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2013年4月杭州市重点高中2013高考命题比赛参赛试题高中数学5


2013 年高考模拟试卷 数学卷(命题说明)
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 5 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题 部分 3 至 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在 答题纸上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。 参考公式:
如果事件 A , B 互斥,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? 如果事件 A , B 相互独立,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 棱柱的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式
1 Sh 3 其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 V?

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn ? k ? ? Cn pk ?1 ? k ? n?k

, ? k ? 0,1,2,?, n ?

棱台的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3

球的表面积公式 S ? 4? R 2
4 球的体积公式 V ? ? R3 3 其中 R 表示球的半径

?

?

其中 S1 , S2 分别表示棱台的上底、下底面积,

h 表示棱台的高

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
(原题)已知集合 A. ?

A ? { y | y ? 2 x , x ? R} ,则 C R A =
C. (0,??) D. R





B. (??,0]

1.(改编题)已知集合 A ? {x | log2 x ? 1, x ? R} ,则 C R A = A. (??,0) ? [2,??) B. (??,0] ? [2,??) C. (2,??)

( D. [2,??)




(原题)已知 a , b 是实数,则“ | a ? b |?| a | ? | b | ”是“ ab A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

? 0 ”的
D.既不充分也不必要条件



2.(改编题)已知 a , b 是实数,则“ | a ? b |?| a | ? | b | ”是“ ab ? 0 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件





D.既不充分也不必要条件

数学比赛卷第 1 页(共 18 页)

3.(引用)设曲线 y ? sin x 上任一点 ( x, y ) 处切线斜率为 g ( x) ,则函数 y ? x2 g ( x) 的部分 图象可以为 ( )

(原题)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积是





A.

3

B.

3 3

C.

2

D.

2 3

4.(改编题)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个 正三角形,则这个几何体的 ( )

A.外接球的半径为

3 3

B.体积为 3

16? 3 5.(引用)已知函数 f (x)= ln x ,则函数 g (x)=f (x) ? f '( x) 的零点所在的区间是(
C.表面积为 6 ? 3 ? 1 D.外接球的表面积为 A.(0,1)
(原题)在二项式 ( x ? A.-10



B. (1,2)

C. (2,3)

D. (3,4)
( D.15 )

1 6 ) 的展开式中,常数项等于 x2
B.-15 C.10

6. (改编题) 在二项式 ( x ? A.-45
(原题) 函数

1 10 ) 的展开式中, 常数项等于 x2
C.10 D.45
2





B.-10

y ? 9 ? ? x ? 5?

的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列, 则以下不可能成 ( C.
2

为该等比数列的公比的数是 A.



3 4

B.

2

3

D.

5

7.(改编题)函数 y ? 9 ? ? x ? 5? 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等差数列, 则以下不可能成为该等差数列的公差的数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

数学比赛卷第 2 页(共 18 页)

(原题)若直线 ax ? by ? 2 ? 0 则 A. a ? 2b

(a ? 0 , b ? 0) 被圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4,
( )

?2

B.

a ? 2b ? ?2

C.

a ? 2b ? 2

D.

a ? 2b ? 2

8. (改编题)若直线 ax ? by ? 2 ? 0 (a ? 0 , b ? 0) 被圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的 弦长为 4, 则

1 1 ? 的最小值为 a b
B.





A.

1 4

2

C.

3 ? 2 2

D.

3 ?2 2 2

9.(引用)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的中心为 O,左焦点为 F,A 是椭圆上的一点, a2 b2
1 (OF ) 2 ,则该椭圆的离心率是 2
C. 3 ? 5 D. 3 ? 5 ( )

OA ? AF ? 0 且 OA ? OF ?
A.

10 ? 2 2

B.

10 ? 2 2

? 1 ?x ? , x ? 0 10.(引用)已知函数 f ( x) ? ? ,若关于 x 的方程 f x 2 ? 2 x ? a 有六个不同的 x ? x3 ? 9, x ? 0 ?

?

?

实根, 则常数 a 的取值范围是 A. ? 2,8? B. ? 2,9? C. ?8,9? D. ?8,9?





非选择题部分(共 100 分)
注意事项: 1.用黑色的字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图, 可先使用 2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.
(原题)复数 (2 ? i )(1 ? i ) (i 为虚数单位)的值为 .

11.(改编题)复数 z ?

2?i (i 为虚数单位)的值为 1? i

.
.

