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福建省泉州一中2010届高三最后模拟考试理科数学试题


2010 年泉州一中高三适应性测试 数学(理科)试题 2010.5
注意事项 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷指定位置上作答,答题前,请在答题卷 的密封线内填写学校、班级、考号、姓名。 2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分,考试 时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题意要求的。 1.已知集合 M ? {x ? R | y ? lg x}, N ? { y ? R | y ? x 2 ? 1 则集合 M ? N =( }, A. (0,??) B. ?1,??? C. (??,??) D. ?0,1? ) )

2.若 a ? R ,则 a ? 1 是复数 z ? a 2 ? 1 ? (a ? 1)i 是纯虚数的( ... A.充分非必要条件 C. 充要条件

B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.在一次运动员的选拔中,测得 7 名选手身高(单位:cm)分布的茎 18 0 1 叶图如图.已知记录的平均身高为 177cm,但有一名候选人的身高 17 0 3 记录不清楚,其末位数记为 x,那么 x 的值为( A.5 B.6 C.7 ) D.8 )

x 8 9

4.已知 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为( A. ?

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

5.若椭圆 ( )

x2 y 2 y2 x2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 a2 b 2 a b
B. y ? ?

A. y ? ?2 x

1 x 2

C. y ? ?4 x

D. y ? ?

1 x 4

6.已知 ? 、 ? 、 ? 为互不重合的三个平面,命题 p : 若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ;命题 q : 若 ? 上存在不共线的三点到 ? 的距离相等,则 ? // ? 。对以上两个命题,下列结论中正确 的是( ) A.命题“ p 且 q ”为真 C.命题“ p 或 q ”为假 B.命题“ p 或 ? q ”为假 D.命题“ ? p 且 ? q ”为假

7.设 a

? ? ? sin xdx ,则二项式 (a x ? 1 )6 0

展开式的常 数 项是( C. ? 20



x

A. 160

B. 20

D. ? 160

8.已知直线 x ? y ? a 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于 A, B 两点,且 | OA ? OB |?| OA ? OB |(其中 O 为坐标原点) ,则实数 a 的值为( ) A. 2 B. 6 C. 2 或 ?2 D. 6 或 ? 6 9. 在区间 [0, ? ] 内随机取两个数分别记为 a、 b , 则使得函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? b2 ? ? 有零点 的概率为( ) A.

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

7 8

B.

3 4

C.

1 2

D.

1 4

[来源:学.科.网]

10.函数 f ( x) ?| x 2 ? a | 在区间 [?1,1] 上的最大值 M (a) 的最小值是( ... ... A.



1 4

B.

1 2

C.1

D.2

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)


二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满 分 20 分。请把答案填在答题卡相应位置 11. 在等比数列 ?an ? 中, 1 ? 1 , 公比 q ? 2 , ?an ? 前 n 项和 Sn ? 127 , n 的值为 若 则 a

12. 《中华人民共和国道路交通安全法》 根据 规定: 车辆驾驶员血液酒精浓度在 20—80 mg/100ml (不含 80)之间 ,属于酒后驾车,处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证,并处 200 元以 上 500 元以下罚款;血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上时,属醉酒驾车,处十五 日以下拘留和暂扣三个月以上六个 月以下驾驶证,并处 500 元以上 2000 元以下罚款. 据《法制晚报》报道,2009 年 8 月 15 日至 8 月 28 日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800 人, 如图 1 是对这 28800 人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布 直方图,则属于醉酒驾车的人数约为 人.
开始

频率 组距
0.02 0.015 0.01 0.005 否

输入 x K=0 X=10X+10 k=k+1

酒精含量
20 30 40 50 60 图 180 90 100 70

x ? 2010
是 输出 k 结束

(mg/100ml)

[来源:学|科|网]

图1

13. 按如右上图所示的程序框图运算, 若输出 k ? 2 , 则输入 x 的取值范围是______ .... 14.当实数 x 满足约束条件 ? y ? x

.

?x ? 0 ?

?2 x ? y ? k ? 0 ?
.

