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2011届高三数学第一次模拟测试题5


江门市 2011 年高考模拟考试


参考公式:锥体的体积公式 V ?
1 3

学(理科)

本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟.
Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分

,满分 40 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ⒈已知集合 A ? ?x | x ? a ? ( a 2 ? 1) i , a ? R , i 是虚数单位 A. 1 B. ? 1 C. ? 1 D. 0

? ,若 A ?

R

,则 a ?

⒉若四边形 ABCD 满足 AB ? CD ? 0 , ( AB ? AD ) ? AC ? 0 ,则该四边形一定是 A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形

⒊某社区现有 480 个住户,其中中等收入家庭 200 户、低收入家庭 160 户,其他 为高收入家庭。 在建设幸福广东的某次分层抽样调查中,高收入家庭被抽取了 6 户,则该社区本次被抽取的总户数为 A. 20 ⒋直线 x ?
?
3

B. 24 ,x ?
?
2

C. 30

D. 36

都是函数 f ( x ) ? sin( ? x ? ? )( ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? ) 的对称轴,
?
3 ,

且函数 f ( x ) 在区间 [ A. ? ? 6 , ? ? C. ? ? 3 , ? ?
?
2

?
2

] 上单调递减,则

5

5

B. ? ? 6 , ? ? ? D. ? ? 3 , ? ? ?

?
2

?
2

?
2
6 6 6

⒌一个底部水平放置的几何体,下半部分是圆柱,
6

上半部分是正四棱锥,其三视图如图 1 所示, 则这个几何体的体积 V ? A. 54 ? ? 30 C. 66 ? B. 69 ? D. 54 ? ? 24

正视图

侧视图

图1 俯视图

⒍ a 、 b 、 c ? 0 , ln a 、 ln b 、 ln c 成等差数列”是“ 2 a 、 2 b 、 2 c 成等比数列” “ 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件
y

D.既不充分也不必要条件

O

x

⒎在平面直角坐标系 xOy 中, ax ? by ? c ? 0 与 ax 2 ? by 2 ? c 所 表示的曲线如图 2 所示,则常数 a 、 b 、 c 之间的关系可能是 A. c ? a ? 0 且 b ? 0 C. a ? c ? 0 且 b ? 0 B. c ? a ? 0 且 b ? 0 D.A 或 C

⒏已知平面区域 D ? ?( x , y ) | ? 1 ? x ? 2 , ? 1 ? y ? 2 ? , z ? ax ? y ( a 是常数) ,
?P (x0 , y0 ) ? D

,记 z ? ax 0 ? y 0 ?

5 2

为事件 A ,则使 p ( A ) ? D. 3 个以上

1 8

的常数 a 有

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) ⒐已知 X ~ N ( ? , ? 2 ) , P ( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0 . 68 ,
P ( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0 . 95

开始 输入 a 1 , a 2 , ?
s ? a1 , i ? 2
i ? i ?1

,某次全市 20000 人

参加的考试,数学成绩大致服从正态分布
N (100 , 100 )

, 人.
s ? 0

则本次考试 120 分以上的学生约有

s ? s ? ai

⒑图 3 是讨论三角函数某个性质的程序框图,若输入
a i ? sin i 11

是 结束 图3

? ( i ? N ? ) ,则输出 i ?
2



否 输出 i

⒒设抛物线 C : y ? 4 x 的准线与对称轴相交于点 P , 过点 P 作抛物线 C 的切线,切线方程是 .

⒓在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 在映射 f :( x , y ) ? ( 2 y , 1 ? x ) 作用下的 象 集 为 四 边 形 A / B /C / D / , 若 ABC D 的 面 积 S ? 1 , 则 A / B /C / D / 的 面 积
S
/

?

. (请填写所有真命题的序号) .

⒔以下命题中,真命题的序号是

? ①回归方程 y ? ? 2 ? 1 . 5 x 表示变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 1 . 5 个单位.