(原题)已知数列 {an } 中, a1

? 2 , an ? an?1 ? 0 (n ? N ? ) ,则 a10 的值等于
?

12. (改编题) 已知数列 {an } 中, 1 ? 2 , n ? an?1 ? 1 (n ? N ) , a10 的值等于 则 a a
(原题)在边长为的等边 ?ABC 中, D 为 BC 边上中点,则

.

??? ???? ? AB ? AD =

.

13. (改编题) 在边长为的等边 ?ABC 中, 为 BC 边上一动点, AB ? AD 的取值范围是 则 D

??? ???? ?



数学比赛卷第 3 页(共 18 页)

14. 引用) ( 执行如图所示的程序框图, 若输出的 b 的值为 31, 则图中判断框内①处应填的整数为 .

15. 引用) ( 在△ABC 中, A、 C 所对的边分别为 a ,b , 角 B、

c ,若其面积 S ?

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ) 则∠A= 4

.

16.(引用) )某校开设 10 门课程供学生选修,其中 A、B、C 三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定,每位同学 选修三门,则每位同学不同的选修方案种数是 . 17.(引用)已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,5? ,部分对应值 如下表,f ? x ? 的导函数 y ? f ? ? x ? 的图象如图所示. 下 列关于 f ? x ? 的命题:

①函数 f ? x ? 的极大值点为 0 , 4 ;②函数 f ? x ? 在 ?0, 2? 上是减函数;③如果当 x ???1,t ? 时, f ? x ? 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点;⑤函数 y ? f ? x ? ? a 的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个.其中正确命题的序号是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(原题)已知函数

2 ? ? 3 图象的两个相邻对称中心的距离为 ,且过点 ( , ) . 6 2 2 (Ⅰ)求 ? 、 ? 的值;

f ( x) ? 3 sin

?x ? ?
2

cos

?x ? ?

? sin 2

?x ? ?
2

(? ? 0 , 0 ? ? ?

?

2

) .其

(Ⅱ)在△ABC 中.a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, a 满足

? 5 , S?ABC ? 2 5 ,角 C 为锐角。且

f(

C ? 7 ? ) ? ,求 c 的值. 2 12 6

数学比赛卷第 4 页(共 18 页)

18 . 改 编 题 ) 已 知 函 数 f ( x) ? (

3 sin

?x ? ?
2

cos

?x ? ?
2

? sin 2

?x ? ?
2

(? ? 0 ,

0?? ?

?
2

) .其图象的最高点与相邻对称中心的距离为

? 9 ?2 ,且过点 ( ,1) . ? 3 4 16

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的达式; (Ⅱ)在△ ABC 中. a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, a ? 5 , CA ? CB ? 10 , 角 C 为锐角。且满足 2a ? 4a sin C ? c sin A ,求 c 的值. 19.(引用)某中学校本课程共开设了 A,B,C,D 共 4 门选修课,每个学生必须且只能选 修 1 门选修课,现有该校的甲、乙、丙 3 名学生: (Ⅰ)求这 3 名学生选修课所有选法的总数; (Ⅱ)求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率; (Ⅲ)求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数的数学期望.

? (原题) 在直三棱柱 (侧棱垂直底面) ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 1 ,?BAC ? 90 , 且异面直线 A1 B

与 B1C1 所成的角等于 60 . (Ⅰ)求棱柱的高; (Ⅱ)求 B1C1 与平面 A1 BC1 所成的角的大小.

?

A1 B1 A B

C1

C

(改编题)在直三棱柱(侧棱垂直底面) ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90? . (Ⅰ)若异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角为 60? ,求棱柱的高; (Ⅱ)设 D 是 BB1 的中点, DC1 与平面 A1 BC1 所成的角为 ? ,当棱柱 的高变化时,求 sin ? 的最大值. A1 B1 D B A C C1

数学比赛卷第 5 页(共 18 页)

(原题) 如图, 已知圆 C 与 y 轴相切于点 T(0, 与 x 轴正半轴相交于两点 M, 2), N(点 M 必在点 N 的右侧) ,



MN ? 3 ,已知椭圆

D:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距等于 a 2 b2

2 ON

,且过点 (

2,

6 ) 2

(Ⅰ)求圆 C 和椭圆 D 的方程; (Ⅱ)若过点 M 斜率不为零的直线 l 与椭圆 D 交于 A、B 两点,求证:直线 NA 与直线 NB 的倾角互补.

