程 2ax2+x+1=0 有且只有一个大于 1 的正实数根. 设 h(x)=2ax2+x+1, 由 a<0 且 h(0)=1>0, 得 h(1)>0 解得 a>-1, 所以,实数 a 的取值范围是(-1,0). 8.导数的应用一(单调性与极值) 【两年高考真题演练】 1. C [∵导函数 f′(x)满足 f′(x)>k>1, ∴f′(x)-k>0, k-1>0, 1 >0,可构造函数 g(x)=f(x)-kx,可得 g′(x)>0,故 g(x)在 R 上 k-1
? 1 ? 为增函数,∵f(0)=-1,∴g(0)=-1,∴g?k-1?>g(0), ? ? ? 1 ? ? 1 ? k 1 ∴f?k-1?- >-1,∴f?k-1?> ,∴选项 C 错误,故选 ? ? k-1 ? ? k-1

C.]

2.A [因为 f(x)(x∈R)为奇函数,f(-1)=0,所以 f(1)=-f(- 1)=0.当 x≠0 时,令 g(x)= f(x) x ,则 g(x)为偶函数,且 g(1)=g(-
?f(x)? xf′(x)-f(x) ?′= <0,故 x2 ? x ?

1)=0.则当 x>0 时,g′(x)=?

g(x)在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数.所以在(0,+ ∞)上,当 0<x<1 时,g(x)>g(1)=0? f(x) x >0?f(x)>0;

f(x) 在(-∞,0)上,当 x<-1 时,g(x)<g(-1)=0? x <0?f(x) >0.综上, 得使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(-∞, -1)∪(0, 1), 选 A.] 3.C 4.D 5.C [由题意知 f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),当 a=0 时,不满 2 足题意.当 a≠0 时,令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x=a,当 a>0 时, 2? ?2 ? ? f(x)在(-∞,0),?a,+∞?上单调递增,在 ?0,a? 上单调递减.又 ? ? ? ? f(0)=1,此时 f(x)在(-∞,0)上存在零点,不满足题意;当 a<0 时, 2? ? ?2 ? f(x)在?-∞,a?,(0,+∞)上单调递减,在?a,0?上单调递增,要使
? ? ? ? ?2? ?2?3 ?2?2 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则需 f?a?>0,即 a×?a? -3×?a? ? ? ? ? ? ?

+1>0,解得 a<-2,故选 C.] 6.C [设 f(x)=x3,f′(0)=0,但是 f(x)是单调增函数,在 x=0 处不存在极值,故若 p 则 q 是一个假命题,由极值的定义可得若 q 则 p 是一个真命题.故选 C.] 7.解 -5x(x+2) (1)当 b=4 时,f′(x)= , 1-2x

由 f′(x)=0 得 x=-2 或 x=0. 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(-2,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 1? ? 当 x∈?0,2?时,f′(x)<0,f(x)单调递减,故 f(x)在 x=-2 处取
? ?

极小值 f(-2)=0,在 x=0 处取极大值 f(0)=4. (2)f′(x)= -x[5x+(3b-2)] -x 1? ? ,因为当 x∈?0,3?时, <0, ? ? 1-2x 1-2x
? ?

1? ? 5 依题意,当 x∈?0,3?时,有 5x+(3b-2)≤0,从而3+(3b-2)≤0. 1? ? 所以 b 的取值范围为?-∞,9?.
? ?

【一年模拟试题精练】 1.C [函数 f(x)=x2+ax+b 的部分图象得 0<b<1,f(1)=0,
?1? 从而-2<a<-1,而 g(x)=ln x+f′(x)在定义域内单调递增,g?2?=ln ? ?

1 2+1+a<0,g(1)=ln 1+2+a=2+a>0,∴函数 g(x)=ln x+f′(x)的
?1 ? 零点所在的区间是?2,1?;故选 C.] ? ?

2.D [f0(x)=sin x f1(x)=f0′(x)=cos x f2(x)=f1′(x)=-sin x f3(x)=f2′(x)=-cos x f4(x)=f3′(x)=sin x ? 由上面可以看出,以 4 为周期进行循环. 所以 f2 015(x)=f3(x)=-cos x,故选 D.]

