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一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用


一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用 数学,是一门自然学科。对于所有的高中生来说,要学好这门学科,却不是一件 容易的事。大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。但由于高考“指 挥棒”的作用,又不得不学。 “怎样才能学好数学?”成了学子们问得最多的问题。而 怎样回答这个问题便成了教师们的难题。很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做 题,见的题多了,做的题多了,自然就熟

练了,成绩就提高了!于是, “题海战术”便 受到很多教育工作者的青睐。熟话说, “熟能生巧” ,当然,多做体肯定对学生数学成 绩的提高有一定的好处。但长期这样,只会使数学越来越枯燥,让学生越来越厌烦, 于是出现厌学、抄作业等现象。 众所周知,数学题是做不完的。我认为要使学生学好数学,还是要从提高学生的 数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。要利用书本上有限的例题和习题来提高学 生的学习兴趣和能力。在数学教学过程中,通过利用一切有用条件,进行对比、联想, 采取一题多解与一题多变的形式进行教学。这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探 索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。另外,能力提高的过程中,学生的成 就感自然增强,并且在不断的变化和解决问题的不同途径中,兴趣油然而生。 对于传统的数学教学来说,教学过程的重点不外乎为:讲解定义推导公式,例题 演练,练习,及习题的安排。下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人 的几点看法。 一、在公式的推导中运用一题多解 数学的公式在数学的解题中的作用是非常巨大的。并且,要学好数学,就必须 熟练的运用公式。但很多学生对公式的记忆大多采取死记硬背的方法,对公式的推导 往往不够重视。其实,公式的推导过程就是一种解题的方法,或是一种解题技巧。我 们如果在公式的推导过程中运用一题多解的话,就会让学生在学习知识的产生过程中 同时掌握解题的规律和方法,也便于公式的理解记忆。例如:在学习等差数列通项公 式 an=a1+(n-1)d 时, 方法一:
a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d ???????
由此得到

an=a1+(n-1)d

方法二: 有等差数列定义知: an ? an?1 ? d
所以有

an ?1 ? an ? 2 ? d

an ?2 ? an ?3 ? d
?????

a3 ? a2 ? d

a2 ? a1 ? d
累加得

an ? a ?? n ? ? d 1 从而得到 1

an=a1+(n-1)d

方法二就是我们常用的求数列通项公式的方法—累差法。这样的话,学生对这个公式 的产生过程印象就更深刻,对公式也就更难忘。另外,在记忆公式的同时,也学到了 重要的数学方法和思路,更有助于学生数学思维的发展。这种实例在高中阶段的新课 教学中还有很多,就不一一列举。 二、在例题讲解中运用一题多解和一题多变 一题多变和一题多解的变式在教学之中, 往往能起到一座桥的作用, 在最近发展 区之中能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸。一题多解,一道数学题,因思考的角 度不同可得到多种不同的思路,广阔寻求多种解法,有助于拓宽解题思路,发展学生 的思维能力,提高学生分析问题的能力。一题多变,对一道数学题或联想,或类比, 或推广,可以得到一系列新的题目,甚至得到更一般的结论,积极开展多种变式题的 求解,哪怕是不能解决,有助于学生应变能力的养成,培养学生发散思维的形成,增 强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。在例题讲解中运用一题多解和一题 多变, 就不用列举大量的例题让学生感到无法接受。 而是从一个题中获得解题的规律, 技巧,从而举一反三。 下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明: 例:已知 x、y≥0 且 x+y=1,求 x2+y2 的取值范围。 解答此题的方法比较多,下面给出几种常见的思想方法,以作示例。 解法一:(函数思想)由 x+y=1 得 y=1-x,则 1 1 x2+y2= x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2(x- )2+ 2 2 由于 x∈[0,1],根据二次函数的图象与性质知 1 1 当 x= 时,x2+y2 取最小值 ;当 x=0 或 1 时,x2+y2 取最大值 1。 2 2 评注:函数思想是中学阶段基本的数学思想之一,揭示了一种变量之间的联系, 往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题,往往是通过变 量替换转化为一元函数来解决, 这是一种基本的数学思想方法。 解决函数的最值问题, 我们已经有比较深的函数理论,函数性质,如单调性的运用、导数的运用等都可以求 函数的最值。 解法二:(三角换元思想)由于 x+y=1,x、y≥0,则可设 π x=cos2θ ,y=sin2θ 其中θ ∈[0, ] 2 则 x2+y2= cos4θ +sin4θ =(cos2θ +sin2θ )2-2 cos2θ sin2θ 1 1 =1- (2sinθ cosθ )2=1- sin22θ 2 2 1 1-cos4θ 3 1 =1- × = + cos4θ 2 2 4 4 1 于是,当 cos4θ =-1 时,x2+y2 取最小值 ; 2 2 2 当 cos4θ =1 时,x +y 取最小值 1。