21. (改编题) 如图, 已知圆 C 与 y 轴相切于点 T(0, 与 x 轴正半轴相交于两点 M, 2), N(点 M 必在点 N 的右侧) ,且 MN ? 3 ,椭圆 D:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距等于 2 ON , a 2 b2

且过点 ( 2,

6 ) 2

(Ⅰ)求圆 C 和椭圆 D 的方程; (Ⅱ)设椭圆 D 与 x 轴负半轴的交点为 P,若过点 M 的动直线 l 与椭圆 D 交于 A、B 两点, ?ANM ? ?BNP 是否恒成立? 给出你的判断并说明理由.

(原题)已知函数 (Ⅰ)当 a (Ⅱ)当 a

1 f ( x) ? (2 ? a) ln x+ ? 2ax(a ? R) , x

? 0 时,求 f ( x) 的极值; ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间;

(Ⅲ)对任意的 a ? (?3, ?2), 及x1、x2 ?[1 3], 恒有 m ? ln 3)a ? 2ln 3 ?| , ( 求 m 的取值范围。

f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 成立,

22.(改编题)设函数 f ( x) ?

1? a 2 x ? ax ? ln x(a ? R). 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性. (Ⅲ)若对任意 a ? (3, 4) 及任意 x1 , x2 ?[1, 2] ,恒有 立,求实数 m 的取值范围.
数学比赛卷第 6 页(共 18 页)

(a 2 ? 1) m ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 2

2013 年高考模拟试卷 数学卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 5 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题 部分 3 至 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在 答题纸上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷上无效。 参考公式:
如果事件 A , B 互斥,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? 如果事件 A , B 相互独立,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 棱柱的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式
1 Sh 3 其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 V?

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn ? k ? ? Cn pk ?1 ? k ? n?k

, ? k ? 0,1,2,?, n ?

棱台的体积公式
1 V ? h S1 ? S1S2 ? S2 3

球的表面积公式 S ? 4? R 2
4 球的体积公式 V ? ? R3 3 其中 R 表示球的半径

?

?

其中 S1 , S2 分别表示棱台的上底、下底面积,

h 表示棱台的高

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.(改编题)已知集合 A ? {x | log2 x ? 1, x ? R} ,则 C R A = A. (??,0) ? [2,??) B. (??,0] ? [2,??) C. (2,??) ( D. [2,??) ( ) )

2.(改编题)已知 a , b 是实数,则“ | a ? b |?| a | ? | b | ”是“ ab ? 0 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件
2

3.(引用)设曲线 y ? sin x 上任一点 ( x, y ) 处切线斜率为 g ( x) ,则函数 y ? x g ( x) 的部分 图象可以为 ( )

数学比赛卷第 7 页(共 18 页)

4.(改编题)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一 个正三角形,则这个几何体的 ( )

A.外接球的半径为

3 3

B.体积为 3

16? 3 5. 引用)已知函数 f (x)= ln x ,则函数 g (x)=f (x) ? f '( x) 的 (
C.表面积为 6 ? 3 ? 1 D.外接球的表面积为 零点所在的区间是 A.(0,1) B. (1,2) C. (2,3) ( D. (3,4) ( D.45 ) )

6.(改编题)在二项式 ( x ? A.-45

1 10 ) 的展开式中,常数项等于 x2
C.10
2

B.-10

7.(改编题)函数 y ? 9 ? ? x ? 5? 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等差数列, 则以下不可能成为该等差数列的公差的数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

8. (改编题)若直线 ax ? by ? 2 ? 0 (a ? 0 , b ? 0) 被圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的 弦长为 4, 则

1 1 ? 的最小值为 a b
B.





A.

1 4

2

C.

3 ? 2 2

D.

3 ?2 2 2

x2 y2 9.(引用)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的中心为 O,左焦点为 F,A 是椭圆上的一点, a b

OA ? AF ? 0 且 OA ? OF ?
A.

1 (OF ) 2 ,则该椭圆的离心率是 2
C. 3 ? 5 D. 3 ? 5





10 ? 2 2

B.

10 ? 2 2

? 1 ?x ? , x ? 0 2 10.(引用)已知函数 f ( x) ? ? ,若关于 x 的方程 f x ? 2 x ? a 有六个不同的 x ? x3 ? 9, x ? 0 ?

?

?

实根,则常数 a 的取值范围是 A. ? 2,8? B. ? 2,9? C. ?8,9?

( D. ?8,9?



数学比赛卷第 8 页(共 18 页)

非选择题部分(共 100 分)
注意事项: 1.用黑色的字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图, 可先使用 2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.(改编题)复数 z ?