(其中 k 为小于零的常数)时,

y ?1 的最小值为 x

2 ,则实数 k 的值是

15.在平面上有如下命题: O 为直线 AB 外的一点,则点 P 在直线 AB 上的充要条件是:存 “ 在实数 x, y 满足 OP ? xOA ? yOB , x ? y ? 1 ” 我们把它称为平面中三点共线 定理, 且 , 请尝试类比此命题,给出空间中四点共面定理,应描述为:

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把解 答过程写在答题卡的相应位置。 16. (本小题满分 13 分) 某地区有甲,乙,丙三个单位招聘工作人员,已知一大学生到这三个单位应聘的概率分 别是 0.4,0.5,0.6,且他是否去哪个单位应聘互不影响,用 ? 表示他去应聘过的单位数 (1)求 ? 的分布列及数学期望; (2)记“数列 a n

6 ? n 2 ? ?n ? 1 ( n ? N * )是严格单调 的数列”为事件 A ,求事件 A 5

发生的概率。 17. (本小题满分 1 3 分) 已知函数 f ( x) ? 2a sin ?x cos?x ? 2 3 cos2 ?x ? 3(a ? 0, ? ? 0) 的最大值为 2 ,

x1 , x 2 是集合 M ? {x ? R | f ( x) ? 0} 中的任意两个元素,且| x1 ? x 2 |的最小值为
(1)求 a , ? 的值; (2)若 f (? ) ?

? 。 2

5? 2 ? 4? ) 的值 ,求 sin( 3 6

18. (本小题满分 13 分) 右图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,且 PD = 2 EC 。 (1) 求证: BE //平面 PDA ; (2)若 N 为线段 PB 的中点, 求证: EN ? 平 面 PDB ; (3)若

PD ? 2 ,求平面 PBE 与平面 ABCD AD

所成的二面角的大小。

19. (本小题满分 13 分) 已知抛物线 y 2 ? 4 x , M1 点 ,) 关于 y 轴的对称点为 N , 直线 l 过点 M 交抛物线于 A, B 0 ( 两点. (1)证明:直线 NA, NB 的斜率互为相反数; (2)求 ?ANB 面积的最小值; (3)当点 M 的坐标为 (m, 0)(m ? 0 ,且 m ? 1) .根据(1) (2)结论试推测并回答下列 问题(不必说明理由) : ① 直线 NA, NB 的斜率是否仍互为相反数? ② ?ANB 面积的最小值是多少? 20. (本小 题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, a ? R 。 (1)求函数 f (x) 的极值; (2)对于曲线上的不同两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) ,如果存在曲线上的点 Q( x0 , y 0 ) , 1 且 x1 ? x0 ? x2 ,使得曲线在点 Q 处的切线 l ∥ P P2 ,,则称 l 为弦 P P2 ,的伴随切线。 1 1 特别地,当 x0 ? ?x1 ? (1 ? ? ) x2 (0 ? ? ? 1) 时,又称 l 为弦 P P2 ,的 ? -伴随切线。 1 ①求证:曲线 y ? f (x) 的任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的; ②是否存在曲线 C ,使得曲线 C 的任意一条弦均有
[来源:ZXXK]

1 -伴随切线?若存在,给出一条这 2

样的曲线,并证明你的结 论;若不存在,说明理由。

21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分。如果 、 、 多做,则按所做的前两题记分。作答时,先用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ? ?1 ?

? 2 0? ?1 ?: ? (1)求矩阵 M 的逆矩阵 M ; 1?

(2)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量 (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

36 ; 4 cos ? ? 9sin 2 ? (1)若以极点为原点,极轴所在的直线为 x 轴,求曲线 C 的直角坐标方程;
已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ?
2 2

(2)若 P( x, y) 是曲线 C 上的一个动点,求 3x ? 4 y 的最大值 (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ? ( x ? b) ? ( x ? c) ?
2 2 2

(a ? b ? c) 2 ( a, b, c 为实数) 3

(1)求 f (x) 的最小值 m (用 a, b, c 表示)

[来源:学#科#网]

(2)若 a ? b ? 2c ? 3 ,求(1)中 m 的最小值。

2010 年泉州一中高三适应性测试数学(理科)试题 2010.5 参考答案
一、选择题 题号 1 答案
[来源:

2 C

3 D

4 A

5

[来源:ZXXK]

6 C

7 D

8 C

9 B

10 B

B

A

学.科.网 Z.X.X.K]

二、填空题 11.7 12.4320

13. [19,200)

14.-3

15. O 为平面 ABC 外一点,则点 P 在平面 ABC 内的充要条件是:存在实数 x, y , z 满足

OP ? xOA ? yOB ? zOC 且 x ? y ? z ? 1
三、解答题 16、1) 记该生到甲, 丙个单位应聘分别为 事件 B, D, P(B)=0.4,P(C)=0.5,P(D)=0.5, ( 解: 乙, C, 则 ? 的可能取值是 0,1,2,3--------------2 分
[来源:Zxxk.Com]

P( ? =0)=0.12 P( ? =1)=0.38 P( ? =2)=0.38 P( ? =3)=0.12------------------6 分 所以 ? 的分布列为

?