评注:三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一,通过三角换元就将问题 转化为三角恒等式变形后来解决,而三角恒等变形却有着一系列的三角公式,所以运 用三角换元解决某些问题往往比较方便。 解法三:(对称换元思想)由于 x+y=1,x、y≥0,则可设 1 1 1 1 x= +t, y= -t,其中 t∈[- , ] 2 2 2 2 1 1 1 1 于是,x2+y2= ( +t)2+( -t)2= +2t2 t2∈[0, ] 2 2 2 4 1 1 所以,当 t2=0 时,x2+y2 取最小值 ;当 t2= 时,x2+y2 取最大值 1。 2 4 评注:对称换元将减元结果进行简化了,从而更容易求最值。 这三种方法,在本质上都一样,都是通过函数观点来求最值,只是换元方式的不 同而已,也就导致了化简运算量大小不同,教师通过引导、启发学生主动思考、运用, 提高了学生对数学的认识,也增强了学生思维能力的提高。 解法四:(运用基本不等式)由于 x、y≥0 且 x+y=1 (x+y)2 1 1 则 xy≤ = ,从而 0≤xy≤ 4 4 4 2 2 2 于是,x +y =(x+y) -2xy=1-2xy 1 1 所以,当 xy=0 时,x2+y2 取最大值 1;当 xy= 时,x2+y2 取最小值 。 4 2 评注:运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题,但要注意等号 成立的条件是否同时满足。 解法四:(解析几何思想)设 d= x2+y2 ,则 d 为动点 C(x,y)到原点(0,0) ?x ? y ? 1 ? 的距离,于是只需求线段 ? x ? 0 上的点到原点的最大和最小距离就可。 ?y ? 0 y ? 当点 C 与 A 或 B 重合时,dmax=1,则(x2+y2)max=1 1 B C 2 1 当 OC⊥AB 时 dmin= ,则(x2+y2)min= A 2 2 O 1 x 评注:用几何的观点研究代数问题,可以加强学生数形结合思想的养成,使学生 在数和形的理解把握好一个联系的尺度, 能够由数想到形的意义, 由形想到数的结构, 从而达到快速解决这类问题的目的。事实上,有许多解析几何最值问题和代数中许多 最值问题都可以用类似的方法解决,这对学生数学思维能力的培养,有着很积极的作 用。 解法五:(数形结合思想)设 x2+y2=r2(r>0),此二元方程表示以坐标原点为圆 心、半径为 r 的动圆,记为⊙F。 y ?x ? y ? 1 1B ? 于是,问题转化为⊙F 与线段 ? x ? 0 ?y ? 0 A ? 有公共点,求 r 的变化范围。
O 1 x

当⊙F 经过线段 AB 端点时 rmax=1;当⊙F 与线段 AB 相切时 rmin=

2 2

1 2 2 ≤x +y ≤1 2 评注:此解法与解法四并无本质区别,关键是数形结合思想的形成。 至此,解答本题的几种常见方法介绍完毕,下面展示对本题的变式和推广。 变式 1:已知 a、b 为非负数,M=a4+b4,a+b=1,求 M 的最值。 则 变式 2:已知 x、y≥0 且 x+y=1,能求 x8+y8 的取值范围吗?x8+y6 呢?x7+y7 的范 围能求吗? 变式 3:若 x、y≥0 且 x+y=1,能求得 1
n-1

2 这样一个由特殊性逐步一般化的思维过程,加强了学生思维能力的培养,通过这 样一系列的一题多解和一题多变,培养了学生的综合分析能力、提高了学生数学思维 能力,渗透了一些数学方法,体现了一些数学思想,也提供了一个推向一般性的结论。 在数学教学中,若将经典例题充分挖掘, 注重对例题进行变式教学,不但可以抓好基础知 识点,还可以激发学生的探求欲望,提高创新能力;不仅能让教师对例题的研究更加深 入,对教学目标和要求的把握更加准确,同时也让学生的数学思维能力得到进一步提 高,并逐渐体会到数学学习的乐趣。当然,在新课的教学中有些方法所用的知识,学 生还未学到,此时,我们可从中挑选学生学过的知识。其他方法可在今后的总复习中 给出。 三、在练习和习题中训练学生运用一题多解和一题多变 在数学教学中, 很多老师在课后给学生布置除书上练习题和习题以外的大量习题。 使学生感到负担很重。很多学生根本无法完成,便出现了抄作业的现象。对数学的厌 恶感便油然而生。还有老师从网上寻找各种各样的所谓的新颖题布置给学生做。这样 也只会挫伤学生的自信心。我们为什么不能从书上的习题入手,进行演变,逐渐加深。 让学生有规律可寻,循序渐进。日积月累过后,学生解题能力自然提高,对于从未见 过的新题也会迎刃而解。另外,我们在把变式题布置给学生的同时,便可要求学生运 用一题多解,甚至可以要求学生自己对题型进行变式。这样的作业方式不只可以达到 复习巩固的目的,还可以提高学生的探究能力及学习数学的兴趣。 例如,在学习抛物线后,在习题中出现了以下一题: 过抛物线 y2=2px 焦点的一条直线和这条抛物线相交, 设两个交点纵坐标为 y1, 2, y 2 求证:y1y2=-p 。 (设线段 AB 为过抛物线焦点的弦) 此题证明并不难,但其结论却很有用,关键是运用其结论。在布置此题给学生时 我们便可以有针对性的演变。如变成 (1)证明:过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线,三点共线。 (2)证明:抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连线,平行于抛物线的对称 轴。 (3)证明:抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段,等于焦点弦长的一 半,并且被这条抛物线平分。 另外,我们还可以让学生自己变式,便还可能出现如下变式: (4)证明:抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直。 (5)证明:抛物线的准线是其焦点弦两端点的切线的交点的轨迹。

≤xn+yn≤1 的结论吗?


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