2?i (i 为虚数单位)的值为 1? i

. .

12. (改编题) 已知数列 {an } 中, 1 ? 2 , n ? an?1 ? 1 (n ? N ? ) , a10 的值等于 则 a a 13.(改编题)在边长为的等边 ?ABC 中, D 为 BC 边上一动点,则 AB ? AD 的取值范围 是 .

??? ???? ?

14.(引用)执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 31 , 则图中判断框内①处应填的整数为 .

15.(引用)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a , b ,

c ,若其面积 S ?

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ) 则∠A= 4

.

16.(引用)某校开设 10 门课程供学生选修,其中 A、B、C 三 门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定,每位同学选修 三门,则每位同学不同的选修方案种数是 . 17.(引用)已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,5? ,部分对应值如下表, f ? x ? 的导函数

y ? f ? ? x ? 的图象如图所示. 下列关于 f ? x ? 的命题:

①函数 f ? x ? 的极大值点为 0 , 4 ;②函数 f ? x ? 在

?0,2? 上是减函数;③如果当 x ???1,t ? 时, f ? x ? 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4;④
当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点;⑤函数 y ? f ? x ? ? a 的零点个数可能为 0、 1、2、3、4 个.其中正确命题的序号是 .

数学比赛卷第 9 页(共 18 页)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 . 改 编 题 ) 已 知 函 数 f ( x) ? (

3 sin

?x ? ?
2

cos

?x ? ?
2

? sin 2

?x ? ?
2

(? ? 0 ,

0?? ?

?
2

) .其图象的最高点与相邻对称中心的距离为

? 9 ?2 ,且过点 ( ,1) . ? 3 4 16

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的达式; (Ⅱ)在△ ABC 中. a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, a ? 5 , CA ? CB ? 10 , 角 C 为锐角。且满足 2a ? 4a sin C ? c sin A ,求 c 的值. 19.(引用)某中学校本课程共开设了 A,B,C,D 共 4 门选修课,每个学生必须且只能选 修 1 门选修课,现有该校的甲、乙、丙 3 名学生: (Ⅰ)求这 3 名学生选修课所有选法的总数; (Ⅱ)求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率; (Ⅲ)求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数的数学期望. 20.(改编题)在直三棱柱(侧棱垂直底面) ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90? . (Ⅰ)若异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角为 60? ,求棱柱的高; (Ⅱ)设 D 是 BB1 的中点, DC1 与平面 A1 BC1 所成的角为 ? ,当棱柱 的高变化时,求 sin ? 的最大值. A1 B1 D B 21. (改编题) 如图, 已知圆 C 与 y 轴相切于点 T(0, 与 x 轴正半轴相交于两点 M, 2), N(点 M 必在点 N 的右侧) ,且 MN ? 3 ,椭圆 D: A C C1

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距等于 2 ON , a 2 b2

且过点 ( 2,

6 ) 2

(Ⅰ)求圆 C 和椭圆 D 的方程; (Ⅱ)设椭圆 D 与 x 轴负半轴的交点为 P,若过点 M 的动直线 l 与椭圆 D 交于 A、B 两点, ?ANM ? ?BNP 是否恒成立?给出 你的判断并说明理由. 22.(改编题)设函数 f ( x) ?

1? a 2 x ? ax ? ln x(a ? R). 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 1 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性. (Ⅲ)若对任意 a ? (3, 4) 及任意 x1 , x2 ?[1, 2] ,恒有 立,求实数 m 的取值范围.
数学比赛卷第 10 页(共 18 页)

(a 2 ? 1) m ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 2

2013 年高考模拟试卷

准 考 证 号

数学(理科)答题卡

0 1 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

班级:________ 姓名:_________ 考场:_______ 正确 填涂 错误 填涂 √ × 缺考 标记

3 4 5 6

特别注意:作答时请勿超出实线答题区 考生请勿填涂缺考标记

7 8 9

一、 选择题
1 2 3 4
A A A A B B B B C C C C D D D D

5 6 7 8

A A A A

B B B B

C C C C

D D D D

9 10

A A

B B

C C

D D

二.填空题 11. 14. 17. 三.解答题 18. (满分 14 分) 12. 15. 13. 16.