0

1

2 0.38

3 0.12

P 0.12 0.38 E? ? 1.5 ------------ -----------------9 分 (2)解:因为数列 a n ? n ?
2

6 3 3 ?n ? 1 ( n ? N * )是严格单调的数列,所以数列 ? ? , 5 5 2

5 -------------------------------------------------------------------12 分 2 5 P(A)=P( ? < )=P( ? =0)+P( ? =1)+ P( ? =2)=0.88--------------------------------13 分 2
即? <
源:Zxxk.Com]

[来

17、解: (I) f ( x) ? a sin 2?x ? 3 cos2?x , 由题意知: f ( x)的周期为 ?,由

2? ? ? , 知? ? 1 。------------3 分 2?

由 f (x) 最大值为 2,故 a 2 ? 3 ? 2 ,又 a ? 0 ,? a ? 1 ------------6 分

? f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

) 3 ??????????????? 7 分 2 ?? 2 ?? 1 ? ? (II)由 f (? ) ? 知2 sin ? 2? ? ? ? ,即sin ? 2? ? ? ? 。 3 3? 3 3? 3 ? ? ? 3? ? 2? ?? 2? ? ? 5? ? ? ? sin? ? 4? ? ? sin ? ? ? 4? ? ?? ? ? cos? 4? ? ? 3 ?? 3 ? ? 6 ? ? ?2 ?

?

?? 7 ? ?1? ? ?1 ? 2 sin ? 2? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ? 。?????????13 分 3? 9 ? ? 3? 18.解: (I)证明:? EC // PD, PD ? 平面PAD EC ? 平面PDA, ,
2 2

? EC // 平面PDA ,同理可得 BC//平面 PDA, ? EC ? 平面EBC,BC ? 平面EBC且EC ? BC ? C ? 平面EBC // 平面PDA 又? BE ? 平面EBC ,? EB // 平面PDA????????????????4 分
(II)如图以点 D 为坐标原点,以 AD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如图示:设 该简单组合体的底面边长为 1,PD=a, 则 B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,a),E(0,1,

a 1 1 a ),N( , , )。 2 2 2 2

?1 1 ? ? EN ? ? ,? ,0 ?, PB ? ?1,1,?a ?, DB ? ?1,1,0? ?2 2 ?

? EN ? PB, EN ? DB ? PB、DB ? 面PDB,且PB? DB ? B, NE ? 平面PDB ????????8 分 ? , , (III)连结 DN,由(II)知 EN ? 面PDB PD ? DN ? NE ,? ? 2 , DB ? 2AD, ? PD ? DB,? DN ? PB AD 1 1 2 1 1 2 设 ? ( ? DN为平面PBE的法向量, AD ? 1,则N( , , ), DN ? , , ) 2 2 2 2 2 2 ? DP 为平面 ABCD 的法向量, DP ? (0,0, 2 ) ,
设平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 ? ,则 cos ? ?
0

1 1 1 1 ? EN ? PB ? ? 1 ? ? 1 - a ? 0 ? 0, EN ? DB ? ? 1 ? ? 1 ? 0 ? 0 ? 0 2 2 2 2

DN ? DP | DN |? | DP |
0

?

1 2

?

2 2

19、解: (Ⅰ)设直线 l 的方程为 y ? k ? x ?1? (k ? 0) . 由?

?? ? 45 ,即平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 45 ?? ???????13 分

? y ? k ? x ? 1? , ? ? y ? 4 x, ?
2

2 2 2 2 可得 k x ? 2k ? 4 x ? k ? 0 .

?

?

2k 2 ? 4 , x1 x2 ? 1 . 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? k2 ? y1 y2 ? ?4 ? N ? ?1,0?

k NA ? k NB ?

y1 y 4y 4y ? 2 ? 2 1 ? 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 4 y2 ? 4

2 4 ? y1 y2 ? 4 ? y2 y12 ? 4 ? 4(?4 y ? 4 y ? 4 y ? 4 y ) ? ?? 2 1 1 2 ? ?0. 2 2 2 2 y1 ? 4 y2 ? 4 y1 ? 4 y2 ? 4

? ?

? ? ? ?? ?
2

?

??

?

又当 l 垂直于 x 轴时,点 A, B 关于 x 轴,显然 kNA ? kNB ? 0, kNA ? ?kNB . 综上, kNA ? kNB ? 0, kNA ? ?kNB . (Ⅱ) S?NAB ? y1 ? y2 ? = 4 1? ---------------- 5 分

? y1 ? y2 ?

? 4 y1 y2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ? 8

1 ? 4 .当 l 垂直于 x 轴时, S?NAB ? 4 . k2 ∴ ?ANB 面积的最小值等于 4 . ----------------10 分

(Ⅲ)推测:① k NA ? ?k NB ;

[来源:]

② ?ANB 面积的最小值为 4m m .