②已知平面 ? 、 ? 和直线 m ,若 m // ? 且 ? ? ? ,则 m ? ? . ③“若 x 2 ? 1 ,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是“若 x ? ? 1 或 x ? 1 ,则 x 2 ? 1 ” . ④若函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? g ( x ) 的图象关于直线 y ? x 对称, f ( a ) ? b ,若
f (a ) ? 2
/

,则 g / ( b ) ?

1 2



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)

⒕ (坐标系与参数方程选做题) 若直线 ? (0
? ? ? 2?

?x ? 1 ? t ? y ? 2t

( t ? R 为参数) 与圆 ?

? x ? cos ? ? y ? sin ? ? a

, ? 为参数, a 为常数且 a ? 0 )相切,则 a ?


B

⒖(几何证明选讲选做题)如图 4, P 是圆 O 外 一点,直线 PO 与圆 O 相交于 C 、 D , PA 、 PB 是圆 O 的切线,切点为 A 、 B 。若 PC ? CD ? 1 , 则四边形 PADB 的面积 S ? .
图4
P
C

? O
A

D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 14 分)如图 5,一架飞机原计划从空中 A 处直飞相距 680 km 的 空中 B 处,为避开直飞途中的雷雨云层,飞机在 A 处沿与原飞行方向成 ? 角的 方向飞行,在中途 C 处转向与原方向线成 45 o 角的方向直飞到达 B 处.已知
sin ? ? 5 13



C

⑴在飞行路径 ? ABC 中,求 tan C ; ⑵求新的飞行路程比原路程多多少 km .
?
45
o

(参考数据: 2 ? 1 . 414 , 3 ? 1 . 732 )

A

B

图5

⒘(本小题满分 12 分)某校举行环保知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分, 初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有 5 次选题答题的机 会,选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛:答对 3 题者直接进入 决赛,答错 3 题者则被淘汰.已知选手甲答对每个问题的概率相同,并且相互 之间没有影响,答题连续两次答错的概率为 .
9 1

⑴求选手甲可进入决赛的概率; ⑵设选手甲在初赛中答题的个数为 ? ,试求 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望.
D1

⒙(本小题满分 14 分)如图 6, ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 是棱长 为 6 的正方体, E 、 F 分别是棱 AB 、 BC 上的动点, A1
B1

C1

D F A

C

图6

E

B

且 AE ? BF . ⑴求证: A1 F ? C 1 E ; ⑵当 A1 、 E 、 F 、 C 1 共面时,求: ① D 1 到直线 C 1 E 的距离; ②面 A1 DE 与面 C 1 DF 所成二面角的余弦值.

⒚ (本小题满分 14 分) 已知圆锥曲线 C 上任意一点到两定点 F1 ( ? 1 , 0 ) 、F 2 (1 , 0 ) 的距离之和为常数,曲线 C 的离心率 e ? ⑴求圆锥曲线 C 的方程; ⑵设经过点 F 2 的任意一条直线与圆锥曲线 C 相交于 A 、B , 试证明在 x 轴上存 在一个定点 P ,使 PA ? PB 的值是常数. ⒛ (本小题满分 12 分) 已知数列 ?a n ?( n ? N ? ) ,a 1 ? 0 ,a n ? 1 ? 2 a n ? n ? 2 n ( n ? 1) . ⑴求数列 ?a n ? 的通项; ⑵ 设 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 为 S n , 试 用 数 学 归 纳 法 证 明
Sn ? 2
n ?1

1 2



? (n ? 3n ? 4) ? 2
2



21(本小题满分 14 分)设 y ? f ( x ) 是定义在区间 ( a , b ) ( b ? a )上的函数,若
x 对 ? x1 、 2 ? ( a , b ) , 都有 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | x 1 ? x 2 | , 则称 y ? f ( x ) 是区间 ( a , b )

上的平缓函数. ⑴试证明对 ? k ? R , f ( x ) ? x 2 ? kx ? 1 都不是区间 ( ? 1 , 1) 上的平缓函数; ⑵若 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的、周期为 T ? 2 的平缓函数,试证明对 ? x 1 、
x2 ? R

, | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? 1 .

