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2014年高中数学《二次函数的图像与性质的应用》导学案 北师大版必修1


第 9 课时

二次函数的图像与性质的应用

1.能熟练地对二次函数解析式配方,研究其定义域、值域、单调性、最值等. 2.掌握二次函数的性质,并会对参数进行讨论. 3.进一步体会数形结合思想的作用.

在上节课我们共同学习了二次函数的解析式以及 a 决定开口方向和开口大小等性质,对 于图像,我们知道了描点法和图像变换法,

这节课我们来进一步研究二次函数的图像和性质, 结合二次函数的图像,利用数形结合法解有关二次函数的最值问题,是本节知识的重点和难 点,也是高考的热点问题.

问题 1:将二次函数的一般式 f(x)=ax +bx+c 配为顶点式: 轴为 ,顶点坐标为 . 2 问题 2:对于二次函数 y=ax +bx+c. 当 a>0 时,它的图像开口向上, f(x)在 上是单调递减的,在 是单调递增的;当 x=- 时,函数取得最小值 当 a<0 时,它的图像开口 ,f(x)在

2

,所以对称



.
上是单调递增的,在

上是单调递减的;当 x=- 时,函数取得最大值 . 2 问题 3:二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)在闭区间[p,q]上的最值可能出现以下三种情况: (1)若- <p,则 f(x)在区间[p,q]上是增函数,则 f(x)min= ,f(x)max= . (2)若 p≤- ≤q,则 f(x)min= ,此时 f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而 定. (3)若- ≥q,则 f(x)在区间[p,q]上是减函数,则 f(x)min= ,f(x)max= . 2 由此可见,当- ∈[p,q]时,二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)在闭区间[p,q]上的最大值是 f(p)和 f(q)中的较大值,最小值是 f(- );当- ?[p,q]时,二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)在 闭区间[p,q]上的最大值是 f(p)和 f(q)中的较大值,最小值是 f(p)和 f(q)中的较小值. 问题 4:解决函数应用问题的一般步骤: (1) :弄清题意,分清条件和结论,理清数量关系; (2) :将文字语言转化为数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型; (3) :求解数学模型,得到数学结论; (4) :将用数学方法得到的结论还原为实际问题.

1.已知二次函数 y=f(x)满足 f(3+x)=f(3-x),且 f(x)=0 有两个实根 x1,x2, 则 x1+x2 等于 ( ).
1

A.0 B.3 C.6 D. 不能确定 2.把长为 12 厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和 的最小值是( ). 2 2 2 2 A. cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm 2 2 3.设 m∈R,x1,x2 是方程 x -2mx+1-m =0 两个实数根,则 + 的最小值是 . 4.某超市为了获取最大利润做了一次试验,若将进货单价为 8 元的商品按 10 元一件的价格出 售,则每天可销售 60 件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品 每涨 1 元,其销售量就要减少 10 件,问该商品售价定为多少时才能赚取最大利润?并求出最大 利润.

二次函数的图像与性质 2 将函数 y=- x -x+1 配方,确定其图像对称轴、顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或 最小值,并画出它的图像.

二次函数在闭区间上的最值 2 已知二次函数 f(x)=x -2x+3. (1)当 x∈[-2,0]时,求 f(x)的最值; (2)当 x∈[-2,3)时,求 f(x)的最值.

二次函数在实际中的应用

2

如图所示,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时,AB 宽 20 m,水位上升到警戒线 CD 时,CD 到拱桥顶 O 的距离仅为 1 m,这时水面宽度为 10 m. (1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式; (2)若洪水到来时,水位以每小时 0.3 m 的速度上升,从正常水位开始,持续多少小时到达 警戒线?

已知二次函数 f(x)=-x +bx+c 对于任意 x 都满足 f(1-x)=f(1+x). (1)求实数 b 的值; 2 (2)比较 f(-m -m-1)与 f( )的大小.

2

已知二次函数 f(x)=x -2x+3,当 x∈[t,t+1]时,求 f(x)的最小值 g(t).

