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2圆的最值问题


与圆有关的最值问题

北蔡中学 余浩平

练习:
1.求两圆 x ? y ? 2kx ? k ? 1 ? 0 2 2 2 与x ? y ? 2 ? k ?1? y ? k ? 2k ? 0 的圆心间的最短距离.
2 2 2

2.已知圆 x ? y ? 8x ? 2 y ? 12 ? 0 内一点 A

( 3, 0),求经过点A的最长弦和最短弦 所在的直线方程.
2 2

例、已知圆的方程x2+y2=2及一点
P(-2,4),求圆上的动点与点P

连线的斜率的最值?
P
y

o

x

例、已知圆的方程x2+y2=2及一点

题变:

P(-2,4),求圆上的动点与点P 连线的斜率的最值?

若 将上面例题中的点P(-2,4)改为P(0,4), 则 圆上的动点与点P连线的斜率的最值 是否存在?若存在,求出最值;

如不存在,请说明理由。

讨论问题1
2 2 已知圆的方程x +y =2及一点

P(-2,4),

试试看,根据以上条件,你能
设计出哪些与圆有关的最值问题?

已知圆的方程x2+y2=2及一点

P(-2,4),

设计问题:
最值? (参见例题)

问题1、求圆上的动点与点P的连线的斜率的 问题2、求圆上的点到点P
最小值。

的距离的最大值和

讨论问题2
已知圆的方程x2+y2=4及一条直线x-y-5=0,

试试看,根据以上条件,你能
设计出与圆有关的最值问题吗?

已知圆的方程x2+y2=4及一条直线x-y5=0,

设计问题:

已知圆的方程x2+y2=4及一条直线 x-y-5=0,求圆上点到直线的距离的

最大值和最小值。

练习:
1. 从点P(a,3)向圆(x+2)2+(y+2)2=1作切线, 切线长度的最小值是多少?
2.已知实数x、y满足x ? y ? 4 y ? 1 ? 0 求: y (1) x 的取值范围;
2 2

(2)y-2x的取值范围。

小结 最值问题常见的解法有两种: 几何法和代数法.
则考虑利用图形来解决,这就是几何法——数形 结合的方法;

若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,

若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系, 则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值.

求函数的最值,常利用的方法有配方法、判别式 法、基本不等式及函数的单调性或利用三角函数 的有界性来求最值.

思考题:
过点M(3,0)作直线l与圆 x ? y ? 16
2 2

交于A,B 两点,求: 直线l的倾斜角 ? ,使△AOB面积最大, 并求此最大值(O为坐标原点)。

谢 谢


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