理科数学评分参考
一、选择题 CBBA DDAC

二、填空题
2

⒐ 500

⒑ 22

⒒ x ? y ? 1 ? 0 (对一个 3 分,全对 5 分)



⒔①④(正确选项一个 3 分,全对 5 分;错误选项一个扣 3 分,2 个扣 5
分,扣完为止)

⒕ 2 ? 5 (答 2 ? 5 给 3 分,其他 0 分) ⒖

2 3

2

三、解答题 ⒗⑴ sin ? ?
5 13
0

, ? 是锐角,所以 tan ? ?
0

5 12

??1 分, ??2 分, ? ?
tan ? ? tan 45
0 0

tan C ? tan[ ? ? (? ? 45 )] ? ? tan( ? ? 45 )
5 ?1 5 12 ? ? ?1

1 ? tan ? ? tan 45

??4

分, ? ?

12 1?

17 7

??5 分.

⑵ sin C ? sin( ? ? 45 0 ) ? 9 分,得 AC ?
AB sin C

17 26

2

??7 分, 由正弦定理

AB sin C

?

AC sin 45
0

?

BC sin ?

??

? sin 45

0

? 520

??11 分, BC ? 200 2 ??13 分,新的飞行

路程比原路程多 AC ? BC ? AB ? 520 ? 200 2 ? 680 ? 122 . 8 ( km ) ??14 分.
1 9 p ? 2 3

⒘⑴设 选手甲 任答一题,正确的概率为 p ,依题意 (1 ? p ) 2 ? ??2 分,甲选答 3 道题目后进入决赛的概率为 ( ) 3 ?
3 2 8 27

??1 分, ??3 分,甲

选 答 4 道 、 5 道 题 目 后 进 入 决 赛 的 概 率 分 别 为 C 32 ( ) 3 ?
3 16 2 2 3 1 2 C4 ( ) ( ) ? 3 3 81

2

1 3

?

8 27



??5 分,所以,选手甲可进入决赛的概率
? 64 81 8 27 ? 1 27 ? 1 3

P ?

8 27

?

8 27

?

16 81

??6 分. ??8 分,

⑵ ? 可取 3,4,5??7 分,依题意 P (? ? 3 ) ?
1 2 2 1 10 2 2 2 2 1 2 P (? ? 4 ) ? C 3 ( ) ? ? ? C 3 ( ) ? ? ? 3 3 3 3 3 3 27

??9 分, ??10 分,

1 2 2 2 2 1 8 2 2 2 2 1 2 P (? ? 5 ) ? C 4 ( ) ? ( ) ? ? C 4 ( ) ? ( ) ? ? 3 3 3 3 3 3 27

(或 P (? ? 5 ) ? 1 ? [ P (? ? 3 ) ? P (? ? 4 )] ?

8 27

??10 分)

所以, ? 的分布列为:

?
P

3

4

5

1 3

10 27

8 27

??11 分
E? ? 3 ? 1 3 ? 4? 10 27 ? 5? 8 27 ? 107 27

??12 分.

⒙⑴以 D 为原点, DA 、 DC 、 DD 1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间
C 直角坐标系??1 分, A1 ( 6 , 0 , 6 ) 、 1 ( 0 , 6 , 6 ) , AE ? m , E ( 6 , m , 0 ) , 则 设 则
F ( 6 ? m , 6 , 0 ) ??2

分,从而 A1 F ? ( ? m , 6 , ? 6 ) 、C 1 E ? ( 6 , m ? 6 , ? 6 ) ??

3 分,直接计算知 A1 F ? C 1 F ? 0 ,所以 A1 F ? C 1 E ??5 分.
E F C ⑵①当 A1 、 、 、 1 共面时, 因为底面 ABCD // A1 B 1 C 1 D 1 , 所以 A1 C 1 // EF ??