2

经市场调查,商品在近 100 天内,日销售量和价格均为时间 t 的函数,且日销售量近似的 满足关系 g(t)=- t+ (t∈N,0≤t≤100),在前 40 天里价格为 f(t)= t+22(t∈N,0≤t≤40); 在后 60 天里价格为 f(t)=- t+52(t∈N,40<t≤100).求这种商品的日销售额的最大值(近似 到元).

3

1.如图所示,二次函数 y=x -3x+2 的图像交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于 C 点,则三角形 ABC 的 面积为( ). A.6 B.4 C.1 D.2 2 2.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:y=x +bx+c 的图像过点(1,0)??求证这 个二次函数的图像关于直线 x=2 对称.根据已有信息,题中的二次函数图像不具有的性质是 ( ). A.过点(3,0) B.顶点是(2,-2) C.在 x 轴上截得的线段的长是 2 D.与 y 轴的交点是(0,3) 2 3.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的图像的对称轴为直线 x=2,则下列关 系:①f(π -2)=f(π );②f( )>f(π );③f( )>f(π ).④f( )=f(π ),正确的是 . 4.已知二次函数 y=f(x)的对称轴是 x=2,其图像顶点为 A,并且与 x 轴交于 B,C 两点,B 点坐标 为(-1,0),三角形 ABC 的面积为 18,求 f(x) .

2

(2013 年·辽宁卷)已知函数 f(x)=x -2(a+2)x+a ,g(x)=-x +2(a-2)x-a +8.设 H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示 p,q 中的较大值,min{p,q}表 示 p,q 中的较小值).记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为 B,则 A-B=( ). 2 2 A.16 B.-16 C.a -2a-16 D.a +2a-16 考题变式(我来改编):

2

2

2

2

4

答案 第 9 课时 二次函数的图像与性质的应用 知识体系梳理 问题 1:f(x)=a(x+ ) + 问题 2:(-∞,- ]
2

x=-

(- , (3)f(q)

) [- ,+∞)

[- ,+∞)

向下 (-∞,- ]

问题 3:(1)f(p) f(q) (2)f(- ) 基础学习交流 1.C

f(p)

问题 4:(1)审题 (2)建模 (3)求模 (4)还原

f(3+x)=f(3-x)知其图像的对称轴为 x=- =3,又由韦达定理知 x1+x2=- =6.
2 2 2

2.D 设一个三角形的边长为 x cm,则另一个三角形的边长为(4-x) cm,两个三角形的面积和 为 S,则 S= x + (4-x) = (x-2) +2 当 x=2 时,S 取最小值 2
2 2 2

≥2
2

.

m .故选 D.
2 2 2

2

3.1 由 Δ =(-2m) -4(1-m )≥0,解得 m ≥ , 又 + =(x1+x2) -2x1x2=(2m) -2(1-m )=6m -2≥1. 4.解:设商品售价定为 x 元时,利润为 y 元,则

y=(x-8)[60-(x-10)·10]
5

=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10≤x≤16).
当且仅当 x=12 时,y 有最大值 160 元, 即售价定为 12 元时,可获最大利润 160 元. 重点难点探究 探究一:【解析】y=- (x+ ) + ,对称轴 x=- ,顶点坐标(- , ), 函数在区间(-∞,- ]上是单调递增的,在区间[- ,+∞)上是单调递减的,函数的最大值 为 ,没有最小值.图像如图所示:
2

【小结】根据配方后得到的表达式画图,可直接判断出函数的单调性及最值. 探究二:【解析】∵f(x)=x -2x+3=(x-1) +2,其对称轴为 x=1,开口向上. (1)当 x∈[-2,0]时,f(x)在[-2,0]上是单调递减的,故当 x=-2 时,f(x)有最大值
2 2

f(-2)=11;
当 x=0 时,f(x)有最小值 f(0)=3. (2)当 x∈[-2,3)时,f(x)在[-2,3)上是先减后增的,故当 x=1 时,f(x)有最小值 f(1)=2. 又|-2-1|>|3-1|,