3.B [∵函数 y=f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称,∴函数 y =f(x)的图象关于 y 轴对称,是偶函数.令 g(x)=xf(x),g(x)为奇函数 则当 x∈(-∞,0)时,g′(x)=f(x)+xf′(x)<0,∴函数 g(x)在 x∈(- ∞,0)上为减函数.因此函数 g(x)在(0,+∞)上单调递减. 11 ∵log24=2>20.2>1>ln 2>0. ∴c<a<b.故选 B.] 4.A [设 h(x)=xf(x), ∴h′(x)=f(x)+x· f′(x), ∵y=f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数, ∴h(x)是定义在实数集 R 上的偶函数, 当 x>0 时,h′(x)=f(x)+x· f′(x)>0, ∴此时函数 h(x)单调递增.
?1? ? 1? ? 1? 1 ?1? ∵a=2f?2?=h?2?,b=-2f(-2)=2f(2)=h(2),c=?ln 2?f?ln 2?= ? ? ? ? ? ?? ? ? 1? 1 h?ln 2?=h(-ln 2)=h(ln 2),又 2>ln 2>2,∴b>c>a.故选 A.] ? ?

5.(1,2) [∵函数 f(x)=x3-3x2+3x+1,∴f′(x)=3x2-6x+3, ∴f″(x)=6x-6.令 f″(x)=6x-6=0,解得 x=1,且 f(1)=2,故函数 f(x)=x3-3x2+3x 对称中心为(1,2),故答案为(1,2).] 6.①③ 7.解 1 a 1 (1)对 f(x)求导得 f′(x)=4-x2-x,

1 由 f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y=2x 知 3 5 f′(1)=-4-a=-2,解得 a=4.

x2-4x-4a (2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知 f′(x)= 4 x2 令 g(x)=x2-4x-4a,由于 Δ=16+16a=16(a+1), 当 a=-1 时,Δ =0,g(x)≥0,f′(x)≥0 恒成立,函数 f(x)在(0, +∞)上单调递增; 当 a<-1 时,Δ <0,g(x)>0,f′(x)>0 恒成立,函数 f(x)在(0, +∞)上单调递增; 当 a>-1 时,Δ >0.设 x1,x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个零点, 则 x1=2-2 a+1,x2=2+2 a+1. 若-1<a<0 时,x1=2-2 a+1>0,x2>0. 所以,x∈(0,x1)时,g(x)>0,f(x)>0,函数 f(x)单调递增,x∈ (x1,x2)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减,x∈(x2,+∞)时, g(x)>0,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 若 a≥0 时,x1=2-2 a+1≤0,x2>0. 所以,x∈(0,x2)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减, x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f(x)>0,函数 f(x)单调递增. 综上可得,当 a≤-1 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增;当 -1<a<0 时, 函数 f(x)在(0, 2-2 a+1)上单调递增, 在(2-2 a+1, 2+2 a+1)上单调递减,在(2+2 a+1,+∞)上单调递增;当 a≥0 时,函数 f(x)在(0,2+2 a+1)上单调递减,在(2+2 a+1,+∞) 上单调递增.

考点 9 导数的应用二(函数的最值与实际应用) 【两年高考真题演练】 1.(1)解 因为 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x), 1 1 + ,f′(0)=2. 1+x 1-x

所以 f′(x)=

又因为 f(0)=0,所以曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y =2x. (2)证明 x? ? 令 g(x)=f(x)-2?x+ 3 ?, ? ?
2 3

2 x4 则 g′(x)=f′(x)-2(1+x )= . 1-x2 因为 g′(x)>0(0<x<1),所以 g(x)在区间(0,1)上单调递增. 所以 g(x)>g(0)=0,x∈(0,1), x? ? 即当 x∈(0,1)时,f(x)>2?x+ 3 ?. ? ? (3)解 x? ? 由(2)知,当 k≤2 时,f(x)>k?x+ 3 ?对 x∈(0,1)恒成立. ? ?
3 3 3

x? ? 当 k>2 时,令 h(x)=f(x)-k?x+ 3 ?, ? ? kx4-(k-2) 则 h′(x)=f′(x)-k(1+x )= . 1-x2
2

4 k-2 ? 4 k-2? ? ? 所以当 0<x< ? 0, k 时,h′(x)<0,因此 h(x)在区间? k ? ? 上单调递减. 4 k -2 x3? ? ? x+ ? . 当 0<x< 3? k 时,h(x)<h(0)=0,即 f(x)<k? x? ? 所以当 k>2 时,f(x)>k?x+ 3 ?并非对 x∈(0,1)恒成立. ? ? 综上可知,k 的最大值为 2.
3

