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北师大版高中数学选修2-3第一章《计数原理》组合(三)


北师大版高中数学选修2-3第 一章《计数原理》

陕西科技大学附属中学

韩伯阳

一、教学目标: 1、进一步巩固组合、组合数的概念 及其性质; 2、能够解决一些组合应用问题。 二、教学重难点:解决一些组合应用 问题。 三、教学方法:探析归纳,讨论交流 四、教学过程

组合定义: 一般地,从n个不

同元素中取出m(m≤n)个 元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合.

n! A ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) ? (n ? m)!
m n

m An n?n ? 1??n ? 2???n ? m ? 1? m Cn ? m ? Am m!

组合数的两个性质

C ?C
m n

n?m n

C

m n?1

? C ?C
m n

m?1 n

练习
(1)某演出队有9名歌舞演员,其中7人会唱歌,有5人会 跳舞,今从9人中选取出2人,1人唱歌,1人跳舞,则不同 选法有 32 种。

C C ? C C ? A ? 32 或C41C21 ? C41C31 ? C21C31 ? A32 ? 32
1 4 1 5 1 3 1 2 2 3

(2)某科研所有 8 名外文工作者,其中3人只会英语,2 人只会日语,3人既会英语也会日语,现从这8人中选取3 人会英语, 3人会日语的人去完成一次任务,有 55 种选法。
3 3 1 3 1 3 C3 C5 ? C32 C3 C 4 ? C3 C32 C3 ? 10 ? 36 ? 9 ? 55

(3)有1克、2克、3克、4克的四个法码各一只,可以称 多少种不同重量的物体? 10

C ? C ? C ? C ? 5 ? 10
1 4 2 4 3 4 4 4

组合应用题-几何问题
1.平面内有九个点,任何三点不共线,过两点确定一条直 线,共可以确定 条直线,若其中4点共线,能确 定 条直线。 2.在两条平行直线上分别有5个点和4个点,每两点确定 一条直线,共有 条直线。 3.圆上有10个不同的点,以这些点为四边形的顶点,共有 多少个圆内接四边形? 思考题:若过其中的两点画直线,则这些直线在圆内共有 多少个交点?

练习
1.平面内有7条直线,每三条不共点,有且只有2条平行; ⑴共有多少个交点? ⑵以这些直线截得的线段为边能构成多少个三角形?

(1)C ? C C ? 10 ? 10 ? 20
2 5 1 2 1 5

(2)C ? C C ? 10 ? 20 ? 30
3 5 1 2 2 5

2.在同一平面内有两组平行线,其中一组平行线8 条,另一组平行线10条, ⑴它们共能构成多少个平行四边形? ⑵有多少个交点?

(1)C C ? 1260
2 8 2 10

(2)C C ? 80
1 8 1 10

组合应用题——分配问题
问题1:四封信投入三个信箱,信要全部投完,①共有多 少种不同的投法?②若每个信箱都要有信,有多少种不同 的投法?

问题②是分配问题,其原则是:先分组再分配

(1)3 ? 81 (2)C 4 ? A3
4 2 3

问题2:有9本不同的书; ⑴平均分给3个人,每人3本,有几种不同的分法? ⑵甲分2本,乙分3本,丙分4本,有几种不同的分法? ⑶1人2本,1人3本,1人4本,有几种不同的分法? ⑷若平均分为3份,每份3本,有几种不同的分法? ⑸若按2本、2本、2本、3本分成四份,有几种不同的 分法?

(1)C C C ? 1680
3 9 3 6 3 3

(3)C C C A ? 7560
2 9 3 7 4 4 3 3

(2)C C C ? 1260 3 3 3 C9 C6 C3 (4) ? 280 3 A3
2 9 3 7 4 4

CCCC (5) ? 1260 3 A3

3 9

2 6

2 4

2 2

练:1.五个不同的小球投入到四个盒子中,每个盒子至少 2 4 一个小球,有多少种不同的投法? ?

C A
5

4

2.六个不同的小球分成三堆, ① 若一堆1个,一堆2个, 一堆3个,有多少不同的分发?②若每堆两个,有多少不 2 2 2 ?C 4 ?C 2 同的分发? 1 ? 2 ? 3 ? 60;(2) C 6 (1) ? 15

C C C
6 5

3

3.六个不同的小球分给三人, ① 若一人1个,一人2个, 一人3个,有多少不同的分发?②若每人两个,有多少不 2 3 2 2 2 同的分发? (1)C 16 ? C 5 ? C 3 ? A3 ? 360; (2)C 6 ? C 4 ? C 2 ? 90 3 4.六个不同的小球分给三人, 若一人1个,一人1个,一 1 1 4 人4个,有多少不同的分发? 3 ? ? ?

A

3 3

C C C A A
6 5 4 2 2

3

? 180

5.有13个队参加篮球赛,比赛时先分成两组,第一组7个 队,第二组6个队, ⑴各组都进行单循环赛(即每队都要与本组其他各队比赛 一场),然后由各组的前两名共4个队进行单循环赛决定 冠军、亚军,共需要比赛多少场? ⑵比赛时先分成两组,有多少种不同的分组方法?

⑴C 2
7

? C ? C ? 21 ? 15 ? 4 ? 42
2 6 2 4

⑵ C7 C6
13 6

? 1716

6.十名篮球队员,平均分成两组有多少种不同的分组方法?
5 C10C55 ? 126 2 A2

7.将1、2、3、4、5、6六个数码分为3份, ⑴若每份两个数码,共有多少种不同的分法? ⑵若三份数码的个数分别为1个、2个、3个,共有多少 种不同的分法? ⑶若三份数码的个数分别为1个、1个、4个,共有多少 种不同的分法? C62C42C22 ⑴ ⑵ C 1C 2 C 3 ? 60 ? 15 6 5 3 A33

CCC ⑶ ? 15 A

1 6

1 5 2 2

4 4

课堂小结:本课学习了组合的应用题解 法,反思例题,归纳类型,回顾解法。 课后作业:第17页习题1-3中B组1、2;第 30页1、2、3、4、5.

五、教后反思:

Thank you!


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