6 分,所以 EF // AC ,从而 E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点??7 分,设 D 1 到直 线 C 1 E 的 距 离 为 h , 在 ? C 1 D1 E 中 , C 1 E ?
C1E ? h 2 ? C 1 D 1 ? BC 2
1

6 ?6 ?3
2 2

2

? 9



,解得 h ? 4 2 ??9 分.

② 由 ① 得 , E ( 6 , 3 , 0 ) 、 F ( 3 , 6 , 0 ) , 设 平 面 A1 DE 的 一 个 法 向 量 为
? n ? DE ? 6 a ? 3 b ? 0 ? 1 n1 ? ( a , b , c ) , 依题意 ? ??10 ? ? n 1 ? DA 1 ? 6 a ? 6 c ? 0

分, 所以 n 1 ? ( ? 1 , 2 , 1) ??

11 分,同理平面 C 1 DF 的一个法向量为 n 2 ? ( 2 , ? 1 , 1) ??13 分,由图知,面
A1 DE

与面 C 1 DF 所成二面角的余弦值 cos ? ?

| n1 ? n 2 | | n1 | ? | n 2 |

?

1 2

(即 ? ?

?
3

)??14

分.
2 2 2 2

⒚⑴依题意,设曲线 C 的方程为 分,e ? 4 分.
c a ? 1 2

x a

?

y b

? 1(a ? b ? 0

)??1 分, c ? 1 ??2
x
2

b ,a ? 2 ??3 分, ?

a

2

?c

2

?

3

, 所求方程为

?

y

2

? 1 ??

4

3

⑵ 当 直 线 AB 不 与 x 轴 垂 直 时 , 设 其 方 程 为 y ? k ( x ? 1) ? ? 5 分 , 由

2 ?x2 y ? ?1 ? 3 ? 4 ? y ? k ( x ? 1) ?
2 2

??6 分,得 ( 3 ? 4 k 2 ) x 2 ? 8 k 2 x ? 4 ( k 2 ? 3 ) ? 0 ??7 分,从而 x A ? x B ?
xA ? xB ? 4(k
2

8k

3 ? 4k



? 3)
2

3 ? 4k

??8 分,设 P (t , 0 ) ,则 PA ? PB ? ( x A ? t )( x B ? t ) ? y A y B
2 2

? (k

2

? 1) x A x B ? ( t ? k )( x A ? x B ) ? ( k 3t
2

?t ) ?
2

3t

2

? 12 ? ( ? 5 ? 8 t ? 4 t ) k
2

2

3 ? 4k

2

? ? 10
135 64
3 2

分, 当

? 12 3

?

? 5 ? 8t ? 4t 4

2

t ,?

11 8

PA 时??11 分, ? k ? R , ? PB ? ? 对

?? ??

12 分;当 AB ? x 轴时,直线 AB 的方程为 x ? 1 , x A ? x B ? 1 , y A ( y B ) ? ? 13 分,对 t ? 上的点 P (
11 8 11 8

, PA ? PB ? ( x A ? t )( x B ? t ) ? y A y B ? 的值为常数 ?
135 64

9 64

?

9 4

? ?

135 64

,即存在 x 轴

, 0 ) ,使 PA ? PB

??14 分.

⒛⑴(方法一)由 a n ? 1 ? 2 a n ? n ? 2 n 得 分,所以
an 2
n ?1

a n ?1 2
n

?

an 2
n ?1

? n


?

an 2
n ?1

?

a n ?1 2
n?2

? n ? 1 ??2

? (

an 2
n ?1

?

a n ?1 2
n?2

)?(

a n ?1 2
n?2

?

a n?2 2
n?3

)?? ? (

a2 2

a1 2
0

) ? a 1 ??3

分,

? ( n ? 1) ? ( n ? 2 ) ? ? ? 1 ??4

分, ?

n ( n ? 1) 2

, a n ? 2 n ? 2 ? n ( n ? 1) ??5 分.

