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简单的线性规划与基本不等式练习答案


龙湾中学 2011 级高一暑假练习
线性规划及基本不等式

一、选择题(每小题 5 分,共 7 题,总共 35 分) 1.若正实数 a, b 满足 a ? b ? 1 ,则( ). A.

1 1 ? 有最大值 4 a b

B. ab 有最小值

1 4
2 2

/>C. a ? b 有最大值 2

D. a 2 ? b 2 有最小值

2.已知 x>0,y>0, x,a,b,y 成等差数列, x,c,d,y 成等比数列, 则

?a ? b?2
cd

的最小值是( D )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 3.已知点 P 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,点 Q 在直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上, PQ 中点为

M ( x0 , y 0 ) ,且 y 0 ? x0 ? 2 ,则
A. ? ?

y0 的取值范围为( C ) x0
C. ? ?

? 1 ? ,?? ? ? 2 ?

B. ? ?

? 1 1? ,? ? ? 2 5?

? 1 1? ,? ? ? 2 5?

D. ? ? ?,? ? 5

? ?

1? ?

?( x ? y ? 5)( x ? y ) ? 0, 4.不等式 ? 表示的平面区域是一个( C ) ?0 ? x ? 3 A.三角形 B.直角三角形 C.梯形 D.矩形 ?2 x ? 3 y ? 0, ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0, ? 5.在直角坐标系中,由不等式组 ? 所确定的平面区域内整点有( D ) ?3x ? 5 y ? 15 ? 0, ? ?x ? 0 A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 2 6.有一个面积为 1m ,形状为直角三角形的框架,有下列四种长度的钢管供应用,其中最合 理(够用且最省)的是( C )? A.4.7 m ?? B.4.8 m ? ? C.4.9 m ? D.5 m ?

二、填空题(每小题 4 分,共 5 题,总共 20 分) 7.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 右上方的平面区域可用不等式
? 8.已知 a, b ? R ,将 ab ,
2 2

表示

a ?b a?b , , 按从小到大的顺序排列为 2 2 2 1 9.设 x, y ? R, a ? 1, b ? 1,若 a x ? b y ? 2 , a ? b ? 4 ,则 ? 的最大值为 . x y 10.在平面直角坐标系中,点 A, B, C 的坐标分别为 (0,1) 、 (4,2) 、 (2,6) ,如果 P( x, y ) 是 ?ABC 围成的区域(含边界)上的点,那么当 ? ? xy 取到最大值时,点 P 的坐标是 . 2 2 2 ?a ? b? ,当且仅当 a = b 时上式取 b a 11.若 a,b 是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),则 + ≥
x
y x? y

x

y

等号.利用以上结论,可以得到函数 f(x)= 小值时 x 的值为 .

2 9 + x 1 ? 2x

? ? 1 ?? ? ? x ? ? 0, 2 ? ? ? 的最小值为 ? ?? ?

,取最

三、解答题(第 12,13 题每题各 14 分,第 14,15 题每题各 15 分,共 4 题,总共 50 分) 12.已知正数 x, y 满足 x ? y ? 4 ,

8 1 ? 的最小值; x y 1 2 1 2 (2)求 ( x ? ) ? ( y ? ) 的最小值。 x y
(1)求

13.私人办学是教育发展的方向,某人准备投资 1200 万元兴办一所完全中学,为了考虑社 会效益和经济效益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据列表(以班级为单位): 市场调查表 班级学生 硬件建设(万 配备教师数 教师年薪(万元) 数 元) 50 2.0 28 1.2 初中 40 2.5 58 1.6 高中 根据物价部门的有关文件,初中是义务教育阶段,收费标准适当控制,预计除书本费、 办公费以外每生每年可收取 600 元, 高中每生每年可收取 1500 元.因生源和环境等条件限制, 办学规模以 20 至 30 个班为宜,教师实行聘任制.初、高中的教育周期均为三年,请你合理 地安排招生计划,使年利润最大,大约经过多少年可以收回全部投资?

14.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池,池的深度一 定(平面图如图所示) ,如果池四 周围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单价为 248 元/米,池底建造单价为 80 元/ 米 2,水池所有墙的厚度忽略不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 米,试设计污水池的长和宽,使总造价 最低,并求出最低总造价.