∴f(x)的最大值为 f(-2)=11.
【小结】 对于“轴定,区间定”的二次函数问题,解答时直接利用二次函数的单调性解题; 对于“轴定,区间动”的二次函数问题,解答时可以直接利用图像与二次函数单调性解题;重 在用分类讨论的思想分析轴与区间的关系. 探究三:【解析】(1)设所求抛物线的解析式为 y=ax (a≠0),
2

∵CD=10 m,CD 到拱桥顶 O 的距离仅为 1 m,
则 C 点坐标为(-5,-1),把 C 点坐标代入 y=ax ,解得 a=- , 故抛物线的解析式为 y=- x . (2)∵AB 宽为 20 m,
2 2

∴设 A(-10,b),
把 A 点坐标代入抛物线的解析式 y=- x 中, 解得 b=-4,∴F(0,-4),∴EF=3,
2

∵水位以每小时 0.3 m 的速度上升,∴3÷0.3=10(小时),
答:从正常水位开始,持续 10 小时到达警戒线. 【小结】 本题把实际问题转化为数学问题,即转化为点的坐标及函数解析式,应该注意点 所在的象限,也就是点的坐标的符号. 思维拓展应用 应用一:(1)由 f(1-x)=f(1+x)知二次函数的对称轴为直线 x=1,即(2)-m -m-1=-(m+ ) - ≤- < ,又 f(x)在(-∞,1]上是增函数, 所以 f(-m -m-1)<f( ).
6
2 2 2

=1,解得 b=2;

应用二:①当 t>1 时,f(x)在[t,t+1]上单调递增, 所以当 x=t 时,f(x)取得最小值, 此时,g(t)=f(t)=t -2t+3;
2

②当 t≤1≤t+1,即 0≤t≤1 时, f(x)在区间[t,t+1]上先减后增,
故当 x=1 时,f(x)取得最小值, 此时,g(t)=f(1)=2;

③当 t+1<1,即 t<0 时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,
所以当 x=t+1 时,f(x)取得最小值, 此时,g(t)=f(t+1)=t +2; 综上得 g(t)= 应用三:设前 40 天内日销售额为 S,则 S=( t+22)?(- t+ )=- t + t+
2 2

,

∴S=- (t-10.5) +

2

+

, )= t 2

当 t=10 或 t=11 时,Smax=808.5≈809, 设后 60 天内日销售额为 P,则 P=(- t+52)?(- t+
2

t+

,

∴P= (t-106.5) - ,∵40<t≤100,∴当 t=41 时,P 有最大值, Pmax= ×(
基础智能检测 1.C 如图可知 A(1,0),B(2,0),C(0,2),又 S= ×|AB|×yc= ×1×2=1,故选 C. 2.B 由二次函数的图像关于直线 x=2 对称得- =2,b=-4,再将点(1,0)代入可得 c=3,然后画 出二次函数的草图即可求解. 3.③ 2- >π -2.由图像可知 f( )>f(π ). 4.解:∵二次函数 f(x)的对称轴是 x=2, 又∵B 点坐标为(-1,0), ) - =714.
2

则日销售额的最大值为 809 元.

∴C 点坐标为(5,0), ∴|BC|=6. ∵△ABC 面积为 18,即 |BC||m|=18,∴ m=±6,即 A 点坐标为(2,±6), ∴f(x)=a(x+1)(x-5),
将 A 点坐标(2,±6)代人上述式子,可得 a=± ,

∴f(x)=± (x+1)(x-5),
即 f(x)=± (x -4x-5). 全新视角拓展 B 函数 f(x)和 g(x)的图像一个是开口向上的抛物线,一个是开口向下的抛物线,两个
2 2 2 2 2

函数图像相交,则 A 必是两个函数图像交点中较低的点的纵坐标,B 是两个函数图像交点中较 高的点的纵坐标.令 x -2(a+2)x+a =-x +2(a-2)x-a +8,解得 x=a+2 或 x=a-2,当 x=a+2 时,因为 函数 f(x)的对称轴为 x=a+2,故可判断 A=f(a+2)=-4a-4.B=f(a-2)=-4a+12,所以 A-B=-16.

7


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