数学比赛卷第 11 页(共 18 页)

19(满分 14 分)

20(满分 14 分)

数学比赛卷第 12 页(共 18 页)

21. (满分 15 分)

数学比赛卷第 13 页(共 18 页)

22(满分 15 分)

数学比赛卷第 14 页(共 18 页)

2013 年高考模拟试卷 数学 参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 选项 1 B 2 D 3 C 4 D 5 B 6 D 7 D 8 C 9 A 10 C

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 15.

? 4

1 3 ? i 2 2
16.98

12.

1 2

13. [ ,1) 17.①②⑤

1 2

14.4

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? 1 sin(?x ? ? ) ? [1 ? cos(?x ? ? )] ? sin(?x ? ? ? ) ? . (2 分) 2 2 6 2
T ? 9 ?2 ,则 ? ,即 T ? ? , ? 4 4 4 16
(3 分)

∵最高点与相邻对称中心的距离为



2? ? ? ,∵ ? ? 0 ,∴ ? ? 2 , |? |

(4 分)

又 f (x) 过点 ( ∴ sin(

?
3

,1) ,
(5 分) (6 分) (8 分)

? 1 1 2? ? 1 ? ? ? ) ? ? 1 ,即 sin( ? ? ) ? ,∴ cos ? ? . 2 2 2 3 6 2 ? ? ? 1 ∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ,∴ f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? . 2 3 6 2 2 (Ⅱ) 2a ? 4a sin C ? c sin A ,由正弦定理可得 sin C ? , 3
∵0 ? C ? 又a ?

?
2

,∴ cosC ?

5 , 3

(9 分)

5 ,CA ? CB ? abcosC ? 10 ,∴ b ? 6 ,
2 2 2

(11 分)

由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cosC ? 21,∴ c ?

21 .

(12 分) (3 分)

19. (Ⅰ)每个学生有四个不同选择,根据乘法法则,选法总数 N= 4 ? 4 ? 4 ? 64 (Ⅱ)恰有 2 门选修课这 3 名学生都没选择的概率为

P2 ?

2 2 C 4 C32 A2 2 ? 3 ? 3 ? 2 9 ? ? 4? 4? 4 16 43

(7 分)

(Ⅲ)设 A 选修课被这 3 名学生选择的人数为 ? ,则 ? =0,1,2,3
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P( ? =0)=

C 1 ? 32 27 3 ?C 1 9 33 27 ;P( ? =1)= 3 3 ? ;P( ? =2)= 3 3 ? ; ? 43 64 4 64 4 64
3 C3 1 ? 3 4 64

P( ? =3)=

(9 分)

? 的分布列是

?
P

0

1

2

3

(10 分)

27 64

27 64

9 64

1 64

E? ? 0 ?
20.

27 27 9 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? 64 64 64 64 4

(12 分)

解:建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ,设 AA1 ? h (h ? 0) ,则有 B(1,0,0) , B1 (1,0, h) , ????? ???? ????? C1 (0,1, h) ,A1 (0,0, h) ,B1C1 ? (?1,1,0) ,AC1 ? (0,1,0) ,A1B ? (1,0, ?h) 1 (2 分) ( Ⅰ ) 因 为 异 面 直 线 A1 B 与 B1C1 所 成 的 角 60 , 所 以 ????? ???? | B1C1 ? A1 B | 1 1 ? ? ,得 1 ? h2 ? 2 ,解得 cos 60 ? ????? ???? ,即 2 | B1C1 | ? | A1 B | 2 ? a ?1 2 h ?1. (6 分) ???? ? h h (Ⅱ)由 D 是 BB1 的中点,得 D(1,0, ) ,于是 DC1 ? (?1,1, ) .设平 2 2 面 A1 BC1 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,于是由 n ? A1 B , n ? A1C1 , 可得 ?
?

z A1 B1 D B x C1

A C y

? ? n ? A1 B ? 0 ? x ? hz ? 0, 即? 可取 n ? (h,0,1) , ?n ? A1C1 ? 0 ? y ? 0, ?
| DC1 ? n | | DC1 || n |


(8 分)

于是 sin ? ?| cos ? DC1 , n ?| .而 | cos ? DC1 , n ?|?

?

h | 2 1 2 h2 ?1 ? h ?2 4 | ?h ?
(10 分)

?

h h 4 ? 9h 2 ? 8

.令 f (h) ?

h h4 ? 9h2 ? 8

?

1 8 h ? 2 ?9 h
2

8 8 ? 9 ? 2 8 ? 9 ,当且仅当 h2 ? 2 ,即 h ? 4 8 时,等号成立. h2 h 2 2 ?1 1 1 2 2 ?1 ? ? 所以 f (h) ? , 故当 h ? 4 8 时,sin ? 的最大值 . (12 分) 7 7 8 ?1 9?2 8
因为 h2 ?