15.设 a>0,b>0,a+b=1. (1)证明: ab ?
1 1 ? 44 ab

(2)探索猜想,并将结果填在以下括号内: a b ?
2 2

1 ?( ab
2 2

); a b ?
3 3

1 ?( ab
3 3

)

(3)由(1) (2)归纳出更一般的结论,并加以证明.

龙湾中学 2011 级高一暑假练习参考答案

线性规划及基本不等式

一、选择题(每小题 5 分,共 6 题,总共 30 分) 1 C 2 C 3 C 4 C 5 D 6 C

二、填空题(每小题 4 分,共 5 题,总共 20 分) 7. x ? 2 y ? 1 ? 0 8.

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b a 2 ? b2 ? 2 2

9. 4

10. ( ,5)

5 2

11.

25 ,

1 5

三、解答题(第 12,13 题每题各 14 分,第 14,15 题每题各 15 分,共 4 题,总共 50 分) 12.(1)

8 1 ? 的最小值为 9 ? 2 x y 4

(2)

25 2

13.大约要过 34 年
162 14.(1)设污水处理池的宽为 x 米,则长为 x 米.
2 ? 162 ? ? 1 296 ? 100 ? 2x ? ? x ? ? x 则 总 造 价 f(x)=400 × +248 × 2x+80 × 162=1 296x+ +12 960=1
100 ? ? ?x ? ? x ? 296 ? +12 960
x? 100 100 x +12 960=38 880(元) ,当且仅当 x= x (x>0),即 x=10 时取等号.

≥1 296×2

∴当长为 16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,最低总造价为 38 880 元.
?0 ? x ? 16 ? 1 ? ? 1 ? 162 ? 1 100 ? ?10 ? x ? 16 ? ?10 ,16? ?0 ? x ? 16 8 ? .g(x)在 ? 8 ? (2)由限制条件知 ? ,∴10 8 ≤x≤16.设 g(x)=x+ x ?

上是增函数,
? 1 800 ? 1 162 ?10 ? ? ∴当 x=10 8 时(此时 x =16),g(x)有最小值,即 f(x)有最小值.1 296× ? 8 81 ? +12 960=38

882(元).
1 ∴当长为 16 米,宽为 10 8 米时,总造价最低,为 38 882 元.

16.(1)方法一

1 1 ab ab+ ≥4 4 ? 4a2b2-17ab+4≥0 ? (4ab-1)(ab-4)≥0.
2

?a?b? 1 1 ? ? 2 ? ab ? ∵ab=( )2≤ = 4 ,∴4ab≤1,而又知 ab≤ 4 <4,因此(4ab-1)(ab-4)≥0 成立,故

1 1 ab+ ab ≥4 4 .
?a?b? 1 15 15 1 1 1 15 ? ? 2 2 2 2 ? ? ab ab 4 4 ? ab 4 ? ab 4 ? ab ab+ =ab+ + ,∵ab≤ = ,∴ ≥4,∴ ≥ 4 .当且仅
2

方法二

1 当 a=b= 2 时取等号.

1

又 ab+ 4 ? ab ≥2
2 15 1 ≥ 4 + 4 =4 4

2

ab ?

1 1 1 1 1 1 2 4 2 ? ab = 2 , ab ab 2 当且仅当 ab= 4 ? ab , 即 =4,a=b= 时取等号.故 ab+

1 (当且仅当 a=b= 2 时,等号成立).
1 1 2 2 2 a (2)猜想:当 a=b= 时,不等式 a2b2+ b ≥( 1
3 3 )与 a3b3+ a b ≥(

)取等号,故在括

1 1 64 16 号内分别填 16 与 64 .
1
n n

1

n (3)由此得到更一般性的结论:anbn+ a b ≥4n+ 4 .

?a?b? 1 1 ? ? 2 ? ? ab 4 证明如下:∵ab≤ = ,∴ ≥4.

2

1

1

4 2n ? 1

∴ a b
2

n

n

2n n n n n 2n n n n n + a b = a b + 4 ?a b + 4 ?a b ≥ 2

a nb n ?

1 4 2n ? a n b n

4 2n ? 1

+

4 2n

×

4 2n ? 1 4n

1
n =4n+ 4 ,

4n= 4 +

n

1 1 当且仅当 ab= 4 ,即 a=b= 2 时取等号.


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