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江苏专用2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第63练直线与圆锥曲线综合练练习文


(江苏专用) 2018 版高考数学专题复习 专题 9 平面解析几何 第 63 练 直线与圆锥曲线综合练练习 文
会判断直线与圆锥曲线的位置关系,能熟练应用直线与圆锥曲线的位置关系解 训练目标 决有关问题. (1)求曲线方程;(2)求参数范围;(3)长度、面积问题;(4)与向量知识交汇应 训练题型 用问题. 联立直线与曲线方程,转化为二次方程问题,再利用根与系数的关系转化为代 解题策略 数式、方程组、不等式组,结合已知条件解决具体问题. 1.(2016·南通模拟)若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支交于不同的两点,则 k 的 取值范围是__________________. 2.(2016·石家庄模拟)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,渐近线 分别为 l1,l2,点 P 在第一象限内且在 l1 上,若 l2⊥PF1,l2∥PF2,则该双曲线的离心率为 ________. 3. (2016·福州质检)直线 y=x 与椭圆 C: 2+ 2=1 的交点在 x 轴上的投影恰好是椭圆的焦 点,则椭圆 C 的离心率为______________. 4. 已知直线 kx-y+1=0 与双曲线 -y =1 相交于两个不同的点 A, B, 若 x 轴上的点 M(3,0) 2 到 A,B 两点的距离相等,则 k 的值为________.
2 2

x2 y2 a b

x2 y2 a b

x2

2

x y 3 5. (2016·云南省统一检测)已知双曲线 S 与椭圆 + =1 的焦点相同, 如果 y= x 是双曲 9 34 4
线 S 的一条渐近线,那么双曲线 S 的方程为________. 6.设 F1,F2 为椭圆 C1: 2+ 2=1(a1>b1>0)与双曲线 C2 的公共的左,右焦点,椭圆 C1 与双 曲线 C2 在第一象限内交于点 M,△MF1F2 是以线段 MF1 为底边的等腰三角形,且 MF1=2,若椭

2

2

x2 y2 a1 b1

?3 4? 圆 C1 的离心率 e∈? , ?,则双曲线 C2 的离心率的取值范围是________. ?8 9?
x2 y2 2 7.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0),其焦点为 F1,F2,离心率为 ,直线 l:x+2y-2= a b 2
0 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B, (1)若点 A 是椭圆 E 的一个顶点,求椭圆的方程; (2)若线段 AB 上存在点 P 满足 PF1+PF2=2a,求 a 的取值范围.

1

8.(2016·山东莱芜一中 1 月自主考试)已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 y =4 5x 的焦点,离心率是 6 . 3

2

(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)已知动直线 y=k(x+1)与椭圆 E 相交于 A, B 两点, 且在 x 轴上存在点 M, 使得 M A ·M B 与 k 的取值无关,试求点 M 的坐标.





9.(2016·苏北四市联考)如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的上,下顶点分别为 A,B,右 焦点为 F,点 P 在椭圆 C 上,且 OP⊥AF. (1)若点 P 坐标为( 3,1),求椭圆 C 的方程; (2)延长 AF 交椭圆 C 于点 Q, 若直线 OP 的斜率是直线 BQ 的斜率的 2 倍, 求椭圆 C 的离心率; (3)求证:存在椭圆 C,使直线 AF 平分线段 OP.

x2 y2 a b

2

答案精析 15 ,-1) 2.2 3

1.(-

3.

5-1 2

x2 y2 解析 设直线 y=x 与椭圆 C: 2+ 2=1 在第一象限的交点为 A,依题意,点 A 的坐标为(c, a b c2 c2 c2 c2 c),又点 A 在椭圆 C 上,故有 2+ 2=1,因为 b2=a2-c2,所以 2+ 2 2=1,所以 c4-3a2c2 a b a a -c
3± 5 5-1 4 4 2 2 +a =0, 即 e -3e +1=0, 解得 e = , 又因为 C 是椭圆, 所以 0<e<1, 所以 e= . 2 2 1 4. 2 解析 联立直线与双曲线方程

kx-y+1=0, ? ? 2 ?x 2 -y =1 ? ?2
得(1-2k )x -4kx-4=0, ∵直线与双曲线相交于两个不同的点,
?1-2k ≠0, ? ∴? 2 2 2 ? ?Δ =16k +16?1-2k ?=16?1-k ?>0,
2 2 2

解得-1<k<1 且 k≠±

2 . 2

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= 4k 2. 1-2k

设 P 为 AB 的中点, 则 P( 即 P(

x1+x2 k?x1+x2?
2 , 2 2k 1 2, 2). 1-2k 1-2k

+1),

∵M(3,0)到 A,B 两点距离相等, ∴MP⊥AB, 1 2 1-2k ∴kMP·kAB=-1,即 k· =-1, 2k 2-3 1-2k
3

1 1 得 k= 或 k=-1(舍),∴k= . 2 2 5. - =1 9 16 解析 由题意可得双曲线 S 的焦点坐标是(0,±5). 3 a 3 2 2 2 又 y= x 是双曲线 S 的一条渐近线,所以 c=5, = ,a +b =c ,解得 a=3,b=4,所以 4 b 4 双曲线 S 的标准方程为