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21. 解: (Ⅰ) 设圆 C 的半径为 r , 由题意, 圆心为 (r ,2) , | MN |? 3 , r ? ( ) ? 2 ? ∵ ∴
2 2 3

3 2

25 , 4

故圆 C 的方程为 ( x ? ) ? ( y ? 2) ?
2 2

5 2

25 .① 4

(2 分)

在①中,令 y ? 0 得 x ? 1 或 x ? 4 ,所以 N (1,0) , M (4,0) ,即 2c ? 2 , c ? 1 . (3 分) 又

2 3 1 ? 2 ? 1 ,消去 a 得 2b 4 ? 5b 2 ? 3 ? 0 ,解得 b 2 ? 3 或 b 2 ? ? (舍去) ,解得 2 2 a 2b
(5 分)

x2 y2 a ? 4 ,故椭圆 D 的方程为 ? ? 1. 4 3
2

(Ⅱ)假设恒有 ?ANM ? ?BNP 成立. ∵点 M 在椭圆的外部,∴直线 l 可设为 y ? k ( x ? 4) .

? x2 y2 ? ? ? 1 ,得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 , 由? 4 3 ? y ? k ( x ? 4) ?
此时 ? ? (32k 2 ) 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(64k 2 ? 12) 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 , x1 x 2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

(7 分)

因为 k AN ? k BM ?

y1 y k ( x1 ? 4) k ( x2 ? 4) ? 2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

=k

( x1 ? 4)(x2 ? 1) ? ( x2 ? 4)(x1 ? 1) ( x1 ? 1)(x2 ? 1)

=

k ? [2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 8] ( x1 ? 1)(x2 ? 1)

=

k 2(64k 2 ? 12) 160k 2 ?[ ? ? 8] ? 0 . ( x1 ? 1)(x2 ? 1) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

(10 分)

所以 k AN ? ?k BM ,即 ?ANM ? ?BNP . 当 x1 ? 1 或 x2 ? 1 时, k ? ? 21.
' 解: (Ⅰ)函数的定义域为 (0, ??) .当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x, f ( x) ? 1 ?

(11 分)

1 ,此时 ? ? 0 ,不合题意. 2 综上,过点 M 的动直线 l 与椭圆 D 交于 A、B 两点,?ANM ? ?BNP 是否恒成立.(12 分) 1 x ?1 ? , (2 分) x x

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当 0 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0; 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0. ? f ( x)极小值 =f (1) ? 1, 无极大值.(4 分)

1 (1 ? a) x ? ax ? 1 ? (5 分) ? x x 1 (1 ? x)2 ? 1 ,即 a ? 2 时, f ' ( x) ? ? ? 0, f ( x) 在定义域上是减函数; 当 a ?1 x 1 1 ? 1 , 即 a ? 2 时 , 令 f ' ( x) ? 0, 得 0 ? x ? 当 或 x ? 1; 令 f ' ( x) ? 0, 得 a ?1 a ?1 1 ? x ? 1. a ?1 1 1 ? 1 , 即 1 ? a ? 2 时 , 令 f ' ( x) ? 0, 得 0 ? x ? 1 或 x ? ; 令 f ' ( x) ? 0, 得 当 a ?1 a ?1 1 1? x ? . a ?1 综上,当 a ? 2 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数; 1 1 ) 和 (1, ??) 单调递减,在 ( ,1) 上单调递增; 当 a ? 2 时, f ( x ) 在 (0, a ?1 a ?1 1 1 , ??) 单调递减,在 (1, ) 上单调递增; (8 分) 当 1 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 (0,1) 和 ( a ?1 a ?1 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? (3, 4) 时, f ( x ) 在 [1, 2] 上单减, f (1) 是最大值, f (2) 是最小 a 3 值.? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (2) ? ? ? ln 2 , (10 分) 2 2 a 3 a ?3 (a 2 ? 1) m ? ln 2 ? ? ? ln 2 ,而 a ? 0 经整理得 m ? 2 , ? 2 2 a ?1 2 a ?3 1 1 ? ,所以 m ? . 由3 ? a ? 4得0 ? 2 (12 分) a ? 1 15 15
(Ⅱ) f ( x) ? (1 ? a ) x ? a ?
'

2

(1 ? a)( x ?

1 )( x ? 1) a ?1 x

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