(方法二)由 a n ? 1 ? 2 a n ? n ? 2 n 得 a n ? 2 a n ?1 ? ( n ? 1) ? 2 n ?1 ,
a n ?1 ? 2 a n ? 2 ? ( n ? 2 ) ? 2
n?2

??1 分,2 a n ?1 ? 2 2 a n ? 2 ? ( n ? 2 ) ? 2 n ?1 ??3 分, ??,

2

n?2

a2 ? 2

n ?1

a1 ? 1 ? 2

n ?1

, 累加得 a n ? [( n ? 1) ? ( n ? 2 ) ? ? ? 1] ? 2 n ?1 ? 2 n ? 2 ? n ( n ? 1)

??5 分. ⑵ n ? 1 时,左边 S 1 ? a 1 ? 0 ,右边 2 n ?1 ? ( n 2 ? 3 n ? 4 ) ? 2 ? 1 ? (1 ? 3 ? 4 ) ? 2 ? 0 , 左边=右边,命题成立??7 分; 设 n ? k ( k ? N ? ) 时,命题成立,即 S k ? 2 k ?1 ? ( k 2 ? 3 k ? 4 ) ? 2 ??8 分,则
S k ?1 ? S k ? a k ?1

?

?

9





? 2
k

k ?1

? (k

2

? 3k ? 4) ? 2 ? 2
2

k ?1

? k ( k ? 1) ? 2 ( k
k

2

? k ? 2) ? 2

2 ? [( k ? 1) ? 3 ( k ? 1) ? 4 ] ? 2 ,从而 n ? k ? 1 时,命题成立??11

分.

综上所述,数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? 2 n ?1 ? ( n 2 ? 3 n ? 4 ) ? 2 ??12 分.

21.⑴ ? x 1 、 x 2 ? ( ? 1 , 1) , | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | x 1 ? x 2 ? k | ? | x 1 ? x 2 | ??1 分。 若 k ? 0 , 则 当 x 1 、 x 2 ? ( , 1) 时 , x 1 ? x 2 ? k ? 1 ? ? 2 分 , 从 而
2 1

| f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | x 1 ? x 2 | ??3

分;
1

若 k ? 0 ,则当 x 1 、 x 2 ? ( ? 1 , ? ) 时, x 1 ? x 2 ? k ? ? 1 , | x 1 ? x 2 ? k |? 1 ??4
2

分,从而 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | x 1 ? x 2 | ,所以对任意常数 k , f ( x ) ? x 2 ? kx ? 1 都不是 区间 ( ? 1 , 1) 上的平缓函数??5 分. ⑵若 x 1 、 x 2 ? [ 0 , 2 ] ,①当 | x 1 ? x 2 |? 1 时, | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | x 1 ? x 2 |? 1 ??6 分 ; ② 当 | x 1 ? x 2 |? 1 时 , 不 妨 设 0 ? x 1 ? x 2 ? 2 , 根 据 f ( x ) 的 周 期 性 ,
f (0) ? f (2)

?

?

7





| f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) | ? | f ( x 1 ) ? f ( 0 ) ? f ( 2 ) ? f ( x 2 ) |? | f ( x 1 ) ? f ( 0 ) | ? | f ( 2 ) ? f ( x 2 ) |

??9 分, ? | x 1 | ? | 2 ? x 2 |? x 1 ? 2 ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? x 1 ) ? 1 ??11 分,所以对 ? x 1 、
x 2 ? [ 0 , 2 ] ,都有 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? 1 ??12

分.

对 ? x 1 、 x 2 ? R ,根据 f ( x ) 的周期性(且 T ? 2 ) ,存在 p 1 、 p 2 ? [ 0 , 2 ] ,使
f ( x1 ) ? f ( p 1 )

、 f ( x 2 ) ? f ( p 2 ) ,从而 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? | f ( p 1 ) ? f ( p 2 ) |? 1 ??14

分.


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