y2

x2

y2
9

- =1. 16

x2

?3 ? 6.? ,4? ?2 ?
解析 设双曲线 C2 的方程为 2- 2=1(a2>0,b2>0),由题意知 MF1=2,F1F2=MF2=2c,其 中 c =a2+b2=a1-b1.又根据椭圆与双曲线的定义得
? ?MF1+MF2=2a1, ? ?MF1-MF2=2a2 ? ? ?2+2c=2a1, ?? ?2-2c=2a2 ?
2 2 2 2 2

x2 y2 a2 b2

? a1-a2=2c, 其中 2a1,2a2 分别为椭圆的长轴长和双

曲线的实轴长. 9 8 1 2 ?3 4? 所以3≤ c ≤4, 因为椭圆的离心率 e∈? , ?, 所以 c≤a1≤ c, 而 a2=a1-2c, 所以 c≤a2≤ 8 a1 9 4 3 4 3 ?8 9? 3 c ?3 ? c,所以 ≤ ≤4,即双曲线 C2 的离心率的取值范围是? ,4?. 2 a2 ?2 ? 7.解 (1)由椭圆的离心率为 ∵直线 l 与 x 轴交于 A 点, ∴A(2,0),∴a=2,c= 2,b= 2, ∴椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)由 e= 2 ,可设椭圆 E 的方程为 2 2 ,得 a= 2c, 2

x2 y2

x2 2y2 + =1, a2 a2 x 2y ? ? 2+ 2 =1, 联立?a a ? ?x+2y-2=0,
得 6y -8y+4-a =0, 若线段 AB 上存在点 P 满足 PF1+PF2=2a,则线段 AB 与椭圆 E 有公共点,
4
2 2 2 2

等价于方程 6y -8y+4-a =0 在 y∈[0,1]上有解. 设 f(y)=6y -8y+4-a ,
?Δ ≥0, ? ∴? ? ?f?0?≥0,
2 2

2

2

4 ? ?a2≥ , 3 即? ? ?4-a2≥0,

4 2 ∴ ≤a ≤4, 3 2 3 故 a 的取值范围是 ≤a≤2. 3 8.解 (1)抛物线 y =4 5x 的焦点坐标为( 5,0), 根据条件可知椭圆的焦点在 x 轴上, 且 a= 5, 因为离心率 e= 所以 c=ea=
2 2 2

6 , 3

6 30 × 5= , 3 3 10 5- = 3 5 , 3

故 b= a -c =

故椭圆 E 的标准方程为 + =1. 5 5 3 (2)将 y=k(x+1)代入 x +3y =5, 得(3k +1)x +6k x+3k -5=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,0), 6k 3k -5 则 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 , 3k +1 3k +1 →
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

→ MA·M B =(x1-m,k(x1+1))·(x2-m,k(x2+1))
=(k +1)x1x2+(k -m)(x1+x2)+k +m
2 2 2 2 2 2

3k -5 6k 2 2 2 2 =(k +1) 2 +(k -m)(- 2 )+k +m 3k +1 3k +1 ?6m-1?k -5 2 =m + 2 3k +1 1 6m+14 2 =m +2m- - . 2 3 3?3k +1? 要使上式与 k 无关,则有 6m+14=0, 7 解得 m=- , 3
5
2

7 所以点 M 的坐标为(- ,0). 3 9.(1)解 因为点 P( 3,1),所以 kOP= 又因为 AF⊥OP,- ×
2

1

, 3

b c

1 3

=-1,
2

所以 3c=b,所以 3a =4b ,① 3 1 又点 P( 3,1)在椭圆上,所以 2+ 2=1,②

a

b

13 13 2 2 联立①②,解得 a = ,b = . 3 4 故椭圆方程为 + =1. 13 13 3 4 (2)解 由题意,直线 AF 的方程为

x2

y2

x y + =1, c b x2 y2 与椭圆 C 方程 2+ 2=1 联立, a b
消去 y 得

a2+c2 2 2x x - = 0, a2c2 c
2a c , a2+c2 2a c b?c -a ? , ), a2+c2 a2+c2
2 2 2 2

解得 x=0 或 x=

所以点 Q 的坐标为(

所以直线 BQ 的斜率为

b?c2-a2? +b a2+c2 bc kBQ= = 2, 2 2a c a a2+c2
由题意得 =

c 2bc 2 2 ,所以 a =2b , b a2 c a

所以椭圆的离心率 e= = 1- 2=

b2 a

2 . 2

(3)证明 因为线段 OP 垂直于 AF, 则直线 OP 的方程为 y= ·x,

c b

6

与直线 AF 的方程 + =1 联立, 解得两直线交点的坐标为(

x y c b

b2c bc2 , ). a2 a2

因为线段 OP 被直线 AF 平分, 2b c 2bc 所以点 P 的坐标为( 2 , 2 ),
2 2

a

a

4b c 4b c 由点 P 在椭圆上得 6 + 4 2 =1,

4 2

2 4

a

ab

又 b =a -c ,设 2=t(t∈(0,1)), 代入上式得 4[(1-t) ·t+t ]=1.(*) 令 f(t)=4[(1-t) ·t+t ]-1 =4(t -t +t)-1, 则 f′(t)=4(3t -2t+1)>0 在(0,1)上恒成立, 所以函数 f(t)在(0,1)上单调递增, 又 f(0)=-1<0,f(1)=3>0, 所以 f(t)=0 在(0,1)上有解,即(*)式有解, 故存在椭圆 C,使线段 OP 被直线 AF 垂直平分.
2 3 2 2 2 2 2

2

2

2

c2 a

7



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