---------------- 13 分

(II) (i)设 P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是曲线 y=f(x)上的任意两点,要证明弦 P1P2 有伴随切 线,只需证明存在点 Q(x0,f(x0)),x1<x0<x2,使得 f `(x0 ) ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) , x2 ? x1

且点 Q 不在 P1P2 上。????????????????????????????7 分

? f `( x ) ? a ?

1 1 ax2 ? ln x2 ? ax1 ? ln x1 ,即证存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使得 a ? ,即 ? x x0 x2 ? x1

x2 1 ? ( x2 ? x1 ) ? 0 成立,且点 Q 不在 P1P2 上。 x1 x0 x 1 以下证明方程 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) ? 0 在(x1,x2)内有解。 x1 x x x x 1 记 F(x)= ln 2 ? ( x2 ? x1 ) ,则 F(x)= ln 2 ? 2 ? 1 ,令 g(t) = lnt - t + 1,t>1。 x1 x x1 x1 x 1 1? t g `(t ) ? ? 1 ? ? 0 ,? g(t)在 ?1,??? 内是减函数,? g(t) <g(1)=0。取 t ? 2 ? 1 ,则 t t x1 ln x2 x x 即 ) ? ln 2 ? 2 ? 1 ? g (1) ? 0 , F(x1)<0????????????????9 分 x1 x1 x1 x 1 同理可证 F(x2)>0, ? F(x1)F(x2)<0。? 函数 F(x)= ln 2 ? ( x2 ? x1 ) 在(x1,x2)内有零点。 x1 x x 1 即方程 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) = 0 在(x1,x2)内有解 x=x0。??????????10 分 x1 x x x x x 又对于函数 g(t)= lnt - t + 1,取 t= 2 ? 1 ,则 g ( 2 ) ? ln 2 ? 2 ? 1 ? g (1) ? 0 , x0 x0 x0 x0 f ( x 2 ) ? f ( x0 ) 可知 f `(x0 ) ? ,即点 Q 在 P1P2 上。F(x)是增函数,? F(x)的零点是唯一的, x 2 ? x0 g(
[来源:Z.xx.k.Com]

即方程 ln

x2 1 ? ( x2 ? x1 ) =0 在(x1,x2)内有唯一解。 x1 x
2

综上,曲线 y=f(x)上任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的。?????11 分 (ii)取曲线 C: y=h(x)=x ,则曲线 y=h(x)的任意一条弦均有 证明如下: 设 R(x3,y3),S(x4,y4)是曲线 C 上任意两点(x3 ? y4) ,
2 y 4 ? y3 x 2 ? x 3 ? 4 ? x3 ? x4 x4 ? x3 x4 ? x3 x ? x4 ? ) ? x 3 ? x 4 ? k RS 又 h`(x ) ? 2x, h`( 3 2 1 2 即曲线 C:y=x 的任意一条弦均有 -伴随切线。??????????????14 分 2

1 -伴随切线。 2

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则 k RS ?

21.矩阵与变换:

? 1 ? 0? ? ? 2 0? ?1 2 ? ????3 分 (1)已知矩阵 M ? ? ? 1 1 ? ,? det M ? 2 ,? M ? ? 1 ? ?? ? ? 1? ? ? ? 2 ? ? ?2 0 (2) M 的特征多项式 f (? ) ? ? 0 ,解得 ?1 ? 1, ?2 ? 2 ?1 ? ?1 ? 0? ?1 ? ? ? 是 ?1 的属于矩阵 M 的一个特征向量; ?1? ? ? ?1? ?1 ? ? ? 是 ?2 的属于矩阵 M 的一个特征向量;???7 分 ?1? ? ?
坐标系与参数方程:

x2 y 2 ? ? 1 ;???3 分 9 4 (2)设 P(3cos ? , 2sin ?) ,
(1) 则 3x ? 4 y = 9cos? ? 8sin ? ? 145 sin(? ? ? ) ??6

?? ? R,?当 sin(? ? ? ) ? 1 时, 3x ? 4 y 的最大值为 145
不等式选讲:
2 2 2 2

???7 分

(a ? b ? c) 2 (1) f ( x) ? 3x ? (2a ? 2b ? 2c) x ? a ? b ? c ? 3 a?b?c 2 ) ? a2 ? b2 ? c2 = 3( x ? 3 a?b?c 2 2 2 故当 x ? 时, m ? f ( x) min ? a ? b ? c ???3 分 3
(2) (a ? b ? c )(1 ? (?1) ? 2 ) ? (a ? b ? 2c)
2 2 2 2 2 2 2

即 6 m ? 9 ,?m 得最小值为

3 1 1 ,当且仅当 a ? , b ? ? , c ? 1 时取等号。 2 2 2
???7 分


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