2.解

(1)由题意知,点 M,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5). a 将其分别代入 y= 2 , x +b

?25+b=40, ? ?a=1 000, 得? 解得? a ?b=0. ? =2.5, ?400+b
1 000 (2)①由(1)知,y= x2 (5≤x≤20),
? 1 000? 则点 P 的坐标为?t, t2 ?, ? ?

a

2 000 设在点 P 处的切线 l 交 x,y 轴分别于 A,B 点,y′=- x3 , 1 000 2 000 则 l 的方程为 y- t2 =- t3 (x-t), 3 000? ?3t ? ? 由此得 A? 2 ,0?,B?0, t2 ?.
? ? ? ?

故 f(t)=

?3t?2 ?3 000?2 3 ? ? +? 2 ? = 2 ?2? ? t ?
2

4×106 t + t4 ,t∈[5,20].
2

4×106 16×106 ②设 g(t)=t + t4 ,则 g′(t)=2t- t5 . 令 g′(t)=0,解得 t=10 2. 当 t∈(5,10 2)时,g′(t)<0,g(t)是减函数; 当 t∈(10 2,20)时,g′(t)>0,g(t)是增函数.

从而,当 t=10 2时,函数 g(t)有极小值,也是最小值, 所以 g(t)min=300,此时 f(t)min=15 3. 答:当 t=10 2时,公路 l 的长度最短,最短长度为 15 3千米. 3.解 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1+a-2x-3x2.

-1- 4+3a -1+ 4+3a 令 f′(x)=0,得 x1= , x ,x1<x2. 2= 3 3 所以 f′(x)=-3(x-x1)(x-x2). 当 x<x1 或 x>x2 时,f′(x)<0; 当 x1<x<x2 时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,2)内单调递 增. (2)因为 a>0, 所以 x1<0,x2>0. ①当 a≥4 时,x2≥1. 由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增. 所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1. 由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减. -1+ 4+3a 所以 f(x)在 x=x2= 处取得最大值. 3 又 f(0)=1,f(1)=a,所以 当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 处和 x=1 处同时取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值. 【一年模拟试题精练】 1. A [求导数可得: f′(x)=x2+2ax+2b, ∵f(x)有两个极值点 x1,

x2,∴f′(x)有两个零点, ∵-1<x1<1<x2<2,∴-1<-a<2,∴-2<a<1① 又 f′(-1)=-2a+2b+1>0,即 2a-2b-1<0,② f′(1)=2a+2b+1<0,③ f′(2)=4a+2b+4>0,即 2a+b+2>0.④ 在坐标系 aOb 中,满足①②③④的可行域如图所示

b 直线 bx-(a-1)y+3=0 的斜率 k= , 表示可行域中动点 M(a, a-1 b)与定点 D(1,0)连线的斜率,

?a=- , ?2a+2b+1=0, ? 2 此时与定点 D(1,0)连线的斜 由? 可得? ? 2 a + b + 2 = 0 ? ?b=1,
1-0 2 率为 3 =-5. -2-1

3

?a=- ? ?2a-2b-1=0, 2,此时与定点 D(1,0)连线的斜 由? 可得? ?2a+b+2=0 ? ?b=-1
-1-0 2 率为 1 =3. -2-1
? 2 2? ∴直线 bx-(a-1)y+3=0 的斜率的取值范围是?-5,3?故选 A.] ? ?

1

1 2.B [函数 y=2ex 和函数 y=ln(2x)互为反函数图象关于 y=x

对称.则只有直线 PQ 与直线 y=x 垂直时|PQ|才能取得最小值.设 1 ? ? P?x,2ex?,则点 P 到直线 y=x 的距离为 d=
? ? ?1 x ? ? e -x? ?2 ?

