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04极值最值与导数


极值、最值与导数
一、 基础
x2

例 1.已知函数f x = e x .求f(x)的极值.

变式 1. 设f x = 1+ax 2 其中 a 为正实数.当 a ?

ex

4 时,求 f ( x) 的极值点. 3

变式 2.求函数f x = x 3 ?

2x 2 + 1在区间[?1,2]上的最大值与最小值.

变式 3. 设函数 f(x)= A.x=

2 +lnx 则 x



) B.x=
1 为 f(x)的极小值点 2

1 为 f(x)的极大值点 2

C.x=2 为 f(x)的极大值点

D.x=2 为 f(x)的极小值点

变式 4. 设函数 f ( x) ? xe x ,则( (A) x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 (C) x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点

) (B) x ? 1 为 f ( x) 的极小值点 (D) x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点

变式 5. 设函数 f ( x) 的定义域为 R,x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x) 的极大值点, 以下结论一定 正确的是( ) B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点

A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点

1

二、

含参

例 2. 设函数 f(x)= 2x3 ? 3(a ?1) x2 ? 1, 其中a ? 1. 讨论 f(x)的极值.

2 变式 1. 设函数 f ( x) ? ? x( x ? a) ( x ? R ) ,其中 a ? R .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极大值和极小值;

变式 2.若a ≠ 0试求函数f x = ? 3 ax 3 ? x 2 + a2 x 2 + 2ax的单调区间与极值.

2

2

三、

逆向

例 3. 函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a = (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

变式 1. 若函数 f ( x) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1

变式 2.若f x = 2x 3 ? 3x 2 + a的极大值是 6,则a =___________

变式 3. 设 a ? R ,若函数 y ? e x ? ax , x ? R ,有大于零的极值点,则(
A、 a ? ? 1 B、 a ? ?1 C、 a ? ?



1 e

D、 a ? ?

1 e

变式 4. 设 a ? R ,若函数 y ? e x ? ax , x ? R ,有大于零的极值点,则(
A、 a ? ? 1 B、 a ? ?1 C、 a ? ?



1 e

D、 a ? ?

1 e

变式 5.设 a ? R ,若函数 y ? eax ? 3x , x ? R 有大于零的极值点,则(
A. a ? ? 3 B. a ? ? 3 C. a ? ?



1 3

D. a ? ?

1 3

变式 6.已知函数f x = ax 3 + bx + c在x = 2处取得极值为c ? 16, (1) 求a, b的值. (2) 若f(x)有极大值 28,求f(x)在区间[?3,3]上的最小值.

3

四、

综合

例 4. 设函数 f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。 (Ⅰ)求 b 、 c 的值。 (Ⅱ)求 g ( x) 的单调区间与极值。

变 式 1. 已 知 函 数

f ( x) ?

x a 3 ? ? ln x ? 4 x 2 , 其 中 a ? R , 且 曲 线 y ? f ( x) 在 点 1 x 2

(1, f (1)) 处的切线垂直于

y?

(1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间和极值。

变式 2. 设 f ? x ? ? a ? x ? 5 ? ? 6 ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的
2

切线与 y 轴相交于点 ? 0, 6 ? 。 (1)确定 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。

变式 3.已知函数f x = ex ax + b ? x 2 ? 4x,曲线y = f x 在点(0,f 0 )处的切 线方程为y = 4x + 4. (1) 求 a,b 的值; (2) 讨论f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值.

4


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