2

1 ,令 g(x)=2ex-

1 1 x,(x>0),则 g′(x)=2ex-1,令 g′(x)=2ex-1>0 得 x>ln 2;令 g′(x) 1 =2ex-1<0 得 0<x<ln 2,则 g(x)在(0,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+ 1 ∞)上单调递增.则 x=ln 2 时,g(x)min=2eln 2-ln 2=1-ln 2>0,所以 dmin= 1-ln 2 .则|PQ|=2dmin= 2(1-ln 2).故 B 正确.] 2 [由题意得 f′(x)=2ax+b,由 f(x)≥f′(x)得:ax2+(b

3.2 2-2

-2a)x+c-b≥0 在 R 上恒成立,等价于 a>0 且 Δ≤0,可解得 b2≤ 4ac-4a2=4a(c-a),则:
?c ? ? -1? 4 4ac-4a b ?a ? , 2 2≤ 2 2 = a +c a +c ? c ?2 ? ? +1 a
2 2

? ?

c 令 t=a-1,(t>0), 4t y= 2 = t +2t+2 4 4 ≤ =2 2-2 2 2 2+2 t+ t +2

b2 故 2 2最大值为 2 2-2.] a +c 4.(1)解 f′(x)=ex-a.

①当 a≤1 时,f′(x)=ex-a≥0 对?x≥0 恒成立,即 f(x)在(0,+ ∞)为单调递增函数; 又 f(0)=0,即 f(x)≥f(0)=0 对?x≥0 恒成立. ②当 a>1 时,令 f′(x)=0,得 x=ln a>0.

当 x∈(0,ln a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 若 f(x)≥0 对任意 x≥0 恒成立,则只需 f(x)min=f(ln a)=eln a-aln a-1=a-aln a-1≥0. 又 g(a)=a-aln a-1(a>1),g′(a)=1-ln a-1=-ln a<0,即 g(a)在区间(1,+∞)上单调递减;又注意到 g(1)=0.故 g(a)<0 在区间 (1,+∞)上恒成立.即 a>1 时,满足 a-aln a-1≥0 的 a 不存在. 综上:a≤1. (2)证明 =f(0)=0, 即 ex≥x+1 对任意 x∈R 恒成立. 3i-1 3i-1 3i-1 取 x =- 3n (i = 1 , 2 ,?, n) ,有 1 - 3n ≤ e - 3n ,即
? 3i-1 n 3i-1 3i-1?n ?1- ? ≤(e- ) = e - 3n 3 . 3n ? ? ? 2 ?n ? 5 ?n ? 3n-1?n 2 5 ? ≤ e- + e - 相加即得:?1-3n? +?1-3n? +?+?1- 3 3 3n ? ? ? ? ? ?

当 a=1 时,f(x)=ex-x-1,f′(x)=ex-1,易得 f(x)min

3n-1 +?+e- 3 .
? 2 ?n ? 5 ?n ? 3n-1? n ?3n-2? n ?3n-5? n ? =? ? +? ? 即 ?1-3n? + ?1-3n? +?+ ?1- 3n ? ? ? ? ? ? ? 3n ? ? 3n ?

3n-1 ? 1 ?n 2 5 +?+?3n? ≤e-3+e-3+?+e- 3 .
? ?

3n-1 2 5 故(3n-2)n+(3n-5)n+?+1n≤e-3+e-3+?+e- 3 (3n)n 1 1 1-en e3 2 n n =e-3 (3 n ) < (3 n ) , 1 e-1 1- e

1 e 3 即 n≥2,n∈N 时,恒有 1n+4n+7n+?+(3n-2)n< (3n)n. e- 1 5.解 (1)L(x)=(x-3-a)(12-x)2(9≤x≤11)

(2)L(x)=(x-3-a)(x-12)2 L′(x)=(x-12)2+2(x-3-a)(x-12) =(x-12)[x-12+2x-6-2a] =(x-12)(3x-18-2a) 令 L′(x)=0,又 9≤x≤11, 18+2a 2 ∴x= 3 =6+3a,而 3≤a≤5. 9 2 当 3≤a≤2时,6+3a≤9. L′(x)<0,∴L(x)在[9,11]上是减函数, ∴L(x)max=L(9)=54-9a, 9 2 当2<a≤5 时,9<6+3a<11, 2 ? 2 ? ? ? x∈?9,6+3a?时,L′(x)≥0,L(x)在?9,6+3a?上是增函数.
? ? ? ? ?

2 2 ? ? ? ? x∈?6+3a,11?时,L′(x)≤0,L(x)在?6+3a,11?上是减函数.
? ? ?

2 ? ? a?3 ? ∴L(x)max=L?6+3a?=4?3-3? ,
? ? ? ?

综上:Q(a)=L(x)max

?54-9a,3<a≤2, =? a?3 9 ? ?3- ? , <a≤5. 4 ? ? 3? 2

9



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